1. §2−3 正 弦 定 理 與 餘 弦 定 理
(甲)三角形面積
(1) 邊 角 關 係
 在 △ ABC 中 ， 通 常 以 a,b,c 分 別 表 分 A,∠B,∠C 的 對 邊 長 。
 邊 的 關 係 ： a>0,b>0,c>0 ， 且 |b−c|<a<b+c
 角 的 關 係 ： 0°<A,B,C<180° ， 且 A+B+C=180°
(2) 三 角 形 的 面 積 公 式 ：
國中△ABC 面積= ×底底高，以底與高的長度表示面積但是當邊上的『高』不容易
A
求出來的時候(如有障礙物)，我們可以利用三角函數邊角的關係
式 間 接 求 出 高 ， 於 是 △ ABC 的 面 積 =× a× c
bsinC
b
C D a B
A A A
b c c
b b c
¡H ¡H
¡H
a C a B a
C B C B
¡çC¬O¾U¨¤ ¡çC¬Oª½¨¤ ¡çC¬O¶w¨¤
事實上圖中， 事C 是銳角，當 是C 是直角或是鈍角時 △ ABC ，
邊 上 的 高 仍 然 是 b× sinC
∴△ABC 面 積 =× a× bsinC
同理由對稱性得△ABC 的面積公式=× a× b× sinC= × b× c× sinA= × c× a× sinB
例 子 ： 已 知 正 △ ABC 每 邊 的 長 是 a ， 求 其 面 積 。
結 論 ：
△面積記憶法面利用三角函數定義，由△=×底底高，導出兩邊夾角求面積，即△=
× a× b× sinC= × b× c× sinA= × c× a× sinB (兩邊夾一角)
~2−3−1~

2. 1. 四邊形 ABCD，設，為對角線與的一個交角，
求證：此四邊形的面積為 sinθ。 A
D
B
C
2. 設設ABC 為直角三角形，ACEF 是以為一邊向外作出的正方形，
BCDG 是以為一邊向外作出的正方形，若 AC=5、AB=4、BC=3，
試求(a)cos(∠DCE) (b)∆DCE 的面積。 F
Ans：(a) (b)6
A
E
C
B
G D
1. 四邊形兩對角線為 12 與 5，若兩對角線的夾角為， 1 ,θ 2 ，且， 1 =2θ 2
則其面積為__________。Ans：15
2. 已知一三角形 ABC 的二邊 AC=5，AB=8，cosA=，則，ABC 的面
積為 。 Ans：12
( 乙 ) 正 弦 定 理
國中幾何曾經學過「大邊對大角」這個性質，但這個性質只說角大則邊大，邊大則
角大，這種說法似乎只是一種對於邊角關係的「定性描述」，那麼邊角之間有沒有
「 定 量 的 描 述 」 呢 ? 我 們 用 以 下 的 定 理 來 回 答 這 個 問 題 ：
~2−3−2~

3. 正 弦 定 理 ： 在 ： ABC 中 ， 以 a,b,c 表 示 表 A ， ， B ， ， C 之 對 邊 長 度 ，
則 = ==2R，其中 R 為為ABC 外接圓的半徑。
~2−3−3~

4. 證 明 ：
由 前 面 三 角 形 的 面 積 公 式 ： S ∆ABC =×a×b×sinC= ×b×c×sinA= ×c×a×sinB
等 號 兩 邊 同 除 abc ， 可 得 = = ⇒ = = 。
但 是 = == ？ 我 們 由 以 下 的 證 明 來 說 明 ：
我 們 將 我 ABC 分 成 直 角 、 銳 角 、 鈍 角 三 種 情 形 來 討 論 ， 如 下 圖 所 示 ：
A
A A
D C
B
B O C O
O
D
B C
(1) 當 當 A=90 ° (2) 當 當 A<90 ° (3) 當 當 A>90 °
(1)∠A=90 ° ⇒ = a== 外 接 圓 直 徑 =2R ⇒ = ==2R
(2)∠A 為 銳 角 ：
過 B 做 圓 O 的 直 徑 ， 因 為 的 A 與 與 D 對 同 弧 () ， 因 此 ， A=∠D 。
考 慮 直 角 三 角 形 BCD ， 由 銳 角 三 角 形 的 定 義 可 知 =sinD=sinA
⇒ = BD= 外 接 圓 直 徑 =2R ⇒ = ==2R 。
(3)∠A 為 鈍 角 ：
過 B 做 圓 O 的 直 徑 ， 因 為 的 A+∠D=180 ° ， 所 以 sin∠D=sin(180 ° −∠A)=sinA
考 慮 直 角 三 角 形 BCD ， 由 銳 角 三 角 形 的 定 義 可 知 =sinD=sinA
⇒ = BD= 外 接 圓 直 徑 =2R ⇒ = ==2R 。
結論：正弦定理的用法
正 弦 定 理 = = =2R 的 轉 換 ( 以 R 為 媒 介 )
(a) 比 例 型 ： ___________________=______________________
(b) 邊 化 角 ： a=___________ ， b=____________ ， c=______________
(c) 角 化 邊 ： sinA=________ ， sinB=________ ， sinC=____________
~2−3−4~

5. 3. ∆ABC 中 ，a,b,c 分別代表分A，，B，，C 之對邊長度：
(1)若(b+c):(c+a):(a+b)=5:6:7，試求 sinA:sinB:sinC。
(2)若若B=55°，，C=65°，a=10 公分，試求外接圓半徑。
Ans：(1)4:3:2 (2)公分
4. 設圓內接四邊形 ABCD 中 ∠CAD＝ 30°，
∠ACB＝ 45°， CD ＝2，則 AB ＝ 。
Ans：2
3. 利 用 三 角 形 的 面 積 公 式 與 正 弦 定 理 ， 證 明 ： 利 ABC 的 面 積 為 。
(R 為外接圓半徑)
4. 在 下 列 各 條 件 下 ， 求 △ ABC 的 外 接 圓 半 徑 R 。
(1)∠B=70°，，C=80°，a=3。(2)b=2，cosB= Ans：(1)R=3(2)R=2
5. △ABC 中 ， 中 A=60° ， ， B=75° ， =+1 ， 求 (1) 之 長 (2) 之 長
Ans：(1)=(2)=2 (sin75 ° =)
~2−3−5~

6. 6. 以 a,b,c 分 別 表 示 △ ABC 之 三 邊 ,, 的 長 ， 試 在 下 列 各 條 件 下 ，
求 sinA ： sinB ： sinC 。 ( 已 知 sin75°= )
(1)∠A=30°,∠B=45° (2)∠A ： ： B ： ： C=3 ： 4 ： 5
(3)−a+2b−c=0 且 3a+b−2c=0 (4)(a+b)：(b+c)：(c+a)=5：6：7
Ans ：
(1)2：2：+ (2)2：2：+ (3)3：5：7 (4)3：2：4
( 丙 ) 餘 弦 定 理
直角三角形中的寶藏是畢氏定理。即在直角△ABC 中，若夾角中C=90°則知兩鄰邊
a,b，可由畢氏定理 c 2 =a 2 +b 2 求出對邊 c；對於一般的三角形，如果夾角給定，但
不一定是直角，如何求第三邊的長呢？此時，餘弦定理就代替了直角三角形特有
C
E
的 畢 氏 D 定 理 。
A B
觀察右上圖，觀ABC 為直角三角形，且 AC=AD=AE=b，AB=c，BC=a，根據商
高定理可得 a = b + c ，即 b + c − a =0。在鈍角。ADB 與銳角與AEB 中我們考
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
慮 b 2 + c −DB 2 與 b 2 + c −BE 2 的 值 ， 從 圖 形 中 可 猜 出 b 2 + c −DB 2 <0 而 b 2 + c
−BE 2 >0，但進一步我們不禁會問這兩個值會不會與邊或角的三角函數有關呢？我
們用以下的定理回答這個問題：
~2−3−6~

7. 例 子 ： 設 例 ABC 中 ， 中 A=30° ， =6,=7 ， 請 求 出 = ？
[ 解 法 ] ：
B
作 高 ， =6⋅cos30° ， =6⋅sin30°⇒=7−6⋅cos30°
在 在 BDC 中 ， 中 BDC=90°
30°
⇒2=2+2
D
A
⇒ 2 =(6⋅sin30°) 2 +(7−6⋅cos30°) 2 C
=6 2 (sin 2 30°)+7 2 −2×6×7×cos30°+6 2 (cos 2 30°)
=6 2 (sin 2 30°+ cos 2 30°)+7 2 −2×6×7×cos30°
=6 2 +7 2 −2×6×7×cos30°
上例的解法，對於上A 為鈍角或直角時都會成立，我們將其寫成底下的定理。
~2−3−7~

8. 餘弦定理：在：ABC 中，若 a,b,c 為為A，，B，，C 之對邊長，則
a 2 =b 2 +c 2 −2bc⋅cosA
b 2 =a 2 +c 2 −2ac⋅cosB
c 2 =a 2 +b 2 −2ab⋅cosC
~2−3−8~

9. 證 明 ： 在 證 ABC 中 ， 依 中 A 為 銳 角 、 直 角 、 鈍 角 三 種 情 形 來 說 明 ：
設 C 點 對 AB 邊 或 其 延 長 線 的 垂 足 點 為 D
(1) ∠A C 銳 角
為 (2) ∠A 為 直 角 (3) ∠A 為 鈍 角
C C
B
A D
A=D B
 cosA>0  cosA=0 D A  cosA<0 B
∴=−=c−b⋅cosA ∴ ==c−b⋅coA ∴ =+=c+|b⋅co sA|
=c−b⋅cosA
由 以 上 的 討 論 可 知 ： 不 論 由 A 為 銳 角 、 直 角 、 鈍 角 均 可 得 =c−b⋅cosA 。
2 2 2
又 因 為 a 2 = BC = BD + CD =(c−b⋅cosA) 2 +(b⋅sinA) 2
= c 2 −2bc⋅cosA+b 2 ⋅cos 2 A+b 2 ⋅sin 2 A
=c 2 +b 2 −2bc⋅cosA
故 a 2 =b 2 +c 2 −2bc⋅cosA ， 同 理 可 證 b 2 =a 2 +c 2 −2ac⋅cosB ， c 2 =a 2 +b 2 −2ab⋅cosC 。
[畢 氏 定 理 的 圖 解 ]
B S1
歐 幾 里 得 證 明 了 矩 形 ADGHS2 面 積 =S 1 ，
矩 形 CDGF 面 積 =S 2 ， 因 此E 可 得 S 3 =S 1 +S 2 。
C D2 2 A
據 此 可 證 明 2
=+ 。
S3
[ 餘 弦 定 理 的 F 圖 G 解H ]
餘 弦 定 理 的 面 積 證 法 ：

C
 
a
b

A c B
c =+ =(+)+(+) −2× =b +a −2ab⋅cosC
2 2 2
 
~2−3−9~

10. 結 論 ：
(a) 由 餘 弦 定 理 ， 可 知 cosA= ， cosB= ， cosC=
(b) 從 (a) 可 知 A=90 ° ⇔a 2 =b 2 +c 2 ∠A<90 ° ⇔a 2 <b 2 +c 2 ∠A>90 ° ⇔a 2 >b 2 +c 2
5. 在在ABC 中已知 sinA:sinB:sinC= 4:5:7，則求 cosC =？sinC=？
Ans：、
7. △ABC 中 ， =3 ， =4 ， ， A 角 度 如 下 ， 試 分 別 求 出 之 長 。
(1)∠A=60° (2)∠A=90° (3)∠A=138° 已 知 cos42°=0.7431
Ans：(1)(2)5(3)6.54
8. 池塘旁有 B,C 兩點，小明想知道 B,C 兩點間的距離，他採用底下兩
C
種方法，試根據所得資料求出距離？ (兩者所在地點可能不同)
法 一 7m
：
他 走 到 遠 處 A 點 ， 並 量 得 點 BAC=60° ， =7m
60¢X
A B
10m
=10m ， 請 問 = ？
C
法 二 ：
60¢X
他 走 到 遠 處 A 點 ， 並 測 得 點 ACB=60° ， ， ABC=75°
=10m ， 請 問 = ？ Ans ： (1)(2)
75¢X
A B
10m
9. 在 在 ABC 中 ， 若 a,b,c 分 別 代 表 分 ABC 的 三 邊 長 、 、 之 長 。
(1) 試 證 ： a=b⋅cosC+c⋅cosB ， b=a⋅cosC+c⋅cosB ， c=acosB+bcosA
(2) 利C 用 (1) 去 證 明
C ： a 2 =b 2 +c 2 −2bccosA 。
B
D A B
A D
~2−3−10~

11. 10. ∆ABC 中，若(a+b+c)(a+b−c)=3bc，則，C= 。 Ans：60 °
11. ∆ABC 中，若 sinA:sinB:sinC=:2:(−1)，則，B= 。Ans：135 °
12. 設 a,b,c 為為ABC 的三邊長且滿足(a−2b+c) 2 +(3a+b−2c) 2 =0，若，為
為ABC 的最大內角，求 cosθ = 。 Ans：
(丁)正餘弦定理的應用
~2−3−11~

12. (1) 解 三 角 形 ：
(a)三角形的全等性質有 SSS、SAS、AAS、ASA、斜股性質，我們可以利用正
餘 弦 定 理 來 解 出 唯 一 的 三 角 形 。
(b)SSA 型 的 討 論 ： 型 ABC 中 ， 若 已 知 a,b 及 及 A
[ 想 法 ] ： 設 =b ， 利 用 尺 規 在 ， A 的 邊 AX 上 做 出 B 點 使 得 =a 。 想 要 找 出
另 一 個 頂 點 B ， 則 圓 規 打 開 的 半 徑 大 小 a ， 一 定 要 比 頂 點 C 到 AX 的
距 離 大 才 有 交 點 。
(1 ° )∠A 為 銳 角 時 ， 頂 點 C 到 AX 的 距 離 h=b⋅sinA 。
a<h 時 ， 找 不 到 B 點 無 解 。 ( 如 圖 一 )
a=h 時 ， 找 到 唯 一 一 點 B ⇒ 恰 有 一 解 ( 如 圖 二 )
h<a<b 時 ， 有 兩 個 B 點 有 兩 解 ( 如 圖 三 )
b≤a 時 ， 找 到 唯 一 一 點 B ⇒ 恰 有 一 解 ( 如 圖 四 )
(2 ° )∠A 為 鈍 角 時 ， 頂 點 C 到 AX 的 距 離 =b
C C
a≤b 時 ， 找 不 到 B 點 無 解 。 ( 如 圖 五 )
a
a
b h b h
a>b 時 ， 找 到 唯 一 一 點 B ⇒ 恰 有 一 解 ( 如 圖 六 )
B
A 圖一 X A X
圖二
C
C
b a
a b h
h
A B B X A B X
圖三 圖四
C
C
a
B a
b
b
A B X
圖六
A 圖五 X
~2−3−12~

13. 6. 【已知三邊三求三角求已知 SSS 解三角形】
△ABC 中，a=2，b=2，c=−，試求三個內角。
Ans：：A=120°，，B=45°，，C=15°
7. 【已知兩邊夾角 SAS⇒解三角形求全部邊角】
設△ABC 中，=2，=+1，，A=30°，試求，，B，，C。
Ans：=，，B=45°，，C=105°
8. 【已知二邊一對角【即知 SSA⇒解三角形】
已知已ABC 中，=15，=15，，B=30°，
則則A=？=？ Ans：：A=90°，=30；；A=30°，=15
~2−3−13~

14. 9. 【已知一邊兩角求邊與角一ASA】
△ABC 中,∠A=45°,∠B=60°，=7，求及之長。(sin75°= )
Ans：=(+1)，=
13. 在 下 列 各 條 件 中 ， 解 三 角 形 ABC 。
(1)a=1,b=2,∠A=60° Ans ： (1) 無 解 (2)c=,B=90°,C=60°
(2)a=1,b=2,∠A=30° (3)c=+,B=45°,C=75°
(3)a=2,b=2,∠A=60° (4) 有 兩 組 解 有 c=+1,B=45°,c=105°
(4)a=,b=2,∠A=30° c=−1,B=135°,c=15°
。 。
14. 由下列條件解△ABC，何者恰有一解？(A)∠A＝40 ，∠B＝60 ，∠C＝
。 。
80 (B) a＝2，b＝4，c＝6 (C) a＝1，b＝2，∠A＝30 (D) a＝
。 。
1 ， b ＝ 3 ， ∠ A ＝ 30 (E) a ＝ 1 ， b ＝ 4 ， ∠ C ＝ 40 。
Ans：(C)(E)
15. ∆ABC 中 ， AB=1 ， AC= ， ， A=30 ° ， 求 BC= ？ ， ？ B= ？
Ans：1，120 °
16. ∆ABC 中，設 c=8，，A=105 ° ，，B=45 ° ，求 b=？ Ans：8
~2−3−14~

15. (2) 求 三 角 形 的 面 積 ：
(a) Heron 公 式
設 設 ABC 中 ， a,b,c 分 別 為 分 A ， ， B ， ， C 之 對 邊 長 ， 令 s= ，
則 S ABC = s ( s − a)( s − b)( s − c) 。
[ 證 明 ] ： 由 餘 弦 定 理 ， cosB=
⇒S ABC =ac⋅sinB=ac⋅
a2 + c2 − b2 2
=ac 1 − ( )
2ac
=ac⋅⋅
=
=
A =
= s ( s − a)( s − b)( s − c)
(b) 三 角 形 ABC 的 面 積 = r⋅s
(r 為 三 角 形 ABC 內 切 圓 的 半 徑 )
[ 證 明 ]
I
三 角 形 ABC 的 面 積
=∆ABI+∆BCI+∆CAI
=c⋅r+a⋅r+b⋅r
=(a+b+c)⋅r
B = C
r⋅s
~2−3−15~

16. 三 角 形 ABC 的 面 積 = 底 底 高
= bcsinA( 兩 邊 乘 積 兩 夾 角 的 正 弦 值 )
= s ( s − a )( s − b)( s − c) s= 周 長 之 半
abc
= (R 為 三 角 形 ABC 外 接 圓 的 半 徑 )
4R
=r⋅s (r 為三角形 ABC 內切圓的半徑)
~2−3−16~

17. 17. 已 知 已 ABC 之 三 邊 長 分 別 為 4,6,8 ， 則
(1)∆ABC 的 面 積 = ？ (2) 邊 長 6 所 對 應 的 高 = ？
(3)∆ABC 的 內 切 圓 半 徑 = ？ (4)∆ABC 的 外 接 圓 半 徑 = ？
Ans：(1)3(2) (3) (4)
18. 有一凸多邊形 ABCD，若=2，=6,=4，=6，，ABD=30 ° ，則此四邊
形 的 面 積 = ？ Ans ： 3+8
(3)三角形或多邊形的邊角計算：
10. 三角形的中線定理
三角形 ABC 中，設 AB=c,BC=a,CA=b，D 為 BC 之中點，
2 2 2 1 2
試證： AB + AC = 2 AD + BC 。 A
2
B D C
~2−3−17~

18. 11. 已知圓內接四邊形 ABCD 的各邊長為=1，=2，=3，=4，
則(1)=？ (2)sin∠ABC=？ (3)ABCD 的面積 B
55 2
Ans：(1) (2) (3)2
7 1
C A
3 4
D
12. ∆ABC 中，中A 之內角平分線交於 D，=3，=6，，A=120°，
則= ；= 。 Ans：2；2
13. 圓內接四邊形 ABCD 中，=5，=12，=13，，A=120°，
則=？ Ans： B A
5
12
13 D
C
~2−3−18~

19. 14. ∆ABC 中若滿足以下條件則其形狀為何？
(1)2cosBsinA=sinC (2)a⋅cosA−b⋅cosB+c⋅cosC=0
Ans：(1)等腰三角形 (2)直角三角形
19. 設設ABC 中，AB=15，BC=20，CA=10，AD 為為A 的分角線，試
求 BD=？ AD=？Ans：BD=12，AD=3 (提示：可以利用內分比性
質)
20. 設 為 設 ABC 上 的 中 線 ， 請
A 證 明 ：
2
=(b 2 +c 2 +2bccosA)。
5 4
21. 如右圖，試求=？Ans：
B 1 D 3 C
22. ∆ABC 中 ， 中 A=75 ， =2 ， =2 ， D 在 上 且 在 BAD=30 ° ，
°
求=？ Ans：
23. 證明：平行四邊形 ABCD 中，對角線平方和=四個邊的平方和。
24. 圓 內 接 四 邊 形 ABCD ， ==a ， ， C=90 ° ， ， D=105 ° ， 求 對 角 線 = ？
Ans： (sin105 ° = )
25. 如 右 圖 ， 如 ABC 中 ， =6,=10,∠BAC=120 °
A ，
∠BAD=30 ° ， 則 = 。
Ans：
B D C
~2−3−19~

20. 26. 設 設 ABC 滿 足 下 列 條 件 ， 試 分 別 決 定 其 形 狀 ：
(1)sin 2 A+sin 2 B<sin 2 C (2)cosB⋅sinC=sinB⋅cosC
Ans ： (1) 鈍 角 三 角 形 (2) 等 腰 三 角 形
綜合練習
(1) 一汽船在湖上沿直線前進，有人儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50°，距
離為 200 公尺，一分鐘後，於原地再測，知汽艇到正前方偏右 70°，距離 300
公尺，那麼汽艇再這一分鐘內行駛了 公尺。
(2) 在在ABC 中，已知=1，sinA<sinB，且 sinA 與 sinB 為 8x2−4x+1=0 的兩根，則
的ABC 的外接圓半徑=？
(3) 如圖，設每一小格皆為正方形，求 cosθ=？ A
B
θ
(4) ∆ABC 中，a=2，b=2，c=−，試求，A。
(5) 已知已ABC 中，=2，=+，，A=105°，則=？
C
(6) ∆ABC 中，設 a=3，b=4，tanA=，求 c=？
(7) 設設ABC 之三高為 ha=6，hb=4，hc=3，則求最小內角之餘弦為 ；
最小邊長= 。
(8) 圓內接四邊形 ABCD，=5，，ADC=105°，，DCB=90°，，ABD=60°，
求對角線、的長度。
(9) 在在ABC 中，中ABC=75°，，ABD=30°，=1，=，則=？
(10) ∆ABC 中，中A=60°，=15，=24，則，A 的外角平分線長為多少？
B
(11) 如圖，=a, =b, =c，，AOC=∠BOC=30°，
試證 + = 。
C
(12) 圓內接四邊形 ABCD，已知=5，=5，=3，，BCD=120°，
O A
則=？
C
B
~2−3−20~ D A

21. (13) 如右圖， AD = 4 ，B,C 為以 AD 為直徑的半圓上的二點
，且 AB = BC = 1 ，則 CD =?
(14) 設設ABC 中中A=60°，=b,=c,今在上取一點 D 使得=⋅，
令 s=，則 s2= (A)(b2+4c2+4bc) (B)(b2+4c2+2bc) (C) (b2+4c2−2bc)
(D) (4b2+c2+2bc) (E) (4b2+4c2−2bc) (87 大學自)
(15) 已知四邊形 ABCD 中, AB = 8 , CD = 8 , AD = 3 且 ∠ABC = ∠ADC = 60° 試求
BC 之長。 A
(16) 已知已ABC 三邊長分別為=7，=5，=3，
延長至 D，如右圖所示，使得=2，則=？
B C D
(17) 如圖，三角形 ABC 之三邊長為 AB ＝7，
BC ＝8， CA ＝9，若 ABDE，ACFG 皆為正方形，
則 EG ＝ 。
(18) 在在ABC 中之三邊長分別為 11,13,20，則此三角形內切圓半徑為 ；外接圓
半徑為 。
(19) 郊外有甲，乙，丙三家，兩兩相距 70，80，90 公尺，今計畫公設一井，井到
三家必須等距，則此距離為 公尺。
(20) ∆ABC 中滿足 a cosA=b cosB，請問此三角形之形狀為何？
(21) ∆ABC 中，設 AB=c,BC=a,CA=b，試證下列等式：
(a)a(sinB−sinC)+b(sinC−sinA)+c(sinA−sinB)=0
sin 2 B − sin 2 C sin 2 A
(b) =
b2 − c2 a2
(c)(b−c)sinA+(c−a)sinB+(a−b)sinC=0
(d)a(b⋅cosC−b⋅cosB)=b2−c2
(22) 設 a=3+t2，b=3−2t−t2，c=4t
(a)若 a,b,c 均為正數，求 t 的範圍。
(b)若 a,b,c 為為ABC 的三邊長，求 t 的範圍。
(c) 若 a,b,c 為為ABC 的三邊長，求最大角的度量。
~2−3−21~

22. (23) 若 15−x、19−x、23−x 為一個鈍角三角形的三邊長，求 x 的範圍。
(24) 設設BAC=60°，P 為其內部一點且 =10，又 P 對於、的對稱點分別為 Q、R，則
=？
進階問題
(25) ∆ABC 中，周長為 20，，A=60°，外接圓的半徑為 R=則求各邊的邊長 a,b,c，
又三角形的內切圓半徑為何?
(26) 設設ABC 之三邊長為,x , y，且邊長之對角為 60°，試求 x+y 的範圍。
(27) 設凸四邊形 ABCD 之對角線 AC=p，BD=q，兩對角線之交角為， 。
(a)試證：凸四邊形 ABCD 之面積=pq sinθ
(b)若 AC+BD=10，則凸四邊形 ABCD 面積之最大值為何？
(28) ∆ABC 中，設 a=2,b=1
(a)當當ABC 面積最大時，求 c。(b)當當B 最大時，求 c。
(29) 設 ABCD 為半圓內接四邊形，為直徑長為 d，若=a，=b，=c，試證明：d 為方
程式 x3−(a2+b2+c2)x−2abc=0 的一根。 A
(30) 試證明：試ABC 的內切圓半徑 r=(s−a)tan。 s=∆ABC 的半周長
R
(31) 如圖，設如ABC 之內切圓半徑為 r，外接圓半徑為 R，
Q
內切圓切三邊於 P,Q,R，則
I
之值為何？ Ans：
B P C
(32) 設圓內接四邊形 ABCD 四邊之長分別為=a，=b，=c，=d，試證：
(a)2=。 (b)2= (c)⋅=ac+bd。
(33) 已知三角形 ABC 的邊=9，=8，，A=40°，在上取一點 D，在上取一點 E 而把
△ABC 的面積等分為二，試問：若要求之長度最短，及之值應為何？
綜合練習解答
~2−3−22~

23. 1. 100
2. +1
3.
4. ∠A=120 °
5. =2
6. 5或
7. ；
8. =10、=
9.
10. 40
11. [提示：考慮提AOB=∆AOC+∆BOC，再利用三角形的面積公式，
即可得證]
12. 8
13.
14. (B)
15. 3 或 5
16.
17. 14
18. 3，
19. 21
20. 等 腰 或直 角三 角形 [ 提 示： 利用 cosA= ，cosB= 代入 a cosA=b
cosB，化簡可得(a 2 −b 2 )(c 2 −a 2 −b 2 )=0 ]
21. (a)(b)(c)利用正弦定理將 sinA、sinB、sinC 化成、 。
、 代入式子中運
算。(d)利用餘弦定理。
22. (a)0<t<1 (b)0<t<1 (c)120 °
23. 3<x<11
24. 10[提示提QAR=120 ° ]
25. a=7 ， b=8 ， c=5 或 a=7 ， b=5 ， c=8 r=
26. <x+y≤2
[提示：根據餘弦定理=x 2 +y 2 −xy=(x+y) 2 −3xy ⇒(x+y) 2 =3(xy+1)，
因為 xy=x 2 +y 2 −3≥2xy−3 ⇒xy≤3 ⇒(x+y) 2 =3(xy+1)≤12 ]
~2−3−23~

24. 27. (b)[提示：利用 pq≤(p+q) 2 ]
28. (a)(b)
29. [ 提 示 ： 如 下 圖 ， 2 =a 2 +b 2 −2abcosB=c 2 +d 2 −2cdcosD ， 因 為
，ACD=90 ° ，cosD=，代入前面的式子化簡即可得證]
30. [提示：如(31)題圖，只需證明=s−a 即可]
31. [ 提 示 ： 如 圖 ， 提 PQR=∆RQI+∆RPI+∆PQI =r 2 sin(180 ° −A)+
r 2 sin(180 ° −B)+
r 2 sin(180 ° −C)=r 2 (sinA+sinB+sinC)=r 2 (a+b+c)=，，ABC=rs]
32. [ 提 示 ： 利 用 2
=a 2 +b 2 −2abcosB=c 2 +d 2 −2cdcosD ， 而 且
，B+∠D=180 ° ]
33. ==6 [ 提 示 ： 設 =x ， =y ， ， ADE=xysin40 ° =
∆ABC=(×9×8×sin40 ° ) ⇒xy=36 。 又 因 為
2
=x 2 +y 2 −2xycos40 ° ≥2xy−2xycos40 ° =72(1−cos40 ° ) 等 號 成 立 時 ，
x=y=6。]
~2−3−24~