1. §1−4 平 面 向 量 的 內 積
(甲)坐標化的向量內積
(1) 設 =(a 1 ,a 2 ) ， =(b 1 ,b 2 ) ， 我 們 如 何 用 a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 表 示 表 呢 ？
設 =(a 1 ,a 2 ) 和 =(b 1 ,b 2 ) 為 任 意 兩 個 向 量 ， 且 兩 向 量 的 夾 角 為 為 ， y B
因 為 += ， =−=(a 1 −b 1 ， a 2 −b 2 )
|| =|−| =|| +|| 2 −2⋅
2 2 2
θ A
根 據 前 面 的 定 義 ，
O
x
． =||||cosθ=(|| 2 +|| 2 − || 2 )
=[(a 1 2 +a 2 2 )+(b 1 2 +b 2 2 )−[(a 1 −b 1 ) 2 +(a 2 −b 2 ) 2 ]]=a 1 b 1 +a 2 b 2
所 以 ． = a 1 b 1 +a 2 b 2 ， 我 們 用 a 1 b 1 +a 2 b 2 ( 各 分 量 相 乘 相 加 ) 表 示 ． 。
結 論 ： 設 =(a 1 ,a 2 ) ， =(b 1 ,b 2 )
(a) ．
=||||cosθ=a 1 b 1 +a 2 b 2 。
 
a ⋅b
 
(b) 若 與 皆 不 為 ， 則 cosθ= | a || b | =( 向 量 與 角 度 的 關 係 )
(c) 若 向 量 與 皆 不 為 ， 若 ． =0 ⇔ a 1 b 1 +a 2 b 2 =0
(d) 若 = ， 夾 角 ， =0 ， ． =||||cos0=|| 2 。 ( 向 量 與 長 度 的 關 係 )
(e) 由 (b) 與 (d) 可 知 內 積 與 求 角 度 、 長 度 都 有 關 係 ， 這 也 是 內 積 重 要 的 地 方 。
1. 設設ABC 的三頂點為 A(3，，2)、B(−1,−4)、C(6,−3)，求內角，A 的角度。
Ans：135°
2. 設向量與另一向量=(,1)的夾角是 120˚且||=8，試求向量。
Ans：=(0,−8)或(−4,4)
~1−4−1~

2. 1. 設 =(k,1), =(2,3), 求 k 使 ：
(1) 和 垂 直 (2) 和 平 行 (3) 和 的 夾 角 為 60˚
Ans：(1)k= (2)k= (3)k=−8+
2. ∆ABC 中 ， 設 A(−2,1),B(1,2),C(−4,3) ， 試 求 ， ABC 的 垂 心 H 。
Ans：(，)
3. 若 ||=1， 且 與 =(,) 之 夾 角 為 45 ° ， 求 = ？
3 1 −1 3
Ans：( , )或( , )
2 2 2 2
4. 設 A(1,−2) 、 B(0,2) 、 C(−3,4) 為 為 ABC 之 三 頂 點 ， 求 sinA= ？
Ans：
5. 設 =(3,1) ， =(−1,2) ， 若 ， ， // ， 且 += ，
則=？ Ans：(11,6)
(乙)向量內積的應用
(1) 柯 西 不 等 式 ： (Cauchy's Inequality)
(a) 向 量 形 式 ： 設 , 為 平 面 上 任 意 二 向 量 ， 則 | ． |≤|||| ，
等 號 成 立 //
證 明 ： 因 為 ． =||||cosθ ， ， 為 其 夾 角 ， |cosθ|≤1
所 以 | ． |=|||||cosθ| ≤ ||||
等 號 成 立 |cosθ|=1 ⇔ θ=0 或 或 //
(b) 一 般 形 式 ： a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 為 任 意 四 個 實 數 ，
則 (a 1 2 +a 2 2 )(b 1 2 +b 2 2 )≥(a 1 b 1 +a 2 b 2 ) 2 ， 等 號 成 立 ， (a 1 ,a 2 )=t(b 1 ,b 2 )
證 明 ： 可 設 =(a 1 ,a 2 ) ， =(b 1 ,b 2 ) ， 由 (a) 的 結 果 ： || 2 || 2 ≥| ． | 2
所 以 (a 1 2 +a 2 2 )(b 1 2 +b 2 2 )≥(a 1 b 1 +a 2 b 2 ) 2 。
等號成立 // ⇔ (a 1 ,a 2 )=t(b 1 ,b 2 )。
~1−4−2~

3. (2) 三 角 形 的 面 積 ：
設 ， 為 非 平 行 的 兩 向 量 ，
則 由 與 所 張 成 的 三 角 形 面 積 為 。
證 明 ： 設 = ， =
設 與 向 量 的 夾 角 為 的 ，
則 則 OAB=||||sinθ
=||||
=
=
結 論 ：
(a) 由 與 張 成 的 平 行 四 邊 形 面 積 為 。
(b)∆ABC 的 面 積 為 。
(3)正射影：設對之正射影為
~1−4−3~

4. B
A
0<θ< <θ<π Oθ= θ=0 或 或
),a)
) ),a)
)
),a)
)
),c ),b)
) ),c) ),b)
) ),b)
)
與 同 向 與 反 向 = =
(a) 根 據 上 面 的 圖 示 ： 對 之 正 射 影 平 行 ， 如 何 由 , 求 呢 ？
設 =t ， 因 為 (−)⊥ ， ( 如 右 圖 )
所 以 (−t) ． =0 ⇒ ． ． t|| 2 =0 ⇒ t=
即 =()
(b)=()()=(||cosθ)() ，
我 們 稱 投 影 量 。
()[ 或 ||cosθ] 為 對 的
a
對 的 正 射 影 =( 對 的 投 影 量 ) 與 ( 方 向 單 位 向 量 ) 的 − 係 數 積 。
a c
c b
結 論 ：
(a) 對 之 正 射 影 為 ()
(b) () =||cosθ 為 對 的 投 影 量 ( 投 影 量 可 正 可 負 )
(c) 當 0<θ< 時 ， ． >0 ， 所 以 與 同 向
(d) 當 <θ<π 時 ， ． <0 ， 所 以 與 反 向
(e) 當 當 = 時 ， ． =0 ， 所 以 =
(f)當當=0 或或時， =
~1−4−4~

5. 3. (1)設 x,y 為實數，且 2x+3y=13，求 x2+y2 的最小值，並求此時 x、y 的值。
(2)設 a,b 為實數，且 a2+b2=10，則 a−3b 的最大值為 ，
此時(a,b)= ；a−3b 的最小值為 ，此時(a,b)= 。
Ans：(1)13，x=2，y=3 (2)最大值=10，(1,−3)；最小值=−10，(−1,3)
~1−4−5~

6. 4. 三角函數的疊合： y A(4,3)
f(θ)=3sinθ+4cosθ，其中 0≤θ≤，試求當，=？
時 f(θ)有最大值或最小值。 P(cosθ ,sinθ )
O x
5. (1)設=(a1,a2)、=(b1,b2)，試證明：
由與張成的三角形面積為|a1b2−a2b1|。
(2)設設ABC 三頂點 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，
證明：證ABC 的面積為|(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)|。
~1−4−6~

7. 6. 設平面上三點 A(1,1)、B(5,−2)、C(5,2)，試求
(1)在上的投影量。
(2)在上的正射影。
(3)C 點在上的投影點。
Ans：(1) (2)(4,−3) (3)(,)
6. 設 a,b 為 正 數 ， 求 (a+)(b+) 之 最 小 值 。
[提示]：a=() 2 ，=() 2 ，b=() 2 ，=() 2
7. 設 =(cosθ ,sinθ) ， ||=3 ， 則 求 ． 之 最 大 值 、 最 小 值 。
Ans：3，，3
8. 設 f(θ)=2sinθ+5cosθ，其中，為任意實數，當為=α時，f(θ)有最大值
M ，
請求 M、tanα之值。 Ans：M=，
9. 設 x,y 為 實 數 且 x−2y=5 ， 求 x 2 +y 2 之 最 小 值 為 ，
此時(x,y)= 。Ans：5，(x,y)=(1,−2)
10. 設 A(3,8)，B(4,9)，C(1,3)試求試ABC 的面積。Ans：
~1−4−7~

8. 11. ∆ABC 中 ， 若 ||=2 ， ||=3 ， ， ABC 之 面 積 為 ， 則 之 = ？
Ans：3 或或3
12. 設 =(4,2), =(−3,1), 則 求
(1) 在 方 向 的 正 射 影 。
(2)與所張成的平行四邊形面積。 Ans：(−2,−1) ，10
(丙)平面向量在直線上的應用
(1) 直 線 ax+by+c=0 的 法 向 量 ax+by+c=0
=(a,b)
y
ax+by=0
法向量：與直線垂直的向量稱為此直線的法向量。
P
考 慮 ax+by+c=0 的 平 行 線 ax+by=0( 若 c=0 ， 則 為 同 一 直 線 ) ，
O x
兩 條 平 行 線 的 法 向 量 方 向 相 同 。
設 P(m,n) 為 直 線 ax+by=0 上 任 一 點 ，
直 線 的 方 向 =(m,n) ， 因 為 am+bn=0 ， (a,b) ． (m,n)=0
所 以 取 向 量 =(a,b) ， ， ， 所 以 可 取 法 向 量 =(a,b) 。
直 線 方 程 式 ax+by+c=0 的 法 向 量 =(a,b) ， 所 以 直 線 的 方 向 向 量 ， ， ， 故 可 取 =
(b,−a) 或 (−b,a) 。
結 論 ：
(a) 直 線 方 程 式 ax+by+c=0 的 法 向 量 可 取 為 (a,b) 。
(b)直線方程式 ax+by+c=0 的方向向量可取為(b,−a)或(−b,a)。
~1−4−8~

9. (2) 兩 直 線 的 交 y 角 ：
(a) 設 L 1 ， L 2 為 平 面 上 之 兩 相 交 的 直 線 ， L 1 ： a 1 x+b 1 y+c 1 =0
n2
L 2 ： a 2 x+b 2 y+c 2 =0 ， 設 兩 直 線 的 法 向 量 夾 角 為 ， ，
n1
則 兩 直 線 的 交 角 為 則 ， ， 兩 直 π−θ
。
證 明 ： 設
y L1 ， L2 的 法 向 量
y
分 別 為 ，
O θ
則 可L 取 =(a 1 ,b 1 ) L ， =(a 2 ,b 2 ) ， 由 右 圖 x
a1 a 2 + π−θ
b1b2
L=
2
cosα= 2 2 2 2
a1 + b1 ⋅ a 2 + b2
θ θ
O 兩 直 線 的 交 角 為 兩 ， ， L直
1 線 。
x O x
(b) 直 線 的 斜 率 與 交 角 ：
如 下 1 圖 ， 我y 們 可 以 2 定 義 直 線
L L L 2 的 斜 角 的 如 下1 ：
L y L
從 x 軸正向轉到直線 L 所形成的角稱為直線 L 的斜角。特別是與 x 軸平行或重合的
直 線 我 們 分 別 定 義 斜 角 為 直 、 0 。
根 據 斜 率 與 斜θ 角 的 定 義 ， 我 們 可 以 推 知 ： L 的 斜 率 =tanθ 。
θ
θ2 θ1 θ2
θ1
O x O x
設 L 1 ， L 2 為 平 面 上 之 兩 相 交 的 直 線 ， L 1 ： a 1 x+b 1 y+c 1 =0 ， L 2 ： a 2 x+b 2 y+c 2 =0
其 中 L 1 、 L 2 的 斜 率 m 1 ⋅m 2 ≠−1 ， L 1 、 L 2 的 斜 角 分 別 是 的 1 、 、 2
~1−4−9~

10. 根 據 上 圖 ， 可 知 根 =θ 1 −θ 2 或 或 =θ 2 −θ 2 ， 假 設 ， 為 L 1 、 L 2 的 銳 夾 角
⇒tanθ=|tan(θ 1 −θ 2 )|=||=|| 。
結 論 ： 設 兩 直 線 L 1 、 L 2 的 斜 率 為 m 1 、 m 2 ， 若 m 1 ⋅m 2 ≠−1 ， 其 交 角 ， ，
可 由 tanθ= 求 得 ， 令 一 交 角 為 求 得 ， 。
7. 設直線 L1：2x−3y−4=0，L2：3x+y−6=0 之一交角之，求 sinθ=？
Ans：
8. 求過點(1,2)作一直線與 L：成 30°之交角，則此直線之方程式為何？ Ans：
y−2= (x−1)，x=1
~1−4−10~

11. 13. 二 直 線 L 1 ： x−2=0 ， L 2 ： x=−2y+6 所 夾 鈍 角 為 所 ， 則 cosθ= ？
Ans：
14. 設 直 線 L 通 過 點 P(0,−1) 且 與 另 一 直 線 L / ： 3x+4y−12=0 的 交 角 為
45 ° ，求直線 L 的方程式。 Ans：y+1= ，y+1=−7x
15. 給定直線 L 1 ：2x+y−8=0，L 2 ：x+2y+6=0，求通過(0,0)且與 L 1 、L 2 成
等角之直線方程式。Ans：y=±x
16. 與直線 L 1 ：3x−4y−7=0，L 2 ：12x−5y+6=0 成等角，且過點(4,5)的直
線 方 程 式 。
Ans：9x−7y−1=0 或 7x+9y−73=0
R
P
(3) 點 到 直 線 離 的 ： 距
Q
| ax 0 + by 0 + c |
一 定 點 P(x 0 ,y 0 ) 到 一 直 線 L ： ax+by+c=0 之 距 離 為 . n 2 。
a + b2
證 明 ： 過 P 點 作 垂 線 交 L 於 Q ， 則 為 P 點 到 L 的 距 離 。
今 在 L 上 任 取 一 點 R(x,y) ， 則 向 量 在 L 的 法 向 量 上
的 正 射 影 之 長 度 為 。
現 在 來 計 算 向 量 在 L 的 法 向 量 上 的 正 射 影 之 長 度
=(x−x 0 ,y−y 0 ) ， 考 慮 L 的 法 向 量 =(a,b)
則 在 L 的 法 向 量 上 的 正 射 影 之 長 度
=|()|=||⋅||
==
| ax 0 + by 0 + c |
=
a2 + b2
例 如 ： 平 面 上 一 點 P(2,3) 到 直 線 4x−3y+6=0 的 距 離 。
d= = =1
~1−4−11~

12. 9. 平面上二平行線 L1：ax+by+c1=0，L2：ax+by+c2=0，
| c1 − c 2 |
試證明此二直線的距離為 。
a2 + b2
10. 求過點(0,2)與二定點 A(4,6)、B(8,3)等距之直線方程式為何？
Ans：y=或 y=
~1−4−12~

13. 11. 設 L1：4x−3y−65=0，L2：3x+4y−5=0，L3：7x−24y+55=0，而 L1 與 L2 交於
C 點，L2 與 L3 交於 A 點，L3 與 L1 交於 B 點，求
(1)∠B 內角平分線。
(2)∆ABC 的內心坐標。
(3)∆ABC 的內切圓半徑。 Ans：(1)9x−13y−90=0 (2) (10,0) (3)5
[解法]：
(1)設 P(x,y)為為B 平分線上的任意點
⇒ d(P,L)=d(P,N) ⇔ = ⇔ 5|4x−3y−65|=|7x−24y+55|
⇒9x−13y−90=0 或 13x+9y−375=0(由上圖中，由B 內角平分線的斜率為正
數)
⇒∠B 內角平分線為 9x−13y−90=0。
(2)按照(1)的方法去找的A 的內角平分線
= ⇒∠A 的內角平分線為 2x+11y−20=0
內心 I 為為A、、B 內角平分線的交點(10,0)
(3) ∆ABC 的內切圓半徑=I 點到直線 L 的距離==5。
y
B
N
A
O I
x
M L
C
17. 設 4x−3y+6=0 ， 則 求 之 最 小 值 為 何 ？
Ans：1
 x = −2 + 5t
18. 求 點 P(2,−3) 至 直 線 L ：  y = 2 − 3t ， t 為 實 數 知 距 離 為 何 ？

Ans：
~1−4−13~

14. 19. 一 動 點 P(x,y) 至 直 線 L 1 ： 3x+4y−2=0 的 距 離 為 至 直 線 L 2 ：
4x+3y−5=0 的 距 離 之 2 倍 ， 求 P(x,y) 的 軌 跡 方 程 式 。 Ans ：
11x+10y−12=0
20. 求兩平行線 3x−4y+2=0 與與6x+8y−5=0 間之距離。 Ans：
21. 求 與 直 線 x−y+1=0 平 行 ， 且 距 離 為 的 直 線 方 程 式 。
Ans：x−y−1=0 或 x−y+3=0
22. 兩 直 線 3x+4y−7=0 及 4x+3y+2=0 所 交 的 鈍 角 平 分 線 方 程 式 。
Ans：x−y+9=0
23. 直線 L 過點 A(1,1)，且與點 B(−5,4)之距離為３，求 L 的方程式。
Ans：y=1 或 4x+3y−7=0
綜合練習
(1) 在坐標平面上，A(150,200)、B(146,203)、C(−4,3)、O(0,0)，則下列敘述何者為
真？
(A)四邊形 ABCO 是一個平行四邊形。
(B)四邊形 ABCO 是一個長方形。
(C)四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直。
(D)四邊形 ABCO 的對角線長度大於 251。
(E)四邊形 ABCO 的面積為 1250。 (90 學科)
(2) 等腰梯形 ABCD，//， =(12,−1)， =(−2,5)，求內積，=？
(3) 坐標平面上 A(2,−1)、B(3,2)，若，，且//，則 C 之坐標為何？
(4) 設三點 P(8,9)、Q(−2,4)、R(1,8)，則在上的正射影為何？P 點在直線 QR 的正射
影點為何？
(5) 設、均非零向量，若在方向的投影量為||的 3 倍，而在方向的投影量為||的倍，
則與之夾角為何？
~1−4−14~

15. (6) 設 A(a,1)、B(2,b)與 C(3,4)為坐標平面上三點，而 O 為原點。若向量與在向量上
的正射影相同，則 a 與 b 的滿足的關係式為何？
(7) 已知二定點 A(4,0)，B(0,−3)與一動點 P(cosθ ,sinθ )，0≤θ ≤2π ，
則內積則之最大值為之最大值為 ，最小值為 。
(8) 試求+ 之最小值。
(9) 直線 L 過點(2,−3)且與向量=(1,4)夾 30°角，則 L 之斜率為何？
(10) 直線 L 過(1,2)且與 4x+y−8=0 之夾角為，則 L 的方程式為何？
(11) 設直線 L：y=mx 平分直線 L1：y=m1x 與 L2：y=m2x 所成的角，
試證明(m−m1)(1+mm2)+(m−m2)(1+mm2)=0
(12) 一直線 L 通過點(9,−6)且與點(4,1)相距 5，則 L 之方程式為何？
(13) P 是一個動點，0≤θ ≤π ，點 P(cosθ ,sinθ )至直線之最大距離為何？最小距離為
何？
(14) 一平行四邊形 ABCD，其中三頂點 A(3,1)、B(−2,2)、C(0,−1)，一直線 L 通過
P(−2,−3)且平分平行四邊形 ABCD 的面積，則 L 的方程式為何？
進階問題
(15) 若||=4，||=2，||=3 且+2−2=，則在上的正射影之長度為 。
(16) 設 d1，d2 分別為表原點 O 至 L1：x secθ +y cscθ =a，L2：x cosθ −y sinθ =a
cos2θ 的距離，試證：4d12+d22=a2。
(17) 設直線 L 過原點(0,0)且與兩直線 L1：2x+y−8=0，L2：x+2y+6=0 形成一個等腰
三角形，求直線 L 的方程式。
~1−4−15~

16. (18) 據說，有一位海盜將他的寶藏埋在某小島的一個地方。有一天海盜帶著他的兒
子到寶藏附近的一顆樹 P 處，他指著另一顆大樹 Q 及附近另一個大石頭 R，
對兒子說，以對PQR 的兩邊與為邊，向外各作一個矩形 PRAB 與 QRCD，使
得=2，=2，我的寶藏就埋在的中點的地底下。數十年後，海盜與兒子都去世
了，不過藏寶圖依然存在，海盜的孫子來到小島，不過大石頭 R 已經不見
了，請問還可以找到寶藏嗎？如何找？
綜合練習解答
1. (A)(B)(E)
2. −87
3. (,)
4. (6,8)、(4,12)
5. 45° [提示：對方向的投影量為||cosθ ，其中，為與之夾角]
6. 3a−4b=2
7. 6，，4
8. 9[提示：[+](cos2θ+sin2θ)≥(2+1)2]
9.
10. 3x+5y−13=0 或 5x−3y+1=0
11. [提示：設 L 與 L1 的銳夾角的1，L 與 L2 的銳夾角的2，cosθ1=cosθ2，
再化簡即可得]
~1−4−16~

17. 12. y+6=(x−9)
13. ，0
14. 6x−7y−9=0
15.
16. 略
17. y=±x，y=x，y=x
[提示：設直線 L 的斜率為 m，若直線 L 與 L1、L2 的交角相等，則
1
m+
| 2 |=| m + 2 |
1 1 − 2m m=±1。若直線 L 與 L1 的交角與 L1、 2 的夾角相
L
1− m
2
m+2 3
| |=
等 1 − 2m 4 m m=， 若直線 L 與 L2 的交角與 L1、L2 的夾角相等
1
m+
| 2 |= 3 C
的 1 4 m m=]
1− m
2
D A
M
B
R
Q P
~1−4−17~

18. 18. [提示：如圖，PRAB、QRCD 都是矩形
且=2，=2，M 為的中點，
我們將相關的點坐標化，令 Q(0,0),P(a,0),R(x,y)，
⇒=(x,y),=(x−a,y)=(−2y,2x),
=(2y,2a−2x)，因此=+=(a+2y,2a−2x)
，即 B(a+2y,2a−2x)，D(−2y,2x)，所以中點 M(,a)，
換句話說，M 的位置不受 R 的位置影響，
−1
且=a 且且PQM=tan 2，即寶藏的位置在
−1
距 Q 點 a 的距離與夾角 tan 2(約 63.5°)方向的地方。
~1−4−18~