1. §3−4 和 差 與 積 互 化
~3−4−1~

2. (甲)公式推導
(1)積化為和差
由正餘弦的和角公式：
sin(α+β)=sinα cosβ +cosα sinβ ……
sin(α−β)=sinα cosβ −cosα sinβ ……
cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ 
cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ…….
可得出：
 + ⇒ 2⋅sinα ⋅cosβ = sin(α+β)+sin(α−β)
 − ⇒ 2⋅cosα ⋅sinβ = sin(α+β)−sin(α−β)
 + ⇒ 2⋅cosα ⋅cosβ = cos(α−β)+cos(α+β)
 − ⇒ 2sinα ⋅sinβ = cos(α−β)−cos(α+β)
我們將其整理成：
(a) 2⋅ sinα ⋅ cosβ = sin(α +β )+sin(α−β )
(b) 2⋅ cosα ⋅ sinβ = sin(α +β )− sin(α−β )
(c) 2⋅ cosα ⋅ cosβ = cos(α−β )+cos(α +β )
(d) 2sinα ⋅ sinβ = cos(α−β )− cos(α +β )
例如：
將下列三角函數的乘積，化成三角函數的和差
sin82.5 ° cos37.5 ° = (sin120 ° +sin45 ° )= [sin120 ° −sin(−45 ° )]
cos82.5 ° sin37.5 ° =( sin120 ° −sin45 ° )= [sin120 ° +sin(−45 ° )]
cos 與 sin 相乘如果 sinθ的角度比 cos 的角度大，適合用公式(a)
cos 與 sin 相乘如果 sinθ的角度比 cos 的角度小，適合用公式(b)
cos23 ° cos37 ° =[cos60 ° +cos(−14 ° )]=( cos60 ° +cos14 ° )
sin23 ° sin37 ° =[cos(−14 ° )−cos60 ° ]=[cos14 ° −cos60 ° ]
cos 與 cos 相乘 一定是 cos+cos 角度兩個相加、兩個相減。
sin 與 sin 相乘 一定是 cos−cos 角度(兩個相減)減去(兩個相加)。
(2)和差化為積
~3−4−2~

3. 想法：任何兩角 x,y 一定可以找到二數一,β使得，此時使=、、=，代入積化為和
的關係式中，可得
(a)sinx+siny=2sincos
(b)sinx− siny=2cossin
(c)cosx+cosy=2coscos
(d)cosx− cosy=− 2sinsin (注 意 此 式 中 有 負 號 )
例 如 ：
sin110 +sin10 =2sin60 cos50 °
° ° °
sin110 ° −sin10 ° =2cos60 ° sin50 °
cos110 ° +cos10 ° =2cos60 ° cos50 °
cos110 ° −cos10 ° = −2sin60 ° sin50 °
上 面 的 公 式 ， 角 度 的 原 則 都 是 ( 前 + 後 )/2 ， ( 前 前 後 )/2 。
1. 化簡下列各式：
(1)cos65°⋅sin110°+cos25°⋅sin20° (2)sin37.5°⋅sin7.5° (3)sin20°sin40°sin80°
Ans：(1) (2) (3)
~3−4−3~

4. 2. 化簡下列兩式：
(1)sin10°−sin110°+sin130° (2) sin2θ +sin2()+sin2()
Ans：(1)0 (2)
(cos 3θ − cos θ )(sin 8θ + sin 2θ )
3. 化簡 (sin 5θ − sin θ )(cos 6θ − cos 4θ ) 。Ans：1
1. 化 簡 下 列 各 式 ：
° ° °
(1) sin100 sin140 sin160
(2)cos100 cos120 cos140 cos160 ° cos180 °
° ° °
(3) sin100 ° sin(−160 ° )+cos200 ° cos(−280 ° )
(4) cos55 ° cos65 ° +cos65 ° cos175 ° +cos175 ° cos55 °
Ans：(1) (2) (3) (4)
2. 化 簡 下 列 各 式 ：
(1)cos80 +cos40 −cos20 (2)cos θ+cos ()+cos ()
° ° ° 2 2 2
(3)sin5 ° +sin125 ° −sin115 ° (4)cos10 ° +cos110 ° +cos130 °
Ans：(1)0 (2) (3)0 (4)0
3. 求 之值。 Ans：
4. 設 sin(x+y)=，sin(x−y)=，求 cosx siny 之值。Ans：
~3−4−4~

5. 5. θ=，求之值。Ans：+1
4. 證明：cos+cos+cos=。
5. 求 cos cos cos 之值。 Ans：
數 字 角 連 乘 與 連 加 問 題
(1) 遇 到 sinθ,cosθ 之 連 乘 積 問 題 ：
 正 統 解 法 正 積 化 和 差 解 題
 特 殊 解 法 特 遇 cosθ 連 乘 積 ， 當 角 度 成 等 比 ， 乘 除 以 最 小 角 的 正 弦
解 題
(2) 遇 到 sinθ,cosθ 之 連 加 問 題 ：
 正 統 解 法 正 和 差 化 積 解 題
 特 殊 解 法 特 當 角 度 成 等 差 ， 公 差 為 d 時 ， 乘 以 2sin 解 之
~3−4−5~

6. 6. 在在ABC 中，試證：sinA+sinB+sinC=4cos⋅cos⋅cos
7. 已知 cosx+cosy=1，sinx+siny=，試求下列各式的值：
(1)tan (2)tan(x+y) (3)cos(x+y) (4)cos(x−y)
Ans：(1) (2) (3) (4)
2π 4π 6π 8π 10π
6. 求 cos 11 + cos 11 + cos 11 + cos 11 + cos 11 之值。 Ans：
7. 求 cos20° cos40° cos80° Ans：
8. 設設A,∠B,∠C 為為ABC 的三內角，若 sinC= ，試問，ABC 的形狀
為何？ Ans：直角三角形
9. 在 在 ABC 中 ， 試 證 明 下 列 各 等 式 ：
(1)cosA+cosB+cosC=1+4sin⋅sin⋅sin 。
(2)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA⋅sinB⋅sinC。
~3−4−6~

7. 10. 設 x+y=k( 定 值 ) ， 0<x< ， 0<y<
(1) 試 求 cosx⋅cosy 的 最 大 值 。
(2)試求 cosx+cosy 的最大值。Ans：(1)cos 2 (2)2cos
綜合練習
(1) 求 =？
(2) 化簡下列各式：
(a)2coscos+cos+cos (b)sin20°cos70°+sin10°sin50°
(c)sin210°+cos220°−sin10°cos20° (d)cos20°−cos40°−cos80°
(3) 令令= ，求 的值。
(4) 函數 f(x)= (cos10x−cos12x)，x 為實數。則下列選項那些是正確的？
(A)f(x)=sin11xsinx 恆成立 (B)|f(x)|≤1 (C)f(x)的最大值是 1 (D)f(x)的最小值是
的1 (E)f(x)=0 有無窮多解。 (91 學科)
(5) 設 0≤x≤，求下列各式之最大值與最小值：
(a)y=sinx cos(x−) (b)y=cosx cos(x+)
(6) ∆ABC 中，設中B=60°，求 之值。
(7) 求 tan6°tan42°tan66°tan78°之值。
(8) 試證：sin210°+cos240°+sin10°cos40°=。
(9) 設 0≤x<π ，解 sinx+sin2x+sin3x=0。
(10) 在在ABC 中，已知 sinBsinC=cos2，試問這三角形的形狀為何？
(11) 已知 cosα+cosβ=且 sinα−sinβ= ，求 cos(α−β)與 cos(α+β)的值。
(12) ∆ABC 為銳角三角形，
試證：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
~3−4−7~

8. (13) ∆ABC 中，中A=60°
(a)求 sinB+sinC 之範圍。(b)求 sinB⋅sinC 之範圍。
進階問題
Y
(14) 過銳角過XOY 內部一點 P 作 OX , OY 之垂線，垂足為 A、B，
PA + PB θ B
若若XOY=θ ，試證： = tan 。
OA + OB 2 P
O A X
(15) 設 x+y=，求下列各式的最大值與最小值。
(a)sin2x−sin2y (b)sinxsiny
(16) 設<x<，解 cos2x+cos4x+cos6x=3。
(17) 設 0≤x1,x2,x3,x4≤π ，試證：
sin x1 + sin x 2 x + x2
(a) ≤ sin 1 (何時等號成立？)
2 2
sin x1 + sin x 2 + sin x3 + sin x 4 x + x 2 + x3 + x 4
(b) ≤ sin 1 (何時等號成立？)
4 4
n
θ 3θ
(18) 求 ∑ sin 2 k ⋅ cos 2 k =？
k =1
綜合練習解答
( 1 ) [提示：化 2sin80 ° =sin80 ° +sin80 ° ]
( 2 ) (a)0 (b) (c) (d)0
(3)
( 4 ) (A)(B)(D)(E) [ 提 示 ： 由 和 差 化 積 的 公 式 ， 可 得 f(x)= (cos10x−cos12x)=
sin11xsinx ， 因 為 |sin11x|≤1 且 |sinx|≤1 ， 所 以 |f(x)|≤1 ， 當 f(x)=1 時
sin11xsinx=1，但是並沒有 x 滿足這個結果，所以 f(x)的最大值不是 1，當 x=
時，f()=−1，所以 f(x)的最小值是的1]
( 5 ) (a)最大值，最小值 0 。(b)最大值，最小值 。
~3−4−8~

9. (6)
A+C A−C A−C
2 sin
cos + sin B 2 sin 60 ° cos + sin 60 °
2 2 2
[提示：原式= A+C A−C = A−C =]
2 cos cos + cos B 2 cos 60 ° cos + cos 60 °
2 2 2
( 7 ) 1[原式= = ]
( 8 ) sin 2 10 ° +cos 2 40 ° +sin10 ° cos40 ° =++sin10 ° cos40 °
=1−(cos20 ° −cos80 ° )+sin10 ° cos40 ° =1−(2sin50 ° sin30 ° )+(sin50 ° −sin30 ° )=
( 9 ) x=0 或 或
[提示：2sin2xcosx+sin2x=0 ⇒sin2x(2cosx+1)=0，sin2x=0 或 cosx=]
( 1 0 ) 等 腰 三 角 形 [ 提 示 ： sinBsinC−cos 2 =[cos (B−C)−cos(B+C)]=[cos(B−C)
+cosA]− =0]
( 1 1 ) cos(α−β)= ， cos(α+β)=
[ 提 示 ： cosα+cosβ= …….(A) ， sinα−sinβ= ……..(B) ，
(A) 2 +(B) 2 ⇒2+2cos(α+β)= ，
由 (A)2coscos = ， 由 (B)2sincos = ， 將 兩 式
相除，得 tan，再求 cos(α−β)=]
(12)[ 證 明 ：
sinA+sinB>cosA+cosB 、 sinB+sinC>cosB+cosC 、 sinC+sinA>cosC+cosA 。
sinA+sinB−(cosA+cosB)=2sincos−2coscos=2cos (sin− cos)
=2cos(cos−sin)>0，0<<]
( 1 3 ) (a)< sinB+sinC≤ (b)0<sinB⋅sinC≤
( 1 4 ) [ 提 示 ： 設 提 POA=α ， ， POB=β ， PA=OP⋅sinα ， PB=OP⋅sinβ
α+β α −β
2 sin cos
2 2
OA=OP⋅cosα，OB=OP⋅cosβ = = α +β α − β =tan=tan。]
2 cos cos
2 2
( 1 5 ) (a)最大值=，最小值= − (b) 最大值=，最小值= −
( 1 6 ) 0,π [提示：因為提1≤cosθ ≤1，所以 cos2x=1 且 cos 4 x=1 且 cos6x=1]
~3−4−9~

10. sin x1 + sin x 2 x + x2 x − x2 x + x2
( 1 7 ) (a) = sin 1 cos 1 ≤ sin 1
2 2 2 2
sin x1 + sin x 2 + sin x3 + sin x 4
(b) =
4
sin x1 + sin x 2 sin x3 + sin x 4 x + x2 x + x4
+ sin( 1 ) + sin( 3 )
2 2 ≤ 2 2 ≤
2 2
x1 + x 2 x3 + x 4
+
sin 2 2
2
(a)等號成立 x 1 =x 2 (b) 等號成立 x 1 =x 2 =x 3 =x 4
(18) (sin2θ −sin)
n
θ 3θ n
θ θ
[提示： ∑ sin 2 k ⋅ cos 2 k = ∑ (sin 2 k − 2 − sin 2 k −1 ) =(sin2θ −sin)]
k =1 k =1
~3−4−10~