1. 第1章 多項式函數的極限與導數 3
第 1章 多項式函數的極限與導數
微積分是一把萬能的鑰匙 它打開了幾何學以至於整個
，
自然界的秘密 貝克萊主教
．
一、教材摘要
本章首先介紹函數及其圖形的概念 接著介紹函數在某一點的極限 及利
， ，
用這種極限的概念來介紹函數的導數 最後再介紹微分的基本公式 全章共分
， ．
四節 內容重點如下 :
，
1-1 函數及其圖形
首先以實例引進函數及說明函數的概念 接著複習一次函數與二次函數的
，
圖形及介紹一些特殊函數的圖形 最後介紹函數圖形的特徵
， ．
1-2 極限的概念
對於函數的極限 我們利用數據法與圖形法 兩種直觀的方法來說明極
， ，
限 接著介紹函數極限的求法及提出函數極限的四則運算公式 進而推導出多
． ，
項式函數在 x = a 的極限值等於在 x = a 的函數值 最後再引進連續函數的概念
， ．
1-3 割線與切線
利用極限的概念介紹一般曲線之切線的定義 再利用極限的方法求過曲線
，
上一點的切線方程式 再以極限的概念重新驗證第四冊所學過之拋物線的光學
，
性質 最後 也利用極限的概念介紹物理學中的平均速度與瞬時速度
． ， ．
1-4 導數與切線的斜率
首先利用切線的斜率介紹導數的定義 接著由各個點的導數引進導函數的
，
概念 接著 推導求導函數的公式並進而導出多項式函數的導函數公式 最
． ， ．
後 再介紹導數在運動學上的意義
， ．

2. 4 第 1 章 多項式函數的極限與導數
二、教學目標與時數
建議授
教 學 目 標
課時數
1-1 函數及其圖形
 了解函數的意義 並能判別兩變量間的關係是否為函數
， 3
關係．
 了解函數圖形的意義 並能判別坐標平面上的圖形是否
，
為函數圖形．
1-2 極限的概念
 了解函數極限的意義． 6
 了解函數極限的四則運算性質 並能利用此性質求函數
，
的極限．
 了解多項式函數在 x = a 的極限值等於在 x = a 的函數值．
 了解連續函數的意義 並知道多項式函數都是連續函數
， ．
1-3 割線與切線
 了解曲線之切線的定義． 4
 了解過曲線上一點之切線的斜率與過此點割線斜率之間
的關係．
 能利用極限的概念求出過二次或三次函數圖形上一點的
切線方程式．
 了解拋物線的光學性質．
 了解平均速度與瞬時速度的關係．
1-4 導數與切線的斜率
 了解導數的定義． 8
 能知道函數的和 差 積及 k 次方的微分法則 並能利
、 、 ，
用這些法則求函數的導函數．
 能求多項式函數的導函數．
 能求過多項式函數圖形上一點或過圖形外一點的切線方
程式．
 了解導數在運動學上的意義．

3. 第1章 多項式函數的極限與導數 5
三、教材地位分析
已習教材 本章教材 未習教材
函數 函數及其圖形
物理學中瞬時
速度的概念
函數的極限
多項式的運算
直線的斜率
割線與切線
錐線的切線
物理學中瞬時 導 數 導數的應用
加速度的概念
多項式函數 連續函數 可微函數
微分公式 定積分

4. 6 第 1 章 多項式函數的極限與導數
四、教學方法與教學診所
1-1 函數及其圖形
 教學時要清楚的介紹函數的對應關係 尤其要強調「都有一個而且只有一
，
個」的重要性．
 定義域及值域的概念應解說清楚．
 課文中介紹的幾個特殊函數 不宜再作延伸
， ．
 判別坐標平面上的圖形是否為函數圖形的方法要解說清楚．
1-2 極限的概念
 「當我們使用 x 趨近 2 這樣的詞句時 就已經表示 x 2 了」 這一點在教學
， ，
時要特別強調 以免學生誤以為「x 趨近 2」就是「令 x = 2」
， ．
 使用數值法解說極限時 務必把大於 2 及小於 2 的 x 值都拿來講解 以增加
， ，
學生對兩側趨近有更深刻的體會．
 使用圖形法解說極限時 若能使用直尺來示範 A 點逐漸向 (2 , 0) 靠近時 就
， ，
會帶動 B 點向 C 點靠近 則應該可以增加學生對極限的了解 但別忘了「兩
， ．
側趨近」 ．
 極限值不存在的例子有一個例 2 及隨堂練習就夠了 不要在極限值不存在的
，
函數上大作文章．
 本節教材的目的 主要是為講解下一節的導數概念 請不要引進太多的極限
， ，
問題．
 應避免 lim f x 或 lim f x 等類型的極限問題．
x x –
 連續的概念宜用函數圖形是否連續不斷的直觀方向來解說 不宜太抽象化
， ，
否則難度太高．
 教學時千萬不要使用 – 的方法解說函數的極限．
1-3 割線與切線
 宜請學生先複習一下第四冊圓錐曲線的切線 並強調當時是利用重根的代數
，
概念求得切線方程式 但這個方法是不能推廣到一般曲線的
， ．
 介紹切線的定義時 盡量用圖示法解說「由割線逼近切線」的概念
， ．

5. 第1章 多項式函數的極限與導數 7
 教學時應強調切線只是在切點附近和曲線相切於一點 但也有可能和曲線另
，
有其他的交點．
 瞬時速度的概念雖然在基礎物理已經提到 但這裡要特別強化極限的概念
， ．
1-4 導數與切線的斜率
 介紹導數的定義時 應配合切線與瞬時速度的概念 以加深印象
， ， ．
 導數不存在的例子有一個例 3 就夠了 不要在導數不存在的函數上著墨太多
， ．
 介紹導函數時 應強調定義域中的每一個數 a 與其導數 f ' a 所成的對應關
，
係 構成了一個函數
， ．
 介紹六個導函數的公式時 應依序逐一說明 讓學生能了解它們之間的關連
， ，
性 進度不宜太快
， ．
五、補充例題
1-1 函數及其圖形
1
求下列各函數的定義域與值域 :
2 1
f x = 7 + 6x – x ． f x =x+ ．
x
解： 由不等式
2 2
7 + 6x – x 0 x – 6x – 7 0 x–7 x+1 0
的解 – 1 x 7 得知 f x 的定義域為
，
x – 1 x 7, x ．
因為
2 2
f x = 7 + 6x – x = – x–3 + 16
，
且–1 x 7 所以函數值的範圍為
，
0 f x 4
．
故 f x 的值域為 y 0 ． y 4, y
因為分母不可為零 所以 f x 的定義域為
，
x x 0, x ．
1 2
令 y = x + ， 則 xy = x + 1 即
，
x
2
x – xy + 1 = 0
．

6. 8 第 1 章 多項式函數的極限與導數
因為上面這個 x 的一元二次方程式有實根 所以判別式
， 0 即
，
2 2
–y –4 0 y –4 0
，
解得 y 2或y –2
．
故 f x 的值域為 y y 2或y – 2, y ．
1-2 極限的概念
1
100
x–1 –1
求 lim 的值．
x 2 x–2
解 利用二項式定理 得
： ，
100 100
x–1 –1 x–2 +1 –1
lim = lim
x 2 x–2 x 2 x–2
100 100 100 99 100 100
C0 x – 2 + C1 x – 2 + … + C 99 x – 2 + C 100 – 1
= lim
x 2 x–2
100 99 100 98 100
= lim (C 0 x–2 + C1 x – 2 + … + C 99 )
x 2
100
= C 99 = 100
．
2
2
ax + bx – 1
設 a b 為實數 且 lim
， ， 2 = 1 求 a b 的值
， ， ．
x –1 x –x–2
2
解： 因為 lim ax + bx – 1 = 1 且 lim ( 2
2 ， x – x – 2) = 0 所以
，
x –1 x –x–2 x –1
lim (ax 2 + bx – 1) = a – b – 1 = 0 b = a – 1
．
x –1
2
代入 ax + bx – 1 得
2 2
ax + bx – 1 = ax + ax – x – 1 = ax x + 1 – x + 1 = x + 1 ax – 1．
因此
2
ax + bx – 1 x + 1 ax – 1 ax – 1 – a – 1
1 = lim = lim = lim =
x –1
2
x –x–2 x –1 x+1 x–2 x –1 x – 2 –3 ，
解得 a = 2 b = 1
， ．

7. 第1章 多項式函數的極限與導數 9
1-3 割線與切線
1
設在一個培養細菌的容器中 經 t 小時後細菌個數 N t （萬個）為
，
2
N t = t – 4t + 5 0 t 6．
求 t = 1 到 t = 3 時 細菌個數的平均變化率
， ．
求 t = 1 時 細菌個數的瞬時變化率
， ．
解： 時刻 t = 1 到 t = 3 之間的平均變化率為
N 3 –N 1 2–2
= = 0（萬個／小時）．
3–1 2
時刻 t = 1 的瞬時變化率為
2
N t –N 1 t – 4t + 3 t–1 t–3
lim = lim = lim
t 1 t–1 t 1 t–1 t 1 t–1
= lim t – 3 = – 2（萬個／小時） ．
t 1
2
科學家將接收無線電波的碟型天線作成拋物面形狀，
可以將遠方傳來的微弱電磁波匯聚在焦點 使訊號得
，
以加強 已知一碟型天線的直徑是 8 公尺 縱深是 1
． 、
公尺 求訊號接收器應置於離碟型天線的中心點多少
，
公尺處？
圖片出處 2008 年 5 月 13 日
：
取自 http://goods.ruten.com.tw/item/show? 11070116952306
2
解 設碟型天線是由拋物線 y = 4cx c > 0 繞 x 軸旋轉
： ， ，
設計而成．
2
由題意知 y = 4cx 過點 (1 , 4) 因此
， ．
2
4 = 4c 1 c = 4 ．
得拋物線的焦距為 4 焦點 F 的坐標為 (4 , 0)
， ．
故接收器應置於離中心點 4 公尺處．

8. 10 第 1 章 多項式函數的極限與導數
1-4 導數與切線的斜率
1
3 2 f' x – f' 3
設 f x = x – 2x + 5x – 1 求 lim
， 的值．
x 3 x–3
解 因為
：
2
f ' x = 3x – 4x + 5 f '' x = 6x – 4
， ，
所以
f' x – f' 3
lim = f '' 3 = 6 3 – 4 = 14
．
x 3 x–3
2
2 3
已知兩曲線 y = x + ax + b 與 y = – x + c 均通過點 A 1 , – 2， 且在 A 點處
兩曲線有共同切線 L 求實數 a , b , c 的值與切線 L 的方程式
， ．
2 3
解 因為 A 1 , – 2 在兩曲線 f x = x + ax + b 與 g x = – x + c 上 所以
： ，
–2=1+a+b a+b=–3
–2=–1+c c=–1 ．
2
因 為 f ' x = 2x + a g' x = – 3x ， 所 以 以 A 點 為 切 點 的 切 線 斜 率 分 別 為
，
f ' 1 = 2 + a 與 g' 1 = – 3 又因為在 A 點處兩曲線有共同的切線 L 所以
． ，
2+a=–3 a=–5
，
解得 a = – 5 b = 2 c = – 1
， ， ．
由於切線 L 的斜率為 g' 1 = – 3 且過點 A 1 , – 2， 於是 L 的方程式為
，
L : 3x + y = 1
．
六、補充教材
隱微分法
我們知道 函數 f x 在 x = a 處的導數 f ' a 表示 y = f x 的圖形以點 a , f a
，
為切點的切線的斜率 討論曲線的切線對於曲線的探討是非常重要的 我們除
． ，
了要知道如何求函數圖形的切線之外 還應該了解如何求一般曲線的切線
， ．

9. 第1章 多項式函數的極限與導數 11
一般曲線的方程式是 F x , y = 0 之形式 例如 : 若令
，
2 2
x y
F x,y = 2 + 2 –1
，
a b
則 F x , y = 0 的圖形是一橢圓 由於橢圓並不是一個函數圖形 所以 要計算
． ， ，
橢圓的切線的斜率 我們不能直接引用前面的方法 而需要略作變形 方法是
， ， ．
2 2
x y
這樣的 : 設 (x0 , y0) 是橢圓 2 + 2 = 1 上的一點 我們要計算過 (x0 , y0) 而與
，
a b
此橢圓相切的直線的斜率 如果 y0 > 0 則得
． ，
b 2 2
y0 = a – x0 ，
a
b 2 2
於是 (x0 , y0) 是函數 f x =
， a – x 的圖形上的一點 而且過 (x0 , y0) 而與橢
，
a
2 2
x y
圓 2 + 2 = 1 相切的直線就是 y = f x 的圖形上以 (x0 , y0) 為切點的切線 因 ．
a b
此 此切線的斜率為
，
2
b – x0 b x
f '(x0) = = – 2 0；
a 2 2 a y0
a – x0
若 y0 < 0 則得
，
b 2 2
y0 = – a – x0 ，
a
b 2 2
於是 (x0 , y0) 是函數 g x = –
， a – x 的圖形上的一點 而且過 (x0 , y0) 而與
，
a
2 2
x y
橢圓 2 + 2 = 1 相切的直線就是 y = g x 的圖形上以 (x0 , y0) 為切點的切線 ．
a b
因此 此切線的斜率為
，
2
b – x0 b x
g'(x0) = – = – 2 0．
a 2 2 a y
a – x0 0
根據前面的方法 我們知道 當我們要求曲線 F x , y = 0 以點 (x0 , y0) 為切
， ，
點的切線的斜率時 只要我們能夠找出一個函數 f x， 使得
，
y0 = f (x0，
)
而且當 x 很接近 x0 時 都有
，
F x, f x =0
，
那麼 曲線 F x , y = 0 以點 (
， x0 , y0) 為切點的切線的斜率就是 f '(x0． 可惜 許多
) ，
曲 線 的 方 程 式 F x , y = 0 都 無 法 很 快 地 求 出 函 數 f x， 例 如 : 設 F x , y

10. 12 第 1 章 多項式函數的極限與導數
3 3
= x + y – 2x + 3y – 3 若函數 f x 滿足 F x , f x = 0 則要求得 f x， 必須解
， ，
3 3
f x + 3 f x + (x – 2x – 3) = 0
，
可是 這樣的方程式並不容易求得解 f x．
，
雖然有些方程式 F x , y = 0 不容易求得滿足 F x , f x = 0 的函數 f x， 可是
這並不表示我們無法求得切線的斜率 下面我們舉例來說明這種情形中切線斜
．
率的求法．
1
3 3
試求曲線 x + y – 2x + 3y – 3 = 0 以點 (1 , 1) 為切點的切線方程式．
3 3
解 設 F x , y = x + y – 2x + 3y – 3 因為點 (1 , 1)在曲線 F x , y = 0 上 我們
： ， ，
假設函數 f x 滿足
f 1 =1，
3 3
x + f x – 2x + 3 f x – 3 = 0
，
3 3
在上面第二式的左端中 函數 x + f x – 2x + 3 f x – 3 是常數函數 0 因
， ，
此 它的導函數也是常數函數 0 因此 可得
， ， ，
2 2
3x + 3 f x f' x – 2 + 3f' x = 0
，
於是 可得
，
2
2 – 3x
f' x =
3 f x + 3，
2
因此 以點 (1 , 1) 為切點的切線的斜率為
，
2
2–3 1 1
f' 1 = 2 =– ，
3 f 1 +3 6
於是 所求的切線方程式為 x + 6y = 7
， ．
隨堂練習
3
試求曲線 y + y – x – 1 = 0 上以點 (9 , 2) 為切點的切線方程式．
3 3
在例 1 中 我們將方程式 x + y – 2x + 3y – 3 = 0 中的 y 以 f x 代入 將所
， ，
得的方程式兩邊微分 而得
，
2 2
3x + 3 f x
f' x – 2 + 3f' x = 0
，
如果我們以 y 代替 f x， y' 代替 f ' x， 則上式變成
2 2
3x + 3y y' – 2 + 3y' = 0
，
3 3 2 2
由 x + y – 2x + 3y – 3 = 0 得出 3x + 3y y' – 2 + 3y' = 0 乃是將 y 看成 x 的函數
， ，
然後兩邊微分所得的 由於「將 y 看成 x 的函數」時 這個函數是隱藏在方程
． ，

11. 第1章 多項式函數的極限與導數 13
3 3 3 3
式 x + y – 2x + 3y – 3 = 0 之 中 所 以 由 x + y – 2x + 3y – 3 = 0 得 出
， ，
2 2
3x + 3y y' – 2 + 3y' = 0 的「微分」過程通常稱之為隱微分法 利用這種隱微分
．
法 常見的曲線的切線斜率大都可以計算了
， ．
2
設 P(x0 , y0) 為圓錐曲線
2 2
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0
上的一點 則此錐線以 P 點為切點的切線方程式為
，
y x + x0y x + x0 y + y0
ax0x + b 0
2 (+ cy0y + d
2 ) +e
2 ( ) ( )
+f=0
．
2 2
證 : 將方程式 ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 兩端隱微分 得
，
2ax + b y + xy' + 2cyy' + d + ey' = 0
，
於是 得
，
2ax + by + d
y' = –
，
bx + 2cy + e
因此 以 P(x0 , y0) 為切點的切線的斜率為
，
2ax0 + by0 + d
– ，
bx + 2cy + e 0 0
於是 所求的切線方程式為
，
(2ax0 + by0 + d )(x – x0) = – (bx0 + 2cy0 + e)(y – y0．
)
2 2
由於 ax0 + bx0y0 + cy0 + dx0 + ey0 + f = 0 故切線方程式可寫成
，
2ax0x + b(y0x + x0y) + 2cy0y + d(x + x0) + e(y + y0) + 2 f = 0
或
y0x + x0y x + x0 y + y0
ax0x + b ( 2 )
+ cy0y + d
2
+e ( ) ( )
2
+f=0
．
隨堂練習
2 2
試求曲線 x – xy – y + 5 = 0 上以點 (1 , 2) 為切點的切線方程式．
試求曲線 x y + y x = 48 上以點 (4 , 16) 為切點的切線方程式．

12. 14 第 1 章 多項式函數的極限與導數
連鎖規則的證明
連鎖規則是微分公式中非常重要的一個 下面我們加以證明 ， ．
設 f : D E 及 g : E R 為兩函數 若 f 在 x = a 處可微分 g 在 y = f a 處可
， ，
微分 我們將證明合成函數 g
， f 在 x = a 處可微分 且
，
d dg y df x
g f x =
dx x=a dy y= f a dx x=．
a
首先 定義兩個函數 f * : D R g* : E R 如下 :
， ，
f x –f a g y –g f a
若x a 若y f a
f* x = x–a ， ； g* y = y– f a ，
．
f ' a， 若x=a g' f a ， 若y= f a
因為函數 f 在 x = a 處可微分 因此 可得
， ，
lim f * x = f ' a = f * a，
x a
亦即 函數 f * 在 x = a 處連續 同理 因為函數 g 在 y = f a 處可微分 所以
， ． ， ， ，
函數 g* 在 y = f a 處連續．
另一方面 當 x
， D 時 不論 x = a 或 x a 都可得
， ，
f x – f a = f * x x – a，
同理 當 y
， E 時 不論 y = f a 或 y f a， 都可得
，
g y – g f a = g* y y – f a ，
因為對每個 x D 都有 f x
， E 將上式中的 y 以 f x 代入 可得
， ，
g f x – g f a = g* f x f x – f a = g* f x f * x x – a，
於是 當 x
， D 而 x a 時 可得
，
g f x –g f a
= g* f x f * x，
x–a
由於 f 在 x = a 處可微分 故 f 在 x = a 處連續 又 g* 在 y = f a 處連續 因此
， ； ， ，
依前節定理 2 g* f 在 x = a 處連續 即
， ，
lim g* f x = g* f a = g' f a ，
x a
由此 可得
，
d g f x –g f a
g f x = lim = lim g* f x f * x
dx x=a x a x–a x a
dg y df x
= g' f a f ' a =
dy y= f a dx x=．
a
註 : 本補充教材節錄自高級中學理科數學教師手冊上冊第一章．
（國立臺灣師範大學科學教育中心主編 國立編譯館出版）
，

13. 第1章 多項式函數的極限與導數 15
七、充實教材
曲率
我們知道 導數可用來表示切線的斜率 除了這個幾何意義之外 我們再
， ， ，
舉出導數的另一個幾何意義．
假定我們在一條圓形的跑道上跑步 若這條圓形跑道很短（亦即半徑很
，
小） 那麼 跑步者必定會覺得轉彎得很厲害 相反地 若這條圓形跑道很
， ， ； ，
長 則跑步者必定比較不覺得轉彎得很厲害 當跑道轉彎得很厲害時 跑步者
， ． ，
為了要保持不衝出跑道 他的速度就不能太快 這種情形應該是大家都能了解
， ，
的 不僅是運動場上的跑道如此 當汽車在公路上行駛時 如果公路轉彎得很
． ， ，
厲害 那麼汽車的速度就不能太快 否則一不小心就衝出路外了 為了要防止
， ， ．
這種意外 通常都需要在各段彎曲的路面設定速率限制 而這類最高速限的高
， ，
低 則需要由道路的彎曲程度來決定 因此 如何測定曲線的彎曲程度就變成
， ． ，
一件很重要的工作了．
曲線的彎曲程度的測定 必須使用數學中的一些概念 在這些數學概念
， ．
中 有一個就是本節所要介紹的曲率 所謂曲率 可以解釋成彎曲的程度 下
， ． ， ．
面我們就來討論彎曲程度的測定方法．
圖 1 中的 是一段曲線 而 A 與 B 是 的兩個端點 假設某人沿著曲線
， ．
由 A 點跑到 B 點 那麼 當他跑到某一點時 他所朝的方向是 在這一點的切
， ， ，
線方向 因此 當他由 P 點跑到 Q 點時 他所朝的方向的改變量是圖 1 中的
． ， ，
角（以弧度表示） 而他所跑過的距離則是曲線 在 P 點與 Q 點間那一段的
，
（
長 如果在一段短弧 PQ 中 方向的改變量 很大 這就表示在 P 點與 Q 點間
． ， ，
曲線 彎曲得很厲害 反之 方向的改變量 很小時 就表示在 P 點與 Q 點間
； ， ，
曲線 比較直 這種現象使我們了解 要測定曲線的彎曲程度 可以利用「該
． ： ，
曲線在單位弧長上方向的改變量」來作為測定的工具 也就是說 利用下面的
， ，
商來作為測定的工具
P 點與 Q 點間方向的改變量
P 點與 Q 點間位移的改變量．

14. 16 第 1 章 多項式函數的極限與導數
▲圖 1
另一方面 我們還得注意 曲線的彎曲程度可能各個點互不相同 例如 : 在圖
， ， ．
1 中 C 點附近的彎曲程度較高 而 C 點至 B 點間的部分則彎曲程度較低 因
， ， ．
此 要考慮曲線的彎曲程度 應該就每一點分別予以考慮 根據這個原則 曲
， ， ． ，
線 在 P 點的曲率定義為
P 點與 Q 點間方向的改變量
在 P 點的曲率 = lim ．
Q P P 點與 Q 點間位移的改變量
現在 假設我們可以求得一個函數 f s， 使得當 s 表示圖 1 中由 A 點至 Q
，
點間 的弧長時 f s 就表示由 x 軸的正方向至某人由 A 點跑至 Q 點時所朝的
，
方向間的有向角的弧度數 那麼 我們就可以利用導數來表示曲率 設 A 點與
， ， ．
P 點間 的弧長為 a A 點與 Q 點間
， 的弧長為 s 則可得
，
P 點與 Q 點間方向的改變量
在 P 點的曲率 = lim
Q P P 點與 Q 點間位移的改變量
f s –f a
= lim = f ' a．
s a s–a
至此 我們得出導數的另一種幾何意義 可見 只要函數 f x 表示各種不
， ． ，
同的意義時 導數 f ' a 也可以相對地作各種不同的解釋
， ．
1
1
試證明半徑為 r 的圓上每一點的曲率都是 ．
r
證 : 在圖 2 中 原點 O 為圓心 而 A 點的坐標為 r , 0， 若 A 點與 Q 點間那一
， ，
段弧的長度為 s（請注意 若 Q 點在第三或第四象限 則 s > r） 而某人
， ， ，
沿逆時針方向由 A 點跑到 Q 點時所朝的方向與 x 軸的正方向的有向角為
f s， 則
AOQ 的弧度值
s= 2 r
，
2
f s = + AOQ 的弧度值，
2

15. 第1章 多項式函數的極限與導數 17
▲圖 2
因此 可得
，
s
+ ，
f s =
2 r
於是 設 P 為圓上任意一點 而 A 點與 P 點間那一段弧的長度為 a 則
， ， ，
1
此圓在 P 點的曲率 = f ' a = ．
r
這就是我們所要證明的結果 ．
我們知道 當圓形跑道的半徑 r 很小時 跑步者會覺得轉彎得很厲害 另
， ， ．
1
一方面 r 很小時
， ， r 必很大 因此 我們可以這麼說 若曲線 在 P 點的曲
． ， ，
率（的絕對值）很大時 則 在 P 點（的附近）必定轉彎得很厲害 另一方
， ；
面 若曲線 在 P 點的曲率（的絕對值）很小時 則 在 P 點（的附近）必定
， ，
比較直 關於後者 我們也可以觀察直線的情形
． ， ．
隨堂練習
試證直線上每一點的曲率都是 0
．
面積函數
導數的概念與面積的計算有著密切的關係 在這一節裡 我們要討論這個
， ，
問題．
圖 3 是函數 f x a x b 的圖形 我們假設每一個 x 都滿足 f x
， 0 若
．
a t b 令 g t 表示 y = f x 的圖形 直線 y = 0 x = a x = t 所圍成的區域的
， ， ， ，
面積 我們要討論函數 g t 的導函數 g' t．
，

16. 18 第 1 章 多項式函數的極限與導數
▲圖 3
假設 a < c < b 則導數 g' c 就是下面的極限
，
g t –g c
lim
t c t–c ．
若 t > c 則 g t – g c 表示下圖中畫斜線部分的面積 :
，
▲圖 4
圖 4 中的斜線部分是由三個直線段及一個曲線段所圍成的 如果我們過其中曲
，
線段的最高點及最低點分別作水平線 就可圍出兩個矩形（參看圖 5） 而斜
， ，
線部分的面積顯然介於兩個矩形之間 假定曲線段的最高點及最低點的高度分
．
別為 M 及 m 則得
，
m t–c g t –g c M t – c，
於是 可得
，
g t –g c
m M．
t–c
若 t < c 則可以仿照前面的論證方法得出相同的不等式
， ．
▲圖 5
如果函數 f x 在 x = c 處連續 則當 x 很接近 c 時 f x 就會很接近 f c，
， ，
於是 當
， t 很接近 c 時 圖 4 中斜線部分的上邊界（曲線段）上各點的高度就
，
都很接近 f c， 因此 m 與 M 也都很接近 f c， 換句話說
， ，
lim m = f c， lim M = f c．
t c t c

17. 第1章 多項式函數的極限與導數 19
g t –g c
由於 介於 m 及 M 之間 而當 t 趨近 c 時 m 與 M 的極限都是 f c，
， ，
t–c
g t –g c
因此 當 t 趨近 c 時
， ， 就被夾擠著趨近 f c， 也就是說 ，
t–c
g t –g c
lim = f c，
t c t–c
亦即
g' c = f c．
前面的結果可以寫成定理如下 :
設函數 f x 滿足 f x 0 a x b 令 g t 表示 y = f x 的圖形 直線
， ， ，
y = 0 x = a x = t 所圍成的區域的面積 若函數 f x 在每一個 c a < c < b 都連
， ， ，
續 則得
，
g' x = f x， a < x < b
．
前面這個定理除了提供導數的另一項幾何意義之外 還提供給我們一種求，
面積的方法 這個方法是這樣的 : 當我們要計算 y = f x 的圖形 直線 y = 0
． ， ，
x = a x = b 所圍成的區域的面積時 可以先求一個函數 h x， 使得 h' x = f x，
， ，
則這個函數 h x 就具有上述定理中「面積」函數 g x 的性質（即它們的導函數
都是 f x ） 不過 面積函數 g x 還具有一個性質 那就是 g a = 0 因此 函
， ， ， ． ，
數 g x 與 h x 的關係為
g x = h x – h a，
於是 y = f x 的圖形 直線 y = 0 x = a x = b 所圍成的區域的面積為 g b， 或是
， ， ， ，
h b – h a．
1
試利用上述方法計算 y =2x – 1 y = 0 x = 1 x = 3 等四直線所圍成的區
， ， ，
域的面積．
解 這四條直線所圍成的區域是梯形 其圖形如下 :
： ，
▲圖 6

18. 20 第 1 章 多項式函數的極限與導數
利用梯形的面積公式 可知其面積為
，
1
2 1+5 =6
．
2
要使用上述方法來計算面積時 可令 f x = 2x – 1 那麼 滿足 h' x = f x
， ， ，
2
的函數 h x 必是 x – x + c 之形式 其中 c 是任意常數 根據前面的說法
， ， ，
所求的面積為
h 3 – h 1 = (3 2 – 3 + c) – (1 2 – 1 + c) = 6
．
所得的結果與前面相符．
2
2
試求拋物線 y = x ， 直線 y = 0 x = 0 x = 1 所圍成的區域的面積
， ， ．
解 所圍成的區域是下圖之形式 :
：
▲圖 7
2
要計算這個區域的面積 先令 f x = x ， 則滿足 h' x = f x 的函數 h x 必是
，
1 3
x + c 之形式 其中 c 為任意常數 因此 所求的面積為
， ， ，
3
1 1 1
h 1 –h 0 = (
3
3
1 +c –
3 ) (
3
0 +c = ．
3 )
隨堂練習
2
試求拋物線 y = x ， 直線 y = 0 x = 1 x = 3 所圍成的區域的面積
， ， ．
註 : 本充實教材節錄自高級中學理科數學教師手冊上冊第一章．
（國立臺灣師範大學科學教育中心主編 國立編譯館出版）
，

19. 隨堂練習解答 53
隨堂練習 1-1
隨
1
堂
求下列各函數的定義域 :
1 2 1
f x = ． f x = x –1+
2 x – 1．
x –x–2
解： 為使函數值為實數 根號內就不能是負數且分母不可為零 所以函數的
， ，
定義域由不等式
2
x –x–2>0
確定 將不等式改寫為
，
x–2 x+1 >0
，
解得 x > 2 或 x < – 1
．
故定義域為 x x > 2 或 x < – 1, x ．
函數的定義域由不等式組
2
x –1 0
．
x–1 0
2
確定 由 x – 1 0 得 x 1 或 x – 1 由 x – 1≠0 得 x≠1
， ； ，
所以不等式組的解為 x > 1 或 x – 1．
故定義域為 x x > 1 或 x – 1, x ．
2
試作函數 y = x 的圖形．
解： 因為對所有實數 x x 都有意義 所以函數的定義域為所有實數
， ， ．
當x 0時 y= x =x 當x<0時 y= x =–x 即
， ； ， ，
x 若x 0
y= x = ， ．
–x 若x<0
，
根據 的討論 可以作出函數 y = x 的圖形如
，
右．

20. 54 隨堂練習解答
3
手機剩餘電量經常用格子數來顯示 有一款手機當充滿電時 螢幕的電
， ，
量顯示為 5 格 設在待機 x 小時後 剩餘電量的顯示格數為
． ，
60
f x =
x + 11
格 其中符號
， 為高斯符號 試問 :
．
待機 13 小時後 剩餘電量的顯示格數為幾格？
，
當 x 在何範圍時 剩餘電量的顯示數會是 3 格？
，
解： 因為
60 5
f 13 = = =2
，
13 + 11 2
所以待機 13 小時後 剩餘格數為 2 格
， ．
因為剩餘格數是 3 格 所以 ，
60
3 <4
x + 11 ．
由於 x + 11 為正數 於是
，
60
3
x + 11 3x + 33 60 x 9
60 60 < 4x + 44 x > 4．
<4
x + 11
故4<x 9 ．
4
2
設函數 f x = x – 2x – 2 的定義域為 x 2 x 4, x ， 求 f x 的值域．
2 2
解： 函數 y = x – 2x – 2 = x – 1
– 3 的圖形是以 V 1 , – 3 為頂點 直線 x = 1
，
為對稱軸之開口向上的拋物線．
因為定義域為 x 2 x 4, x ， 所以函數圖
2
形為拋物線 y = x – 1 – 3 的一部分 如右圖中的
，
實線部分 :
因為圖形的最高點為 B 4 , 6， 最低點為 A 2 , – 2，
所以 f x 的值域為
y –2 y 6, y ．

21. 隨堂練習解答 55
5
下列各圖形中 哪些不是函數圖形？
，
隨
堂
解 利用「若有一鉛直線與圖形不只有一個交點 則這圖形一定不是函數圖
： ，
形」的判斷法 得知選項
， 不是函數圖形．
隨堂練習 1-2
1
試利用各小題的函數 y = f x 的圖形 求 lim f x 的值
， ．
x 1

22. 56 隨堂練習解答
解： 從圖形觀察 當 x 趨近 1 時 f x 會趨近 3 因此
， ， ．
lim f x = 3
．
x 1
從圖形觀察 當 x 趨近 1 時 f x 會趨近 3 因此
， ， ．
lim f x = 3
．
x 1
2
x+1 若x>1
，
設f x = ．
– 2x + 3 若 x < 1
，
求 lim f x 的值 ． 求 lim f x 的值． 極限 lim f x 是否存在？
x 0 x 2 x 1
解 y = f x 的圖形如右圖 觀察函數圖形得知 :
： ．
當 x 趨近 0 時 f x 會趨近 3 因此
， ．
lim f x = 3
．
x 0
當 x 趨近 2 時 f x 會趨近 3 因此
， ．
lim f x = 3
．
x 2
當 x 從 1 的右邊趨近 1 時 f x 會趨近 2 當 x 從
， ；
1 的左邊趨近 1 時 f x 會趨近 1 因此 當 x 趨近 1 時 f x 不會趨近
， ． ， ，
某一定值 故 lim f x 不存在
． ．
x 1
3
求 lim ( 2x 3 – x 2 + 3x + 4 ) 的值．
x 1
解 由極限的四則運算 得
： ，
3 2
lim ( 2x – x 2 + 3x + 4 ) = 2 lim x – lim x + 3 lim x + lim 4
3
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
3 2
=2 1 –1 +3 1+4=8
．
4
求下列各極限 :
2 2
8 x +3 x –4
lim 3x – 2 ． lim ． lim 2 ．
x 1 x 3 x + 1 x 2 x – 3x + 2

23. 隨堂練習解答 57
8 8
解： lim 3x – 2 = 3 1–2 =1
．
x 1
2 2
x +3 3 +3
lim
x 3 x + 1
=
3+1 ．
=3
隨
lim 2
2
x –4
= lim
x–2 x+2
= lim
x+2 2+2
= =4
2–1 ．
堂
x 2 x – 3x + 2 x 2 x – 2 x – 1 x 2 x – 1
5
x+1 9
x 2 (
求 lim x – 2 – 2
x –x–2
的值． )
解 因為
：
x+1 9 x+1 9
– = –
x – 2 x2 – x – 2 x – 2 x – 2 x + 1
2
x + 2x – 8 x–2 x+4 x+4
= = = ，
x–2 x+1 x–2 x+1 x+1
所以
x+1 9 x+4
(
lim x – 2 – 2
x 2 x –x–2
= lim
x 2 x + 1)=2
．
6
2
x –x+a
設 a 為實數 且極限 lim
， 存在．
x 2 x–2
求 a 的值． 求此極限值．
解： 利用函數極限的四則運算 得
，
2
x 2 x 2
2
x–2 (
lim (x 2 – x + a) = lim x – x + a x – 2 )
x –x+a
= lim lim x – 2
x 2 x–2 x 2
2
x –x+a
= lim 0
x 2 x–2
=0
．
2
又 lim (x 2 – x + a) = 2 – 2 + a = 2 + a 所以
，
x 2
0=2+a
．
解得 a = – 2
．
2 2
x –x+a x –x–2 x–2 x+1
lim = lim = lim = lim x + 1 = 3
．
x 2 x–2 x 2 x–2 x 2 x–2 x 2

24. 58 隨堂練習解答
隨堂練習 1-3
1
2
已知點 P 2 , 0 在二次函數 f x = x – 2x 的圖形上 求以 P 點為切點的切
，
線方程式．
解 因為切線的斜率為
：
2
f x f 2 x 2x xx 2
lim = lim = lim = lim x = 2
，
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
所以切線方程式為 y 0 = 2 x 2， 即
2x y = 4．
2
3
已知點 P 2 , 8 在三次函數 f x = x 的圖形上 求以 P 點為切點的切線方
，
程式．
解 因為切線的斜率為
：
3
f x –f 2 x –8 x – 2 ( x 2 + 2x + 4 )
lim = lim = lim = lim ( x 2 + 2x + 4 ) = 12
，
x 2 x–2 x 2 x – 2 x 2 x–2 x 2
所以切線方程式為 y – 8 = 12 x – 2， 即
12x – y = 16
．
3
4
設有一運動質點的位移函數是 s t = t ， 求時刻 t = 1 的瞬時速度．
解 時刻 t = 1 的瞬時速度為
：
4
s t –s 1 t –1
lim = lim
t 1 t–1 t 1 t–1
t – 1 t + 1 (t 2 + 1)
= lim
t 1 t–1
= lim t + 1 (t 2 + 1)
t 1
=4
．

25. 隨堂練習解答 59
隨堂練習 1-4
隨
1
2
堂
求函數 f x = x + x 在 x = 1 處的導數．
解 由導數的定義 得
： ，
2
f x –f 1 x +x–2 x+2 x–1
f ' 1 = lim = lim = lim
x 1 x–1 x 1 x–1 x 1 x–1
= lim x + 2 = 3 ．
x 1
2
2
已知 P 2 , 3 為二次函數 f x = x – x + 1 的圖形上一點 求以 P 為切點的
，
切線方程式．
解 因為切線的斜率為
：
2
f x –f 2 x –x–2 x–2 x+1
f ' 2 = lim = lim = lim
x 2 x–2 x 2 x–2 x 2 x–2
= lim x + 1 = 3，
x 2
所以切線方程式為 y – 3 = 3 x – 2， 即
3x – y = 3
．
3
2
求函數 f x = 3x + 4x 的導函數．
解 設 a 為任意實數 由導數的定義 得
： ． ，
f ' a = lim
f x –f a
= lim
(3x + 4x) – (3a 2 + 4a) = lim 3(x 2 – a 2) + 4 x – a
2
x a x–a x a x–a x a x–a
= lim 3 x + a + 4 = 6a + 4 ．
x a
故 f x 的導函數為 f ' x = 6x + 4
．
4
4 3 2
設函數 f x = 2x + x – 3x + 4x – 8 求
，
導函數 f ' x． 第二階導函數 f '' x．
3 2 3 2
解： f ' x = 2 4x + 3x – 3 2x + 4 = 8x + 3x – 6x + 4
．
2 2
f '' x = 8 3x + 3 2x – 6 = 24x + 6x – 6
．

26. 60 隨堂練習解答
5
10
設函數 f x = (x 2 + x – 1) ， 求 f ' 1 的值 ．
10 30
設函數 f x = x – 1 2x – 5 ， 求 f ' 2 的值．
解： 因為 f x 的導函數為
2 9
f ' x = 10 x + x – 1 2x + 1，
9
所以 f ' 1 = 10 1
3 = 30
．
因為 f x 的導函數為
10 29 9 30
f' x = x – 1 30 2x – 5 2 + 10 x – 1 1 2x – 5 ，
10 29 9 30
所以 f' 2 = 1 30 –1 2 + 10 1 1 – 1 = – 60 + 10 = – 50
．
6
3
求函數 f x = x – 2x – 3 的圖形上以點 (2 , 1) 為切點之切線方程式．
2
解 函數 f x 的導函數 f ' x = 3x – 2
： ．
因為切線的斜率為
2
f ' 2 = 3 2 – 2 = 10
，
所以切線方程式為 y – 1 = 10 x – 2， 即
10x – y = 19
．
7
2
已知在函數 f x = x + x – 2 的圖形上 以點 P 為切點的切線斜率為 5
， ，
求切點 P 的坐標．
解 函數 f x 的導函數為 f ' x = 2x + 1
： ．
設切點 P 的坐標為 a , b． 因為切線的斜率為 5 所以
，
f ' a = 2a + 1 = 5
，
解得 a = 2
．
又因為切點 P a , b 在 f x 的圖形上 所以，
2
b=f 2 =2 +2–2=4
．
故 P 的坐標為 (2 , 4)
．

27. 隨堂練習解答 61
8
2
已知 P 1 , 1 為二次函數 f x = – x + 1 的圖形外一點 求通過 P 點的切
，
線方程式 ．
隨
堂
解 設切點坐標為 (a , – a 2 + 1．
： )
因為 f ' x = – 2x 所以切線的斜率為
，
f ' a = – 2a
．
因此 切線的方程式為
，
2
y – – a + 1 = – 2a x – a．
又因為切線通過點 P 所以將 P 代入切線方程
，
式 得
，
2
1 – – a + 1 = – 2a 1 – a．
整理得
2
a – 2a = 0 a a–2 =0
，
解得 a = 0 或 2
．
當 a = 0 時 切線方程式為 y = 1
， ．
當 a = 2 時 切線方程式為 y + 3 = – 4 x – 2， 即 4x + y = 5
， ．
故通過 P 的切線有兩條 其方程式分別為
，
y = 1 及 4x + y = 5
．
9
已知小明參加一百公尺比賽時 從起跑到抵達終點這段時間內 測得其
， ，
1 2
經 t 秒後前進的距離為 s t = t + 8t 公尺 求下列各題 :
，
5
小明在 t = 3 秒時的瞬時速度及瞬時加速度 ．
當小明衝過終點線時的瞬時速度．
解： 2
因為 s t 的導函數為 s' t = t + 8 所以在 t = 3 秒時的瞬時速度為
，
5
2 46
s' 3 = 3+8= （公尺／秒） ．
5 5
2
又因為 s t 的第二階導函數 s'' t = ， 所以在 t = 3 秒時的瞬時加速度為
5
2 2
s'' 3 = （公尺／秒 ） ．
5

28. 62 隨堂練習解答
1 2
令 t + 8t = 100 則
，
5
2
t + 40t – 500 = 0 t + 50 t – 10 = 0
，
解得 t = 10 或 – 50（不合）．
因此 當 t = 10 時 小明恰衝過終點線 故衝過終點線時的瞬時速度為
， ， ．
2
s' 10 = 10 + 8 = 12（公尺／秒）．
5
隨堂練習 2-1
1
下列哪些函數在區間 – 1 , 1 上為遞增函數？
解 因為選項
： 的圖形在區間 – 1 , 1 上 愈往右邊的點 會愈往上攀升
， ， ，
所以在區間 – 1 , 1 上是遞增函數 而選項
． 的圖形 並無此種情形
， ，
故選 ．

29. 課本習題解答 83
習題 1-1
一 基礎題
、
1
設函數 f x 的定義域為 x – 2 x 4, x ， 習
且其圖形如右 : 題
下列選項哪些是正確的？
f 0 =4
．
f x 的函數值恆正．
f x 的值域為 y 4 y 7, y ．
方程式 f x = 0 沒有實根．
方程式 f x = 4 有四個相異實根．
解： 因為圖形通過點 (0 , 4) 所以 f 0 = 4
， ．
因為圖形均在 x 軸上方 即 y 坐標均為正 所以 f x 的函數值恆正
， ， ．
因為圖形的最高點為 (4 , 7) 最低點為 (2 , 1) 所以 f x 的值域為
， ，
y 1 ． y 7, y
因為圖形與 x 軸沒有交點 所以方程式 f x = 0 沒有實根
， ．
因為圖形與直線 y = 4 有三個相異交點 所以方程式 f x = 4 有三個相異
，
實根．
故選項 正確．
2
求下列各函數的定義域 :
1
f x = x + 1． f x = 2 ．
x –4
1
f x = 2x – 3
． f x = 2 ．
x –x+1
解： 因為對所有實數 x x + 1 都有意義 所以定義域為所有實數 ．
， ，
2
因為不等式 x – 4≠0 的解為 x ± 2 所以定義域為
，
x x ± 2, x ．

30. 84 課本習題解答
3
因為不等式 2x – 3 0 的解為 x 所以定義域為
2，
3
, x ．x x
2
2
因為對所有實數 x x – x + 1 恆不為 0 所以定義域為所有實數 ．
， ，
3
2
設函數 f x = x – 4x + 5 的定義域為 x 1 x 5, x ， 求 f x 的值
域．
2 2
解： 函數 y = x – 4x + 5 = x – 2
+ 1 的圖形是以 V 2 , 1 為頂點 直線 x = 2
，
為對稱軸之開口向上的拋物線．
因為定義域為 x 1 ， 所以函數圖形為拋物線
x 5, x
2
y= x–2 + 1 的一部份 如下圖中的實線部份 :
，
因為圖形的最高點為 B 5 , 10， 最低點為頂點 V 2 , 1， 所以 f x 的值域為
y 1 y 10, y ．
4
設函數 f x = 2x + 3 的值域為 y – 5 y 9, y ， 求 f x 的定義域．
解： 函數 y = 2x + 3 的圖形是斜率為 2 y 截距為 3 的直線
， ．
因為值域為 y –5 y 9, y ， 所以函數圖形為直線 y = 2x + 3 的
一部份 如下圖中的實線部份 :
，

31. 課本習題解答 85
習
題
因為圖形最左邊的點為 A – 4 , – 5， 最右邊的點為 B 3 , 9， 所以 f x 的
定義域為
x –4 x 3, x ．
5
下列何者是函數圖形？
解 利用「若有一鉛直線與圖形不只有一個交點 則這圖形一定不是函數圖
： ，
形」的判斷法 得知選項 是函數圖形
， ．

32. 86 課本習題解答
二 進階題
、
6
2
求函數 f x = 15 – 2x – x 的定義域與值域．
解： 由不等式
2 2
15 – 2x – x 0 x + 2x – 15 0 x+5 x–3 0
的解為 – 5 x 3 得知 f x 的定義域為
，
x – 5 x 3, x ．
因為
2 2
f x = 15 – 2x – x = – x+1 + 16
，
且–5 x 3 所以函數值的範圍為
，
0 f x 4
．
故 f x 的值域為 y 0 y 4, y ．
7
某灌溉渠的橫截面是等腰梯形 如右圖 其底
， ．
寬 2 公尺 渠深 1 公尺 邊坡的傾角是 45° 設
， ， ．
水深為 x 公尺 橫截面的面積為 f x 平方公尺
， ．
寫出函數 f x．
求函數 f x 的定義域 ．
求函數 f x 的值域．
解： 因為等腰梯形的上底為 x + 2 + x = 2x + 2 所以面
，
積f x 為
2x + 2 + 2 x
f x =
2
2
= x + 2 x = x + 2x
．
因為灌溉渠的深 1 公尺 所以水深 x 的範圍為 0
， x 1
，
即 f x 的定義域為
x 0 x 1, x ．
因為
2 2
f x = x + 2x = x + 1 –1
，

33. 課本習題解答 87
且0 1 所以函數值的範圍為
， x
0 f x 3
．
故 f x 的值域為 y 0 y 3, y ．
習題 1-2
習
一 基礎題
、
題
1
2
x +2 若 x 1
，
1 設函數 f x = ． 選出正確的選項 :
x+3 若x<1
，
f 1 =3
． lim f x = 2
． lim f x = 2
．
x 0 x –1
lim f x = 5
． lim f x = 3
．
x 2 x 1
解 y = f x 的圖形如右圖 觀察函數圖形得知 :
： ．
因為圖形通過 (1 , 3) 所以 f 1 = 3
， ．
當 x 趨近 0 時 f x 會趨近 3 因此 lim f x = 3
， ． ．
x 0
當 x 趨近 – 1 時 f x 會趨近 2
， ．
因此 lim f x = 2
．
x –1
當 x 趨近 2 時 f x 會趨近 6 因此 lim f x = 6
， ． ．
x 2
當 x 從 1 的右邊趨近 1 時 f x 會趨近 3 當 x 從 1 的左邊趨近 1 時 f x 會
， ； ，
趨近 4 因此 當 x 趨近 1 時 f x 不會趨近某一定值 故 lim f x 不存在
． ， ， ． ．
x 1
故選 ．
2
求下列各極限 :
2
2 2 3 x –4
lim (x + x – 3．
) lim (x + x – 2) ． lim 2 ．
x 1 x 2 x 0
x + 2x + 4
2
解： lim ( x 2 + x – 3 ) = 1 + 1 – 3 = – 1
．
x 1
3 3
lim (x 2 + x – 2) = (2 2 + 2 – 2) = 64
．
x 2
2 2
x –4 0 –4
lim 2 = 2 =–1
．
x 0
x + 2x + 4 0 + 2 0 + 4

34. 88 課本習題解答
3
求下列各極限 :
2
x–2 x – 5x + 6
lim 2 ． lim 2 ．
x 2
x +x–6 x 3
x – 8x + 15
x–4 2 1 5x – 2
x 3 (
lim x – 3 + 2
x – 4x + 3． ) (
lim x – 1 – 3 ．
x 1 )
x –1
解： x–2 x–2 1 1
lim 2 = lim = lim = ．
x 2
x +x–6 x 2 x–2 x+3 x 2 x + 3 5
2
x – 5x + 6 x–3 x–2 x–2 1
lim 2 = lim = lim =– ．
x 3
x – 8x + 15 x 3 x – 3 x – 5 x 3 x – 5 2
因為
2
x–4 2 x – 5x + 6 x–2 x–3 x–2
+ = = =
x – 3 x 2 – 4x + 3 x – 1 x – 3 x – 1 x – 3 x – 1，
所以
x–4 2
x 3 (
lim x – 3 + 2
x – 4x + 3
= lim )x–2 1
x 3 x – 1
= ．
2
因為
2
1 5x – 2 x – 4x + 3 x–1 x–3 x–3
– 3 = = = 2
x – 1 x – 1 x – 1 (x + x + 1) x – 1 (x + x + 1) x + x + 1，
2 2
所以
1 5x – 2
x 1 (
lim x – 1 – 3
x –1
= lim 2
x 1
x–3
x +x+1 ) 2
=– ．
3
4
2
x –1
若x 1
設函數 f x = x – 1， ．
0 ， 若x=1
求 lim f x 的值 ． 問 lim f x 與 f 1 是否相等？
x 1 x 1
解： 因為
2
x –1 x–1 x+1
= =x+1
，
x–1 x–1
所以
lim f x = lim x + 1 = 2
．
x 1 x 1

35. 課本習題解答 89
因為
lim f x = 2 f 1 = 0 所以 lim f x ≠f 1．
， ，
x 1 x 1
二 進階題
、
5
2
習
設 a b 為實數 且 lim
， ，
x + ax + b
2 = 2 求 a b 的值
， ， ． 題
x 1
x –1
解 因為
：
2
2
lim (x + ax + b) = lim
x 1 x 1
2
(
x + ax + b
2
x –1 )
(x 2 – 1)
x + ax + b
= lim 2 lim (x 2 – 1) = 2 0 = 0
，
x 1
x –1 x 1
且 lim (x 2 + ax + b) = 1 + a + b 所以
，
x 1
1+a+b=0 b=–a–1
．
2
代入 x + ax + b 得
，
2 2
x + ax + b = x + ax – a – 1 = (x 2 – 1) + a x – 1 = x – 1 x + 1 + a．
於是
2
x + ax + b x–1 x+1+a x+1+a a+2
2 = lim = lim = lim =
x 1
2
x –1 x 1 x–1 x+1 x 1 x+1 2 ，
解得 a = 2 b = – 3
， ．
代回檢驗符合題意 故 a = 2 b = – 3
， ， ．
6
2
x +5 若x 1
，
設函數 f x = ， 且 lim f x 的值存在 求實數 a 的值
， ．
ax – 2 若 x < 1
，
x 1
解 當 x 從 1 的右邊趨近 1 時 f x 會趨近 6 當 x 從 1 的左邊趨近 1 時 f x
： ， ； ，
會趨近 a – 2
．
因為 lim f x 的值存在 所以
，
x 1
6=a–2
，
解得 a = 8
．

36. 90 課本習題解答
7
f x f x
設 f x 為三次多項式函數 且 lim
， = 1 lim
， x 2 x–2=2 ．
x 1 x – 1
f x
求 f 1 與 f 2 的值． 求 lim 的值 ．
x 4 x – 3
解： 因為 f x 為多項式函數 所以 lim f x = f 1．
， x 1
又
lim f x = lim
x 1 x 1
(xf –x1 )
x – 1 = lim
x 1
f x
lim x – 1 = 1 0 = 0
x–1 x 1 ，
故f 1 =0．
同理可得 f 2 =0 ．
因為 f 1 = 0 f 2 = 0 所以 x – 1 與 x – 2 都是 f x 的因式
， ， ．
由於 f x 是三次多項式函數 因此可設，
f x = x – 1 x – 2 ax + b．
f x f x
代入 lim = 1 及 lim =2中 得
，
x 1 x – 1 x 2 x – 2
–1 a+b =1 a+b=–1
1 2a + b = 2 2a + b = 2，
解得 a = 3 b = – 4
， ．
f x x – 1 x – 2 3x – 4 3 2 8
故 lim = lim = = 48
．
x 4 x–3 x 4 x–3 1
習題 1-3
1
3
已知 P 2 , 4 是三次函數 f x = x – 2x 圖形上的一個定點 而 Q(x , x 3 – 2x)
，
是該圖形上異於 P 的動點 令 m x 是割線 PQ 的斜率
． ．
求 m x 的公式．
已知割線 PQ 的斜率為 5 求 Q 點的坐標
， ．
解： 由斜率的定義 得，
3 2
x – 2x – 4 x – 2 (x + 2x + 2) 2
mx = = = x + 2x + 2
．
x–2 x–2

37. 課本習題解答 91
2
令 x + 2x + 2 = 5 則
，
2
x + 2x – 3 = 0 x+3 x–1 =0
，
解得 x = – 3 或 1
．
故 Q 點的坐標為 – 3 , – 21 或 1 , – 1．
2 習
2
已知點 P 1 , 3 在二次函數 f x = 2x + 1 的圖形上 求以 P 點為切點的切
， 題
線方程式．
解 因為切線的斜率為
：
2
f x –f 1 2x – 2 2 x–1 x+1
lim = lim = lim = lim 2 x + 1 = 4
，
x 1 x–1 x 1 x–1 x 1 x–1 x 1
所以切線方程式為 y – 3 = 4 x – 1， 即
4x – y = 1
．
3
3
已知點 P 1 , 4 在三次函數 f x = x + 4x – 1 的圖形上 求以 P 點為切點
，
的切線方程式 ．
解 因為切線的斜率為
：
3
f x –f 1 x + 4x – 5 x – 1 (x 2 + x + 5)
lim = lim = lim
x 1 x–1 x 1 x–1 x 1 x–1
2
= lim (x + x + 5) = 7 ，
x 1
所以切線方程式為 y – 4 = 7 x – 1， 即
7x – y = 3
．
4
天燈又名孔明燈 是諸葛亮被司馬懿困於平陽城時 為了向漢軍求助解
， ，
圍 所發明的一種傳遞訊息方式
， ．
設有一天燈升空後 經 t 分鐘後離地面的高度 H t （公尺）為
，
2
H t = t + 4t + 1 0 t 10．
求時刻 t = 2 到 t = 4 之間的平均速度．
求時刻 t = 2 的瞬時速度．

38. 92 課本習題解答
解： 時刻 t = 2 到 t = 4 之間的平均速度為
H 4 – H 2 33 – 13
= = 10（公尺/秒）．
4–2 2
時刻 t = 2 的瞬時速度為
2
H t –H 2 t + 4t – 12 t–2 t+6
lim = lim = lim
t 2 t–2 t 2 t–2 t 2 t–2
= lim t + 6 = 8（公尺/秒） ．
t 2
習題 1-4
一 基礎題
、
1
2
已知 f x = x + 2x – 3 求導數 f ' 1 的值
， ．
解 因為 f ' x = 2x + 2 所以
： ，
f' 1 = 2 1 + 2 = 4
．
2
3 2
已知 f x = x – 2x + 5x – 4 求 f ' x 與 f '' x．
，
解 利用公式 得
： ，
2
f ' x = 3x – 4x + 5 f '' x = 6x – 4
， ．
3
2
已知 P – 2 , 6 為二次函數 f x = x – 3x – 4 的圖形上一點 求以 P 為切點
，
的切線方程式．
解 函數 f x 的導函數
：
f ' x = 2x – 3
．
因為切線的斜率為
f' – 2 = 2 –2 –3=–7
，
所以切線方程式為 y – 6 = – 7 x + 2， 即
7x + y = – 8
．

39. 課本習題解答 93
4
5
已知 P 1 , – 1 為函數 f x = (x 2 – 2) 的圖形上一點 求以 P 為切點的切
，
線斜率 ．
解 函數 f x 的導函數
：
f ' x = 5(x 2 – 2)
4 4
2x = 10x(x 2 – 2) ． 習
因為切線的斜率為 題
4
f ' 1 = 10 – 1 = 10
．
5
2
已知 P 2 , 5 為二次函數 f x = x + x 的圖形外一點 求通過 P 點的切線
，
方程式 ．
解 設切點坐標為 (a , a 2 + a．
： )
因為 f ' x = 2x + 1 所以切線的斜率為
，
f ' a = 2a + 1
．
因此 切線的方程式為
，
y – (a 2 + a) = 2a + 1 x – a．
又因為切線通過點 P 所以將 P 代入切線方程式
， ，
得
5 – (a 2 + a) = 2a + 1 2 – a．
整理得
2
a – 4a + 3 = 0 a–1 a–3 =0
，
解得 a = 1 或 3
．
當 a = 1 時 切線方程式為 y – 2 = 3 x – 1， 即 3x – y = 1
， ．
當 a = 3 時 切線方程式為 y – 12 = 7 x – 3， 即 7x – y = 9
， ．
故通過 P 的切線有兩條 其方程式分別為
，
3x – y = 1 及 7x – y = 9
．

40. 94 課本習題解答
6
3
求函數 f x = x – x + 3 圖形上斜率為 2 的切線方程式．
2
解 函數 f x 的導函數為 f ' x = 3x – 1
： ．
3
設切點 P(a , a – a + 3． 因為切線的斜率為 2 所以
) ，
2
f ' a = 3a – 1 = 2
．
整理得
2
a –1=0
a–1 a+1 =0，
解得 a = 1 或 – 1 因此 切點 P 的坐標為 1 , 3 或 – 1 , 3．
． ，
故斜率為 2 的切線有兩條 其方程式分別為
，
2x – y = – 1 及 2x – y = – 5
．
二 進階題
、
7
設二次函數 f x 的導函數 f ' x = 2x + 3 且 f 1 = 2 求 f x．
， ，
2
解 設 f x = ax + bx + c a≠0 則 f ' x = 2ax + b
： ， ， ．
與 f ' x = 2x + 3 比較係數 得
，
2a = 2 a=1
b=3 b = 3．
又因為 f 1 = a + b + c = 2 所以 c = – 2
， ．
2
故 f x = x + 3x – 2
．
8
設 f x = (x 2 – 4x + 5) x + 3 x – 2， 求
f x –f 2
lim 的值 ． 導數 f ' 2 的值．
x 2 x–2
f x –f 2 (x 2 – 4x + 5) x + 3 x – 2 = lim 2
解： lim
x 2 x–2
= lim
x 2 x–2 x 2
(x – 4x + 5) x + 3 = 5
．
f x –f 2
由導數的定義知 f ' 2 = lim
x 2 x–2 ．
因此 由
， 的結果 得 f ' 2 = 5
， ．

41. 課本習題解答 95
9
2
設函數 f x = – x + 4x 若 y = f x 的圖形在 x = – 1, 3, k 處的點分別為 A,
．
B, C 且過 C 點的切線與直線 AB 平行 則實數 k 的值為何？
， ，
解 函數 f x 的導函數 f ' x = – 2x + 4
： ．
因為 A – 1 , – 5 , B 3 , 3 , C(k , – k 2 + 4k， 所以由題意得知 f ' k 等於直線 AB
) 習
的斜率 即
， 題
3– –5
– 2k + 4 = – 2k + 4 = 2
，
3– –1
解得 k = 1
．
10
在筆直公路上行駛的一輛汽車 從煞車到停車這段時間內 測得煞車後
， ，
1 2
在 t 秒內前進的距離為 s t = – t + 2t 公尺 問此輛汽車在煞車後前進
，
2
多少公尺才停止？
解 速度函數為導函數 S' t = – t + 2
： ．
由於停止時 速度為 0 於是令 S' t = 0 即
， ， ，
–t+2=0 t=2．
因此 在煞車後 t = 2 秒時停止 此時汽車前進
， ，
1 2
S 2 =– 2 + 2 2 = 2（公尺）．
2
第1章 總習題
一 概念題
、
1
右圖是函數 y = f x 的圖形 選出正確的選項 :
．
f 0 =2
．
lim f x = 2
．
x 0
lim f x = 1
．
x 2
lim f x = f 2．
x 2
f x 在 x = 2 處不連續．

42. 96 課本習題解答
解： 因為圖形通過點 (0 , 2) 所以 f 0 = 2
， ．
當 x 趨近 0 時 f x 會趨近 2 因此 lim f x = 2
， ． ．
x 0
當 x 趨近 2 時 f x 會趨近 1 因此 lim f x = 1
， ． ．
x 2
因為 lim f x = 1 f 2 = 3 所以 lim f x ≠f 2．
， ，
x 2 x 2
因為 lim f x ≠f 2， 所以 f x 在 x = 2 處不連續．
x 2
故選 ．
2
f x
若函數 f x 滿足 lim = 3 則下列哪些選項是正確的？
，
x 0 x
f x x+4 f x
lim
x 0
(x
+
x+2
=5． )lim
x 0 3x
=3
． lim f x = 0
x 0 ．
lim x f x = 0． 若 f 0 = 0 則 f' 0 = 3
， ．
x 0
解： lim
x 0
x+4
( f xx
x+2
+ = lim
x 0
f x
)x
+ lim
x+4
x 0 x + 2
=3+2=5 ．
f x 1 f x 1 f x 1
lim
x 0 3x
= lim
x 0 3 (
x
= lim)
3 x 0 x
=
3
3=1．
f x f x
lim f x = lim x
x 0 x 0 x ( x 0
)
= lim x lim
x 0 x
=0 3=0 ．
f x f x
lim x f x = lim x
x 0 x 0
2
x ( x 0
) 2
= lim x lim
x 0 x
=0 3=0
．
因為 f 0 = 0 所以，
f x –f 0 f x
f ' 0 = lim = lim =3．
x 0 x–0 x 0 x
故選 ．