姜昱安110上學期數學科課程學習成果

2. | 數學科課程學習成果
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‧平面座標線投影矩陣
壹、 前言
本題材取自數學課本，第四冊第四張第四節--平面的線性變換。課程
中提到兩種線性變換，一為旋轉矩陣，另一為對稱矩陣，但這些矩陣皆只
適用於過原點的直線或繞原點旋轉，因此，我們提出了一個疑問，是否可
能有不是過原點或繞行原點的線性變換矩陣呢?或者，有了投影矩陣，又
是否能推導出投影於某直線的投影矩陣呢?
研究就此展開，好奇心果然是驅使科學進步的一大要素～
貳、 正文
一、 課文中對應的線性變換矩陣如下
(一) 旋轉矩陣：
點(𝑝, 𝑞)繞原點逆時針旋轉θ，座標變成(𝑝 cos 𝜃 − 𝑞 sin 𝜃 , 𝑝 sin 𝜃 +
𝑞 cos 𝜃)，
可寫成[
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑝
𝑞]
proof:
令(𝑝, 𝑞)的極座標為[𝑟, 𝛼]
即{
𝑝 = 𝑟 cos 𝛼
𝑞 = 𝑟 sin 𝛼
若繞原點逆時針旋轉θ，則(𝑝′, 𝑞′) = (𝑟 cos(𝛼 + 𝜃) , 𝑟 sin(𝛼 + 𝜃))
依合角公式展開後得{
𝑝′ = 𝑟(cos 𝛼 cos 𝜃 − sin 𝛼 sin 𝜃)
𝑞′ = 𝑟(sin 𝛼 cos 𝜃 + cos 𝛼 sin 𝜃)
⇒{
𝑝′ = 𝑟 cos 𝛼 cos 𝜃 − 𝑟 sin 𝛼 sin 𝜃
𝑞′
= 𝑟 sin 𝛼 cos 𝜃 + 𝑟 cos 𝛼 sin 𝜃
⇒{
𝑝′ = 𝑝 cos 𝜃 − 𝑞 sin 𝜃
𝑞′
= 𝑞 cos 𝜃 + 𝑝 sin 𝜃
⇒[
𝑝′
𝑞′
] = [
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑝
𝑞]

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(二) 鏡射矩陣：
點(𝑝, 𝑞)對直線𝑦 = 𝑚𝑥鏡射，𝜃 = tan−1
𝑚，座標變成(𝑝 cos 2𝜃 +
𝑞 sin 2𝜃 , 𝑝 sin 2𝜃 − 𝑞 cos 2𝜃)，
可寫成[
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞]
proof:
令(𝑝, 𝑞)的極座標為[𝑟, 𝛼]
即{
𝑝 = 𝑟 cos 𝛼
𝑞 = 𝑟 sin 𝛼
若對直線𝑦 = 𝑚𝑥鏡射，則(𝑝′, 𝑞′) = (𝑟 cos(2𝜃 − 𝛼) , 𝑟 sin(2𝜃 − 𝛼))
依差角公式展開後得{
𝑝′ = 𝑟(cos 2𝜃 cos 𝛼 + sin 2𝜃 sin 𝛼)
𝑞′ = 𝑟(sin 2𝜃 cos 𝛼 − cos 2𝜃 sin 𝛼)
⇒{
𝑝′ = 𝑟 cos 2𝜃 cos 𝛼 + 𝑟 sin 2𝜃 sin 𝛼
𝑞′ = 𝑟 sin 2𝜃 cos 𝛼 − 𝑟 cos 2𝜃 sin 𝛼
⇒{
𝑝′
= 𝑝 cos 2𝜃 + 𝑞 sin 2𝜃
𝑞′
= 𝑝 sin 2𝜃 − 𝑞 cos 2𝜃
⇒[
𝑝′
𝑞′
] = [
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞]
二、 從課文中公式延伸
(一) 繞(𝑢, 𝑣)的旋轉矩陣
點(𝑝, 𝑞)繞(𝑢, 𝑣)逆時針旋轉θ
座標可標示為[
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑝
𝑞] + [
1 − cos 𝜃 sin 𝜃
− sin 𝜃 1 − cos 𝜃
] [
𝑢
𝑣
]
proof:
使(𝑝 − 𝑢, 𝑞 − 𝑣)繞原點逆時針旋轉θ後，再加上(𝑢, 𝑣)
⇒[
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑝 − 𝑢
𝑞 − 𝑣] + [
1 0
0 1
] [
𝑢
𝑣
]
⇒[
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑝
𝑞] − [
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑢
𝑣
] + [
1 0
0 1
] [
𝑢
𝑣
]
⇒[
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑝
𝑞] + [
1 − cos 𝜃 sin 𝜃
− sin 𝜃 1 − cos 𝜃
] [
𝑢
𝑣
]

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(二) 對直線𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛的鏡射矩陣
點(𝑝, 𝑞)對直線𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛鏡射，𝜃 = tan−1
𝑚
可寫成[
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞] + [
1 − cos 2𝜃 − sin 2𝜃
− sin 2𝜃 1 + cos 2𝜃
] [
𝑛
0
]
proof:
使(𝑝 − 𝑛, 𝑞)對直線𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛鏡射後，再加上(𝑛, 0)
⇒[
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝 − 𝑛
𝑞 ] + [
1 0
0 1
] [
𝑛
0
]
⇒[
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞] − [
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑛
0
] + [
1 0
0 1
] [
𝑛
0
]
⇒[
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞] + [
1 − cos 2𝜃 − sin 2𝜃
− sin 2𝜃 1 + cos 2𝜃
] [
𝑛
0
]
整理後可寫成[
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞] + [2 n ∙ sin2
𝜃
−𝑛 ∙ sin 2𝜃
]
(三) 對直線𝑦 = 𝑚𝑥的投影矩陣
點(𝑝, 𝑞)對直線𝑦 = 𝑚𝑥投影，𝜃 = tan−1
𝑚
可寫成
1
2
[
cos 𝜃 cos 𝜃
sin 𝜃 sin 𝜃
] [
cos 𝜃 sin 𝜃
cos 𝜃 sin 𝜃
] [
𝑝
𝑞]
proof:
使(𝑝, 𝑞)對直線𝑦 = 𝑚𝑥鏡射後，與(𝑝, 𝑞)做平均數
⇒
1
2
[
cos 2𝜃 sin 2𝜃
sin 2𝜃 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞] +
1
2
[
1 0
0 1
] [
𝑝
𝑞]
⇒
1
2
[
cos 2𝜃 + 1 sin 2𝜃
sin 2𝜃 1 − cos 2𝜃
] [
𝑝
𝑞]
⇒
1
2
[ 2 cos2
𝜃 2 sin 𝜃 cos 𝜃
2 sin 𝜃 cos 𝜃 2 sin2
𝜃
] [
𝑝
𝑞]
⇒[ cos2
𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃 sin2
𝜃
] [
𝑝
𝑞]
⇒
1
2
[
cos 𝜃 cos 𝜃
sin 𝜃 sin 𝜃
] [
cos 𝜃 sin 𝜃
cos 𝜃 sin 𝜃
] [
𝑝
𝑞]

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參、 心得與反思
二次方陣，方方正正的，四個數字而已，能表達的意象卻多到超乎
想像。初見之下的它，看似一個怪怪的運算法，用途不大，誰知他竟然是
推動計算機演化的重要推手，甚至是許多電腦程式都需要使用方陣表示
呢！
第一次深入鑽研它之後，發現它與三角函數的其中幾個公式有著密
不可分的關係，利用方陣乘法的特性，能表達許多方程式。
矩陣這樣運算，某數與對應的數相乘再加總，來來回回、反反覆
覆，不知不覺，我也被矩陣深深吸引，不忍為高三複習課業而放下研究它
的機會。於是，邊順便藉由方陣乘法複習三角函數的半倍角、和差角公式
了。
其實，數學的世界就是這樣，一個概念能用不只一個東西表達，常
常是跨足多個領域的，可能在這領域它呈現出來是這樣，另一個領域中它
又能這樣表達。像是投影在向量中可以用線段的法向量計算，也能旋轉計
算，真奇妙。也是，畢竟數學是一門邏輯學科，在人腦的激盪下總能產生
出燦爛的火花。

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‧心臟線證明
壹、 前言
隊員吳春暉之前在學極座標的時候，偶然看到兩個硬幣竟然可以因
為環繞而產生心臟線，這在生活中是難以觀察到的，而且有兩種繞法，於
是便心生好奇，想要親自證明出來，並且找來了他的好夥伴--江智弘。
貳、 正文
試證兩個硬幣互相環繞，且固定一枚硬幣，則另一枚硬幣的定點將會形成心臟
線。
(如圖 1)
圖 1
一、第一種證明
(1)
假設其中一個固定的圓的圓心是
A(0,0.5)，另一個環繞圓 A 的圓心是
C，且 C 是從(0,-0.5)開始環繞，而 D
原本是與 B 點重和，圓 A 半徑與圓 C
半徑皆 0.5，切點是 E。(如圖 2)
已知心臟線方程式為𝑟 = 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃
而 r 為BD
̅̅̅̅線段
θ 為BD
̅̅̅̅線段與 X 軸所形成的夾角
∵兩圓互相環繞 (圖 2)
∴BE
̂弧長= DE
̂弧長⇒ BE
̂弧度= DE
̂弧度

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(2)
而我們因為在這個地方想不到如何找出圓與角度的關係，然而卻在某一天洗澡
時想到弦切角關係，於是
假設BE
̂弧度為 α，且將 BD 連線
且中點為 F
∵E 為兩圓切點，F 又為BD
̅̅̅̅中點
∴EF 線段為兩圓切線
⇒ ∠BEF = ∠DEF = α
2
⁄ (如圖 3)
圖 3
(3)
將 AE 以及 AB 連起，再找出BE
̅̅̅̅中點 G
∵B 和 E 皆為圓上一點
∴AB
̅̅̅̅線段長= AE
̅̅̅̅線段長
⇒△ABE 為等腰三角形
又
∵G 為BE
̅̅̅̅中點
∴AG
̅̅̅̅為BE
̅̅̅̅線段中垂線且平分 α 兩等分
⇒∠BAG=
α
2
，∠BGA= 90°
⇒BE
̅̅̅̅線段長= 2 × BG
̅̅̅̅線段長
= 2 × 0.5 sin
α
2
= sin
α
2
(如圖 4)
圖 4
(4)
已知BE
̅̅̅̅線段長= sin
α
2
BF
̅̅̅̅線段長= BE
̅̅̅̅線段長× sin
α
2
= sin2
α
2
r = BD
̅̅̅̅線段長= 2 × BF
̅̅̅̅線段長= 2 sin2 α
2
(如圖 5) 圖 5

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(5)
θ = 90° − ∠ABF
∠ABG = 90° −
α
2
∠GBF = 90° −
α
2
∠ABF = ∠ABG + ∠GBF = 180° − α
θ = 90° − (180° − α) = α − 90°
已知心臟線為r = 1 + sin 𝜃
再由θ = 90° − (180° − α)
= α − 90°替換 圖 6
r = 1 + sin(α − 90°) = 1 − sin(90° − α)
= 1 − cos α(如圖 6)
(6)
三角函數半角公式有sin2 Ф
2
= (1 − cos Ф) 2
⁄
⇒BD
̅̅̅̅線段長= sin2 α
2
= 2 × [(1 − cos Ф) 2
⁄ ] = 1 − cos α
⇒故得證兩個硬幣互相環繞，且固定一枚硬幣，則另一枚硬幣的定點將會形成
心臟線
二、第二種證明
這一次，我們幫硬幣換個起點，讓圓 B 從
(0,1.5)順時針繞行定圓 C，如(圖 7)所示
轉動圓 B 使其產生一段位移，得到圓 A。其中
G 為圓 B 上之一定點，E 為 G 位移後之 A 上
一點，DA
̅̅̅̅線段為過圓心 A 平行GF
̅̅̅̅線段之連
線，且∠GFE 令為Φ，∠DAE 為φ，而FE
̅
̅
̅̅線
段即為極座標內的半徑 r。如(圖 8)所示。
欲知動點 E 所形成的集合為何種圖形，即求動
點 E 的軌跡方程。
(圖 7)

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分析一下，要得知Φ與φ角度之間的關係難
度極高，且不利化簡，因此，我打算採取另
一種形式來做解析。
我們將 y 以 y-0.5 帶入，即對圖形做 0.5 單位
的向下平移。如此一來，我們便可重新定義
∠Φ為∠GFA，透過 2∠Φ=φ的關係(註 1)，
將動點 E 知座標寫成參數式，如下。
X = AF
̅̅̅̅長× sin Φ + EA
̅̅̅̅長× sin 𝜋 − 𝜃
AF
̅̅̅̅線段=兩圓連心線= 2 × 0.5 = 1，又EA
̅̅̅̅線
段長=圓 A 半徑=0.5
且sin(π − φ) = sin φ(where φ=2 Φ)
⇒X = sin Φ + 0.5 sin 2Φ ⋯ ⋯ (𝑖) (圖 8)
Y = AF
̅̅̅̅線段長× cos Φ + EA
̅̅̅̅線段長× cos φ
AF
̅̅̅̅線段長=兩圓連心線= 2 × 0.5 = 1，又EA
̅̅̅̅
線段=圓 A 半徑=0.5 且cos φ = cos 2Φ
(where φ=2 Φ)
⇒Y = cos Φ + 0.5 cos 2Φ ⋯ (𝑖𝑖)
由(i)、(ii)得動點 E 的參數方程為:
{
𝑥 = 𝑠𝑖𝑛Φ + 0.5sin2Φ
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠Φ + 0.5cos2Φ
(圖 9)
對照心臟線的參數方程
{
x = a(2 cos 𝑡 − cos 2t)
𝑦 = 𝑎(2 sin 𝑡 − sin 2𝑡)
或 {
𝑥 = 2𝑎 sin t + a sin 2t
y = 2a cos t + a cos 2t
我們不難看出兩者具有關係，當然囉，先前對角度定義順時針為正影響到了正
負號，而以 y 軸為始邊影響到了定義域(−𝜋 ≤ Φ ≤ 𝜋，0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋)
最後，我們將結果與r = 1 + sin 𝜃圖形做比對，其中藍色蚶線為r = 1 + sin 𝜃，
黑色為動點 E 之軌跡

11. | 數學科課程學習成果
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(圖 10) (圖 11)
再將最一開始向下平移 0.5 單位給移回來，兩者圖形就重合了。如圖 11、12
當然，若是僅僅要證明硬幣互繞的軌跡為心臟線的話，我們也可以說因為平移
後的圖形是心臟線，平移前自然也是心臟線囉。
註 1:
以物理的方式做定量說明:
根據圖 12，點 A、B 分別為硬幣之質心，點 C 為
兩圓相切之所在。
令 A 順時針繞 B 之角速度為ω、硬幣 A 自轉角
速度為ψ，則質點 A 之切線速度為υ=ω*2r(r 為
兩圓之半徑)
且 C 應為瞬心(centro )，即瞬時速度為零。即ω
*2r -ψ*r=0
=> 2ω= ψ(經過時間相同) =>2Φ=φ(代號之意義
與前述相同)，故得證。
(圖 12)
參、 心得與反思
做完之後，我們終於了解到為什麼竟然能使用兩枚硬幣就做出這麼完美的
圖形，也覺得非常的神奇，然而，卻有一個方法尚未證明出來，或許是因為我們
能力不夠，所以我們會繼續增進自己的能力，使我們下學期能把他證完。

12. | 數學科課程學習成果
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‧遺傳機率問題
壹、前言
110 學年度第 1 學期第二次段考時，隊員姜昱任在生物科考試中發現
了有趣的疑點：題目中問題為遺傳機率的計算，但段考解答疑似因為疏忽
而誤把條件機率算成獨立事件，導致答案可能與真實計算情況略有出入。
為求出真理，我們決定重新計算並做成學習成果。
跨數學課本第四冊第三章獨立事件與條件機率、生物遺傳學獨立分
配律兩個章節。
貳、正文
一、原題解法
解：
(1)根據此遺傳圖譜，棕眼基因的遺傳機制為顯性體染色體遺傳。
(2)令 B 為棕眼基因，b 為藍眼基因。3 與 4 的基因型皆為 Bb。
(3)3 與 4 的子代眼色機率：
B b
B BB Bb
b Bb bb

13. | 數學科課程學習成果
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數學科課程學習成果 | 第 12 頁
棕眼 3/4，藍眼 1/4
(4)7 為藍眼女子的機率為1 4
⁄ × 1 2
⁄ = 1 8
⁄
二、解法瑕疵
原解法既符合生物學獨立分配律概念也符合數學獨立事件，看似沒問
題的解法其實有個瑕疵潛在其中：已知 5 號。科學史上著名的悖論—伯特
蘭箱子悖論—已知的條件能影響未知的機率。的確，已知一個五號的性
狀，就代表這是條件機率，而不是單純的機率了。
如果這題是出給國中生，那答案也不用修正了，就當作是 1/8。然而高
中的我們學過條件機率，知道 5 號藍眼男性是一個條件，需要被考慮。
三、解法修正：
用條件機率的方式表示：
三個人中有一藍眼男子的情況下，有一藍眼女子的機率
𝑝(有一藍眼女子 | 三個人中有一藍眼男子)
=
𝑝(三個人中有一藍眼男子 ∪ 有一藍眼女子)
𝑝(三個人中有一藍眼男子)
𝑝(三個人中有一藍眼男子)
=
18
256
+
3
512
+
3
512
+
18
64
+
9
512
+
9
512
+
1
512
=
36 + 3 + 3 + 144 + 9 + 9 + 1
512
=
205
512
□○✽ 1
8
×
1
8
×
3
4
× 3!
18
256
□□○ 1
8
×
1
8
×
1
8
× 𝑐2
3
3
512
□○○ 1
8
×
1
8
×
1
8
× 𝑐2
3
3
512

14. | 數學科課程學習成果
--本數學團隊擁有著作權 抄襲必究
數學科課程學習成果 | 第 13 頁
□✽✽’ 1
8
×
3
4
×
1
2
× 3!
18
64
□✽✽ 1
8
×
3
4
×
1
8
× 𝑐2
3
9
512
□□✽ 1
8
×
1
8
×
3
4
× 𝑐2
3
9
512
□□□ 1
8
×
1
8
×
1
8
1
512
𝑝(三個人中有一藍眼男子 ∪ 有一藍眼女子)
=
18
256
+
3
512
+
3
512
=
24
512
∴ 𝑝(有一藍眼女子 | 三個人中有一藍眼男子) =
24
512
205
512
=
24
205
參、心得與反思
某個輕鬆的時光中，姜昱安問了姜昱任一個問題：一個有兩個小孩
的家庭中，如果有一個小孩是男性，那麼另一個小孩是女性的機率是多
少？姜昱任下意識的掉入了獨立事件思考模式，回答了二分之一。然而，
早有準備的姜昱安卻篤定地說正確答案是三分之二，並且強調此題應用條
件機率思考。
那天之後，這件事在姜昱任的心上縈繞許久，並且種下他對條件機
率靈敏度的種子。一直到這次的段考，即使這題生物考的是基礎的遺傳機
率，他也不忘數學的邏輯，經過深思之後突然發現有哪處不對勁。雖然考
試當下的他並沒有多想，硬是為了考試分數寫下了 1/8，但這份不解使他
在考試後繼續研究此題數學，終於在努力後完成。
此次成果也和生物老師、數學老師討論過，最後也向全班同學發
表，不過，因為生物課沒有如此嚴謹的數學理論基礎，且全校也沒有人寫
這個答案，因此考卷答案維持原本不變。雖然答案不變，但真理卻一直存
在所有組員的心中。

15. | 數學科課程學習成果
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•空間中兩歪斜線間的最短距離
壹、前言
學習空間中兩歪斜線之間最短距離的求取時，我們發現原本求取的方
法很麻煩，因此我們決定找出一個簡易的公式，幫助我們快速求出。
貳、正文
空間中兩歪斜線：𝐿1 {
𝑥 = 𝑎1𝑡1 + 𝑑1
𝑦 = 𝑏1𝑡1 + 𝑒1
𝑧 = 𝑐1𝑡1 + 𝑓1
𝐿2 {
𝑥 = 𝑎2𝑡2 + 𝑑2
𝑦 = 𝑏2𝑡2 + 𝑒2
𝑧 = 𝑐2𝑡2 + 𝑓2
𝐿1到𝐿2之間的距離：𝑑(𝐿1, 𝐿2)
𝑑(𝐿1, 𝐿2) = √(𝑎1𝑡1 − 𝑎2𝑡2 + 𝑑1 − 𝑑2)2 + (𝑏1𝑡1 − 𝑏2𝑡2 + 𝑒1 − 𝑒2)2 + (𝑐1𝑡1 − 𝑐2𝑡2 + 𝑓1 − 𝑓2)2
令𝐷(𝐿1, 𝐿2) = [𝑑(𝐿1, 𝐿2)]2
，求𝑚𝑖𝑛 𝐷(𝐿1, 𝐿2)
{
𝜕𝐷
𝜕𝑡1
= 2[𝑎1(𝑎1𝑡1 − 𝑎2𝑡2 + 𝑑1 − 𝑑2) + 𝑏1(𝑏1𝑡1 − 𝑏2𝑡2 + 𝑒1 − 𝑒2) + 𝑐1(𝑐1𝑡1 − 𝑐2𝑡2 + 𝑓1 − 𝑓2)] = 0
𝜕𝐷
𝜕𝑡2
= −2[𝑎2(𝑎1𝑡1 − 𝑎2𝑡2 + 𝑑1 − 𝑑2) + 𝑏2(𝑏1𝑡1 − 𝑏2𝑡2 + 𝑒1 − 𝑒2) + 𝑐2(𝑐1𝑡1 − 𝑐2𝑡2 + 𝑓1 − 𝑓2)] = 0
設：𝜏1 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) 𝜏2 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) 𝑃𝑄
⃑⃑⃑⃑⃑ = (𝑑1 − 𝑑2 , 𝑒1 − 𝑒2 , 𝑓1 − 𝑓2)
則：{
𝜏1
2
𝑡1 − 𝜏1 ∙ 𝜏2𝑡2 + 𝜏1 ∙ 𝑃𝑄
⃑⃑⃑⃑⃑ = 0
𝜏1 ∙ 𝜏2𝑡1 − 𝜏2
2
𝑡2 + 𝜏2 ∙ 𝑃𝑄
⃑⃑⃑⃑⃑ = 0
解完聯立，得：𝑡1 =
(𝜏1∙𝜏2)(𝜏2∙𝑃𝑄
⃑⃑⃑⃑⃑ )−𝜏2
2(𝜏1∙𝑃𝑄
⃑⃑⃑⃑⃑ )
𝜏1
2𝜏2
2−(𝜏1∙𝜏2)2
𝑡2 =
𝜏1
2(𝜏2∙𝑃𝑄
⃑⃑⃑⃑⃑ )−(𝜏1∙𝜏2)(𝜏1∙𝑃𝑄
⃑⃑⃑⃑⃑ )
𝜏1
2𝜏2
2−(𝜏1∙𝜏2)2
參、心得與反思
在找出了最短距離的公式後，我們發現這組公式十分複雜，要完全記
下極不容易。因此，此式在考試中的實用程度極低。然而，這並不代表沒
有研究用上的功用。