1. 2．5 一元二次方程及其解法
一、考试内容
1. 了解一元二次方程及其解的基本概念.
2. （补充）了解一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.
3. 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二
次方程.
二、近三年中考试卷分析
年份 题号 考察题型 考察知识点 分值 难度
08年 无
09年 无
1 0年 无
三、考点整合
考点 1：一元二次方程方程及其解的概念（了解）
注 1： 一元二次方程：只含一个未知数，并且未知数的最高次数都是 2 的整式
方程.其一般形式为 2 .
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
注 2： 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值.
☆命题角度： 一元二次方程的相关概念.
☆例题解析
1、（2010•德化质检）已知关于 x 的一元二次方程的一个根是 1，写出一个符合
条件的方程： ．
2、 （2010•河北省）已知 是一元二次 方程 2 的一个根，则
x =1 x + mx + n =0
的值为 ．
m 2 + 2mn + n 2
3、（2010•四川南充）如果方程 的两个根分别是 Rt 的两条
x2 − 4x + 3 = 0 △ABC
边，△ABC 最小的角为 A，那么 tanA 的值为＿＿＿＿＿＿＿．
考点 2：判别式、根与系数的关系（了解）
∆>0 方程有两个不相等的实数根.
1

2. 注 1： 判别式 ∆ = b − 4ac ∆ = 0 方程有两个相等的实数根.
2
∆<0 方程没有实数根.
设一元二次方程 的两个根为 x , x ，则
注 2： x 2 + px + q = 0(b 2 − 4ac ≥ 0) 1 2
x1 + x2 = − p, x1 gx2 = q .
☆ 命题角度： 根的判别式；根与系数的关系.
☆ 例题解析
1、（2009•广东梅州）已知一元二次方程 的两根为 x , x ，则
2 x 2 − 3x − 1 = 0 1 2
x1 gx2 = ．
2、（2010•广西钦州）已知关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实
x 2 + kx +1 =0
数根，则 k = ．
（2009•山东威海）若关于 的一元二次方程 x 2 + k + 3 x + k = 0 的一个根是
3、
x ( )
−2 ，则另一个根是 ．
4、（2010•广东广州）已知关于 x 的一元二次方程 有两个
ax 2 + bx +1 =0( a ¹ 0 )
相等的实数根，求 的值
ab 2
( a - 2 )2 + b 2 - 4
考点 3：一元二次方程的解法（理解）
注 1： 四种常见解法归类示例：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.
注 2： 利用求根公式可以解任何类型的一元二次方程
（求根公式： .
−b ± b 2 − 4ac
x= ）
2a
注 3： 配方法的一般步骤：
化二次项系数为 1 常数项移到另一边 方程两边同时加上一次项系数一半的
平方 整理成
( x + a ) = h 的形式 运用直接开平方法求解.
2
2

3. ☆ 命题角度： 二次根式的化简；二次根式的计算.
☆ 例题解析
1、（2010•石狮质检）方程 经过配方后，其结果正确的是（ ）
x 2 + 4x − 6 = 0
A． B． C． D．
( x + 2 )2 =2 ( x + 2 )2 =10 ( x - 2 )2 =- 2 ( x - 2 )2 =10
2、（2010•安溪质检）方程 ( x − 3)( x + 1) = x − 3 的解是（ ）
A． x = 0 B． x = 3 C． x = 3 或 x = −1 D． x = 3 或 x = 0
3、（2009•新疆维吾尔族自治区）解方程：
( x − 3) 2 + 4 x ( x − 3) = 0 ．
四、真题训练（16 分钟左右）
1、（2010•惠安质检）方程: 的解是 .
x 2 − 25 = 0
2、（2010•江苏连云港）若关于 x 的方程 有实数根，则 m 的值可
x 2 - mx + 3 =0
以为 ．(任意给出一个符合条件的值即可)
3、（2010•永春质检） 是一元二次方程 2 的一个解,则 a = ．
x =2 x - ax + 3 =0
4、（2009•广西崇左）一元二次方程 的一个根为 ，则另一个
x 2 + mx + 3 = 0 −1
根为 ．
5、（2009•云南省）一元二次方程 5 x 2 − 2 x = 0 的解是（ ）
2 5
A．x1 = 0 ，x2 = 5 B． x1 = 0 ，x2 = − 2
5 2
C．x1 = 0 ，x2 = 2 D． x1= 0 ，x2 = − 5
6、（2010•山东日照）如果关于 x 的一元二次方程 的两根分别为
x 2 + px + q =0
x1 =2, x2 =1 ，那么 p,q 的值分别是（ ）.
Ａ．－3，2 Ｂ．3，-2 Ｃ．2，－3 Ｄ．2，3
3

4. 7、（2010•湖南益阳）一元二次方程 有两个不相等的实数
ax 2 + bx + c =0( a ¹ 0 )
根，则 满足的条件是( ).
b 2 - 4ac
Ａ． ＝0 Ｂ． ＞0
b 2 - 4ac b 2 - 4ac
Ｃ． ＜0 Ｄ． ≥0
b 2 - 4ac b 2 - 4ac
8、（2009•山西太原）用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
x2 − 2x + 5 = 0
A．
( x + 1) B．
( x − 1)
2 2
=6 =6
C．
( x + 2) D．
( x − 2)
2 2
=9 =9
9、（2009•山西省）解方程：
x 2 - 2 x - 3 =0
10、（2010•四川南充）关于 的一元二次方程 2 有两个不相等的实
x x − 3x − k = 0
数根．
（1）求 k 的取值范围．
（2）请选择一个 k 的负整数值，并求出方程的根．
☆答题分析
错题： 知识点： 二次巩固情况：
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4

5. 五、纠错加强（10 分钟左右）
1、（2010•福建莆田）如果关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实
x 2 - 2 x + a =0
数根，那么 a = .
2、（2009•山西省）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程： ．
3、（2010•上海市）已知一元二次方程 2 ，下列判断正确的是（ ）.
x + x - 1 =0
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
4、（2009•浙江台州）用配方法解一元二次方程 2 的过程中，配方正
x − 4x = 5
确的是（ ）
A．（ B． C． D．
x + 2) 2 = 1 ( x − 2) 2 = 1 ( x + 2) 2 = 9 ( x − 2) 2 = 9
5、（2009•山东济南）若 x ，x 是一元二次方程 的两个根，则
1 2 x2 − 5x + 6 = 0
x1 +x2 的值是（ ）
A． 1 B． 5 C． −5 D． 6
6、（2009•湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）.
A． 2 B． 2
x − 2x − 1 = 0 x − 2x + 3 = 0
C． D．
x 2 = 2 3x − 3 x 2 − 4x + 4 = 0
7、（2009•湖北十堰）方程 x + 2 x − 1 = 0 的解为
( )( ) .
8、（2009•湖北咸宁）方程 3 x( x + 1) = 3 x + 3 的解为（ ）
A． B． C． x = 0，x = -1 D． x = 1，x = -1
x =1 x = −1 1 2 1 2
9、（2009•湖北武汉）解方程： ．
x 2 − 3x − 1 = 0
10、（2009•湖北仙桃等 4 市）解方程： ．
x2 + 4x + 2 = 0
5

6. 11、（2010•四川成都）若关于 的一元二次方程 2 有两个实数根，
x x + 4 x + 2k = 0
求 k 的取值范围及 k 的非负整数值.
☆答题分析
错题： 知识点： 二次巩固情况：
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6