本文介绍了多项式函数的极限与导数，包括如何求函数的定义域和值域。通过多个例子，展示了如何判断函数的极限和确定不同类型函数的图形特征。文中还涉及了一些求极限的计算方法，适用于学生学习和应用相关知识。

1. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 1
1 多項式函數的極限與導數
1-1 函數及其圖形
x 1
1. 求函數 f  x   的定義域與值域﹒
x2
解﹕(1)因為分母不可為零﹐所以 f  x  的定義域為  x | x  2, x  ﹒
x 1 2 y 1
(2)令 y  ﹐則 x  ﹐ y 1﹒
x2 y 1
所以 f  x  的值域為  y | y  1, y  ﹒
2. 求函數 f  x   2 x  3  4 的定義域與值域﹒
解﹕(1)因為對於所有實數 x ﹐ f  x  都有意義﹐
所以定義域為 ﹒
(2)因為 x  3  0 ﹐所以 f  x   2 x  3  4  4 ﹒
故 f  x  的值域為  y | y  4, y  ﹒
1
3. 求函數 f  x   的定義域與值域﹒
4  x2
解﹕(1)由分母 4  x 2  0 ﹐得 2  x  2 ﹐
因此﹐定義域為  x | 2  x  2, x  ﹒
(2)因為 0  4  x 2  4 ﹐所以
1 1
0  4  x 2  2 ﹐即  ﹒
4  x2 2

2. 2 第 1 章 多項式函數的極限與導數
 1 
故 f  x  的值域為  y | y  , y   ﹒
 2 
4. 求函數 f  x   8  2 x  x 2 的定義域與值域﹒
解﹕(1)因為根號內不可為負數﹐所以
8  2x  x2  0  x2  2x  8  0 ﹒
整理得  x  4  x  2   0   4  x  2 ﹒
故 f  x  的定義域為  x | 4  x  2, x  ﹒
2
(2)因為 f  x   8  2 x  x 2    x  1  9
且 4  x  2 ﹐所以 0  f  x   3 ﹒
故 f  x  的值域為  y | 0  y  3, y  ﹒
1
5. 求函數 f  x   的定義域與值域﹒
3  2 x  x2
解﹕(1)因為根號內不可為負數﹐且分母不可為零﹐所以
3  2 x  x2  0  x 2  2 x  3  0 ﹒
解得 1  x  3 ﹒
故 f  x  的定義域為  x | 1  x  3, x  ﹒
2
(2)因為 3  2 x  x 2    x  1  4 且 1  x  3 ﹐所以
2
0    x  1  4  4 ﹒
因此 0  3  2 x  x 2  2 ﹐即
1 1
 ﹒
3  2x  x 2 2
 1 
故 f  x  的值域為  y | y  , y   ﹒
 2 

3. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 3
6. 求函數 f  x   log 3  9  x 2  的定義域與值域﹒
解﹕(1)因為真數 9  x 2  0 ﹐即 3  x  3 ﹐
所以 f  x  的定義域為  x | 3  x  3, x  ﹒
(2)因為 0  9  x 2  9 ﹐所以
log 3  9  x 2   log 3 9  2 ﹒
故 f  x  的值域為  y | y  2, y  ﹒
2x2  x  3
7. 作函數 f  x   的圖形﹒
x 1
解﹕因為分母不可為 0﹐所以 f  x  的定義域
為 x  | x  1 ﹒又因為當 x  1 時﹐
2 x 2  x  3  x  1 2 x  3
f  x    2x  3 ﹐
x 1 x 1
所以 y  f  x  的圖形是直線
y  2 x  3 去掉點  1, 5 ﹐如圖所示﹕

4. 4 第 1 章 多項式函數的極限與導數
1
8. 求函數 f  x   2
的值域及其圖形的最高點坐標﹒
x  2x  3
1 2
解﹕(1)由 f  x   2
及  x  1  2  2 ﹐得
 x  1 2
1
0  f  x  ﹒
2
 1 
於是 f  x  的值域為  y | 0  y  , y   ﹒
 2 
1
(2)因為當 x  1 時﹐ f  x  有最大值 ﹐
2
 1
所以 f  x  之圖形的最高點為  1,  ﹒
 2

5. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 5
1-2 極限的概念
1. 求下列各極限的值﹕
2x  3  x2 1 x2  x  2 
(1) lim ﹒ (2) lim  2  ﹒
x2 x 2  3 x 1 x  3 x  4 x2 1 

2 x  3 lim  2 x  3 2  2  3
解﹕(1) lim  x2 2  2  1﹒
x2 x 2  3 lim  x  3 2 3
x2
 x2 1 x2  x  2   x 1 x  2  x 1 x2
(2) lim  2  2   lim     lim  lim
x 1 x  3 x  4 x  1  x 1  x  4 x  1  x 1 x  4 x1 x  1

11 1 2 2 3 11
     ﹒
1 4 11 5 2 10
2. 求下列各極限的值﹕
 x  1 10 x  10   x4 2 
(1) lim 
x 5 x  5
 2 ﹒ (2) lim   2 ﹒
 x  25  x 3 x  3
 x  4x  3 
 x  1 10 x  10 
解﹕(1) lim 
 x2  4x  5   x  5  x  1
 2  lim  2
 x 5   lim
x 5 x  5
 x  25   x  25  x 5  x  5  x  5 
x 1 5 1 3
 lim   ﹒
x 5 x5 55 5
 x4
(2) lim   2
2 
 lim
 x  4  x  1  2  lim x2  5 x  6

x 3 x  3
 x  4 x  3  x3  x  1 x  3 x 3  x  1 x  3 
x2 32 1
 lim   ﹒
x 3 x 1 3  1 2

6. 6 第 1 章 多項式函數的極限與導數
10
3. 求 lim
 x  1 1
的值﹒
x 0 x
10
解﹕ lim
 x  1 1
 lim
C 10 x10  C 10 x9    C 10 x  C 10  1
0 1 9 10
x0 x x0 x
 lim  C 10 x9  C 1 x8    C 10   C 10  10 ﹒
0
10
9 9
x 0
x2  2 x
4. 求 lim 的值﹒
x 0 x
x2  2 x x2  2x
解﹕因為右極限﹕ lim  lim  lim  x  2   2 ﹐
x 0 x x 0 x x0
x2  2 x x2  2 x
左極限﹕ lim  lim  lim   x  2   2 ﹐
x 0 x x 0 x x 0
x2  2 x
即右極限  左極限﹐所以極限 lim 的值不存在﹒
x 0 x
f  x f  x   f 1
5. 已知函數 f  x  滿足 lim f  x   f 1 且 lim  2 ﹐求 lim 的
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
值﹒
f  x f  x
解﹕因為 lim f  x   lim   x  1  lim  lim  x  1  2  0  0 ﹐
x 1 x 1 x 1 x 1 x  1 x 1
且 lim f  x   f 1 ﹐所以 f 1  0 ﹒
x 1
f  x   f 1 f  x
故 lim  lim  2﹒
x 1 x 1 x 1 x  1

7. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 7
x2  x  a
6. 設 a ﹐ b 為實數﹐且 lim  b ﹐求 a ﹐ b 的值﹒
x2 x2
x2  x  a
解﹕因為 lim  x  2   0 ﹐且 lim  b ﹐所以
x2 x2 x2
lim  x 2  x  a   0 ﹐
x2
即 4  2  a  0 ﹒解得 a  6 ﹒於是
x2  x  a x2  x  6
b  lim  lim  lim  x  3  5 ﹒
x2 x2 x2 x2 x2
故 a  6 ﹐ b  5 ﹒
f  x f  x
7. 已知三次多項式 f  x  滿足 lim  1 且 lim  3 ﹐求 f  x  ﹒
x 1 x 1 x2 x  2
解﹕因為 f  x  為多項式﹐所以 lim f  x   f 1 ﹒
x 1
又因為
f  x f  x
lim f  x   lim   x  1  lim  lim  x  1  1  0  0 ﹐
x 1 x 1 x 1 x 1 x  1 x 1
因此 f 1  0 ﹒同理可得 f  2   0 ﹒
由因式定理得知﹐ x  1 與 x  2 都是 f  x  的因式﹒因此﹐可設
f  x    ax  b  x  1 x  2  ﹒
由題意﹐得
f  x
1  lim  lim  ax  b  x  2    a  b ﹐
x 1 x  1 x1
f  x
 lim  ax  b  x  1  2a  b ﹒
3  lim
x2 x  2 x 2
解得 a  4 ﹐ b  5 ﹒
故 f  x    4 x  5  x  1 x  2   4 x 3  17 x 2  23x  10 ﹒

8. 8 第 1 章 多項式函數的極限與導數
 x3  2, x  1

8. 已知函數 f  x    2 在 x  1 處連續﹐求實數 k 的值﹒
 x  k , x  1

解﹕因為 f  x  在 x  1 處連續﹐所以 lim f  x   f 1 ﹒
x 1
又因為 f 1  13  2  3 ﹐且當 x 從 1 的左邊趨近 1 時
﹐ f  x  會趨近於 12  k  1  k ﹐所以
1  k  3 ﹒
解得 k  4 ﹒

9. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 9
1-3 割線與切線
1. 已知 P  3,3 是二次函數 f  x   x 2  2 x 圖形上的一個定點﹐而 Q  x, x 2  2 x 
是該圖形上異於 P 的動點﹒問當 x 的值為多少時﹐割線 PQ 的斜率為 5﹒
解﹕由斜率的定義﹐得
f  x   f  3 x 2  2 x  3  x  3 x  1  5 ﹐
 5 
x 3 x 3 x 3
即 x 1  5 ﹒
解得 x  4 ﹒
2. 已知點 P  2,3 在二次函數 f  x   x 2  x  1 的圖形上﹐求以 P 點為切點的切
線方程式﹒
解﹕以 P 點為切點的切線斜率為
f  x   f  2 x2  x  2  x  1 x  2 
lim  lim  lim
x2 x2 x2 x2 x2 x2
 lim  x  1  3 ﹒
x2
故過 P 點的切線 L 的方程式為 y  3  3  x  2  ﹐即
L ﹕ 3x  y  3 ﹒
3. 已知點 P  1, 4  在二次函數 f  x    x 2  3 x 的圖形上﹐求以 P 點為切點的
切線方程式﹒
解﹕以 P 點為切點的切線斜率為
f  x   f  1  x 2  3x  4   x  1 x  4 
lim  lim  lim
x 1 x   1 x 1 x 1 x 1 x 1
 lim    x  4    5 ﹒
x 1
故過 P 點的切線 L 的方程式為 y  4  5  x  1 ﹐即
L ﹕ 5 x  y  1 ﹒

10. 10 第 1 章 多項式函數的極限與導數

11. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 11
4. 已知點 P 1,1 在三次函數 f  x   2 x 3  x 的圖形上﹐求以 P 點為切點的切
線方程式﹒
解﹕以 P 點為切點的切線斜率為
f  x   f 1 2 x3  x  1
lim  lim
x 1 x 1 x 1 x 1
 lim  2 x 2  2 x  1  5 ﹒
x 1
故過 P 1,1 的切線 L 的方程式為 y  1  5  x  1 ﹐即
L ﹕ 5x  y  4 ﹒
5. 設有一運動質點的位移函數為 s  t   t 4 ﹐求此質點在時刻 t  2 的瞬時速
度﹒
解﹕時刻 t  2 的瞬時速度為
s t   s  2 t 4  16
lim  lim  lim  t  2   t 2  4   32 ﹒
t 2 t 2 t 2 t  2 t 2
6. 設在一個培養細菌的容器中﹐經 t 小時後細菌個數 N  t  （萬個）為
N  t   t 2  4t  5 (0  t  6) ﹒
(1)求時刻 t  1 到 t  3 時﹐細菌個數的平均變化率﹒
(2)求時刻 t  1 時﹐細菌個數的瞬時變化率﹒
解﹕(1)時刻 t  1 到 t  3 時﹐細菌個數的平均變化率為
N  3  N 1 2  2
  0 （萬個／小時）﹒
3 1 2
(2)時刻 t  1 時﹐細菌個數的瞬時變化率為
N  t   N 1 t 2  4t  3
lim   lim
t 1 t 1 t 1 t 1
 lim  t  3  2 （萬個／小時）﹒
t 1

12. 12 第 1 章 多項式函數的極限與導數

13. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 13
7. 設 a ﹐ b 為實數﹐ f  x   ax 3  bx  5 ﹒若 f  x  在 x  0 到 x  1 的平均變化
率為 4﹐在 x  1 到 x  3 的平均變化率為 8 ﹐則 a ﹐ b 的值為何？
解﹕由題意可列得聯立方程組
 f 1  f  0   a  b  5   5
  4
 1 0 1 a  b  4
   ﹒
 f  3  f 1   27 a  3b  5    a  b  5   8 13a  b  8

 3 1 2
解得 a  1 ﹐ b  5 ﹒
8. 探照燈的反射鏡面是拋物面﹐當光源放在焦點處時﹐可將光線投射至很
遠的距離﹒如果想把一個鏡口直徑為 80 公分﹑鏡深為 40 公分的反射鏡﹐
其鏡口直徑與鏡深都增加 10 公分﹐那麼光源離反射鏡頂點的距離應增加
幾公分﹖
解﹕設原鏡面是由拋物線 y 2  4c1 x 製作而成﹐如圖所示﹒
因為拋物線通過點 P  40, 40  ﹐所以
402  4c1  40  c1  10 ﹐
即原焦點的坐標為 F1 10, 0  ﹒
又設新鏡面是由拋物線 y 2  4c2 x 製作而成﹒
因為拋物線通過點 Q  50, 45  ﹐所以
81
452  4c2  50  c2  ﹐
8
 81 
即新焦點的坐標為 F2  , 0  ﹒
8 
81 1
故光源離反射鏡頂點的距離應增加  10  公分﹒
8 8

14. 14 第 1 章 多項式函數的極限與導數
1-4 導數與切線的斜率
1. (1)設 f  x   2 x 3  3 x 2  5 x  12 ﹐求導數 f  1 的值﹒
(2)設 f  x    x 2  x  1 x 2  x  10  ﹐求導數 f  1 的值﹒
解﹕(1)由微分公式﹐得
f  x   6x2  6x  5 ﹒
故 f  1  6  6  5  17 ﹒
(2)由微分公式﹐得
f   x    2 x  1  x 2  x  10    x 2  x  1  2 x  1 ﹒
故 f  1  3  10  3 1  33 ﹒
3
2. 設 f  x   x 2 1  x  ﹐求導數 f   2  的值﹒
解﹕由微分公式﹐得
3
 2

f   x    2 x   1  x   x 2  3 1  x    1 ﹒
故 f   2   4   1  4   3  16 ﹒
3. 已知點 P  2,1 在函數 f  x   x 3  6 x 2  5 x  7 的圖形上﹐求以 P 點為切點的
切線方程式﹒
解﹕因為 f   x   3 x 2  12 x  5 ﹐所以以 P 點為切點的切線之斜率為
f   2   3  22  12  2  5  7 ﹒
故切線方程式為 y  1   7  x  2  ﹐即
7 x  y  15 ﹒

15. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 15
4. 已知在函數 f  x   x 2  2 x  5 的圖形上﹐以 P 點為切點的切線斜率為 6﹐
求 P 點的坐標﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為 f   x   2 x  2 ﹒
設切點 P  a, b  ﹒因為以 P 點為切點的切線斜率為 6﹐所以
f   a   2a  2  6 ﹒
解得 a  2 ﹒
因為 P 點在 f  x   x 2  2 x  5 的圖形上﹐所以
b  22  2  2  5  3 ﹒
故 P 點的坐標為  2,3 ﹒
5. 已知平行於直線 9 x  y  2  0 ﹐且與曲線 y  f  x   x 3  12 x  3 相切的直線
有兩條﹐求此兩條平行直線的距離﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為 f   x   3x 2  12 ﹒
因為直線 9 x  y  2  0 的斜率為 9 ﹐所以令
f   x   3x 2  12  9  x 2  1 ﹒
解得 x  1 ﹒
因此﹐兩切點的坐標分別為 1, 8  ﹐  1,14  ﹒
於是﹐兩切線方程式為 y  9  x  1  8 與 y  9  x  1  14 ﹐即
9x  y 1  0 與 9x  y  5  0 ﹒
 1   5 4 2 82
此兩條平行直線的距離為   ﹒
2
9 1 2
82 41

16. 16 第 1 章 多項式函數的極限與導數
6. 已知 P  3,15  為拋物線 y  x 2  3x  1 外一點﹐求通過 P 點的切線方程式﹒
解﹕函數 f  x   x 2  3 x  1 的導函數為 f   x   2 x  3 ﹒
設拋物線上的切點為 Q  t , t 2  3t  1 ﹒
因為切線的斜率為
f   t   2t  3 ﹒
所以切線方程式為
y   t 2  3t  1   2t  3 x  t  ﹒
將 P  3,15  代入切線方程式﹐得
15   t 2  3t  1   2t  3 3  t   t 2  6t  5  0 ﹒
解得 t  1 或 5﹒
(1)當 t  1 時﹐切線方程式為 y  5  5  x  1 ﹐即 5 x  y  0 ﹒
(2)當 t  5 時﹐切線方程式為 y  41  13  x  5  ﹐即 13 x  y  24 ﹒
故通過 P 點的切線有兩條﹐其方程式分別為
5 x  y  0 及 13 x  y  24 ﹒
7. 已知從高 100 公尺自由落下的物體﹐經 t 秒後高度為 100  4.9t 2 公尺﹐求
落下 3 秒時的瞬時速度﹒
解﹕函數 f  t   100  4.9t 2 的導函數 f   t   9.8t ﹒
落下 3 秒後的瞬時速度為
f   3  29.4 （公尺／秒）﹒

17. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 17
8. 設 f  x   x  3 ﹐求 f   3 的值﹒
解﹕由導數的定義﹐得
f  x   f  3 x 3
f   3  lim  lim ﹒
x 3 x 3 x 3 x  3
因為
x 3 x 3
右極限﹕ lim  lim  1﹐

x 3 x  3 x 3 x  3

x 3   x  3
左極限﹕ lim  lim  1 ﹐

x 3 x  3 x 3 x  3

x 3
即左極限  右極限﹐所以極限 lim 的值不存在﹒
x 3 x 3
故 f  x  在 x  3 處的導數 f   3 不存在﹒

18. 18 第 1 章 多項式函數的極限與導數
第1章 總習作
 x10  1 10 
1. 求 lim  2
  的值﹒
x 1 
  x  1 x  1 

 x10  1 10  x10  1  10  x  1
解﹕ lim  2
   lim 2
x 1 
  x  1 x  1  x1
  x  1
 x  1  x9  x8    x  9 
 lim 2
x 1
 x  1
2
 lim
 x  1 x 8
 2 x7    8x  9 
2
x 1
 x  1
 lim  x8  2 x 7    8 x  9 
x 1
 1  2    9  45 ﹒
x 2  ax  b
2. 設 lim  4 ﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒
x 1 x 1
x 2  ax  b
解﹕因為 lim  x  1  0 ﹐且 lim  4 ﹐所以
x 1 x 1 x 1
lim  x 2  ax  b   0 ﹐
x 1
即 1  a  b  0  b  1  a ﹒於是
x 2  ax   1  a   x  1 x  1  a   lim x  1  a  2  a ﹒
4  lim  lim  
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
解得 a  6 ﹐ b  5 ﹒

19. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 19
 x2  6x  8
 , 若x2
3. 設函數 f  x    x  2 且在 x  2 處連續﹐求實數 k 的值﹒
k , 若x2

解﹕因為 f  x  在 x  2 處連續﹐所以 lim f  x   f  2  ﹒
x2
x 2  6 x  8  x  2  x  4 
由於﹐當 x  2 時﹐ f  x     x  4 ﹐於是
x2 x2
lim f  x   lim  x  4   2  4  2 ﹒
x2 x2
又因為 f  2   k ﹐所以
k  2 ﹒
4. 設 f  x   x 3  4 x  1 ﹐求以 P 1, 4  為切點的切線方程式﹒
解﹕因為 f   x   3x 2  4 ﹐所以以 P 點為切點的切線之斜率為
f  1  3 12  4  7 ﹒
故切線方程式為 y  4  7  x  1 ﹐即
7x  y  3 ﹒
5. 已知 f  x   x 2  3x  5 在 x  a 處的導數 f   a  等於從 x  1 到 x  3 的平均
變化率﹐求實數 a 的值﹒
解﹕因為函數 f  x  的導函數為 f   x   2 x  3 ﹐所以 f   a   2a  3 ﹒
又 f  x  從 x  1 到 x  3 的平均變化率為
f  3   f 1  3  3  3  5  1  3 1  5
2 2
 7﹒
3 1 2
因此﹐由題意得
2a  3  7  a  2 ﹒

20. 20 第 1 章 多項式函數的極限與導數
6. 已知 f  x  
 x  1 x  2 x  3 x  5 ﹐求 f  1 的值﹒
x4
解﹕根據導數的定義﹐得
f  x   f 1
f  1  lim
x 1 x 1
 lim
 x  1 x  2  x  3 x  5 
x 1  x  4  x  1
 lim
 x  2  x  3 x  5
x 1 x4
8
 ﹒
3
7. 設 f  x  為三次多項式函數﹐且 f 1  f  1  0 ﹐ f  2   0 ﹐ f   0   5 ﹐求
f  x ﹒
2
解﹕因為 f 1  f  1  0 ﹐ f  2   0 ﹐所以  x  1 及  x  2  可整除 f  x  ﹒
2
因此﹐可設 f  x   a  x  1  x  2  ﹒由微分公式﹐得
2
f   x   2a  x  1 1  x  2   a  x  1 1 ﹒
因為 f   0   5 ﹐所以 4a  a  5 ﹒
解得 a  1 ﹒
2
故 f  x    x  1  x  2  ﹒

21. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 21
8. 求在函數 f  x   x 3  3 x 2  4 的圖形上﹐斜率最小的切線方程式﹒
解﹕函數 f  x  的切線之斜率函數為 f   x   3x 2  6 x ﹒將 f   x  改寫為
2
f   x   3  x  1  3 ﹒
因此﹐在函數 f  x  的函數圖形上﹐在 x  1 處的切線其斜率有最小值 3 ﹒
因為此時的切點為 1, 2  ﹐所以斜率最小的切線方程式為 y  2  3  x  1 ﹐
即
3x  y  5 ﹒
9. 所謂兩曲線在點 P 相切﹐是指在點 P 有公切線﹒若
拋物線 y   x 2  ax  b 在點 A 1,1 處與拋物線 y  x 2
相切﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒
解﹕函數 y  x 2 的導函數 y   2 x ﹒因為 A 1,1 在拋物線
y  x 2 上﹐所以在 1,1 處的切線方程式為
y  1  2  x  1 ﹐即
y  2 x 1﹒
因此﹐拋物線 y   x 2  ax  b 在點 A 1,1 處的切線也是 y  2 x  1 ﹒
由於﹐函數 y   x 2  ax  b 的導函數 y   2 x  a ﹐於是﹐
2 1  a  2  a  4 ﹒
又因為拋物線 y   x 2  ax  b 過點 A 1,1 ﹐所以
1  a  b  1   1  4  b  1  b  2 ﹒
故 a  4 ﹐ b  2 ﹒

22. 22 第 1 章 多項式函數的極限與導數
10. 已知 P  3,8  為拋物線 y  x 2 外一點﹐求通過 P 點的切線方程式﹒
解﹕函數 f  x   x 2 的導函數為 f   x   2 x ﹒
設拋物線上的切點為 Q  t , t 2  ﹒因為切線的斜率為
f   t   2t ﹒
所以切線方程式為
y  t 2  2t  x  t  ﹒
將 P  3,8  代入切線方程式﹐得
8  t 2  2t  3  t   t 2  6t  8  0 ﹒
解得 t  2 或 4﹒
(1)當 t  2 時﹐切線方程式為 y  4  4  x  2  ﹐即 4 x  y  4 ﹒
(2)當 t  4 時﹐切線方程式為 y  16  8  x  4  ﹐即 8 x  y  16 ﹒
故通過 P 點的切線有兩條﹐其方程式分別為
4 x  y  4 及 8 x  y  16 ﹒