1. §3−2 行 列 式 與 其 應 用
(甲)二階行列式
(1) 二引 階 入 行 列 式 ：
 a1 x + b1 y = c1 ⋅ ⋅ ⋅ (1)
解 二 元 一 次 方 程 組 ： a x + b y = c ⋅ ⋅ ⋅ (2) ， 其 中 x,y 是 未 知 數 ，
 2 2 2
我 們 使 用 代 入 消 去 法 解 之
(1)×b 2 −(2)×b 1 ⇒(a 1 b 2 −a 2 b 1 )x=(c 1 b 2 −c 2 b 1 )
(1)×a 2 −(2)×a 1 ⇒(a 2 b 1 −a 1 b 2 )y=(c 1 a 2 −c 2 a 1 )
 c1b2 − c 2 b1
x = a b − a b
 1 2 2 1
當 a 1 b 2 −a 2 b 1 ≠0 時 ， 解 得 唯 一 解 ：  a1c 2 − a 2 c1
y =

 a1b2 − a 2 b1
為 了 簡 化 過 程 與 符 號 ， 定 義 二 階 行 列 式 。
a b
定 義 ： 當 a,b,c,d 為 4 個 數 ， c d =ad−bc 。
( 它 是 左 上 與 右 下 的 乘 積 減 去 右 上 與 左 下 的 乘 積 )
 a1 x + b1 y = c1 ⋅ ⋅ ⋅ (1)
引 入 二 階 行 列 式 的 符 號 之 後 ， 重 新 考 慮 解 a x + b y = c ⋅ ⋅ ⋅ (2) 的 過 程 ，
 2 2 2
∆ ⋅ x = ∆ x a1 b1 c1 b1 a1 c1
可 得 ∆ ⋅ y = ∆ ， 其 中 ， = a b2 ， ， x =c b2 ， ， y =a c2 。
 y 2 2 2
當 當 其 0 時 ， 方 程 組 (x,y)=( , ) [ 此 稱 為 克 拉 瑪 公 式 ]
當 當 =∆ x =∆ y =0 ， 方 程 組 有 無 限 多 解 。
當當=0，而， x 、、 y 有一不為 0 時，方程組無解。
(k + 1) x + 4 y = 4
1. 試就實數 k 之值，試討論方程組  x + (k − 2) y = 1 。

Ans：k≠3 且 k≠−2，方程組有唯一解；k=3，解 x=1−t，y=t；k=−2，無解
~3−2−1~

2.  (k − 2) x − 2 y = 2k
1. 就 k 值 討 論 方 程 式 的 解 ： 3 x + (2k + 1) y = − k − 2 。

Ans：當 k≠1，時，恰有一組解，當 k=1 時，有無限多組解，當 k=
時，無解。
a b
(2) 二 階 行 列 式 的 性 質 ： c d =ad−bc
(a) 有 一 列 ( 行 ) 全 為 0 ， 其 值 為 0 。
0 0 0 a2
=0 ， =0
b1 b2 0 b2
(b) 每 一 列 ( 行 ) 可 提 公 因 數 。
ka1 ka 2 a a2 ka1 a 2 a a2
=k 1 ， =k 1
b1 b2 b1 b2 kb1 b2 b1 b2
(c) 兩 列 ( 行 ) 互 換 ， 其 值 變 號 。
b1 b2 a a2 a 2 a1 a a2
=− 1 ， =− 1
a1 a 2 b1 b2 b2 b1 b1 b2
(d) 一 列 ( 行 ) 乘 以 一 數 加 至 另 一 列 ( 行 ) ， 其 值 不 變 。
a1 a 2 a1 a2 a1 a 2 a1 a 2 + ka1
= ， =
b1 b2 b1 + ka1 b2 + ka 2 b1 b2 b1 b2 + kb1
a b
2. 設 c d =2，
3a 12b 5a − 7b 4a + 3b
(1)求 c 4d =？ (2)求 5c − 7 d 4c + 3d =？
Ans：(1)24 (2)86
2. 求=______。Ans：：7800
~3−2−2~

3. 3. 試解下列方程式，=3。Ans：x=5 或或1
4. 若 =5 ， 則 求 (1)=_____ 。 (2)=________ 。
Ans：(1)60 (2)85
(乙)三階行列式
~3−2−3~

4. (1) 三 列 階 行 式 的 定 義 ：
 a11 a12 a13 
 a 23  ，根據這個方陣 A 的元，可
給定一個 3 階方陣，A= a 21 a 22 
 a31 a32
 a 33 

以定一 出 一 個 算 式 稱 為 方 陣 A 的 行 列 式 ， 記 為 det(A)=
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 。
a31 a32 a33
定 義 一 ： ( 直 接 展 開 )
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 =(a 11 a 22 a 33 +a 13 a 21 a 32 +a 12 a 23 a 31 )−(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11
a31 a32 a33
a 23 a 32 )
a11 a12 a13
速 算 法 則 ： a 21 a 22 a 23
a31 a32 a33
定義二：(降階展開) 三階行列式可根據某一行或某一列降成二階行
列 式
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a31 a32 a33
a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22
=a 11 −a 12 +a 13 ( 就 第 一 列 展 開 )
a32 a33 a31 a33 a31 a32
a 22 a 23 a12 a13 a12 a13
=a 11 −a 21 +a 31 ( 就 第 一 行 展 開 )
a32 a33 a32 a33 a 22 a 23
a12 a13 a11 a13 a11 a12
=−a 21 +a 22 +a 23 ( 就 第 二 列 展 開 )
a32 a33 a31 a 33 a31 a32
3
= ∑ (−1)
k +i
a ki ∆ ki ，(k=1,2,3) ∆ ki 為去掉 a ki 所屬的行、列所得到的二階
i =1
行 列 式 。
3
= ∑ (−1)
k +i
a ki ∆ ki ，(i=1,2,3) ∆ ki 為去掉 a ki 所屬的行、列所得到的二階
k =1
行 列 式 。
~3−2−4~

5. 1 2 3
例 如 ： 計 算 行 列 式 4 5 6的 值 。
7 8 9
(2)三階行列式的性質：利用降階展開可以得到一些性質
~3−2−5~

6. (a) 行 列 互 換 ， 其 值 不 變 。
a1 b1 c1 a1 a 2 a3
a 2 b2 c 2 = b1 b2 b3
a3 b3 c3 c1 c 2 c3
(b) 每 一 列 ( 行 ) 可 提 公 因 數 。
ka1 kb1 kc1 a1 b1 c1
a2 b2 c2 = k a2 b2 c2 。
a3 b3 c3 a3 b3 c3
[ 說 明 ] ：
ka1 kb1 kc1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
b2 c2 a2 c2 a2 b2
=ka 1 −kb 1 +kc 1
b3 c3 a3 c3 a3 b3
b2 c2 a2 c2 a2 b2
=k(a 1 −b 1 +c 1 )
b3 c3 a3 c3 a3 b3
a1 b1 c1
=k a 2 b2 c2 。
a3 b3 c3
(c) 兩 列 ( 行 ) 互 換 ， 其 值 變 號 。
a1 b1 c1 a3 b3 c3
a2 b2 c 2 =− a 2 b2 c2 ( 第 一 三 列 互 調 )
a3 b3 c3 a1 b1 c1
b1 a1 c1
=− b2 a2 c2 ( 第 一 二 行 互 調 )
b3 a3 c3
[ 說 明 ] ：
a3 b3 c3 a1 b1 c1
b c3 a3 c3 a3 b3
a2 b2 c 2 =−a 2 3 +b 2 −c 2 =− a 2 b2 c2
b1 c1 a1 c1 a1 b1
a1 b1 c1 a3 b3 c3
~3−2−6~

7. (d) 兩 列 ( 行 ) 成 比 ， 其 值 為 0 。
a1 b1 c1
ka1 kb1 kc1 =0
a3 b3 c3
[ 說 明 ] ：
a1 b1 c1 a1 b1 c1
ka1 kb1 kc1 =k a1 b1 c1 =k⋅0=0[ 按 第 三 列 展 開 ]
a3 b3 c3 a3 b3 c3
(e)一列乘以一數加至另一列，其值不變。
a1 b1 c1 a1 b1 c1
a2 b2 c 2 = a 2 + ka1 b2 + kb1 c 2 + kc1
a3 b3 c3 a3 b3 c3
[ 說 明 ] ： 按 第 三 列 展 開
a1 b1 c1
a 2 + ka1 b2 + kb1 c 2 + kc1
a3 b3 c3
b1 c1 a1 c1 b1 c1
=a 3 −b 3 +c 3
b2 + kb1 c 2 + kc1 a 2 + ka1 c 2 + kc1 b2 + kb1 c 2 + kc1
a1 b1 c1
b1 c1 b1 c1 b1 c1
=a 3 −b 3 +c 3 = a2 b2 c2
b2 c2 b2 c2 b2 c2
a3 b3 c3
(3)行列式計算時之注意事項：
(a) 降 階 求 值 ：
利用(2)(e)之性質，將行列式化至某一行、列，的各項中，出現至多一個不為
0，再利用該行、列降階求值，因為其他二項皆為 0，因此只需計算一二階行列
式 即 可 。
(b) 觀 察 各 行 、 列 是 否 有 公 因 數 ( 式 ) ， 若 有 ， 提 公 因 數 ( 式 ) ， 以 簡 化 數 字 。
~3−2−7~

8. (c) 觀 察 各行、列是否有成等差，若有可利用 (2)(e) 之性質，將行列式化某一行
、 列 會 成 比 例 。
(d) 觀 察 各 行 、 列 ， 逐 項 相 加 是 否 相 等 ， 若 相 等 可 利 用 (2)(e) 之 性 質 ， 將 其 加
到某一項，再提公因數，降階求值。
3. 計算下列行列式：
1 2 33 20 − 10 15 11 14 17 11 21 31
(1) − 2 0 8 (2) 15 21 − 3 (3) 12 15 18 (4) 21 31 11
14 − 3 − 92 28 − 14 21 13 16 19 31 11 21
Ans：(1)78 (2)0 (3)0 (4)−18900
1 1 1
4. 證明： a b c =(a−b)(b−c)(c−a) [Vandermonde 行列式]
a2 b2 c2
~3−2−8~

9. a + a/ d g a d g a/ d g
/
5. (1)證明： b + b e h = b e h + b/ e h
c + c/ f i c f i c/ f i
a1 a2 a3 a 2 + a3 3a1 + a 2 a1 − 4a3
(2) 設 b1 b2 b3 =5，則 b2 + b3 3b1 + b2 b1 − 4b3 =？Ans：55
c1 c2 c3 c 2 + c3 3c1 + c 2 c1 − 4c3
5. 計 算 下 列 行 列 式 的 值 ：
110 120 260 2 3 4 1 a b+c
(1) 22 4 13 (2) 4 9 16 (3) 1 b c+a (4)
33 8 39 8 27 64 1 c a+b
1999 2000 2001
88 89 90
10 20 40
Ans：(1)−34320 (2)48 (3)0 (4)19110
~3−2−9~

10. 6. 因 式 分 解 下 列 行 列 式 ：
1 a2 (b + c ) 2 1 a a3
(1) 1 b2 (c + a ) 2 (2) 1 b b
3
1 c2 ( a + b) 2 1 c c3
Ans：(1)2(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c) (2)(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)
x2 x 1
7. 解方程式： 25 5 1 = 0 Ans：x=5，，3
9 −3 1
a p x 2 x + 3a 2 y + 3b 2 z + 3c
8. 設 b q y =1，求 p − 3x q − 3 y r − 3 z =？ Ans：：20
c r z a − 2 p b − 2q c − 2r
9. 計 算 下 列 行 列 式 ：
1 1 1 a + b + 2c a b
(1) a b c (2) c b + c + 2a b
a − bc b − ca c − ab
2 2 2
c a c + a + 2b
Ans：(1)0 (2)2(a+b+c) 3
(丙)行列式的應用
~3−2−10~

11. (1) 設 平 面 上 有 三 點 A(a 1 ,b 1 ),B(a 2 ,b 2 ),C(a 3 ,b 3 ) ， 則
a1 b1 1
1 1 a 2 − a1 b2 − b1
∆ABC= 2 a 2 b2 1 的 絕 對 值 = 2a −a b3 − b1 的 絕 對 值 。
3 1
a3 b3 1
[ 證 明 ] ：
設 =(a 2 −a 1 ,b 2 −b 1 ) 、 =(a 3 −a 1 ,b 3 −b 1 )
∆ABC 的 面 積 ==
[(a 2 − a1 ) 2 + (b2 − b1 ) 2 ][(a3 − a1 ) 2 + (b3 − b1 ) 2 ] − [(a 2 − a1 )(a 3 − a1 ) + (b2 − b1 )(b3 − b1 )]2
=|(a 2 −a 1 )(b 3 −b 1 )−(b 2 −b 1 )(a 3 −a 1 )|
ax + by + cz = 0 a b b c c a
(2) 若 dx + ey + fz = 0 ， 且 d e, e ,
f f d 中 至 少 有 一 個 不 為 0 ，

b c c a a b
則 ： ： : :
x y z= e f f d d e。
a b ax + by + cz = 0 ax + by = −cz
[ 證 明 ] 假 設 ，  
d ea 0
dx + ey + fz = 0
a
dx + ey = − fz
− cz b − cz
a
− fz e − fz
d
x= ， y=
a b a b
d e d e
− cz b a − cz
− fz e d − fz b c c a a b
⇒x ： y ： z= a : :
b ： a b ： z= e f f d d e。
d e d e
從 空 間 向 量 的 觀 點 來 看 ：
設 =(a,b,c) 、 =(d,e,f) ， =(x,y,z) ，
 ax + by + cz = 0
 代 表 代 且 且 表 //× ，
dx + ey + fz = 0
b c c a a b b c c a a b
又因為 |( e f , f d , d e )|=| |||sinθ ，所以， =( e f , f ,
d d e )。
(3) 由 =(b 1 ,b 2 ,b 3 )
=(a 1 ,a 2 ,a 3 ) ， ，
=(c 1 ,c 2 ,c 3 ) 三 向 量
a1 a 2 a3
所展成的平行六面體的體積= b1 b2 b3 的絕對值。
c1 c 2 c3
→a ×→b →c
■
■ ■
β →b
■
α
~3−2−11~ →a
■

12. [ 證 明 ] ：
平 行 六 面 體 的 體 積
=( 由 、 所 展 成 的 平 行 四 邊 形 面 積 )× 高
由 、 所 展 成 的 平 行 四 邊 形 面 積 =||||sinα=|×|
高 = 在 ( ×) 方 向 上 的 投 影 長 度 =||cosβ 的 絕 對 值 。
平 行 六 面 體 的 體 積
=||×|⋅ ||cosβ|=|( × )⋅| ， ， 為 為 與 的 夾 角
a2 a3 a3 a1 a1 a2
=| ( , , )⋅(c 1 ,c 2 ,c 3 ) |
b2 b3 b3 b1 b1 b2
a2 a3 a a1 a a2
=| c1 + c2 3 + c3 1 |
b2 b3 b3 b1 b1 b2
a2 a3 a a3 a a2
=| c1 − c2 1 + c3 1 |
b2 b3 b1 b3 b1 b2
a1 a2 a3
=| b1 b2 b3 |
c1 c2 c3
(4) 設 L 1 ： a 1 x+b 1 y=c 1 、 L 2 ： a 2 x+b 2 y=c 2 、 L 3 ： a 3 x+b 3 y=c 3 表 三 相 異 直 線 ，
a1 b1 c1
則 L1 、 L2 、 L3 相 交 於 一 點 ⇒ a 2 b2 c 2 = 0 。
a3 b3 c3
[ 證 明 ] ：
設(x 0 ,y 0 )為 L 1 、L 2 、L 3 的交點的 a 1 x 0 +b 1 y 0 =c 1 、a 2 x 0 +b 2 y 0 =c 2 、a 3 x 0 +b 3 y 0 =c 3
a1 b1 c1 a1 b1 c1 − a1 x 0 − b1 y 0 a1 b1 0
a2 b2 c2 = a2 b2 c 2 − a 2 x0 − b2 y 0 = a 2 b2 0 =0
a3 b3 c3 a3 b3 c3 − a 3 x0 − b3 y 0 a3 b3 0
注 意 ： 這 個 命 題 的 逆 命 題 不 成 立 。 反 例 呢 ？
~3−2−12~

13. 6. 空間四點 A(1,−1,0)，B(0,1,0)，C(2,3,4)，D(−1,1,3)，求
(1),,為相鄰三邊的平行六面體體積(2)四面體 ABCD 的體積
(3)△ABC 的面積 Ans：(1)26 (2) (3)
7. 空間中四點 A(1,1,1)、B(1,2,t)、C(3,4,5)、D(4,5,t)
(1)若 A,B,C,D 四點共面，求 t=？
(2)若四面體 ABCD 的體積為 6，則 t=？
Ans：(1)5 (2)−7 或 17
  
8. 空間三向量 u = (u1 , u 2 , u 3 ) ， v = (v1 , v2 , v3 ) ， w = ( w1 , w2 , w3 ) 所張成的平行四
  
面體的體積為 5，則由 2u + 3v ,v ,2 w 所張成的平行六面體的體積為？Ans：
20
~3−2−13~

14. 9. 相異三直線 L1：x+2y+3−k=0，L2：(1−k)x+2y+3=0，L3：x+(2−k)y+3=0 不能
圍成一個三角形，求 k 值。 Ans：k=3 或 6
10. 設 xyz≠0 ， 若 x+3y+5z=0 ， 2x+4y+7z=0 則
(1)x:y:z=？ (2)=？ Ans(1)1:3:(−2) (2)
11. 設設ABC 之三頂點為 A(−1,2)、B(1,4)、C(4,k)，若，ABC 的面積為
3，則 k=？ Ans： 10 或 4
12. 三 直 線 kx+y=3 ， 3x+2ky=7 ， 9kx−4y=1 相 交 於 一 點 ， 求 k= ？
Ans：k=1 或
13. 設 坐 標 空 間 中 四 點 A(2,0,−1) 、 B(3,1,4) 、 C(−2,5,2) 、 D(1,4,−3)
(1) 求 求 ABC 的 面 積 。 (2) 求 、 、 所 決 定 的 平 行 六 面 體 體 積 。
Ans：(1) (2)88
(丁)其他的行列式
10. 【根與係數的關係配合三階行列式】
a b c
設 a,b,c 為方程式 2x3−5x2+1=0 之三根，則 b c a =？ Ans：
c a b
11. 設 a,b,c 是△ABC 之之A,∠B,∠C 的對邊長，試求之值。Ans：0
~3−2−14~

15. 12. 化簡=____。Ans：a2+b2+c2+1
14. 若 a,b,c 為 x 3 −2x 2 −3x+7=0 之三根，試求之值。Ans：：10
15. 設 △ ABC 的 三 邊 長 為 a,b,c 且 三 內 角 的 度 數 為 α,β,γ
若 x=試求 Cosx 之值。Ans：1
1 ω ω2
16. 設 設 為 x 2 +x+1=0 的 虛 根 ， 請 計 算 ω ω2 1 = ？
ω2 1 ω
Ans：0
綜合練習
a1 a2 a3
(1) 下列選項中的行列式，那些與行列式 b1 b2 b3 相等？
c1 c2 c3
a1 a2 a3 a1 b1 c1 a1 a2 a3
(A) c1 c2 c3 (B) a 2 b2 c 2 (C) b1 − c1 b2 − c 2 b3 − c3 (D)
b1 b2 b3 a3 b3 c3 c1 c2 c3
a1 a2 a3 a3 a2 a1
b1 ⋅ c1 b2 ⋅ c 2 b3 ⋅ c3 (E) b3 b2 b1 (88 學科)
c1 c2 c3 c3 c2 c1
(2) 計算下列各行列式值：
1 1 1
43 − 26 34 20 25 30
2 3 4
(a) 71 52 − 68 (b) 0 6 − 7 (c) − 12 18 36
85 91 − 119 − 12 0 5 16 − 7 − 24
~3−2−15~

16. (3) 試證明下列各小題：
1 1 1
(a) =4abc (b) a b c =(a−b)(b−c)(c−a)
bc ca ab
a bc b + c
(c) b ca c + a =(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)
c ab a + b
x 1 2
(4) 將行列式 1 x 2
1 2 x
展開得到多項式 f(x)。下列有關 f(x)的敘述，何者為真？
(A) f (x ) 是一個三次多項式(B) f (1) = 0
(C) f ( 2) = 0 (D) f ( −3) = 0
(E) f (5) = 0 (89 學科)
a1 a2 a3
(5) 若 b1 b2 b3 =7，求下列各小題的值：
c1 c2 c3
a1 3a 2 2a 3 a1 b1 2a1 − 3b1 a1 + a 2 3a 2 − 5a3 a3 − 2a1
(a) b1 3b2 2b3 (b) a 2 b2 2a 2 − 3b2 (c) b1 + b2 3b2 − 5b3 b3 − 2b1
c1 3c 2 2c3 a3 b3 2a3 − 3b3 c1 + c 2 3c 2 − 5c3 c3 − 2c1
(6) 空間中三向量=(u1,u2,u3)，=(v1,v2,v3)，=(w1,w2,w3)所張平行六面體體積為的絕
對值。今已知,,三向量所張平行六面體體積為 5，求(2+3),,三向量所張平行六面
體體積。
(7) 設 A(−1,2,1),B(2,−1,2),C(1,2,3),D(−t−1,t,1)為空間中不共面四點，
(a)試以 t 表出由,,所決定的平行六面體體積。
(b)設 ABCD 決定的四面體體積為 10，求 t。
(8) 空間中四點 A(0,1,2)，B(−1,−1,3)，C(3,0,1)，D(k,2,1)(a)若共平面，試求 k 值。
(b)若不共平面四面體 ABCD 的體積為 4，則 k 值為何？
(9) 坐標平面上，相異三點 A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2)，試證明若 A、B、C 三點共
a1 a 2 1
線，則 b1 b2 1 =0。
c1 c 2 1
~3−2−16~

17. 進階問題
cos θ cos 3θ sin 3θ
(10) 設設=，請計算 cos θ cos θ sin θ =？
sin θ sin θ cos θ
(11) 設坐標平面上三點 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)，其中 x1、x2、x3 互異
2
x1 x1 1
2
(a)請證明： x 2 x 2 1 x 0。
2
x3 x3 1
(b)恰存在一組實數 a,b,c，使得函數 y=ax2+bx+c 的圖形通過 P1、P2、P3 三點。
1 1 1
(12) 計算 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ，其中 f(x)=a0x+a1，g(x)=b0x2+b1x+b2。
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( x3 )
綜合練習解答
(1) (B)(C) (2) (a) 0 (b)61 (c)−2520 (3)略 (4) (A)(B)(C)(D) (5) (a)42 (b)0 (c)91
(6) 10 (7) (a)|2t+8| (b)26 或或34 (8) (a)k=(b)k=或 (9) [提示：提ABC=0]
1
(10) 2− 2
2
2
x1 x1 1
2
(11) [提示：(a) x 2 x 2 1 = −(x 1 −x 2 )(x 2 −x 3 )(x 3 −x 1 )。 (b)若函數 y=ax 2 +bx+c 的圖
2
x3 x3 1
 y1 = ax1 2 + bx1 + c  x1 2 u + x1v + 1 ⋅ w = y1
 2  2
形通過 P 1 、 2 、 3 三點
P P  y 2 = ax 2 + bx 2 + c 即(a,b,c)為方程組  x 2 u + x 2 v + 1 ⋅ w = y 2
 y = ax 2 + bx + c  x 2u + x v + 1 ⋅ w = y
 3 3 3  3 3 3
2
x1 x1 1
2
的解，因為 x 2 x 2 1 x 0 此方程組恰有一解。]
2
x3 x3 1
(12) a 0 b 0 (x 3 −x 1 )(x 3 −x 2 )(x 2 −x 1 )
~3−2−17~