Ch2

第2章導函數的應用 21

第 2章導函數的應用
寧可發表的結果少但發表的東西要是成熟的結果
，．
高斯

一、教材摘要
本章的內容是要介紹導函數一些最基本的應用全章共分四節內容重點
．，
如下 :

2-1 多項式函數圖形的描繪
首先介紹函數的遞增與遞減接著探討函數的遞增與遞減與其導數的關
，
係其次再介紹函數圖形的凹向及判斷方法最後利用函數的遞增與遞減凹
．，、
向及反曲點等資料描繪多項式函數的圖形．

2-2 多項式函數的極值
首先介紹函數的相對極值與絕對極值接著介紹兩個求得多項式函數的極
，
值之方法第一階導函數判別法及第二階導函數判別法．

2-3 三次函數的圖形
首先分別探討三次函數圖形的反曲點與極值並將三次函數圖形分成 3 類
，，
而後運用三次函數的圖形探討三次方程式的實根個數
，．

2-4 極值的應用
運用極值的概念探討「成本最少」「距離最短」「面積最大」「容
，、、、
積最大」 …等有關極值的應用問題
、．

22 第 2 章導函數的應用

二、教學目標與時數

建議授
教學目標
課時數
 了解遞增函數與遞減函數的意義． 6
 了解函數圖形「右移則攀升」「右移則下降」的意義
、，
即其與遞增遞減的關係
、．
 了解函數的導數之符號與函數遞增遞減的關係
、．
 了解函數圖形凹向的判斷方法．
 了解反曲點的意義．
 能把本節所學的題材用於描繪多項式函數圖形的問題．
 了解最大值最小值極大值與極小值等四個名詞的意
、、 6
義．
 了解最大值乃是所有極值中最大者最小值乃是所有極
；
值中最小者．
 了解第一階導函數判別法．
 了解第二階導函數判別法．
 了解 f ' a = 0 並不能保證 f x 在 x = a 處有極值．
 了解三次函數必然有反曲點． 6
 了解三次函數圖形與極值的關係．
 了解實係數三次方程式的實根個數與三次函數圖形的關
係．
2-4 極值的應用
 了解如何將應用問題表示成適當的多項式函數並找出
， 4
變數 x 的範圍．
 應用導數找出函數的極值．
 運用函數的極值解答相關的應用問題．


三、教材地位分析

已習教材本章教材未習教材

線性函數的圖形函數的遞增與遞減

二次函數的圖形

第一階導函數
函數的凹向
第二階導函數

方程式之解
多項式函數圖形的描繪的問題

二次函數的極值
極大值與極小值
實數的性質

三次函數的圖形

極值的應用不等式

四、教學方法與教學診所

 利用幾何直觀的方式解說函數的遞增遞減與導數的關係
、．
 我們利用開車的經驗來引進凹向教學時也可以改成機車甚至腳踏車來說
，
明此時可以反問學生 : 「如果汽車一直保持在左轉彎那麼道路必是什麼
．，
形狀？」
 描繪函數圖形時使用例題中的表格應該是很有幫助的宜讓學生使用這種
，，
方法．


 解說最大值最小值極大值與極小值等四個名詞的意義時宜使用圖形較
、、，
有具體印象另外須特別強調曲線段的端點都是局部最高點或最低點
．，．
 宜向學生特別強調「f ' a = 0 並不能保證 f x 在 x = a 處有極值」本節末有
，
3
舉 f x = x 為例作說明．
 宜強調多項式函數的極值只可能發生在定義域的端點及導數為 0 的點．
 求函數的最大值或最小值時宜說明先求出函數的所有極值再從所有極大
，，
值中找出最大者為最大值從所有極小值中找出最小者為最小值
；．

 讓學生回顧反曲點的意義並得到三次函數恰有一個反曲點此時其實可
，．，
以讓同學先概略的猜測三次函數的圖形應長成什麼樣子．
 由第一階導函數了解三次函數的極值宜讓同學多觀察函數遞增遞減的情
，
形而不要只是記憶分類後的情形
，．
 方程式的解與函數圖形之間的關係宜讓同學充分理解能夠使用函數圖形了
，
解三次方程式實根判別法則的原理而不僅僅是記憶而已
，．

2-4 極值的應用
 讓同學閱讀應用問題了解其題意能完成假設並得到適當的函數這是
，，，，
很重要的練習在學習上宜給予較多的時間
．．
 對於變數 x 的範圍宜多提醒同學列入考慮
，．
 尋找極值的過程中可以觀察同學對於先前的課程是否熟知並作適當的複
，，
習．
 完成計算後讓同學回顧整個應用問題作個整理對同學將有很大的幫助
，，，．


五、補充例題

1
3 2
已知三次函數 f x = ax + bx + cx 的反曲點為 – 1 , 4，且在反曲點的切
線斜率為 – 5 求 a b c 的值
，，，．

解函數 f x 的 f ' x 與 f '' x 為
：
2
f ' x = 3ax + 2bx + c
，
f '' x = 6ax + 2b
．
因為反曲點為 – 1 , 4，且在反曲點的切線斜率為 – 5 所以，
f –1 =4 –a+b–c=4
f '' – 1 = 0 – 6a + 2b = 0 ，
f' – 1 = – 5 3a – 2b + c = – 5
解得 a = 1 b = 3 c = – 2
，，．

2
已知四次函數 f x 有兩個反曲點 (2 , 16) (0 , 0) 並且在過反曲點 (2 , 16)
，，
的切線與 x 軸平行求 f x．
，
4 3 2
解設 f x = ax + bx + cx + dx + e a≠0 函數 f x 的 f ' x 與 f '' x 為
：，．
3 2
f ' x = 4ax + 3bx + 2cx + d
，
2
f '' x = 12ax + 6bx + 2c
．
因為 f x 有兩個反曲點 (2 , 16) (0 , 0) 所以
，，
f 2 = 16 16a + 8b + 4c + 2d + e = 16
f '' 2 = 0 48a + 12b + 2c = 0
f 0 =0 e=0
f '' 0 = 0 2c = 0
又因為過反曲點 (2 , 16) 的切線與 x 軸平行所以，
f' 2 = 0 32a + 12b + 4c + d = 0
由解得 a = 1 b = – 4 c = 0 d = 16 e = 0
，，，，．
4 3
故 f x = x – 4x + 16x
．


1
f x
已知三次函數 f x 在 x = 1 處有極小值 – 4 且 lim
， = – 3 求 f x．
，
x 0 x

3 2
解設 f x = ax + bx + cx + d a≠0 計算 f x 的導函數得
：，．，
2
f ' x = 3ax + 2bx + c
．
因為 f x 在 x = 1 處有極小值 – 4 所以，
f 1 =–4 a+b+c+d=–4
f' 1 = 0 3a + 2b + c = 0
f x
因為 lim = – 3 且 lim x = 0 所以 lim f x = 0 即
，，
x 0 x x 0 x 0

f 0 =d=0
f x
代入 lim =–3 得
，
x 0 x
– 3 = lim (ax 2 + bx + c) = c
x 0

由解得 a = 5 b = – 6 c = – 3 d = 0
，，，．
3 2
故 f x = 5x – 6x – 3x
．

2
4 3
已知 m 為實數且四次方程式 3x – 4mx + 1 = 0 無實根求 m 的範圍
，，．
4 3 3 2 2
解令 f x = 3x – 4mx + 1 則 f ' x = 12x – 12mx = 12x x – m．
：，
4
當 m = 0 時 f x = 3x + 1 此時 f x = 0 無實根
，，．
當 m 0 時將 f ' x 的正負列表如下 :
，、
x m
f' x – 0 +
f x ↘f m ↗
因此 f x 的最小值為 f m．
，
因為 f x = 0 無實根所以 f x 的圖形與 x 軸沒有交點於是 f x 的最
，．
小值 f m > 0 即
，
4 4 4
3m – 4m + 1 > 0 m –1<0
．


推得
(m 2 + 1) m + 1 m–1 <0 m+1 m–1 <0
，
解得 – 1 < m < 1 m 0．
綜合，得–1<m<1 ．

1
3
畫出 f x = x – 3x 的圖形．
3
若方程式 x – 3x + a = 0 有相異二正根一負根時則 a 的範圍為何？
、，

解：計算
2
f ' x = 3x – 3 = 3 x – 1 x + 1， f '' x = 6x
．
列表如下 :

x –1 0 1
f' x + 0 – – – 0 +
f '' x – – – 0 + + +
f x 2 0 –2
畫出圖形如下 :

3 3
當方程式 x – 3x + a = 0 有相異二正根一負根時即函數 f x = x – 3x
、，
和水平線 g x = – a 有三個相異交點且其中有兩個交點的 x 坐標大於
，
0 另一個則小於 0
，．


因此由下圖可知 : – 2 < – a < 0 即 0 < a < 2
，．

2
3 2
已知三次函數 f x = 2x + ax + bx + c 在 x = 1 與 x = – 1 處有極值求
，，
a b 及畫出 f x 之導函數 f ' x 的圖形
，．

解計算
：
2
f ' x = 6x + 2ax + b
．
2
因為在 x = 1 與 x = – 1 處有極值所以 f ' x = 6 x – 1 x + 1 = 6x – 6
，．
可得 a = 0 b = – 6 而且 f ' x 的圖形如下圖所示 :
，，


3
3
若當 x > 0 時不等式 ax – 3x + 3 > 0 恆成立則 a 的範圍為何？
，，
3
解設 f x = ax – 3x + 3 計算
：．
2
f ' x = 3ax – 3 f '' x = 6ax
，．
3
因為當 x > 0 時不等式 ax – 3x + 3 > 0 恆成立所以由三次函數圖形的特
，，
性可知 : 圖形在 x 的值愈來愈大時必須是往上爬升的即 a > 0
，，．
2
又因為 a > 0 所以 f ' x = 3ax – 3 = 3( ax – 1)( ax + 1，因此 f x 的圖形
， ) ，
有兩個極值如下圖所示 :
，

1 1
因為當 x > 0 時 f x 的最小值為 f
， a，( )
所以 f ( )
a
>0 即
，
1 2
f ( ) a
=3– >0
a ，
4
整理得 a > ．
9

2-4 極值的應用
1
右圖中 AB = 14 AC = 3 AB
，，， AC 直線 L 通
，
過點 B 且 L AB
，．
今在 AB 上任取一點 P 在 L 上取一點 Q 使
，，
得 CPQ = 90° 求 △ CPQ 的最大面積
．．

2
解設 AP = x CP =
：， x + 9 PB = 14 – x
，，
並得到 0 < x < 14
．
PQ CP
因為 △ BPQ～△ACP 所以
， =
PB CA，
因此 PQ =
14 – x (
x + 9)
2

3 ．
設 △ CPQ 的面積為 f x，則
1 1 1
f x = CP PQ = 14 – x (x 2 + 9) = (– x 3 + 14x 2 – 9x + 126，
)
2 6 6
1 1
f ' x = (– 3x 2+ 28x – 9) = – 3x – 1 x – 9．
6 6
1
x 9
3
f' x – 0 + 0 –
1681
f x ↘ ↗ 75 ↘
81
由上表可知 : 在 x = 9 時有最大值 75
，．

六、補充教材
3 2
關於三次函數 f x = ax + bx + cx + d 的圖形有一個很重要的性質 : 那就
，
–b –b
是其圖形對稱於反曲點
3a
,f
3a ． ( 如圖 1 所示 : ( ))

▲圖 1（a > 0 的情形）

從圖形我們可以發現 : 似乎圖形對稱於反曲點但是該如何證明呢？以下
，
有兩個簡易的觀察．

3
觀察 1 : 函數 f x = ax + cx 的圖形對稱於原點．
3 3
說明 : 在 f x = ax + cx 上任取一點 P(x0 , y0，則 y0 = ax0 + cx，因為 P 點對原
) 0
點的對稱點為 (– x0 , – y0，又
)
3 3
– y0 = – (ax0 + cx0) = a(– x0) + c(– x0) = f (– x0，
)
3
所以函數 f x = ax + cx 的圖形對稱於原點
，．
3 2 3 b
觀察 2 : 若 f x = ax + bx + cx + d = a x – +C x– +D 則
， =–
3a，
b
D=f – (
3a ． )
3
說明 : 將 a x – +C x– + D 展開得
3 2 2 3
ax – 3a x + (3a + C)x + (– a )
– C + D，
b
因為 b = – 3a ，所以 =–
3a．
b b
又因為 f x = a x –
3
+C x –
3a
代入得 D = f – +D 令x=
， 3a ．
=– ( )
以下我們利用上面兩個觀察證明三次函數的圖形對稱於反曲點
，．
b b
3 2
首先我們已經知道 f x = ax + bx + cx + d 的反曲點為 –
， 3a
,f –
3a ． ( ( ))
由觀察 2 可得
b 3 b b
f x =a x– –
3a ( (
+C x– –
3a
+f –
3a ，)) ( ( )) ( )
b b
現將 f x 的圖形平行移動使得反曲點 –
， 3a
,f –
3a
移動至原點則新圖形， ( ( ))
3 3
的方程式為 g x = ax + Cx 由觀察 1 可知 : g x = ax + Cx 的圖形對稱於原點
，，
b b
3 2
即可知 f x = ax + bx + cx + d 的圖形對稱於反曲點 –
3a
,f –
3a ． ( ( ))
七、充實教材

 Fermat 定理
導數的基本性質中最先發現的是 Fermat 定理要證明這個定理需要利
，，，
用極限的一個性質．
定理設， g : D R 為兩函數 a 是 D 的一個聚集點若
f ，．
有一正數，使得 f x g x 對每個 x D x–a <
，都成立．
lim f x 與 lim g x 都存在．
x a x a


則
lim f x lim g x．
x a x a

證明 : 設
lim f x = s lim g x = ．
， x a t
x a

若 s >，令
t
1
s – t． =
2
依函數極限的定義必存在兩正數 1 及，使得
， 2
0< x–a < 1 f x –s <，
0< x–a < 2 g x –t <，
令
= min
，，，
1 2
則當 0 < x – a < 時必有 0 < x – a < 1 及 0 < x – a < ，
， 2
而且 x – a < ．因此可得
f x > s – = + t > g x．
此與定理的假設條件矛盾所以 s ．
，， t
其次我們需要先了解相對極大值與相對極小值的定義
，．
定義設 f : D R 為一函數 a b D
，，，
若存在一正數，使得當 x D 且 x – a < 時恆有 f a
， f x，則
稱函數 f 在 x = a 處有一個相對極大值．
若存在一正數，使得當 x D 且 x – a < 時恆有 f b
， f x，則
稱函數 f 在 x = b 處有一個相對極小值．
現在我們證明 Fermat 定理
，．
定理設 f : D R 為一函數 a D 若
，，
f 在 x = a 處有相對極大值或相對極小值．
f 在 x = a 處可微分．
則
f' a = 0
．
證明 : 假設 f a 是 f 的相對極大值則必存在一個正數，使得當 x
， D 且 x–a <
，
時恆有 f x
， f a．
另一方面因為 f 在 x = a 處可微分所以可得
，，，
f x –f a
lim = f ' a．
x a x–a

f x –f a
當我們把函數看成是定義在 a , a + D 的函數時因為
，
x–a
f x –f a
f x f a 且 x > a 故得
， 0 依定理 1 可得
．，
x–a
f x –f a
f ' a = lim 0
．
x a x–a
f x –f a
當我們把函數看成是定義在 a – , a D 的函數時因為
，
x–a
f x –f a
f x f a 且 x < a 故得
， 0 依定理 1 可得
．，
x–a
f x –f a
f ' a = lim 0
．
x a x–a
將兩個結果合併可得 f ' a = 0
，．

均值定理
Fermat 定理的一項簡單應用是 Rolle 定理後者是 Rolle 在討論方程式的近
，
似根時發現的。
定理設 f : a , b R 為一函數若
，
f 在 a , b 上連續．
f 在 a , b 上每一點都可微分．
f a = f b =0．
則必存在一個 c a , b，使得 f ' c = 0
．
證明 : 因為 f 是 a , b 上的連續函數所以必有 d , e
，， a , b，使得
f d = sup f x a x b ， f e = inf f x a x b．
若 f d = f e = 0 則 f 是常數函數 0 於是 a , b 內每個 c 都滿足 f' c = 0
，．，．
若 f d 0 則因 f a = f b = 0 故 d≠a d≠b 亦即 d
，，，，， a , b．
於是 f 在 x = d 處可微分且 f 在 x = d 處有相對極大值依定理 2 可得
，，，
f' d = 0
．
若 f e ≠0 則因 f a = f b = 0 故e≠a e≠b 亦即 e
，，，，， a , b．於是，
f 在 x = e 處可微分且 f 在 x = e 處有相對極小值依定理 2 可得 f ' e = 0
，，．
Rolle 定理後來由 Lagrange 推廣成另一定理稱為微分的均值定理
，．
定理設 f : a , b R 為一函數若
，
f 在 a , b 上連續．
f 在 a , b 上每一點都可微分．


則必存在一個 c a , b，使得
f b – f a = f ' c b – a．
證明 : 定義一個函數 g : a , b R 如下 :
f b –f a
gx = x–a – f x – f a．
b–a
因為函數 x – a 及 f x 在 a , b 上連續故函數 g 也在 a , b 上連續又
，．
因為函數 x – a 及 f x 在 a , b 上每一點都可微分故函數 g 也在 a , b
，
上每一點可微分更進一步地很容易驗證 : g a = g b = 0 於是依
．，．，
Rolle 定理必有一個 c
， a , b，使得 g' c = 0
．
另一方面因為
，
f b –f a
g' x = – f ' x．
b–a
所以所謂 g' c = 0 乃是表示
，，
f b –f a
= f ' c 或 f b – f a = f ' c b – a．
b–a
就幾何意義來說 Rolle 定理是表示當一段平滑曲線的兩端都在 x 軸上時
，，
這段曲線上必定有水平的切線參看圖 1 :
，

▲圖 1

另一方面 Lagrange 的均值定理乃是表示 : 任何一段平滑曲線都有切線與
，
兩端點的連線平行參看圖 2 :
，

▲圖 2


Lagrange 的均值定理後來由 Cauchy 推廣成一個廣義的均值定理．
定理設， g : a , b
f R 為兩函數若
，
f 與 g 在 a , b 上連續．
f 與 g 在 a , b 上每一點都可微分．
則必存在一個 c a , b，使得
g' c f b – f a = f ' c g b – g a ．
證明 : 若 g a = g b，則依 Rolle 定理（考慮函數 g x – g a ） a , b 內必有一
，
個 c 滿足 g' c = 0 因此 g' c f b – f a 與 f ' c g b – g a 都等於 0
，，．
若 g a ≠g b，定義一個函數 h : a , b R 如下 :
f b –f a
hx = g x –g a – f x – f a，
g b –g a
則 h 在 a , b 上連續且在 a , b 內每一點都可微分同時 h a = h b = 0 ，．
依 Rolle 定理必有一個 c
， a , b 滿足 h' c = 0 因為
．
f b –f a
h' x = g' x – f ' x．
g b –g a
因此所謂 h' c = 0 乃是表示
，，
f b –f a
g' c = f ' c 或 g' c f b – f a = f ' c g b – g a ．
g b –g a
比較定理 4 及定理 5 可知定理 4 其實是在定理 5 中令 g x = x 所得的特殊
，
情形反之由定理 4 出發自然也可證得定理 5
．，，．

遞增、遞減與極值的判定
定理設 f : a , b R 為一可微分的函數，
若 f ' x > 0 對每個 x a , b 都成立則 f : a , b
， R 是遞增函數．
若 f ' x < 0 對每個 x a , b 都成立則 f : a , b
， R 是遞減函數．
證明 : 我們只證明．
設c d
， a , b，且 c < d 則 f 在 c , d 上連續且在 c ,d 內每一點都
，，
可微分依均值定理必有一個 e
，， c , d，使得 f d – f c = f ' e d – c．
因為 a , b 內每一個 x 都滿足 f' x > 0 所以 f d – f c > 0 即 f d > f c ．
，，，
因此 f 是遞增函數
，．
定理 6 的逆敘述只能寫成下面的形式．
定理設 f : a , b R 為一可微分的函數，
若f: a,b R 是遞增函數則對每個 x
， a , b，恆有 f ' x 0
．
若f: a,b R 是遞減函數則對每個 x
， a , b，恆有 f ' x 0
．


設c a , b，因為 f : a , b R 是遞增函數所以對每個 x
，， a , b，
x≠c x – c 與 f x – f c 必同號亦即對每個 x
，，， a , b， x≠c 恆有
，
f x –f c
>0
．
x–c
依定理 1 可得
，
f x –f c
f ' c = lim 0
．
x cx–c
3
定理 7 中的 f ' x 0 不能改為 f ' x > 0 例如 : f x = x 是一個遞增函數
，，
但 f' 0 = 0
．
定理 6 中所提的性質是一個整體的性質因為我們假設「每一個」f ' x 都
，
是正數時則可知 f 是遞增函數現在如果我們只假設「某一個」f ' c 是正
，．，
數時則可以得出什麼結果呢？且看下面的定理
，．
定理設 f : a , b R 在 x = c 處可微分．
若 f ' c > 0 則必有一個正數，使得
，
c<x<c+ f c < f x； c > x > c – f c > f x．
若 f ' c < 0 則必存在一個正數，使得
，
c<x<c+ f c > f x； c > x > c – f c < f x．
因為
f x –f c
lim = f ' c，
x c x–c
且 f ' c > 0 依函數極限的定義必有一正數，使得當 0 < x – c < 時
，，，
恆有
f x –f c 1
– f ' c < f ' c．
x–c 2
於是當 0 < x – c < 時可得
，，
f x –f c 1
> f' c > 0 ，
x–c 2
亦即，
f c < f x； c > x > c –
c<x<c+ f c > f x．
前面所得的結果可應用到有關函數之極值的判定或者說可用以得出
，，，
極值的充分條件．


定理設 f : a , b R 為一可微分的函數 c
， a , b 且 f' c = 0
．
若存在一正數，使得
c – < x < c f' x > 0 c < x < c +
； f' x < 0
．
則函數 f 在 x = c 處有一個相對極大值．
若存在一正數，使得
c – < x < c f' x < 0 c < x < c +
； f' x > 0
．
則函數 f 在 x = c 處有一個相對極小值．
設x c – , c，則依均值定理必存在一個 y
， x , c，使得
f c – f x = f ' y c – x．
依假設 f ' y > 0 故得 f c – f x > 0 即 f c > f x．
，，，
另一方面設 x
， c , c + ，則依均值定理必存在一個 z ， c , x，使得
f c – f x = f ' z c – x．
依假設 f ' z < 0 故得 f c – f x > 0 即 f c > f x．
，，，
因此函數 f 在 x = c 處有一個相對極大值
，．
函數極值的判定方法也可以改用第二階導函數
，．
定理設 f : a , b R 為一可微分的函數 c ， a , b， f ' c = 0 且 f '' c 存在．
若 f '' c < 0 則函數 f 在 x = c 處有一個相對極大值
，．
若 f '' c > 0 則函數 f 在 x = c 處有一個相對極小值
，．
證明 : 因為 f '' c < 0 依定理 8（應用到函數 f '）必存在一正數，使得
，，
c – < x < c f' x > f' c = 0；
c<x<c+ f' x < f' c = 0
．
依定理 9 函數 f 在 x = c 處有一個相對極大值
，．
與前面證法類似故略去
，．
註 : 本充實教材節錄自高級中學理科數學教師手冊上冊第二章．
（國立臺灣師範大學科學教育中心主編國立編譯館出版）
，

62 隨堂練習解答
1 2
令 t + 8t = 100 則
，
5
2
t + 40t – 500 = 0 t + 50 t – 10 = 0
，
解得 t = 10 或 – 50（不合）．
因此當 t = 10 時小明恰衝過終點線故衝過終點線時的瞬時速度為
，，．
2
s' 10 = 10 + 8 = 12（公尺／秒）．
5

隨堂練習 2-1

1
下列哪些函數在區間 – 1 , 1 上為遞增函數？

解因為選項
：的圖形在區間 – 1 , 1 上愈往右邊的點會愈往上攀升
，，，
所以在區間 – 1 , 1 上是遞增函數而選項
．的圖形並無此種情形
，，
故選．

隨堂練習解答 63

2
2
討論函數 f x = x – 4x + 3 的遞增或遞減的狀況．
隨
解首先求出 f x 的導函數
：堂
f ' x = 2x – 4 = 2 x – 2．
接著將關於 f ' x 的正負列表如下 :
、
x 2
f' x – 0 +
因此得
，
當 x < 2 時 f ' x < 0 於是 f x 在區間 – , 2 上為遞減函數
，，．
當 x > 2 時 f ' x > 0 於是 f x 在區間 2 ,
，，上為遞增函數．

3
3
討論函數 f x = – x + 6x 的遞增或遞減的狀況．

：
2
f ' x = – 3x + 6 = – 3 x – 2 x+ 2．
接著將關於 f ' x 的正負列表如下 :
、
x – 2 2
f' x – 0 + 0 –
因此得
，
當x < – 2或x > 2 時 f ' x < 0 於是 f x 在區間 –
，， ,– 2 與 2,
上為遞減函數．
當 – 2 < x < 2 時 f ' x > 0 於是 f x 在區間 –
，， 2, 2 上為遞增函數．

4
3 2
設 k 為實數且 f x = – x + kx – kx + 2 在整條實數線上為遞減函數
，，
求 k 的範圍．


解先求出 f x 的導函數
：
2
f ' x = – 3x + 2kx – k
．
因為 f x 在整條實數線上為遞減函數所以對於任意實數 x
，，
2
f ' x = – 3x + 2kx – k 0
恆成立因為二次項係數 – 3 < 0 所以只須判別式小於或等於 0 即可即
．，，
2
2k – 4 – 3 – k 0
．
整理得
k k–3 0
．
故0 k 3
．

5
2
討論函數 f x = x – 4x + 3 圖形的凹向．

解計算 f ' x 及 f '' x，得 f ' x = 2x – 4 f '' x = 2
：，．
因為 f '' x 恆為正數所以 f x 在整條實數線上的圖形都是凹口向上
，．

6
3
討論函數 f x = – x + 6x 圖形的凹向與反曲點．
2
解首先求出 f ' x 及 f '' x， f ' x = – 3x + 6 f '' x = – 6x
：，．
接著將關於 f '' x 的正負列表如下 :
、
x 0
f '' x + 0 –
因此得
，
當 x < 0 時 f '' x > 0 於是 f x 在區間 – , 0 的圖形是凹口向上
，，．
當 x > 0 時 f '' x < 0 於是 f x 在區間 0 ,
，，的圖形是凹口向下．
又因為 f x 圖形的凹向在 x = 0 處發生變化所以反曲點為 (0 , 0)
，．

7
3
描繪函數 f x = – x + 6x 的圖形．


解首先求出 f ' x 及 f '' x，
：
2
f ' x = – 3x + 6 = – 3 x – 2 x+ 2， f '' x = – 6x
．
接著列表如下 : 隨
x – 2 0 2
堂
f' x – 0 + + + 0 –
f '' x + + + 0 – – –
f x –4 2 0 4 2
再繪圖如下 :

8
4 2
描繪函數 f x = x – 2x + 1 的圖形．

：
3
f ' x = 4x – 4x = 4x x – 1 x + 1，
2
f '' x = 12x – 4 = 4 3x – 1 3x + 1．
接著列表如下 :
1 1
x –1 – 0 1
3 3
f' x – 0 + + + 0 – – – 0 +
f '' x + + + 0 – – – 0 + + +
4 4
f x 0 1 0
9 9


再繪圖如下 :

隨堂練習 2-2

1
下圖是多項式函數 f x 在閉區間 – 4 , 6 的圖形試由圖形指出此函數的
，
最大值最小值極大值與極小值
、、．

解根據定義得
：，
最大值為 5
．
最小值為 – 3
．
極大值有 5 3 – 1
，，．
極小值有 1 – 3 – 2
，，．


2
3
求函數 f x = x – 12x + 2 的極大值與極小值．
隨
：堂
2
f ' x = 3x – 12 = 3 x – 2 x + 2．
當 f ' x = 0 時解得 x = – 2 2
，，．
接著將 f ' x 的正負列表如下 :
、
x –2 2
f' x + 0 – 0 +
f x ↗ 18 ↘ – 14 ↗
利用第一階導函數判別法得 f x 的極大值為 18 極小值為 – 14
，，．

3
3 2
求函數 f x = – x – 3x + 9x + 2 在閉區間 – 4 , 2 上的最大值與最小值．

：
2
f ' x = – 3x – 6x + 9 = – 3 x + 3 x – 1．
當 f ' x = 0 時解得 x = – 3 1
，，．
因為 f x 的定義域端點為 – 4 2 所以 f x 的極值只可能出現在 – 4 – 3
，，，，
1 2
，．
接著將 f ' x 的正負列表如下 :
、
x –4 –3 1 2
f' x – 0 + 0 –
f x – 18 ↘ – 25 ↗ 7 ↘ 0
因此 f x 的最大值為 7 最小值為 – 25
，，．


4
3 2
求函數 f x = x – 6x + 9x + 4 的極大值與極小值．

：
2
f ' x = 3x – 12x + 9 = 3 x – 1 x – 3， f '' x = 6x – 12
．
當 f ' x = 0 時解得 x = 1 3
，，．
由於
f '' 1 = – 6 < 0 f '' 3 = 6 > 0
，．
利用第二階導函數判別法得 f x 在 x = 1 處有極大值 f 1 = 8 在 x = 3 處
，，
有極小值 f 3 = 4
．

5
3 2
設函數 f x = x + ax + bx + 5 在 x = 1 處有極小值 3 求實數 a b 的值
，，．
2
解函數 f x 的導函數為 f ' x = 3x + 2ax + b
：．
因為在 x = 1 處有極小值 3 所以 f ' 1 = 0 且 f 1 = 3 即
，，
3 + 2a + b = 0 2a + b = – 3
1+a+b+5=3 a + b = – 3，
解得 a = 0 b = – 3
，．

隨堂練習 2-3

1
3 2
右圖為三次函數 f x = ax + bx + cx + d 的圖
形選出正確的選項 :
，
a>0
． b>0
． c>0
．
2
d>0
． b – 3ac > 0
．

2
解計算 f ' x = 3ax + 2bx + c f '' x = 6ax + 2b
：，，
可得 : f 0 = d f ' 0 = c f '' 0 = 2b
，，．
觀察右圖有以下的結論 :
，
隨
由三次函數的圖形特性可知 a < 0
．
堂
因為 2b = f '' 0，而且 f x 在點 0 , d 附近的圖
形凹口向下所以 b < 0
，．
因為 c = f ' 0，而且 f x 在點 0 , d 附近遞增，
所以 c > 0．
因為 f x 與 y 軸的交點 0 , d 在 x 軸下方所以 d < 0
，．
因為 f x 有兩個極值所以 f ' x = 0 的判別式 4(b 2 – 3ac) > 0
，．
故綜合上面的討論可知正確的選項為
，．

2
3 2
已知三次函數 f x = – 3x + 2x + kx – 6 沒有極值求實數 k 的範圍
，．
3 2 2
解因為三次函數 f x = ax + bx + cx + d 沒有極值所以 b – 3ac
：， 0 即
，
2 2
b – 3ac = 2 – 3 –3 k 0 9k + 4 0
，
解得 k 的範圍為
4
k – ．
9

3
3 2
求方程式 x – 3x + 5 = 0 的實根個數．
3 2
解先畫出三次函數 f x = x – 3x + 5 的圖形方法如下 :
：，
計算
2
f ' x = 3x – 6x = 3x x – 2，
f '' x = 6x – 6 = 6 x – 1．
列表如下 :

x 0 1 2
f' x + 0 – – – 0 +
f '' x – – – 0 + + +
f x 5 3 1

3 2
畫出 f x = x – 3x + 5 的圖形如下圖所示 :

3 2
由上圖可以看到 f x = x – 3x + 5 和 x 軸有 1 個交點因此方程式
，
3 2
x – 3x + 5 = 0 有 1 個實根．

4
3
已知方程式 – x + 3x + k = 0 有三相異實根求實數 k 的範圍
，．
3
解設 f x = – x + 3x + k 計算
：．
2
f ' x = – 3x + 3 = – 3 x – 1 x + 1，
得兩極值為 f 1 = k + 2 f – 1 = k – 2
，．
3
因為 – x + 3x + k = 0 有三相異實根所以 f 1
， f –1 <0 即
，
k–2 k+2 <0
，
解得 k 的範圍為 – 2 < k < 2
．

5
3 2
已知方程式 x – 6x + 9x + k = 0 有兩相異實根求實數 k 的範圍
，．
3 2
解設 f x = x – 6x + 9x + k 計算
：．
2 2
f ' x = 3x – 12x + 9 = 3 x – 4x + 3 = 3 x – 1 x – 3，
得兩極值 f 1 = k + 4 f 3 = k
，．
因為方程式 f x = 0 有兩相異實根所以 f 1
， f 3 =0 即
，
k k+4 =0
，
解得 k = 0 或 k = – 4
．


6
3
問 y = x – x 的圖形與直線 y = 2x + 1 有幾個交點？
：
隨
解因為兩圖形的交點有相同的坐標所以想了解 y = x – x 和 y = 2x + 1 的交
：，
3
堂
3
點個數就是探討方程式 x – x = 2x + 1 有幾個相異實根
，．
3 3 3
將 x – x = 2x + 1 改寫成 x – 3x – 1 = 0 並設 f x = x – 3x – 1
，．
計算
2
f ' x = 3x – 3 = 3 x – 1 x + 1，
得兩極值為
f 1 =–3 f –1 =1
，．
因為
f 1 f –1 =–3<0
，
3
所以 f x 的圖形和 x 軸有 3 個交點即方程式 x – 3x – 1 = 0 有 3 個實根
，，
3
也就是 y = x – x 的圖形與直線 y = 2x + 1 有 3 個交點．

隨堂練習 2-4

1
承例題 1 如果正方形鐵片改為長 16 公分寬 10 公分的矩形鐵片那麼
，、，
應截去邊長為多少公分的正方形才能使長方體的容積最大？
，

解：因為截去的正方形邊長小於 10 公分的一半且邊長為正數所以
，，
0<x<5．
因為長方體的底面積為 16 – 2x 10 – 2x 平方公分高為 x 公分
，，
所以長方體的容積 f x 為
3 2
f x = x 16 – 2x 10 – 2x = 4x – 52x + 160x（立方公分）．
計算 f x 的導函數 f ' x，得
2 2
f ' x = 12x – 104x + 160 = 4 3x – 26x + 40 = 4 3x – 20 x – 2．

20 20
當 f ' x = 0 時解得 x =
，或 2 因為 0 < x < 5 所以 x =
，，不合將導
．
3 3
數的正負整理成下表 :
、
x 0 2 5
f' x + 0 –
f x 0 ↗ 144 ↘ 0

由函數的遞增與遞減得知 f x 在區間 (0 , 5) 上的最大值為 f 2 = 144 即
，，
當截去的正方形邊長為 2 公分時所得長方體的容積最大
，．

2
2
求拋物線 y = x – x 上與點 A 0 , 1 距離最近的點坐標及最近的距離．
2
解設 P(x , x 2 – x) 為拋物線 y = x – x 上任意一點
：．
2
因為 P 是拋物線 y = x – x 上任意一點所以，
x 為任意實數．
由兩點距離公式得，
2 2 2 4 3
PA = x – 0 + x – x – 1 = x – 2x + 2x + 1
．
4 3
設 f x = x – 2x + 2x + 1 x 為實數
，．
函數 f x 的導函數 f ' x 為
3 2 3 2 2
f ' x = 4x – 6x + 2 = 2 2x – 3x + 1 = 2 x – 1 2x + 1．
1
當 f ' x = 0 時解得 x = 1 或 – ．將導數的正負整理成下表 :
，、
2
1
x – 1
2
f' x – 0 + 0 +
5
f x ↘ ↗ ↗
16
1 1 5
由函數的遞增與遞減得知 f x 在 x = –
， 2
時有最小值 f –
2
= ，即當
16 ( )
1 3 5
P 點的坐標為 – ( ,
2 4 ， )
時 P 點與 A 點最近的距離為
4．


3
已知一矩形的一邊 AB 落在 x 軸上另一邊 CD
，
在 x 軸的上方且其兩端點 C D 在拋物線
，，隨
2
y = 12 – x 上如右圖所示求此矩形的最大
，，堂
面積．

解設 C D 兩點的坐標分別為 (x , 12 – x 2， (– x , 12 – x 2．
：， ) )
因為 C 點的 x 坐標為正且小於 2 3 所以
，，
0<x<2 3 ．
2
因為矩形的邊 CD = 2x 高等於 12 – x ，所以矩形的面積 f x 為
，
2 3
f x = 2x 12 – x = – 2x + 24x
．
函數 f x 的導函數 f ' x 為
2
f ' x = – 6x + 24 = – 6 x – 2 x + 2．
當 f ' x = 0 時解得 x = 2 或 – 2 因為 0 < x < 2 3 所以 x = – 2 不合
，．，．
將導數的正負整理成下表 :
、
x 0 2 2 3
f' x + 0 –
f x ↗ 32 ↘

由函數的遞增與遞減得知 f x 在區間 0 , 2 3 上的最大值為 f 2 = 32 即
，，
當 x = 2 時矩形有最大面積 32
，．

100 課本習題解答

10
設 f x 為二次函數直線 L 為拋物線 y = f x 在 x = 1 處的切線且此拋
，，
物線通過 (0 , 2) 與 (– 1 , 0) 兩點如下圖所示若 L 的斜率為 – 1 求 f x
，．，
及 L 的方程式．

2
解設 f x = ax + bx + c, a≠0 則 f ' x = 2ax + b
：，．
因為 y = f x 在 x = 1 處的切線 L 的斜率為 – 1 所以，
f ' 1 = 2a + b = – 1
．
又 y = f x 的圖形通過 – 1 , 0 及 (0 , 2) 兩點所以，
a–b+c=0 a–b=–2
c=2 c=2 ，
2
解得 a = – 1, b = 1, c = 2 即 f x = – x + x + 2
，．
因為在 x = 1 處的切點為 (1 , 2) 且切線 L 的斜率為 – 1 所以
，，
L:x+y=3
．

習題 2-1

1
3 2
關於函數 f x = – x + 3x + 9x 選出正確的選項 :
，
f x 在區間 – 1 , 3 上是遞增函數．
f x 在區間 3 , 上是遞減函數．
f x 在區間 1 , 上的圖形是凹口向上．
f x 圖形的反曲點為 (1 , 11)
．
f x 的值恆為負數．

課本習題解答 101

：
2
f ' x = – 3x + 6x + 9 = – 3 x + 1 x – 3，
f '' x = – 6x + 6 = – 6 x – 1．

x –1 1 3
習
f' x – 0 + + + 0 – 題
f '' x + + + 0 – – –
f x –5 11 27

再繪圖如下 :

由 f x 的圖形得知選項正確．

2
3 2
已知 f x = 2x + ax + bx + 3 在區間 2 , 5 上為遞減函數在區間 –
， ,2
與 5, 上為遞增函數求 a, b 的值
，．
2
解函數 f x 的導函數 f ' x = 6x + 2ax + b
：．
由題意知 f x 在 x = 2 與 x = 5 處增減情形產生變化因此方程式
，．，
2
f ' x = 6x + 2ax + b = 0 的兩根為 2, 5
．
由根與係數的關係得
，
2a
2+5=–
6 a = – 21
b b = 60 ．
2 5=
6


3
3 2
設 k 為實數且三次函數 f x = kx – 3x + k + 2 x + 2 在整條實數線上
，
為遞減函數求 k 的範圍
，．

解先求出 f x 的導函數
：
2
f ' x = 3kx – 6x + k + 2．
因為 f x 在整條實數線上為遞減函數所以對於任意實數 x
，，
2
f ' x = 3kx – 6x + k + 2 0
恆成立由二次函數恆不為正的條件得
．，
3k < 0 k<0 k<0
2
– 6 – 4 3k k + 2 0
2
k + 2k – 3 0 k 1或k – 3．
故k –3．

4
3 2
已知 f x = x + ax + bx + 1 圖形的反曲點為 (1 , 8) 求 a, b 的值
，．

解函數 f x 的 f ' x 及 f '' x 為
：
2
f ' x = 3x + 2ax + b f '' x = 6x + 2a
，．
因為 f x 的反曲點為 (1 , 8) 所以 f '' 1 = 0 即
，，
6 + 2a = 0 a = – 3
．
又因為點 (1 , 8) 在 f x 的圖形上所以 f 1 = 8 即
，，
1+a+b+1=8 a+b=6 ．
故 a = – 3, b = 9
．

5
描繪下列多項式函數的圖形 :
3 2
f x = x – 3x + 2．
3 2
f x = – x – 3x + 9x + 7
．
4 2
f x = – x + 8x – 3
．


解：首先求出 f ' x 及 f '' x，
2
f ' x = 3x – 6x = 3x x – 2，
f '' x = 6x – 6 = 6 x – 1．

x 0 1 2
習
f' x + 0 – – – 0 + 題
f '' x – – – 0 + + +
f x 2 0 –2

再繪圖如下 :

首先求出 f ' x 及 f '' x，
2
f ' x = – 3x – 6x + 9 = – 3 x – 1 x + 3，
f '' x = – 6x – 6 = – 6 x + 1．

x –3 –1 1

f' x – 0 + + + 0 –

f '' x + + + 0 – – –

f x – 20 –4 12


再繪圖如下 :

3
f ' x = – 4x + 16x = – 4x x – 2 x + 2，
2
f '' x = – 12x + 16 = – 4( 3x – 2)( 3x + 2．
)
2 2
x –2 – 0 2
3 3
f' x + 0 – – – 0 + + + 0 –

f '' x – – – 0 + + + 0 – – –
53 53
f x 13 –3 13
9 9
再繪圖如下 :


習題 2-2

一基礎題
、
1
右圖是三次函數 f x 的圖形其中 (3 , 1) 為反曲
，習
點在 x = 2 處有極小值在 x = 4 處有極大值
；；．題
選出正確的選項 :
f' 2 = 0 ．
f '' 2 > 0
．
f '' 3 = 0
．
f' 3 = 0 ．
f '' 5 < 0
．

解：因為在 x = 2 處有極小值所以 f ' 2 = 0
，．
因為在 x = 2 處 f x 圖形的凹口向上所以 f '' 2 > 0
，．
因為 (3 , 1) 為反曲點所以 f '' 3 = 0
，．
因為二次方程式 f ' x = 0 的兩根為 2, 4 所以 3 不是 f ' x = 0 的根即
，，
f ' 3 ≠0
．
因為在 x = 5 處 f x 圖形的凹口向下所以 f '' 5 < 0
，．
故選．

2
求下列各函數的極大值與極小值 :
3 2
f x = 2x – 9x + 12x – 2
．
3
f x = – x + 12x – 2
．
4 3 2
f x = x + 2x – 3x – 4x + 4
．

解：首先求出 f ' x 及 f '' x，
2
f ' x = 6x – 18x + 12 = 6 x – 1 x – 2，
f '' x = 12x – 18 = 6 2x – 3．
當 f ' x = 0 時解得 x = 1, 2
，．


因為
f '' 1 = – 6 < 0 f '' 2 = 6 > 0
，，
所以 f x 在 x = 1 處有極大值 f 1 = 3 在 x = 2 處有極小值 f 2 = 2
；．
2
f ' x = – 3x + 12 = – 3 x – 2 x + 2，
f '' x = – 6x
．
當 f ' x = 0 時解得 x = – 2, 2
，．
因為
f '' – 2 = 12 > 0 f '' 2 = – 12 < 0
，，
所以 f x 在 x = – 2 處有極小值 f – 2 = – 18 在 x = 2 處有極大值 f 2 = 14
；．
3 2
f ' x = 4x + 6x – 6x – 4 = 2 x – 1 x + 2 2x + 1，
2
f '' x = 12x + 12x – 6 = 6(2x 2 + 2x – 1．)
1
當 f ' x = 0 時解得 x = – 2, – , 1
， 2 ．
因為
1
f '' – 2 = 18 > 0 f '' –
， 2 ( )
= – 9 < 0 f '' 1 = 18 > 0
，，
1 1
所以 f x 在 x = – 2 處有極小值 f – 2 = 0 在 x = – ； 2 ( )
處有極大值 f –
2
81
= ；在 x = 1 處有極小值 f 1 = 0 ．
16

3
求下列各函數的最大值與最小值 :
3 2
f x = 2x + 3x – 12x – 3（– 3 x 4）．
3
f x = – x + 3x（0 x 2）．
6 2
f x = x – 3x （– 2 x 2）．

解：函數 f x 的導函數為
2
f ' x = 6x + 6x – 12 = 6 x + 2 x – 1．
當 f ' x = 0 時解得 x = – 2, 1
，．
因為 f x 的定義域端點為 – 3, 4 所以 f x 的極值只可能出現在 – 3, – 2,
，
1, 4
．


將 f ' x 的正負列表如下 :
、
x –3 –2 1 4
f' x + 0 – 0 +
f x 6 ↗ 17 ↘ –10 ↗ 125
，，．習
函數 f x 的導函數為題
2
f ' x = – 3x + 3 = – 3 x – 1 x + 1．
當 f ' x = 0 時解得 x = – 1, 1
，．
因為 f x 的定義域端點為 0, 2 所以 f x 的極值只可能出現在 0, 1, 2
，．
、
x 0 1 2

f' x + 0 –

f x 0 ↗ 2 ↘ –2
，，．
函數 f x 的導函數為
5
f ' x = 6x – 6x = 6x x – 1 x + 1 (x 2 + 1．
)
當 f ' x = 0 時解得 x = – 1, 0, 1
，．
因為 f x 的定義域端點為 – 2, 2 所以 f x 的極值只可能出現在 – 2, – 1,
，
0, 1, 2
．
、
x –2 –1 0 1 2
f' x – 0 + 0 – 0 +

f x 52 ↘ –2 ↗ 0 ↘ –2 ↗ 52
，，．

4
3 2
設函數 f x = 2x + ax + 12x + b 在 x = 1 處有極大值 3 求實數 a, b 的值
，．
2
解函數 f x 的導函數為 f ' x = 6x + 2ax + 12
：．


因為在 x = 1 處有極大值 3 所以 f ' 1 = 0 且 f 1 = 3 即
，，
6 + 2a + 12 = 0 2a = – 18
2 + a + 12 + b = 3 ，
a + b = – 11
解得 a = – 9, b = – 2
．

5
3 2
設函數 f x = x + ax + bx + 2 且 f x 在 x = 1 與 x = – 3 處有極值求實
，，
數 a, b 的值．
2
解函數 f x 的導函數為 f ' x = 3x + 2ax + b
：．
因為在 x = 1 與 x = – 3 處有極值所以，
f ' 1 = 3 + 2a + b = 0 2a + b = – 3
f ' – 3 = 27 – 6a + b = 0 – 6a + b = – 27，
解得 a = 3, b = – 9．

二進階題
、
6
設三次函數 f x 在 x = 1 處有極大值 6 在 x = 2 處有極小值 5 求 f x．
，，
3 2
解設 f x = ax + bx + cx + d 其中 a, b, c, d 為實數且 a
：，， 0 計算 f x 的
．
導函數得
，
2
f ' x = 3ax + 2bx + c
．
由題意可列得聯立方程組
f' 1 = 0 3a + 2b + c = 0
f 1 =6 a+b+c+d=6
f' 2 = 0 12a + 4b + c = 0 ，
f 2 =5 8a + 4b + 2c + d = 5
解得 a = 2, b = –9, c = 12, d = 1
．
3 2
故 f x = 2x – 9x + 12x + 1
．


7
設三次函數 f x 在 x = 2 時有極小值 – 2 且此函數的圖形在 (3 , 2) 與直
，
線 y = 9x – 25 相切求 f x．
，
3 2
：，， 0 計算 f x 的
．
導函數得
，
習
2
f ' x = 3ax + 2bx + c
．
題
f' 2 = 0 12a + 4b + c = 0
f 2 =–2 8a + 4b + 2c + d = – 2
f' 3 = 9 27a + 6b + c = 9 ，
f 3 =2 27a + 9b + 3c + d = 2
解得 a = 1, b = – 3, c = 0, d = 2
．
3 2
故 f x = x – 3x + 2
．

8
4 3
設 k 為實數且對任意實數 x 不等式 x – 4k x + 12
，， 0 恆成立求 k 的
，
範圍．
4 3
解：當 k≠0 時設 f x = x – 4k x + 12 計算 f x 的導函數得
，．，
3 3 2 2
f ' x = 4x – 4k = 4 x – k (x + kx + k ．)
2
–k± 3k i
當 f ' x = 0 時解得 x = k
，，（不合）．
2
2 2 2 2 2 2 2
因為二次式 x + kx + k 的判別式 k – 4k = – 3k < 0 所以 x + kx + k
，
恆為正數．
、
x k
f' x – 0 +

f x ↘ f k ↗
因此 f x 的最小值為 f k．
，
4 3
因為 x – 4k x + 12 0 恆成立所以 f k
， 0 即
，
4 4 4
k – 4k + 12 0 k –4 0．


因式分解得 (k – 2)(k + 2)(k 2 + 2) 0 解得 – 2
， k 2
．
又 k≠0 故 k 的範圍為 –
， 2 k 2 但 k≠0
，．
4
當 k = 0 時不等式 x + 12
， 0 顯然恆成立．
綜合，得 k 的範圍為 – 2 k 2
．

習題 2-3

一基礎題
、
1
3 2
關於三次函數 f x = x – 3x + k 下列敘述哪些是正確的？
，
在 x = 0 處有極大值．
在 x = 2 處有極小值．
其圖形恰有一條水平切線．
其圖形恰有一個反曲點．
2 3 2
解計算 f ' x = 3x – 6x = 3x x – 2，故 f x = x – 3x + k 有兩個極值 f 0 與 f 2，
：
其圖形如圖所示 :
由三次函數圖形可知 :
f 0 為極大值 f x 在 x = 0 處有極大值
，．
f 2 為極小值 f x 在 x = 2 處有極小值
，．
在極值處有水平切線所以 f x 有兩條水平切線
，．
三次函數恰有一個反曲點．
故由上面的討論可知正確的選項為
：．

2
3 2
求方程式 2x – 3x – 12x + 8 = 0 的實根個數．
3 2
解設 f x = 2x – 3x – 12x + 8 計算 f x 的導函數得
：．，
2 2
f ' x = 6x – 6x – 12 = 6(x – x – 2) = 6 x – 2 x + 1，
得兩極值 f 2 = – 12 f – 1 = 15
，．
因為 f 2 f – 1 < 0 所以方程式有 3 個相異實根
，．


3
3 2
已知 f x = 3x + 2kx + x + 5 有極值求實數 k 的範圍
，．
3 2 2
解因為當三次函數 f x = ax + bx + cx + d 有兩個極值時 b – 3ac > 0 所以
：，，
2 2 2
b – 3ac = 2k – 3 3 1 > 0 4k > 9
，
解得 k 的範圍為 k >
3
或k<– ．
3 習
2 2 題
4
3 2
已知方程式 x + 3x – 9x + k = 0 有三相異實根求實數 k 的範圍
，．
3 2
解設 f x = x + 3x – 9x + k 計算 f x 的導函數得
：．，
2
f ' x = 3x + 6x – 9
2
= 3 x + 2x – 3
= 3 x – 1 x + 3，
得兩極值為 f 1 = k – 5 f – 3 = k + 27
，．
3 2
因為 x + 3x – 9x + k = 0 有三相異實根所以 f 1
， f –3 <0 即
，
k – 5 k + 27 < 0
，
解得 k 的範圍為 – 27 < k < 5
．

5
3
已知方程式 x – 12x + k = 0 僅有一實根求實數 k 的範圍
，．
3
解設 f x = x – 12x + k 計算 f x 的導函數得
：．，
2
f ' x = 3x – 12 = 3 x – 2 x + 2，
得兩極值為 f 2 = k – 16 f – 2 = k + 16
，．
3
因為 x – 12x + k = 0 僅有一實根所以 f 2
， f – 2 > 0，即
k – 16 k + 16 > 0
，
解得 k 的範圍為 k > 16 或 k < – 16
．


6
3 2
已知函數 f x = x + kx + x + 10 的圖形恰有一條水平切線求實數 k 的範圍
，．
3 2 2
解因為當三次函數 f x = ax + bx + cx + d 恰有一條水平切線時 b – 3ac = 0
：，，
所以
2 2 2
b – 3ac = k – 3 1 1 = 0 k =3
，
解得 k為 3或– 3
．

7
已知三次函數 f x 的圖形通過點 (0 , 0) – 1 , 2，
，
且與 x 軸相切於點 (1 , 0) 其圖形如右圖所示
，，
求函數 f x．

解由函數 f x 的圖形通過點 (0 , 0) – 1 , 2，得 f 0 = 0 f – 1 = 2 又其圖形
：，，，
與 x 軸相切於 (1 , 0) 得 f 1 = 0 且 f ' 1 = 0
，．
因為 f 1 = 0 f 0 = 0 所以 f x = 0 有兩個因式 x 與 x – 1 因此可設
，，，
f x = x x – 1 ax + b，
展開得
3 2
f x = ax + b – a x – bx
計算 f ' x，得
2
f ' x = 3ax + 2 b – a x – b
．
因為 f ' 1 = 0 所以將 x = 1 代入 f ' x，計算得
，
a+b=0 ，
又因為 f – 1 = 2 所以將 x = – 1 代入，計算得
，
2b – 2a = 2
，
1 1
解得 a = – ， b = ．
2 2
1 3 2 1
故得此函數為 f x = – x + x – x
2 2．


二進階題
、
8
下列哪一個函數的圖形如右圖的形狀？
3
f x =x +1．
3
f x =–x +1．
3
習
f x =– x+1 ．
3 2
題
f x = – x + 2x + 3x + 4
．
3 2
f x =–x +x –x
．
3 2
解由函數圖形可知 : 三次函數 f x = ax + bx + cx + d 滿足 a < 0 且
：，
2
b – 3ac > 0 即 f x 有兩個極值
，．
3
f x = x + 1 的 a = 1 > 0 因此其圖形不可能如圖所示
，．
3
f x = – x + 1 為遞減函數沒有極值因此其圖形不可能如圖所示
，，．
3
f x = – x + 1 為遞減函數沒有極值因此其圖形不可能如圖所示
，，．
3 2 2 2
f x = – x + 2x + 3x + 4 的 b – 3ac = 2 – 3 –1 3 = 13 > 0 且 a = – 1 < 0
，
因此其圖形可能如圖所示．
3 2 2 2
f x = – x + x – x 的 b – 3ac = 1 – 3 –1 – 1 = – 2 < 0 沒有極值
，，
因此其圖形不可能如圖所示．
故選．

9
3
問 : y = x + 4x + 15 的圖形與直線 y = x 有幾個交點？

3
解因為兩圖形的交點有相同的坐標所以想了解 y = x + 4x + 15 和 y = x 的交
：，
3
點個數就是探討方程式 x + 4x + 15 = x 有幾個實根
，．
3 3 3
將 x + 4x + 15 = x 改寫成 x + 3x + 15 = 0 並設 f x = x + 3x + 15
，．
計算
2
f ' x = 3x + 3 > 0
3
得此函數沒有極值因此方程式 x + 3x + 15 = 0 僅有一個實根也就是
．，，
3
y = x + 4x + 15 的圖形和直線 y = x 的交點只有 1 個．


10
3 2
已知方程式 2x – 3 k + 1 x + 6kx – 2k = 0 有三相異實根求實數 k 的範圍
，．
3 2 2
解因為當三次函數 f x = ax + bx + cx + d 有三相異實根時 b – 3ac > 0 且兩
：，
極值 f f < 0 所以計算
，
2
f ' x = 6x – 6 k + 1 x + 6k = 6 x – k x – 1，
f 1 =k–1
，
f k = – k k – 1 k – 2，
可得 f 1 f k <0 即
，
2
k k–1 k–2 >0
，
解得 k 的範圍為 k > 2 或 k < 0
．

習題 2-4

一基礎題
、
1
x
2
設服用某藥物後吸收劑量 x（毫克）後體溫的變化為 f x = x 1 –
， 3 ( )
（度）問 : 當吸收劑量為多少毫克時體溫的變化最大？
．，
3
x 2
解計算 f x = –
： + x 的導函數 f ' x，得
3
2
f ' x = – x + 2x = – x x – 2．
當 f ' x = 0 時解得 x = 0 或 2 並將導數的正負整理成下表 :
，，、
x 0 2

f' x + 0 –
4
f x 0 ↗ ↘
3
4
因為 x > 0 所以由上表可知當 x = 2 時 f x 有最大值，即當吸收劑量 2
，， 3
4
毫克後體溫有最大的變化為
，度
3 ．


2
某航線每月乘客量都是滿載的 10000 人票價 1200 元航空公司希望調
，．
高票價增加收益但據市場調查顯示票價每調高 10 元會流失乘客
，，，，
50 人問 : 當票價調整為多少元時機票總收入會最多？
．，

解設調高售價 10x 元此時票價為 1200 + 10x 元乘客為 10000–50x 人機
：，，，習
票總收入為 f x = 1200 + 10x 10000 – 50x 元．題
計算 f x 的導函數 f ' x，得
f ' x = – 1000x + 40000 = – 1000 x – 40．
當 f ' x = 0 時解得 x = 40 並將導數的正負整理成下表 :
，，、
x 40
f' x + 0 –

f x ↗ 12800000 ↘
由上表可知當 x = 40 時 f x 有最大值 12800000 即當票價為 1600 元時
，，，
乘客為 8000 人機票總收入有最大值 12800000 元
，．

3
欲設計一個上下底為正方形的長方體容器且限制底部正方形的邊長與
，
容器的高之和為 1 求此長方體容積的最大值
，．

解設上下底正方形的邊長為 x 容器的高為 1 – x 長方體容器的容積為
：，，
2
f x = x 1 – x．
因為邊長與容器的高均為正數所以
，
0<x<1
．
計算 f x 的導函數得，
2
f ' x = – 3x + 2x = – x 3x – 2．
2
當 f ' x = 0 時解得 x = 0 或．因為 0 < x < 1 所以 x = 0 不合並將
，，，
3
導數的正負整理成下表（下頁） :
、


2
x 0 1
3
f' x + 0 –
4
f x ↗ ↘
27
2 4
由上表可知當 x = 時 f x 有最大值，即當上下底正方形的邊長為
3 ， 27
2 1 4
容器的高為時長方體容器的容積有最大值．
3， 3 ， 27

4
咳嗽是利用氣管的收縮所產生的壓力差加速氣體的流動進而將氣管
，，
中的氣體或異物快速的排出體外假設氣管原來的半徑為 1 當氣管收
．，
縮後的半徑為 r 時氣體流動的速度 v r 可用底下的函數
，
4
v r =k 1–r r
來表示其中 k 為常數問 : 當氣管的半徑收縮為多少時氣體流動速
，．，
度會最快？

4
解計算 v r = k 1 – r r 的導函數得
：，
4 3 3
v' r = – 5kr + 4kr = – kr 5r – 4．
4
當 v' r = 0 時解得 r = 0 或．因為 0 < r < 1 所以 r = 0 不合並將導數
，，，
5
的正負整理成下表 :
、
4
r 0 1
5
v' r + 0 –
4
4
vr ↗ 5 k ↘
5
4
由上表可知當 r = 時氣體流動速度會最快
5 ，．


二進階題
、
5
用三根長 1 公尺的鐵條作一等腰梯形的下底
及兩腰如右圖所示設一腰在下底所在之
，．
直線上的投影長為 x 等腰梯形的面積為 f x．
，
求 x 的範圍
習
．
寫出函數 f x．
題
當 x 為多少時等腰梯形的面積 f x 會最大？
，

解：因為 x 為投影長所以其長度小於斜邊 1 公尺即 0 < x < 1
，，．
2
由圖可知等腰梯形的高為 1 – x ，即其面積為
，
2
2x + 2 1 – x 2 2
f x = = 1–x x+1 ．
2
2 4 3
令 g x = (1 – x 2) x + 1 = – x – 2x + 2x + 1 計算
，
3 2 2
g' x = – 4x – 6x + 2 = – 2 x + 1 2x – 1．
1
當 g' x = 0 時解得 x =
，或 – 1 因為 0 < x < 1 所以 x = – 1 不合並
．，，
2
將導數的正負整理成下表 :
、
1
x 0
2
g' x + 0 –
27
gx ↗ ↘
16
1
由上表可知當 x = 時 g x 有最大值而此時 f x = g x 亦有最大
2 ，，
1 3 3
值故當 x = 時等腰梯形的面積 f x 有最大值
． 2 ， 4 ．


6
有一半徑為 3 的球面設內接於此球面之直圓柱的底半徑為 x 直圓柱
．，
的體積為 f x．
求 x 的範圍．
寫出函數 f x．
當 x 為多少時直圓柱的體積 f x 會最大？
，

解：由右圖可知因為直圓柱的底半徑小於球面的半
，
徑所以 0 < x < 3
，．
2 2
直圓柱的底面積為 x ，高為 2 9 – x ，所以
2 2 6 4
f x = 2 x 9 – x = 2 – x + 9x ．
6 4
令 g x = – x + 9x ，計算
5 3 3
g' x = – 6x + 36x = – 6x (x 2 – 6．
)
當 g' x = 0 時解得 x = 0 或 ± 6 因為半徑 0 < x < 3 所以僅 x =
，．， 6合
乎題意並將導數的正負整理成下表 :
，、
x 0 6 3

g' x + 0 –

gx ↗ 108 ↘

由上表可知當 x = 6 時 g x 有最大值而此時 f x = 2
，， g x 亦有最大
值故當 x =
． 6 直圓柱的體積 f x 有最大值 12 3
，．


7
2 2
如右圖在兩拋物線 y = – x + 6 與 y = 2x – 12 所
，
圍成的區域中作一內接矩形 ABCD 其一組對邊
，，
AB, CD 分別平行於 x 軸且兩頂點 A, B 在
，
2 2
y = – x + 6 上而另兩頂點 C, D 在 y = 2x – 12
，
上求矩形 ABCD 的最大面積
習
．．
題

解：設 A 點坐標為 (x , – x 2 + 6， B 點坐標為 (– x , – x 2 + 6， C 點坐標為
) )
2 2
(– x , 2x – 12， D 點坐標為 (x , 2x – 12，矩形 ABCD 的面積為
) )
3
f x = AB AD = 2x (– 3x 2 + 18) = – 6x + 36x
．
2 2
當 – x + 6 = 2x – 12 時解得 x = ±
， 6 因此 x 的範圍為 0 < x <
，， 6
．
計算 f x 的導函數得，
2
f ' x = – 18x + 36 = – 18(x – )
2． 2)(x +
當 f ' x = 0 時解得 x = 2 或 – 2 因為 0 < x < 6 所以 x = –
，．， 2不
合並將導數的正負整理成下表 :
，、
x 0 2 6

f' x + 0 –
f x ↗ 24 2 ↘

由上表可知當 x = 2 時矩形 ABCD 有最大面積 24 2
，．


第2章總習題

一概念題
、
1
右圖為多項式函數 f x 在區間 (1 , 3) 上的圖形選
．
出正確的選項 :
f 2 >0 ．
f' 2 > 0
．
f '' 2 > 0
．
f x 在區間 (1 , 3) 上為遞減函數．
f ' x 在區間 (1 , 3) 上為遞減函數．

解由圖可知 : 函數 f x 在區間 (1 , 3) 為遞減函數其圖形在 x 軸上方而且
：，，
凹口方向向上．
因為其圖形在 x 軸上方所以 f 2 > 0
，．
因為 f x 為遞減函數所以 f ' 2 < 0
，．
因為其圖形凹口方向向上所以 f '' 2 > 0
，．
f x 在區間 (1 , 3) 上為遞減函數．
因為其圖形凹口方向向上所以 f ' x 在區間 (1 , 3) 上的值愈來愈大因
，，
此 f ' x 是遞增函數．
由上面的討論可知 : 正確的選項為．

2
3 2
關於三次函數 f x = x + 3x + 3x + k，下列敘述哪些是正確的？
f x 恰有一個極值．
f x 的圖形恰有一條水平切線．
f x 的圖形恰有一個反曲點．
f x 是遞增函數．
f x 的圖形和直線 y = 3 恰有一個交點．
2 2
解計算 f ' x = 3x + 6x + 3 = 3 x + 1 ， f '' x = 6 x + 1．
：


因為 f ' x 0 所以 f x 沒有極值
，．
因為 f ' x = 0 恰有一解 x = – 1 所以 f x 恰有一條水平切線
，．
f x 恰有一個反曲點 – 1 , f – 1 ．
因為 f ' x0 所以 f x 是遞增函數
，．
因為 f x 是遞增函數所以和直線 y = 3 恰有一個交點
，．
習
題
3
右圖是三次多項式 f x 的圖形這圖形剛好與 x 軸碰到二次從左到右依
，，
序為 x = – 1 與 x = 1 的位置選出正確的選項 :
．
f x 的首項係數為正．
f' 2 > 0
．
f '' 2 < 0．
2
x – 1 整除 f x．
方程式 f x = 0 有一個二重根其值為正
，，
及一個負根．

解：由三次函數圖形的特性可知 : f x 的首項係數為負．
因為 f x 的圖形在 2 , f 2 附近為遞減函數所以 f ' 2 < 0
，．
因為 f x 的圖形在 2 , f 2 附近為凹口向下所以 f '' 2 < 0
，．
2
由圖可知 : f x 在 x = 1 處有重根所以 x – 1
，整除 f x．
由圖可知 : 方程式 f x = 0 有二重正根 1 與一個負根 – 1
．

4
3 2
設三次函數 f x = ax + bx + cx + d 之導函數 y = f ' x 的圖形如下圖所示 :
選出正確的選項：
a<0
．
f – 1 是 f x 的極大值．
f 4 是 f x 的極小值．
f x 在區間 – 1 , 4 上是遞減函數．
3 3
f x 之圖形的反曲點為 (
2
,f( ))
2 ．


解因為由 y = f ' x 的圖形可知 : f x 在區間 – , – 1 上為遞增函數 f x 在
：，
區間 – 1 , 4 上為遞減函數 f x 在區間 4 ,
，上為遞增函數而且
，
f ' x = 3a x + 1 x – 4，其中 a > 0 所以由三次函數的圖形分類可知 : f x 的
．
圖形如下 :

因此，
a>0．
f – 1 是 f x 的極大值．
f 4 是 f x 的極小值．
因為在區間 – 1 , 4 上 f ' x < 0 所以 f x 在區間 – 1 , 4 上是遞減函數
，．
3 3 3
( )
計算 f '' x = 6ax – 9a = 6a x – ，可得 f x 的反曲點為
2 2(,f
2 ． ( ))

二程序題
、
5
3 2
求函數 f x = x + 3x – 9x + 1 之圖形的所有水平切線方程式．
2
解計算 f ' x = 3x + 6x – 9 = 3 x + 3 x – 1．
：
令 f ' x = 0 解得 x = 1 或 – 3 並計算得 f 1 = – 4 f – 3 = 28
，，，．
故兩條水平切線為 y = – 4 y = 28
，．


6
已知三次函數 f x 在 x = 1 處有極大值 1 而 (0 , 0) 是它的圖形的一個反
，
曲點求 f x．
，
3 2
：，， 0 計算 f x 的
．
導函數得
，
習
2
f ' x = 3ax + 2bx + c f '' x = 6ax + 2b
，．
題
f' 1 = 0 3a + 2b + c = 0
f 1 =1 a+b+c+d=1
f '' 0 = 0 2b = 0 ，
f 0 =0 d=0
1 3
解得 a = – , b = 0, c = , d = 0．
2 2
1 3 3
故f x =– x + x
2 2．

7
3 2
已知方程式 x + 3x – 24x + k = 0 有三相異實根求實數 k 的範圍
，．
3 2
解設 f x = x + 3x – 24x + k 計算 f x 的導函數得
：．，
2
f ' x = 3x + 6x – 24 = 3 x – 2 x + 4，
得兩極值為 f 2 = k – 28 f – 4 = k + 80
，．
3 2
因為 x + 3x – 24x + k = 0 有三相異實根所以 f 2
， f –4 <0 即
，
k – 28 k + 80 < 0
，
解得 k 的範圍為 – 80 < k < 28
．

三數學解題
、
8
4 3 2
設 k 為實數且對任意實數 x 不等式 x – 4x + k > 2x – 12x 恆成立
，，，
求 k 的範圍．
4 3 2
解將不等式 x – 4x + k > 2x – 12x 改寫成
：
4 3 2
x – 4x – 2x + 12x + k > 0
．

4 3 2
設 f x = x – 4x – 2x + 12x + k 計算 f x 的導函數得
．，
3 2
f ' x = 4x – 12x – 4x + 12 = 4 x + 1 x – 1 x – 3．
列表如下 :

x –1 1 3
f' x – 0 + 0 – 0 +
f x ↘ k–9 ↗ k+7 ↘ k–9 ↗
4 3 2
由上表可知 : f x 的最小值為 k – 9 因為 x – 4x – 2x + 12x + k > 0 恆成立
，，
所以 k – 9 > 0 即 k > 9
，．

9
某化工廠要建造一個底面為正方形的長方體蓄水池水池的內壁及底面
，
都是用鋼筋混凝土所築成的現在築池的鋼筋混凝土材料只夠施工 432
．
平方公尺問 : 應將水池的底面每邊邊長設計為多少公尺才能使水池
，，
的容積達到最大？

2
解設長方體蓄水池的底面每邊邊長為 x 公尺高度為 y 公尺容積為 x y 立
：，，
方公尺．
2
因為施工面積為 432 平方公尺所以 x + 4xy = 432 因此設
，．
2 3
2
4 (
f x = x y = x xy = x 432 – x = –
x
4
+ 108x
． )
3 2 3 3
計算 f ' x = – x + 108 = – (x 2 – 144) = – x – 12 x + 12．
4 4 4
因為 x > 0 所以我們可以列表如下 :
，
x 0 12

f' x + 0 –

f x ↗ 864 ↘

因此當 x = 12 時 f x 有最大值 864 即當蓄水池的底面每邊邊長為 12 公
，，
尺時水池有最大的容積 864 立方公尺
，．


10
如下圖將邊長為 12 的正方形剪去圖中的白色部分剩下四個全等的
，，
等腰三角形並用四個全等的等腰三角形作成一個四角錐形的容器如
，，
圖所示 :

習
題

 
設等腰三角形的底邊長為 y 四角錐的高為 x 四角錐的體積為 f x．
，，
2 2
設 x, y 滿足 ax + by = 144 求實數 a, b 的值
，．
求 x 的範圍．
寫出函數 f x．
當 x 為多少時四角錐的體積 f x 會最大？
，
（四角錐的體積等於其底面積與高之乘積的三分之一）
．

解：因為等腰三角形頂點所對的中線長為 6 ，
y 2
如右圖所示 : 所以 x +
2
2 ( )
= 6，
2

2 2
即 4x + y = 144 故 a = 4, b = 1
．．
因為 x 小於斜邊 6 所以 0 < x < 6
，．
1 2 1 4 3
f x = y x = (144 – 4x 2) x = – x + 48x ．
3 3 3
2
計算 f ' x = – 4x + 48 = – 4(x – 2 3)(x + 2 3．
)
因為 x > 0 所以我們可以列表如下 :
，
x 0 2 3

f' x + 0 –

f x ↗ 64 3 ↘

因此當 x = 2 3 時四角錐的體積 f x 有最大值 64 3
，．

148 歷屆試題

歷屆試題第1章

( ) 當 x 的範圍被限制在 – 和之間時亦即 –
， < x < ，有關函數
2 2 2 2
4
f x = cos x + 的敘述哪些是正確的？
， f x =f – x f x 4
cos x
f x 的最小值是 4 f x 有最大值． 91 指甲
( ) f x 是一個首項係數為 1 的實係數三次多項式 k 是一個常數已知當
，．
k < 0 或 k > 4 時 f x – k = 0 只有一個實根當 0 < k < 4 時 f x – k
，；，
= 0 有三個相異實根請選出正確的選項
．． f x – 4 = 0 和 f' x = 0
有共同實根 f x = 0 和 f ' x = 0 有共同實根 f x + 3 = 0 的任一
實根大於 f x – 6 = 0 的任一實根 f x + 5 = 0 的任一實根小於
f x – 2 = 0 的任一實根． 92 指甲
2
3 – 3x – x – 1
( ) 試問下列有關極限 lim 的敘述何者正確？極限不存
x 1 x–1
在極限為 0 極限為 1 極限為 5 極限為 – 2
． 96 指甲

答案
  

歷屆試題第2章

( ) 設 a > 0 令 A a 表示 x 軸 y 軸直線 x = a 與函數 y = 2 + sin x 的圖
，，，
形所圍成的面積下列選項有哪些是正確的？
．
A a+2 = A a 恆成立 A2 = 2A A4 = 2A 2
A3 –A 2 –A ．>A 2 93 指甲
( ) 已知整係數多項式 f x 滿足 f 2 = f 4 = f 6 = 0 而且除了 x = 2 4
，，，
6 之外 f x 的函數值恆正下列選項有哪些必定是正確的？
，．
f x 的次數至少為 6 f x 的次數為奇數 f 1 為奇數
f' 4 = 0
． 93 指甲

歷屆試題 149
2
( ) 設 f x = x + a(1 – x 2) 為一實係數多項式函數 a 為常數下列敘述何
，．
者正確？不論 a 是何值 f x 的函數圖形都不可能是直線
，不
論 a 是何值若 f x 有極值則極值都等於 a（註極大值與極小值
，，：
統稱極值） 0 有可能是 f x 的極大值若 a≠0 則 f x = 0 無
，
重根． 94 指甲
5 4 3 2
( ) 考慮多項式函數 f x = x + 2x – x – 5x + 3 試問以下哪些選項是正
，
f k f x –f 1
確的？ lim = 0（k 為正整數） lim =0
k x f k + 100 x 1 x–1
函數 f 在區間
1
2
, 1 遞增若 x 0k 則 f x
， 0 在坐標平歷
面上 y = f x 的圖形與直線 y = 3 恰有兩個交點． 95 指甲屆

答案
   

歷屆試題第3章

 設 n 為正整數坐標平面上有一等腰三角形它的三個頂點分別是(0 , 2)
，，，
1 1
( ,0
n ，
–) (
n ． )
, 0 假設此三角形的外接圓直徑長等於 Dn，則
lim Dn = ． 91 指甲
n
2
x 2
( ) n 是大於 1 的整數坐標平面上兩個橢圓區域
． 2 +y 1 和
n
2
2y
x + 2 1 共同的部分以 An 表示請選出正確的選項
．． An 的面
n
積小於 4 An 的面積大於 An 的周長大於 5 當 n 趨於無窮
大時 An 的面積趨近於 4
，． 92 指甲
 將 tan x = x 的所有正實根由小到大排列得一無窮數列 x1 x2， … xn …
，，，，，
則 lim (xn + 1 – xn) = （四捨五入到小數第二位） 93 指甲
n ．

Ch2

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