xxxx

2. 單元1 直線方程式 1
1
1. 象限與坐標的正負：
直角坐標平面上，水平坐標軸x 與垂直坐標軸y ，將坐標平面分成四個象限。
(1) x 軸與y 軸的交點為O，稱為直角坐標平面的原點。
(2) 坐標軸上的點不屬於任一象限。
x 軸 ( ){ }, 0 |a a= ∈» ，y 軸 ( ){ }0, |b b= ∈» 。
若 0a > ， 0b > ，則點 ( ),P a b 位於第一象限
若 0a > ， 0b < ，則點 ( ),P a b 位於第四象限
2. 點與坐標：
坐標平面上，任意一點P 所對應的「數對」為( ),a b ，稱為P 點的
「坐標」。
(1) a 是P 點的「x 坐標（橫坐標）」。
(2) b 是P 點的「y 坐標（縱坐標）」。
平面上任意一點都有一個（且恰有一個）有序「數對」與其對應；反之，每一個有序數
對，也都可以在平面上找到與之對應的點，即每一個數對代表平面上的一個點。
這樣就得到一個「平面直角坐標系」或稱「直角坐標系」。
已知 ( ),Q a b 位於第二象限，則點 ( ),P ab a b−
在第幾象限？
∵ ( ),Q a b 位於第二象限
⇒ 0
0
a
b
<⎧
⎨
>⎩
⇒ 0
0
ab
a b
<⎧
⎨
− <⎩
∴ 點 ( ),P ab a b− 在第三象限內
若點 ( ),A a b a+ 在第二象限，則點 2
,
a
P b
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
在
第幾象限？
∵ ( ),A a b a+ 在第二象限
⇒ 0
0
a b
a
+ <⎧
⎨
>⎩
⇒ 0b < ⇒ 2
0
0
a
b
b
⎧
<⎪
⎨
⎪ >⎩
∴ 點 2
,
a
P b
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
在第二象限內
1 直線方程式
直角坐標1-1
焦點一 直角坐標
判別點所在象限
解
1
補 給站
例
說明
解
QRcode 影音解題
蘋果系列行動裝置無法觀看

3. 單元1 直線方程式2
1. 實數線上，兩點的距離：
在數線上，兩點 ( )P a 、 ( )Q b ，則PQ a b b a= − = − 。
2. 坐標平面上，兩點的距離：
在坐標平面上，相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2,P x y ，
則 1P 與 2P 兩點間距離為 ( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。
3. 內分點坐標公式：
設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2,P x y ，若 ( ),P x y 為 1 2PP 之內分點（ 1 2P P P− − ），且 1 2: :PP PP m n= ，則
P 點坐標為
1 2
1 2
nx mx
x
n m
ny my
y
n m
+⎧
=⎪⎪ +
⎨
+⎪ =
⎪ +⎩
（交叉相乘的和
比的和 ）。
(1) ( )2 2 2,P x y 稱為 ( )1 1 1,P x y 、 ( ),P x y 之外分點。
(2) 解內分點或外分點之題型，只需使用內分點觀念即可解出。
(3) 其實就是在這三點之中，任給兩點坐標，求第三點坐標。
4. 中點公式（當內分點公式中， : 1:1m n = 時）：
設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2,P x y ，若 ( ),P x y 為 1 2PP 之中點( )1 2P P P− − ，即 1 2: 1:1PP PP = ，則
( )
1 2 1 2
, ,
2 2
x x y y
P x y
+ +⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
。
設 ( )1,1A 、 ( )5, 4B − 為坐標平面上兩點，且
A P B− − ， : 2:1AP PB = ，試求：
(1) P 點坐標
(2) P 點與原點的距離。
(1) 設 ( ),P x y
由內分點公式：
( )1 2
1 2
1 2 5
3
1 2
1 2 4
3
1 2
nx mx
x
n m
ny my
y
n m
⎧ + × −+
= = = −⎪⎪ + +
⎨
+ + ×⎪ = = =
⎪ + +⎩
∴ ( ) ( ), 3,3P x y = −
(2) ( ) ( )
2 2
3 0 3 0 18 3 2PO = − − + − = =
設A、B 、C 三點共線，且C 介於A、B 兩點
之間， ( )1, 3A 、 ( )6, 2B − 且3 2AC BC= ，試求：
(1) C 點之坐標
(2) C 點與原點的距離。
(1) 設 ( ),C x y
∵ 3 2AC BC= ⇒ : 2:3AC BC =
由內分點公式：
( )
2 6 3 1 15
3
2 3 5
2 2 3 3 5
1
2 3 5
x
y
× + ×⎧
= = =⎪ +⎪
⎨
× − + ×⎪ = = =
⎪ +⎩
∴ ( ) ( ), 3,1C x y =
(2) ( ) ( )
2 2
3 0 1 0 10CO = − + − =
焦點二 距離公式與平面直角坐標系中的分點坐標公式
求內分點坐標
解
2
補 給站
解

4. 單元1 直線方程式 3
1
平面上二點 ( )2, 5A − 、 ( )4, 1B − ，C 在AB 的
延長線上，且 : 5: 2AC BC = ，試求C 點坐
標。
設 ( ),C x y
∵ : 5: 2AC BC = ⇒ : 3: 2AB BC =
由內分點公式知：
( )2 2 3
4
2 3
2 5 3
1
2 3
x
y
⎧ × − + ×
=⎪⎪ +
⎨
× + ×⎪− =
⎪ +⎩
⇒ 8
5
x
y
=⎧
⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 8, 5C x y = −
平面上三點 ( )7, 4A 、 ( )4, 2B − 、 ( ),C x y 共
線，且B 在線段AC 上，若 3AB BC= ，試求
C 點坐標。
∵ 3AB BC= ⇒ : 3:1AB BC =
由內分點公式知：
3 1 7
4
3 1
3 1 4
2
3 1
x
y
× + ×⎧
=⎪⎪ +
⎨
× + ×⎪− =
⎪ +⎩
⇒ 3
4
x
y
=⎧
⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 3, 4C x y = −
設平面上三點 ( )5, 4A − 、 ( ),P x y 、 ( )1, 0B − ，
且 ( ),P x y 為 AB 之中點，則 ( ),P x y 與原點
( )0, 0 的距離為何？
∵ P 為AB 之中點
⇒ ( )
( )
( )
5 1 4 0
, , 2, 2
2 2
P x y P P
⎛ ⎞+ − − +
= = −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ ( ) ( )
2 2
2 0 2 0 2 2PO = − + − − =
設平面上三點 ( )3,5A − 、 ( ),M x y 、 ( )5,9B ，
且 ( ),M x y 為 AB 之中點，則 ( ),M x y 與點
( )1,1P 的距離為何？
∵ M 為AB 之中點
⇒ ( ) ( )
3 5 5 9
, , 1,7
2 2
M x y M M− + +⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ ( ) ( )
2 2
1 1 7 1 36 6MP= − + − = =
若 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2,B x y 、 ( )3 3,C x y 、 ( )4 4,D x y 為平行四邊形ABCD 的
四個頂點，則由平行四邊形對角線互相平分性質知M 為AC 與BD 的
共同中點 ⇒ 1 3 1 3 2 4 2 4
, ,
2 2 2 2
x x y y x x y y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
。
內分點觀念不變—求外分點坐標
解
3
解
中點坐標與平面上兩點距離
解
4
解
焦點三 中點公式應用—有限定順序的平行四邊形ABCD

5. 單元1 直線方程式4
設一平行四邊形 ABCD 中，已知 ( )3, 4A 、
( )2,5B 、 ( )1, 2C − − ，求點 ( ),D x y 。
由平行四邊形對角線互相平分性質知：
( ) ( )3 1 4 2 2 5
, ,
2 2 2 2
x y⎛ ⎞+ − + − + +⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
⇒ ( )
( )
3 1 2
4 2 5
x
y
⎧ + − = +⎪
⎨
+ − = +⎪⎩
⇒ 0
3
x
y
=⎧
⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 0, 3D x y = −
設一平行四邊形 ABCD 中，已知 ( )3, 7A 、
( )2, 4B 、 ( )8, 5C ，求點 ( ),D x y 。
由平行四邊形對角線互相平分性質知：
3 8 7 5 2 4
, ,
2 2 2 2
x y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ 3 8 2
7 5 4
x
y
+ = +⎧
⎨
+ = +⎩
⇒ 9
8
x
y
=⎧
⎨
=⎩
∴ ( ) ( ), 9,8D x y =
設 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2,B x y 、 ( )3 3,C x y ，則 ABC△ 之三中線交點（重心G ）坐標為
( )
1 2 3 1 2 3
, ,
3 3
x x x y y yG x y + + + +⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
。
設 ABC△ 之三頂點為 ( )3, 1A − 、 ( )5, 2B − 、
( ),C x y ，若 ABC△ 的重心為 2 5
,
3 3
G⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
，試
求 ( ),C x y 。
∵ 重心為 2 5
,
3 3
G⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )3 52
3 3
5 1 2
3 3
x
y
⎧ + − +
=⎪⎪
⎨
− + +⎪− =
⎪⎩
⇒ 4
6
x
y
=⎧
⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 4, 6C x y = −
設 ( )2, 2A − 、 ( )5, 4B 、 ( )1, 4C − ，試求
ABC△ 之重心坐標 ( ),G x y 。
( )
( )2 5 1 2 4 4
, ,
3 3
G x y
⎛ ⎞+ + − − + +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )2, 2=
中點公式應用
解
5
解
重心公式應用
解
6
解
焦點四 重心公式

6. 單元1 直線方程式 5
1
觀念『○』與『×』 觀念澄清加強
（×）1. 若點 ( ),P a b 在y 軸上，則 0b = 。 0a =
（×）2. 若 0a < ， 0b < ，則點 ( ),P a b 位於第四象限。 第三象限
（○）3. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2,P x y ，則 ( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。
（○）4. 直線上相異三點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2,P x y 、 ( ),P x y ，若P 在 1 2PP 上，且
1 2: :PP PP m n= ，則 1 2nx mx
x
n m
+
=
+
， 1 2ny my
y
n m
+
=
+
。
（○）5. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2,P x y ，若 ( ),M x y 為 1 2PP 之中點，則
1 2
2
x x
x
+
= ， 1 2
2
y y
y
+
= 。
1. 已知 ( ),P a b 在第二象限，則點 2
,
bQ a b
a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
在第 二 象限。
★ 2. 已知0 a b< < ，則點 ( )
2
,P b a a ab− − 在第 四 象限。
3. 坐標平面上兩點 ( )3, 5P − 、 ( )5,1Q ，則
(1) PQ = 2 10 (2) PQ中點M = ( )4, 2− 。
4. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − 、 ( )3,5B − 、 ( ),C x y ，若B 為AC 的中點，則點 ( ),C x y =
( )9,12− 。
5. 一圓直徑之兩端點為 ( )4, 3A − 、 ( )2,1B ，則圓心坐標為 ( )1, 2− ，半徑為 10 。
★ 6. 平面上一平行四邊形ABCD，其中 ( )2, 4A 、 ( )1, 2B − − 、 ( )3, 3C − 、 ( ),D x y ，則
( ),D x y = ( )6, 3 。
7. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − − 、 ( )5, 7B 、 ( ),P x y ，若P 點介於A、B 兩點之間且
: 2:3AP BP = ，則P 點坐標為 1 8
,
5 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
。
★ 8. 平面上 ( )3, 6A − 、 ( )4, 5B − 、 ( ),C x y ，若B 點介於A、C 之間且 : 3:1AC BC = ，則C 點坐標
為 15 21
,
2 2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
。
9. 設 ( )2, 5A − 、 ( )3,1B 、 ( ),C x y 、 ( )5, 3G ，若G 為 ABC△ 之重心坐標，則C 點坐標為
( )14, 3 。
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