文档讨论了克拉玛公式及其在一元/二元和三元一次方程组中的应用，介绍了解的几种情形，包括唯一解、无解和无限解的情况。同时，通过几何解释，探讨了方程组所表示平面的交集关系。最后，给出了一些具体的例子和讨论变量值对方程组解的影响。

1. §3−3 克 拉 瑪 公 式
(甲)二元一次聯立方程組
 a1 x + b1 y = c1 ⋅ ⋅ ⋅ (1)
(1) 解 二 元 一 次 方 程 組 ： a x + b y = c ⋅ ⋅ ⋅ (2) ， 其 中 x,y 是 未 知 數 ，
 2 2 2
我 們 使 用 代 入 消 去 法 解 之
(1)×b 2 −(2)×b 1 ⇒(a 1 b 2 −a 2 b 1 )x=(c 1 b 2 −c 2 b 1 )
(1)×a 2 −(2)×a 1 ⇒(a 2 b 1 −a 1 b 2 )y=(c 1 a 2 −c 2 a 1 )
∆ ⋅ x = ∆ x a1 b1 c1 b1 a1 c1
⇒ 可 得 ∆ ⋅ y = ∆ ， 其 中 ， = a b2 ， ， x= c b2 ， ， y= a c2 。
 y 2 2 2
當 當 其 0 時 ， 方 程 組 恰 有 一 解 (x,y)=( , ) [ 兩 直 線 交 於 一 點 ]
當 當 =∆ x =∆ y =0 ， 方 程 組 有 無 限 多 解 。 [ 兩 直 線 重 合 ]
當 當 =0 ， 而 ， x 、 、 y 有一不為 0 時，方程組無解。[兩直線平行]
 2 x − (a − 3) y = a + 5
1. 試就 a 值討論 (3 − a ) x + 2 y = 7 − a 的解。

Ans：若 a≠1 且 a≠5，則(x,y)=(,)；若 a=1，則(x,y)=(3−t,t)，t∈R
若 a=5，則無解。
 (k − 2) x − 2 y = 2k
1. 就 k 值 討 論 方 程 式 的 解 ： 3 x + (2k + 1) y = − k − 2 。

Ans：當 k≠1，時，恰有一組解，當 k=1 時，有無限多組解，當 k=
時，無解。
~3−3−1~

2. (乙)三元一次聯立方程組
(1)推導克拉瑪公式：
 a1 x + b1 y + c1 z = d1 ⋅ ⋅ ⋅ (1)

考 慮 三 元 一 次 方 程 組 a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 ⋅ ⋅ ⋅ (2) ， 其 中 x,y,z 為 未 知 數 ，
 a x + b y + c z = d ⋅ ⋅ ⋅ (3)
 3 3 3 3
使 用 代 入 消 去 法 解 之 ：
由 (1) ⇒b 1 y+c 1 z=−a 1 x+d 1 ， 由 (2) ⇒ b 2 y+c 2 z=−a 2 x+d 2
由 二 元 一 次 方 程 組 之 求 解 可 知
b1 c1 − a1 x + d1 c1 b1 c1 b1 − a1 x + d1
y= ， z=
b2 c2 − a2 x + d 2 c2 b2 c2 b2 − a2 x + d 2
整 理 可 得
b1 c1 a1 c1 d1 c1
y= − x+ ……………..(4)
b2 c2 a2 c2 d2 c2
b1 c1 a1 b1 d1 b1
z= x− ……………..(5)
b2 c2 a2 b2 d2 b2
~3−3−2~

3. b1 c1
將 (3)× b2 c2 得
b1 c1 b1 c1 b1 c1 b1 c1
a3 x+b 3 y+c 3 z=d 3 ………(6)
b2 c2 b2 c2 b2 c2 b2 c2
(4)(5) 代 入 (6) ， 消 去 y,z
b1 c1 a1 c1 d1 c1 a1 b1 d1 b1 b1 c1
a3 x+b 3 (− x+ )+c 3 ( x− )= d3
b2 c 2 a2 c2 d2 c2 a 2 b2 d2 b2 b2 c2
整 理 之 後 得
b1 c1 a1 c1 a1 b1 b1 c1 d1 c1 d1 b1
(a 3 −b 3 +c 3 )x=d 3 −b 3 +c 3 ……..(7)
b2 c2 a2 c2 a2 b2 b2 c 2 d2 c2 d 2 b2
觀察(7)式，等號左端 x 的係數中，將 a 1 ,a 2 ,a 3 分別換成 d 1 ,d 2 ,d 3 及成為右端的式子，
a1 b1 c1
b1 c1 a1 c1 a1 b1
a3 −b 3 +c 3 = a2 b2 c2
b2 c2 a2 c2 a2 b2
a3 b3 c3
d1 b1 c1
b1 c1 d1 c1 d1 b1
d3 −b 3 +c 3 = d2 b2 c2
b2 c2 d2 c2 d2 b2
d3 b3 c3
a1 b1 c1 d1 b1 c1
因 此 (7) 可 改 寫 成 a2 b2 c 2 x= d 2 b2 c2
a3 b3 c3 d3 b3 c3
a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1
同 理 若 令 同 = a2 b2 c2 ， ， x= d 2 b2 c2 ， ， y= a2 d2 c2 ， ， z= a2 b2 d2
a3 b3 c3 d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3
∆ ⋅ x = ∆ x

則 可 得 ∆ ⋅ y = ∆ y
∆ ⋅ z = ∆
 z
結 論 ：
∆x ∆y ∆z
(a)若 ∆ ∆ 0，則方程組恰有一解： ( , , ) 。[克拉瑪公式]
∆ ∆ ∆
(b)若若= ∆ x = ∆ y = ∆ z =0，則方程組無解或無限多解。
~3−3−3~

4. (c) 若 ∆ =0 ， ∆ x 、 ∆ y 、 ∆ z 有 一 不 為 0 ， 則 方 程 組 無 解 。
(2) 聯 方 立 程 組 解 的 幾 何 解 釋 ：
 a1 x + b1 y + c1 z = d1 ⋅ ⋅ ⋅ (1)

三元一次方程組 a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 ⋅ ⋅ ⋅ (2) ，我們將三個方程式視為空間中的三平
 a x + b y + c z = d ⋅ ⋅ ⋅ (3)
 3 3 3 3
面 ， 因 此 我 們 可 以 討 論 三 個 平 面 的 相 交 情 形 與 解 的 關 聯 。
設 =(a 1 ,b 1 ,c 1 ) 、 =(a 2 ,b 2 ,c 2 ) 、 =(a 3 ,b 3 ,c 3 )
a1 b1 c1
(a)∆= a 2 b2 c 2 的 解 釋 ：
a3 b3 c3
a1 b1 c1
∆= a 2 b2 c2
a3 b3 c3
b2 c2 a2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2
=a 1 −b 1 +c 1 = a1 +b 1 +c 1
b3 c3 a3 c3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a3 b3
b2 c2 c2 a2 a2 b2
=(a 1 ,b 1 ,c 1 )⋅( ， ， )
b3 c3 c3 a3 a3 b3
= ⋅(×)
a1 b1 c1
⇒ ∆= a 2 b2 c 2 = ⋅(×)
a3 b3 c3
(1°) 當 當 =0 ⇔ ⋅(×)=0
若 若 = ， 則 表 示 // ， 此 時 E 2 與 E 3 互 相 平 行 或 重 合 。
~3−3−4~

5. E 1 =E 2 =E 3 ( ∆= ∆ x = ∆ y = ∆ z =0 ， 無 限 多 解 ) E 1 //E 2 =E 3 ( ∆= ∆ x = ∆ y = ∆ z =0 無 解 )
E 1 與 E 2 (E 3 ) 交 於 一 直 線 ( ∆=∆ x =∆ y =∆ z =0 ， 無 限 多 解 )
E 1 //E 2 //E 3 ( ∆=∆ x =∆ y =∆ z =0，無解)
~3−3−5~

6. E 1 與 E 2 、 E 3 相 交 成 兩 平 行 線 (∆=0 ， ， x 、 、 y 、 、 z 有 一 不 為 0 ， 無 解 )
若若 ， 則 ， (×) ， 因 為 ， 因 代 表 E 2 與 E 3 交 於 一 直 線 L ， 且
其 方 向 向 量 為 其 ， 此 時 因 為 ， (×) ， 所 以 L 與 E 1 平 行 或 重 合 。
~3−3−6~

7. E 1 、 E 2 、 E 3 三 平 面 交 於 一 直 線 ( ∆=∆ x =∆ y =∆ z =0 ， 無 限 多 解 )
E1 、 E2 、 E3 兩 兩 交 於 一 直 線 ， 三 直 線 互 相 平 行
(∆=0 ， ， x 、 、 y 、 、 z 有 一 不 為 0 ， 無 解 )
(2°) 當 當 2 0 ⇔ ⋅(×)≠0 ⇔ ×≠ 且 與 (×) 不 垂 直
所 以 E 2 與 E 3 交 於 一 直 線 L ， 且 其 方 向 向 量 為 ， ， 此 時 因 為 與 (×)
不 垂 直 ， 所 以 L 與 E1 交 於 一 點 。
E 1 、 E 2 、 E 3 三 平 面 交 於 一 點 (∆≠0 ， 恰 有 一 解 )
 E1 : a1 x + b1 y + c1 z = 0

(3) 齊次方程組：  E 2 : a 2 x + b2 y + c 2 z = 0 至少會有(0,0,0)的解，所以
E : a x + b y + c z = 0
 3 3 3 3
(a)若若 ≠ 0 ，則齊次方程組只有一組解(0,0,0)。
(b) 若 若 =0 ， 則 齊 次 方 程 組 除 了 (0,0,0) 之 外 ， 尚 有 其 他 的 解 。
~3−3−7~

8. 2. 說明下列各方程組所表示的平面相交的情形
(1) Ans：三平面相交於一點(−1,2,0)
(2) Ans：兩面平行，另一面交兩線
(3) Ans：三平面兩兩相交於一直線且三交線不共點
3. 試就實數 a 之值討論方程組的解：
Ans：(1)a≠3 且 a≠4 且 a≠7 時，有唯一解(x,y,z)=(,,)
(2)a=3 時，有無限多組解(x,y,z)=(,t,t)
(3)a=4 時，有無限多組解(x,y,z)=(t,t,1−)
(4)a=−7 時，無解
4. 若若及及為二實數，且聯立方程組
(1 − α) x + 7 y = 1

 x + y + α z = β 有二組以上的解，則有之值為 ，，之值為 。
 2α y + z = 0

Ans：： =2，， =−1 (84 社)
~3−3−8~

9.  x + y + z = ax

5. 方程組  x + y + z = ay 有異於(0,0,0)之解，a= 。Ans：0,3
 x + y + z = az

 a1 x + b1 y + c1 z = d1

6. 已知方程組 a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 恰有一組解(α,β γ )，，) 一組0
a x + b y + c z = d
 3 3 3 3
 a1 x + 2b1 y + 3c1 z = 4d1

則方程組 a 2 x + 2b2 y + 3c 2 z = 4d 2 之解為何？Ans：(4α ,2β ,)
 a x + 2b y + 3c z = 4d
 3 3 3 3
2. 試以克拉瑪公式解方程組 Ans：x=1,y=2,z=3
3. 解 下 列 方 程 組 ， 並 判 斷 其 幾 何 關 係 ：
 x + 2y − z = 2  x + 4 y + 2z = 1 − 4 x + 2 y − z = −1
  
(1) 2 x + 5 y + 3z = 7 (2)  − 3 x + z = 2 (3)  3 x + y + 3 z = 1
 3 x − y + z = −1 − 2 x + 4 y + 3 z = 3  2x + 4 y + 5z = 3
  
Ans ： (1) 三 平 面 交 於 一 點 (,,) (2) 三 平 面 交 於 一 線 (t,+t,3t+2)
(3)三平面兩兩相交於一直線且三交線不共點
~3−3−9~

10. ax + y + z = 1

4. 試 就 a 值 討 論 方 程 組  x + ay + z = 1 的 解 。
 x + y + az = 1

Ans ： 若 a≠1,−2 時 ， 恰 有 一 解 (,,) ； 若 a=1 ， (x,y,z)=(s,t,1−s−t)
若 a=−2 時，無解。
5. 齊 次 方 程 組 ：
 3 x − ay = 0
(1)  除 (0,0) 外 尚 有 其 他 解 ， 則 a= ？ b= ？
x − 2 y = b + 4
ax + 2 y + 3z = 0

(2) 3 x + 2 y + 3z = 0 有 異 於 (0,0,0) 的 解 ， 則 a= ？ 解 為 何 ？
 x + 5y + 7z = 0

Ans：(1)a=6，b=−4 (2)a=3 解為(−t,−18t,13t)
綜合練習
 z
 ax + y + a = 1

(1) 設 a 為不等於 0 的實數，關於方程式組  x + ay + z = −1 的解，下列選項那些是
x
 a + y + az = 1

正確的？(A)當 a=3 時，無解 (B)當 a=1 時，恰有一組解 (C)當 a=時，恰有一
組解 (D)當 a=−1 時，有無限多組解 (E)當 a=−4 時，有無限多組解。
(85 社)
(2) 試決定實數 a 之值，使得三相異平面 E1：(a+2)x+y+z=0，E2：x+ay+z=0，
E3：x+y+az=0 相交於一直線。
~3−3−10~

11.  a1 x + b1 y + c1 z = d1

(3) 已知空間中三個平面  a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 恰好交於一點 P，
a x + b y + c z = d ⋅
 3 3 3 3
b1 c1 d1 c1 a1 d1 a1 b1 d1
令 D1= b2 c2 d 2 ，D2= c 2 a2 d 2 ，D3= a 2 b2 d 2 ，試問下列敘述何者
b3 c3 d3 c3 a3 d3 a3 b3 d3
正確？(A)若 D1=0，則 P 點在 xy 平面上 (B)若 D1=0，則 P 點在 yz 平面上
(C)若 D1=D2=0，則 P 點在 x 軸上 (D) 若 D1=D2=0，則 P 點在 y 軸上
(E)若 D1=D2=D3=0，則 d1=d2=d3=0。
 x − y − 2z = 3

(4) 若 2 x + 2 y + z = 1 有無限多解，則(a)a=？b=？ (b)方程組的解。
3 x + ay − z = b

(5) 三元一次方程組的幾何意義：
 x + 3 y − z = −4

(a)就 k 值討論下列三平面相交的情形 2 x + 5 y + z = −1
 x + 5y − 7z = k

 3x + 5 y − z = −1
 x − y + 4 z = 11

(b)就 a 值討論下列四平面相交的情形  x + 7 y − 9 z = −23

4 x + 20 y − 23 z = a

 a1 x + b1 y + c1 z = d1

(6) 已知方程組 a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 恰有一組解(5,−2 8 )，
a x + b y + c z = d
 3 3 3 3
 (2a1 + 3b1 ) x + 2b1 y + 3c1 z = d1

則方程組 (2a 2 + 3b2 ) x + 2b2 y + 3c 2 z = d 2 之解為何？
 (3a + 3b ) x + 2b y + 3c z = d
 3 3 3 3 3
 x + y + 2 z = −2
 x + 2 y + 3z = α

(7) 已知方程組  x + 3 y + 4 z = β 有解，且有、、都不是整數，則求都、B 的值。

x + 4 y + 5z = β 2

~3−3−11~

12. 綜合練習解答
(1) (C)(D) (2) a=0 或或3 (3) (B)(E)[提示：D 1 =∆ x ，D 2 =∆ y ，D 3 =∆ y ，而 P
∆ ∆y ∆z
( x, , )]
∆ ∆ ∆
(4) (a)a=1,b=4 (b)x=+，y=+t，z=t (5) (a) k=−18 時，共線；k≠−18 時，三平面各
交一線，三線平行。(b)a=−58 時，共線；a≠−58 時，前三平面的交線與第四平面
平行[提示：先考慮前三個平面的相交狀況，結果為三平面交於一直線，將此直線
的參數式代入 4x+20y−23z，得到值 58，所以 a=−58 時，共線；a≠−58 時，前三
平面的交線與第四平面平行] (6) (,,8) (7) (,)
~3−3−12~