1. 第二章 三角函數的基本概念
§2−1 銳 角 三 角 函 數
(甲)銳角三角函數
(1) 銳 角 三 角函 數的 定義 ：設 銳 ABC 為 直角 三角 形， 其中 為 C 為直 角三 角形 ，
為斜邊，兩股與分別是為B 的鄰邊與對邊。
~2−1−1~

2. 設 =a ， =b ， =c ， 則 我 們 定 義 ， A 的 三 角 函 數 如 下 ：
∠A 的 正 弦 =sinA= = =
B
∠A 的 餘 弦 =cosA= = =
c (斜邊)
∠A 的 正 切 =tanA= = =
a (∠A 的對邊)
∠A 的 餘 切 =cotA= = =
∠A 的 正 割 =secA= = =
A C
=cscA= (∠A 的鄰邊)
b
∠A 的 餘 割 ==
例 如 ： 直 角 三 角 形 ABC 各 邊 為 c=13 ， a=12 ， b=5
依 據 定 義 ： sinB= ， cosB= ， tanB=
cotB= ， secB= ， cscB=
B3
B2
[ 討 論 ] ： 給 定 一 銳 角 ： A( 即 即 ) 它 的 六 個 三 角 函 數 值 亦 隨 之 確 定 了 。
B
直 角 △ AB 1 C 1 ~△AB 2 C 2 ~△AB 31 3 ~…… ，
C
因θ sinθ===...
故 知 故 A( 即 即 ) 的 六 個 三 角 函 數 值 只 受 的 A(A 即 ) 的C1 小 影 響2 ，
即 大 C C3
而 不 在 乎 三 角 形 的 大 小 。
(2) 特 殊 角 的 三 角 函 數 值 ：
~2−1−2~

3. B B B
2
2 1
2
1 3 30°
θ sinθ cosθ tanθ cotθ A
secθ 3
cscθ C
30° °
45 60°
A 1 C A C
45° 1
~2−1−3~

4. 60°
~2−1−4~

5. 1. 一直角三角形 ABC 中，設=41，=40，=9，令，BAC=θ，
求求的六個三角函數值。
2. 試求下列各式之值：
(1)2sin230°+3cot245°+cos260° (2)csc345°+sec330°+cot360°
Ans：(1) (2)2+
3. 設一直角三角形 ABC 中，中A=θ，已知 cotθ =2，試求其他五個三角函數
值。
1. 在 下 列 各 三 角 形 ， 分 別 計 算 sinA ， cosA ， tanA 之 值 。
(1) A
(2)
10
4 10
15
A
Ans ： (1)sinA= ， cosA= ， tanA=
(2)sinA= ，cosA=，tanA=
~2−1−5~

6. 2. 設 設 為 銳 角 且 tanθ ＝ 2 ， 則 sinθ ＝ ， 而 secθ ＝
。
6
Ans： ； 3
3
3. 設設為一銳角， = 3+2，求 sinθ=_____。Ans：sinθ=
A
4. 如圖，有一等腰三角形 ABC，其中==6，=4
請問 tanB=？ sinB=？ Ans：sinB=，tanB=2
B C
~2−1−6~

7. 5. 設設為銳角，且 sinθ=，試求 sin、cos。
Ans：sin=，cos=
C
5 3
θ
2 θ
B
D 5 A 4
C
5 3
E
A 4 B
4. 於於ABC 中，中A 為直角， =，D 是的中點令是DBC=θ ，則 cotθ =
。 Ans：3 A
5. 設 設 ， ， ABC=30 °
D
， = C
，
B
如 右 圖 所 示 ， 試 利 用 右 P 圖
求 sin15 ° ， cos15 ° ， tan15 ° 之 值 。
6− 2 6+ 2
Ans： , ,2 − 3
4 4
A B
6. 如 圖 ， 為 直 徑 且 =10 ， 已 知 sinθ= ， 求 PA= ？
Ans：PA=6 C
~2−1−7~

8. 3 15
7. △ABC 中， AD 垂直 BC 於 D，已知 AB ＝25，sin B＝ 5 ，sin C＝ 17
， 則 下 列 敘 述 何 者 正 確 ？ (A) AD ＝ 15 (B) DC ＝ 8 (C) AC ＝ 17
15
(D) BC ＝28 (E) sin A＝ 17 。Ans：(A)(B)(C)(D)
8. 直 角 △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， =4 ， =3 ，
自 C 作 垂 直 AB 於 D ， 作 垂 直 於 E ，
48
則的長為 。Ans： 25
(乙)三角函數的基本關係
~2−1−8~

9. (1) 由 上 一 節 知 ， 若 三 角 形 △ ABC 中 ， 中 C=90° ，
∠A 的度數為的，以 a,b 與 c 分別表示三邊，與之長，則可發現這六個三角函數並
非 毫 不 相 干 ， 而 是 具 有 某 些B 關 聯 的 。
(a) 預 備 公 式
銳 角 三 - £K
90¢X
c角
(±×Ãä)函 數 的 定 義
a(¹ïÃä)
£K
A
b (¾FÃä) C
sinθ= cosθ= tanθ= cotθ= secθ= cscθ=
(b) 倒 數 關 係 ：
sinθ ×cscθ=________⇒ 即 cscθ =_______________
cosθ ×secθ=________⇒ 即 secθ =_______________
tanθ ×cotθ=________⇒ 即 tanθ =_______________
(c) 商 數 關 係 ：
tanθ=____________________________cotθ=____________________
(d) 平 方 關 係 ( 利 用 畢 式 定 理 可 得 )
 sin θ+cos =1
2 2
 tan θ+1=sec θ
2 2
1+cot θ=csc θ
2 2
sin 2 A +cos 2 A =() 2 +( )2= =1 ⇒ sin 2 A +cos 2 A=1
上 式 兩 邊 同 除 以 cos 2 A ， 則 可 得 +1= =sec 2 A ⇒tan 2 A+1=sec 2 A
若 將 sin 2 A +cos 2 A=1 的 兩 邊 除 以 sin 2 A ， 則 可 得 1+cot 2 A=csc 2 A
~2−1−9~

10. B B
B
c
1 = secθ
a b a c
= sinθ = tanθ = cscθ
c b a
1
b
A = cosθ C A 1 C
c b
A =cotθ C
a
注 意 ： sin θ=(sinθ)
2 2
cos 2 θ=(cosθ) 2
(e) 餘 角 關 係 ： 直 角 三 角 形 的 兩 銳 角 互 為 餘 角 關 係
sin(90°−θ)=__________ cos(90°−θ)=__________ tan(90°−θ)=_________
cot(90°−θ)=__________ sec(90°−θ)=__________ csc(90°−θ)=_________
上述的直角三角形 ABC 中，中C=90 ° ，，A+∠B=90 ° ，我們可以觀察，A 的對
邊 剛 好 為 邊 B 的 鄰邊 ， 的A 的 鄰邊 剛好 是 的 B 的 對邊 ，由 正弦 和餘 弦函 數的
定 義 可 知 ： sinB= = =cosA 。
(f) 銳 角 三 角 函 數 範 圍 ： 若 0°<θ<90° ， 則
0<sinθ<1⇒ 倒 數 cscθ>10<cosθ<1⇒ 倒 數 secθ>1tanθ∈R⇒cotθ∈R
(g) 上 述 各 種 關 係 對 於 任 意 銳 角 上 都 成 立 ， 根 據 這 些 關 係 ， 我 們 若 知 道
sinθ ， cosθ ， tanθ ， cotθ ， secθ ， cscθ 六 個 三 角 函 數 值 中 之 一 個 ， 就 可 推 得
他 五 個 的 值 。
6. 已知已為銳角且 tanθ=，試求 sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ之值。
Ans：sinθ= ，cosθ=，tanθ=，cotθ=，secθ=，cscθ=
~2−1−10~

11. 7. 設設為銳角，且 2 sinθ +cosθ =2，求 sinθ 與 cosθ 。
Ans：sinθ=，cosθ =
8. 設設為銳角，且 sinθ +cosθ=，求下列各小題的值：
(1)sinθ ⋅cosθ (2)sinθ −cosθ (3)sin3θ + cos3θ (4)tanθ +cotθ 。
Ans：(1) (2) (3) (4)
9. 求 下 列 二 小 題 的 值 ：
(a)sin61 ° ⋅sec29 ° +sec 2 37 ° −tan 2 37 ° = ？
(b)cos42 ° ⋅csc48 ° −csc 2 47 ° +tan43 ° = ？
Ans：(a)2 (b)0
10. 設 設 為 銳 角 ， 且 令 tanθ=k ， 請 用 k 表 示 下 列 各 三 角 函 數 的 值 ：
(1)secθ (2)cosθ (3)sinθ Ans：(1) (2) (3)
11. 設設為銳角，且 tanθ +secθ =，試求 tanθ=？ Ans：
12. 設 設 為 銳 角 ， sinθ−cosθ= ， 請 計 算 下 列 各 小 題 的 值 ：
(1)sinθ ⋅cosθ (2)sinθ +cosθ (3)tanθ +cotθ
Ans：(1) (2) (3)
~2−1−11~

12. 13. 設 x 為 銳 角 且 tanx+cotx= ， 求 下 列 各 式 之 值 ： (1)sinx+cosx
(2)sin 3 x+cos 3 x
Ans：(1) (2)
14. 假設 cosθ+3sinθ=2，且 0<θ<90°，求 cosθ+sinθ之值。Ans：
恆等式的證明
~2−1−12~

13. 三角函數的關係式還可以幫助我們將涉及 sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ或 cscθ
的式子，轉化成其他形式的式子。也就是三角恆等式：不論銳角的度數是多少，
涉及三角函數的式子都成立。要證明這些恆等式成立，三角函數的關係式大致上
可 以 依 下 列 方 法 使 用 ：
(a) 三 角 函 數 的 種 類 要 統 一
看 到 有 tanθ ， cotθ ， secθ ， cscθ ， 利 用 倒 數 與 商 數 關 係 化 為 sinθ ， cosθ
tanθ= ， cotθ = ， secθ= ， cscθ= 。
(b) 看 到 1
1=sin θ+cos 2 θ
2
=sec θ−tan 2 θ=csc 2 θ−cot 2 θ
2
(c) 看 到 sinθ ， cosθ 一 定 要 隨 時 平 方 ， 其 目 的 有 二 ：
 全 化 為 sinθ ( 或 cosθ) ， 可 將 函 數 種 類 統 一
 利 用 sin 2 θ+cos 2 =1⇒sin 2 θ=1−cos 2 θ
 將 高 次 降 為 低 次
例 ： sin 4 θ−cos 4 θ=(sin 2 θ+cos 2 θ)( sin 2 θ−cos 2 θ)=( sin 2 θ−cos 2 θ)
(sinθ+cosθ) 2 = sin 2 θ+cos 2 θ+2 sinθ cosθ=1+2 sinθ cosθ
(sinθ−cosθ) 2 = sin 2 θ+cos 2 θ−2 sinθ cosθ=1−2 sinθ cosθ
另 外 常 常 見 到 tanθ+cotθ=+=
【 證 明 三 角 恆 等 式 的 原 則 】
1.由繁化簡：通常恆等式都是左式較繁，右式較簡，由左式出發逐步化成較簡
單 的 式 子 。
2.相減為零：不太容易掌握方向，可以左右兩式相減導出結果為零，由此推論
兩 式 相 等 。
3.化為同一式：當左右兩式複雜程度相近時，可以分別化成同一簡單式，使兩
式 相 等 。
4.單純化：將三角函數之種類單純化，例如一律化為 sinθ與 cosθ表示，再配合
兩 者 的 平 方 關 係 即 可 。
~2−1−13~

14. 9. (1)sin4θ+cos4θ=1−2sin2θcos2θ (2)sin6θ+cos6θ=1−3sin2θcos2θ
10. 求證下列三角恆等式
(1) + = 2secθ (2)cot4θ+cot2θ=csc4θ−csc2θ
11. 求證下列恆等式 = secθ+tanθ =
15. 試證 = 。
16. =
17. 設 f(n)=cos n θ+sin n θ ，試證明：3f(4)−2f(6)=1。
~2−1−14~

15. 18. 試 化 簡 下 列 各 式 ：
(1) = 。
(2)(1+tanθ +secθ )(1+cotθ −cscθ )= 。 Ans：(1)1 (2)2
19. 設 cosA=cosX⋅sinC，cosB=sinX⋅sinC，試求 sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C 的值。
Ans：2
綜合練習
(1) 試求下列各式的值：
(a)2cos230°−1 (b)2sin30°cos30° (c) (d)sin60°cos60°tan60°cot60°sec60°
(e)tan45°+tan60°−sin230°(f)1+sin245°−tan30°cot60°
(2) 設 0°<θ<90°，tanθ＝k，則下列敘述何者正確？
1 k
(A) secθ＝ k 2＋ (B) cscθ＝k2＋1 (C) cotθ＝ (D) sinθ＝ 2 (E)
1
k k＋ 1
1
cosθ＝ k 2＋ 。
1
(3) 設設為銳角，且 tanθ=，求 + =？
(4) 如左下圖，若 sinθ =，求 cot 的值。 A
29 21
θ
D B C
(5) 求一個半徑 r 的圓內接正 n 邊形與圓外切正 n 邊形的周長。
。
(6) 如圖，∠B＝90 ，3 CD ＝2 BD ， AB ＝ BD ，
則 tan∠CAD 之值為 。
＝
(7) 如下圖所示：扇形 OAB 中， OA OB ＝a，∠AOB＝2θ，
已知扇形的內切圓半徑為 r，若以 a 及及表內切圓半徑 r，
a
則 r＝ ；又若；＝30°，則比值 r ＝ 。
~2−1−15~

16. (8) 設 tanθ =3，求
(a) (b)。
(9) 設設為銳角且 7 sinθ −cosθ =5，求 sinθ=？
(10) 設設為銳角，若 cosθ =tanθ ，求 sinθ=？
(11) 設 x2−(tanθ+cotθ)x+1=0 有一根為 2+，試求 sinθcosθ的值。
(12) 已知 sinθ−cosθ=，且 sinθ及 cosθ為 2x2+px+q=0 的兩個根，
則判別式 p2−8q=______。
(13) 設 sinθ+cosθ = ，則求下列各小題的值：
(a)sinθ⋅cosθ= 。(b)sinθ −cosθ = 。
(c)sin3θ + cos3θ = 。(d)sin6θ +cos6θ = 。
(14) θ為銳角，求證下列三角恆等式：
(a) − = 4cotθcscθ
(b)cos6θ+sin6θ=1−3cos2θ+3cos4θ
(c) + 2tan2θ = sec2θ
(d) =
(e) = 1+sinθ−cosθ
1 1 1 1
(15) 試求 1 + sin 7  + 1 + cos 2 5  + 1 + sec 2 5  + 1 + csc 7  = 。
A
(16) 設設ABC 中，cos∠ABC=，cos∠ACB=，之中點 M，
而而於 H，若=5，求=？
D
(17) △ABC 是一個頂角為 36°的等腰三角形，
與分別是與A 與與B 的分角線，
如右上圖所示。試利用△BCD~△ABC，求 sin18°之值。 B M C
進階問題
(18) 銳角銳ABC 之三邊長為 a,b,c，其所對應的高為 ha , hb , hc，已知
P
tanA=1，tanB=2，tanC=3，則=？
A B C D
~2−1−16~

17. (19) 有二同心圓，外圓之一直徑 AD，被內圓三等份於
B、C，(如圖)，在外圓上任取異於 A,D 之一點為 P，
設設APB=α，，DPC=β，試求 tanα⋅tanβ之值。
(20) 設 tanα、tanβ為 x2−ax+b=0 之二根，試以 a,b 表示 cos2α−sin2β之值。
(21) 設 x cosθ + y sinθ =4，x sinθ −y cosθ =3，試求 x 與 y 的關係。
A
B
(22) 如右圖，如BDC=90 ，，ADB=30 ，A、B、C 共線，
° °
且==1，求的長。
綜合練習解答
1. (a) (b) (c) (d) (e) (f) D C
2. (A)(C)(D)(E)
3.
4.
5. 2nrsin，2nrtan
1
6.
4
a sin θ
7. r＝ 1＋sin θ ；3
8. (a)9 (b)2 [Hint：(a)分子、分母同除以 cosθ (b) 分子、分母同除以
cos θ ]
2
9. [Hint：cosθ =7sinθ −5，兩邊平方，再利用 sin 2 θ+cos 2 θ=1，化
成 sinθ的二次方程式，再解出 sinθ ]
10.
11.
12.
13. (a)− (b)± (c) (d)
14. 略
15. 2
16. =22
~2−1−17~

18. 17. sin18°=
c b a
18. (Hint：考慮 h , h , h 的值)
a c b
19.
20.
21. x 2 +y 2 =25
22. 3
2
~2−1−18~