2. Похідна та диференційованість функції
Функція f має в точці x похідну:
f ' ( x) = lim
∆x →0
∆f ( x )
∆x
Фізичний зміст похідної:
Геометричний зміст похідної:
∆ (t )
S
υ(t ) = lim
∆→
t 0
∆
t
k = tgλ = f ' ( x0 )
Функція f диференційована
в точці x:
∆f ( x) = A( x)∆x + a( x; ∆x) ∆x,
lim a( x; ∆x) = 0, A( x) ∈ R
∆x → 0
Функція f неперервна в точці x
Арифметичні операції над
диференційованими функціями u I v:
v:
(u ± v)' = u '±v' ,
(uv)' = u ' v + uv' ,
u u ' v − uv'
.
' =
v2
v
Похідна складеної функції y=f(u),
u=ф(x):
u=ф
y
x
'=
y '⋅u
u
x
'
Похідна оберненої функції x=ф(y):
x=ф
ϕ' ( y ) =
1
f ' ( x)
Таблиця похідних
Похідні вищого порядку:
n)
( =(
Ільюхf (С.x)М.f ( n−1) ( x))' , n = 2,3...
3. В чому полягає суть
фізичного та
геометричного змісту
похідної та як його
використовувати в
математичних
задачах?
Ільюх С. М.
4. Ми були об'єднані в групи
НАУКОВЦІ ІІ
НАУКОВЦІ І
ЕКСПЕРТИ
ДОСЛІДНИКИ
Ільюх С. М.
6. І.Ньютон сформулював дві основні
проблеми математичного аналізу:
1). Довжина шляху, який долається, є
постійною(тобто в будь-який
момент часу); необхідно знайти
швидкість руху у пропонований час;
2). Швидкість руху постійно дана;
необхідно знайти довжину
пройденого у запропонований час
шляху.
Ільюх С. М.
7. 1). Задача про миттєву швидкість:
V ( t ) = S ′(t )
2). Задача про знаходження змінного
струму, який проходить по провіднику:
Ільюх С. М.
16. Задача 15.121
Тіло масою m0 рухається прямолінійно за
законом S (t ) = 2
2t − 1
Довести, що сила, яка діє на тіло,
пропорційна кубу пройденого шляху.
Ільюх С. М.
20. дотична
M
січна
N
Ільюх С. М.
Дотичною до кривої в
даній точці M,
називається граничне
положення січної MN,
коли точка N прямує
вздовж кривої до
точкиM.
21. y
f ' ( x0 ) = tgα
k-кутовий коефіцієнт
k = tgα = f ' ( x0 )
f ( x0 + ∆x)
f ( x0 )
y = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 )
рівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою x0.
∆x
∆x
x0
x0 + ∆x
x
y = f (x)
arctgk , якщо k ≥ 0
α =
π − arctgk , якщо k < 0
Ільюх С. М.
∆y
24. 1) Обчисліть f ' (1) , якщо кут між дотичною
проведеної до графіка функції y = f (x) у точці
з абсцисою x0 = 1 і додатнім напрямом осі OX,
дорівнює 30 0.
Розв’язання
3
f ' (1) = tg 30 =
3
0
Ільюх С. М.
25. 2) До графіка функції y = −0,5 x проведено
дотичну у точці з абсцисою x0 = 3 . Обчисліть
тангенс кута нахилу дотичної до додатнього
напрямку осі абсциса.
2
Розв’язання
f ' (3) = −3;
f ' ( x0 ) = tgα ⇒ tgα = −3.
Ільюх С. М.
26. 3) На малюнку зображено графік функції
і дотичну до нього в точці з
x0
абсцисою y .
Знайти значення
y = f (x)
f ' ( x0 )
y = f (x)
Розв’язання
f ' ( x0 ) = tgα ,
1
x0
1
x
α =135 ,
0
−tg 45 =− .
1
0
Ільюх С. М.
27. 4) На малюнку зображений графік функції y = f (x) та дотичні до нього в точках
f ' ( x1 ) + f ' ( x2 )
x2
. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть
y
.
Розв’язання
f ' ( x1 ) = tg 450 = 1;
f ' ( x2 ) = tg 0 = 0;
0
f ' ( x1 ) + f ' ( x2 ) = 1
0
x2 45
0
x1
Ільюх С. М.
x
x1
28. 5) Знайдіть, при яких значеннях параметра а
дотична до графіка функції y = x 3 + ax 2 у точці
з абсцисою x0 = −1 проходить через точку
N(3;4).
Розв’язання
y = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 );
f ( x0 ) = −1 + a;
f ' ( x) = 3 x 2 + 2ax;
f ' (−1) = 3 − 2a;
y = −1 + a + (3 − 2a )( x + 1)
y = (3 − 2a ) x − a + 2,
т.N ∈ y ⇒ 4 = (3 − 2a )3 − a + 2,
a = 1.
Ільюх С. М.
32. Задача 1
На параболі y= 4- X вибрано дві
точки з абсцисами x= -1 і x=3. Через ці
точки проведено січну. Знайти рівняння
дотичної до параболи, яка паралельна
січній.
Ільюх С. М.
33. Розв'язання
1) y = kx + b – рівняння січної
Дана січна проходить через точки :
(-1;3), (3;-5)
Складаємо рівняння січної:
3 = -k + b;
8= -4k,
-5 =3k + b;
k= -2, то b=1
y= -2x +1 – рівняння січної
Ільюх С. М.
34. 2)y=f(x0) + f '(x0)(x-x0) – рівняння
дотичної
f(x0)=4 - x02;
f '(x0)= -2x0;
y =4- x02 - 2x0(x-x0),
y = -2x0x +x02 + 4,
Ільюх С. М.
35. 3) y1=kx +b1, y2=k2x +b2,
k1=k2 <=> y1||y2
4)За умовою паралельності прямих,
маємо :
-2x0= -2
x0=1.
Отже, y = -2x-3 - шукане рівняння
дотичної.
Ільюх С. М.
36. Задача 2
Записати рівняння дотичної до
графіка функції f(x)= -x2+4, яка
перпендикулярна до прямої x-2y+2=0.
Ільюх С. М.
37. Розв'язання
y = f(x0) +f '(x0)(x-x0),
f (x0) = -x02+4,
f '(x0) = -2x0,
y= -x02 +4 - 2x0(x-x0),
y= -2x0x +x02 +4 - рівняння дотичної
y= 0,5x +1 - рівняння прямої
перпендикулярної до дотичної
Ільюх С. М.
38. y1=k1x +b1 і y2=k2 +b2
k1· k2= -1<=>y1 I y2
Ільюх С. М.
39. За умовою перпендикулярності
прямих маємо :
якщо k1= -2x0, k2=0,5,то -2x0·0,5= -1,x0=1.
Отже, y= -2x+5 - шукане рівняння
дотичної
Ільюх С. М.
40. Задача 3
Знайти величину кута між двома
дотичними проведеними з точки (0;-1)
до графіка функції y=x2.
Ільюх С. М.
41. Задача 4
Знайти площу трикутника, утвореного
бісектрисами координатних кутів і дотичної
до кривої y= в точці М(3;2)
Ільюх С. М.
