12

1. Практичне заняття 1.
Ряди Тейлора і Маклорена. Розклад функцій у степеневі ряди.
Мета заняття: Подати формули ряду Тейлора та ряду Маклорена,
привести приклади розкладу деяких елементарних функцій
в ряд Маклорена. Застосування степеневих рядів.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про ряди
Тейлора та Маклорена.
Завдання 2.
Завдання 3.
Розгляд прикладів розкладу деяких елементарних функцій
в ряд Маклорена.
Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів
Теоретичні відомості.
Означення 1.
Ряд ( ) ( ) ( ) ( )
( )  +−++−
′′
+−
′
+ n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xf )(
!
)(
!2
)(
!1
0
02
0
0
0
0
0 (1)
називається рядом Тейлора функції ( )xf .
Теорема 1. Якщо функцію ( )xf в інтервалі );( 00 RxRx +− можна розкласти
в степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.
Теорема 2. Для того щоб ряд Тейлора (1) збігався до функції в інтервалі
);( 00 RxRx +− , тобто ( )xf
( ) ( ) ( ) ( )
( )  +−++−
′′
+−
′
+= n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf )(
!
)(
!2
)(
!1
)( 0
02
0
0
0
0
0 (2)
необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх
порядків і залишковий член її формули Тейлора прямував до нуля при ∞→n
для всіх х з цього інтервалу: );(,0)(lim 00 RxRxxxRn
n
+−∈=
∞→
Теорема 3. Якщо функція ( )xf в інтервалі );( 00 RxRx +− має похідні всіх
порядків та існує число 0>M таке, що
,...2,1,0),;(,|)(| 00
)(
=+−∈≤ nRxRxxMxf n
(3)

2. де ( )xfxf =)()0(
, то функцію ( )xf можна розкласти в ряд Тейлора.
Означення 2.
Рядом Маклорена функції ( )xf називають степеневий ряд по степенях х,
який можна дістати з ряду (1) при :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )  +++
′′′
+
′′
+
′
+ n
n
x
n
f
x
f
x
f
x
f
f
!
0
!3
0
!2
0
!1
0
0 32
(4)
Щоб функцію ( )xf розкласти в ряд Маклорена, потрібно:
а) знайти похідні ( ) ( ) ( ),...,...,, )(
xfxfxf n
′′′ ;
б) обчислити значення похідних в точці ;
в) записати ряд Маклорена (4) для даної функції і знайти інтервал його
збіжності;
г) визначити інтервал ),( RR− , в якому залишковий член формули
Маклорена 0)( →xRn при ∞→n
Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності
ряду (4), то в цьому інтервалі функція ( )xf і сума ряду Маклорена
збігаються:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )  +++
′′′
+
′′
+
′
+= n
n
x
n
f
x
f
x
f
х
f
fxf
!
0
!3
0
!2
0
!1
0
0 32
(5)
Ряди Маклорена деяких елементарних функцій
1. x
ey = .
 ++++++=
!!3!2
1
32
n
xxx
xe
n
x
. (6)
2. xy sin= .
( )
( )
 +
−
−
+++−=
−−
!12
1
!5!3
sin
12153
n
xxx
xx
nn
. (7)
3. xy cos= .
( )
( )
( )+∞∞−∈+
−
+−+−= ,,
!2
1
!4!2
1cos
242
х
n
xxx
x
nn
 . (8)
4. ( )m
xy += 1 , де m – будь-яке дійсне число.
( ) ( ) ( )( ) ++
−−
+
−
++=+ 32
!3
21
!2
1
11 x
mmm
x
mm
mxxm

3. ( )( ) +
+−−
+ n
x
n
nmmm
!
11
.
(9)
Інтервал збіжності ряду (9) є
()1;1 (на кінцях інтервалу при
1±=x збіжність ряду залежить від конкретних значень m ).
Ряд (9) називається біноміальним. Якщо m – ціле додатне
число, то біноміальний ряд є формула бінома Ньютона, тому що при 1+= mn
1+m -й член ряду і всі наступні дорівнюють нулю і замість нескінченного
розкладу виходить скінчена сума.
5. ( )xy += 1ln .
( ) ( )  +
+
−
+−+−=+
+
1
1
32
1ln
132
n
xxx
xx
nn
. (10)
6. ( ) [ ]1,1,
12
1
53
1253
−∈+
+
−
+−+−=
+
x
n
xxx
xarctgx
nn
 (11)
Розв’язування типових прикладів.
Приклад 1. Розкласти в ряд функцію )1ln()( 32
xxxf −=
Розв’язання.
Поклавши у формулі (11) 3
x− замість х, маємо
( )  −−−−−−=−
n
xxx
xx
n395
33
32
1ln
( ) )1,1[,
32
1ln
23117
532
−∈−−−−−−=−
+
x
n
xxx
xxx
n

Приклад 2. Розкласти в ряд по степенях х функцію
2
1
1
)(
x
xf
−
=
Розв’язання.
Поклавши у формулі (10) 2
x− замість х, при 2
1
−=m
дістанемо

4. ( ) )1,1(...,
2...642
12...531
...
42
31
2
1
1
1
1 242
2
−∈+
⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅
++
⋅
⋅
++=
−
xx
n
n
xx
x
n
Приклад 3. Розкласти в ряд по степенях х функцію
xxf arcsin)( =
Розв’язання.
Інтегруючи знайдений в попередньому прикладі ряд в межах від 0 до х,
1|| x , дістанемо
)1,1(,
122...42
)12(...31
542
31
32
1
arcsin
1253
−∈+
+
⋅
⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+−⋅
⋅
⋅
+⋅+=
+
x
n
x
n
nxx
xx
n

Можна довести, що ця рівність справедлива і в точках
1±=x .
Задачі для самостійного розв’язування.
Розвинути в ряд Тейлора функції.
1. xxf ln)( = за степенями (х - 1);
2. 2
1
)(
x
xf = за степенями (х+1);
3. x
exf =)( за степенями (х + 2);
4. 74
1
)( 2
++
=
xx
xf за степенями (х+2);
5. x
xf
1
)( =
за степенями (х - 1);
6. 3
)( xxf = за степенями (х - 1);
7.
x
xf
34
1
)(
+
= за степенями (х + 2);
8. )35ln()( += xxf за степенями (х - 1);
9.
x
xf
25
1
)(
+
= за степенями (х -3);
10. 3
)( xxf = за степенями (х - 1).

5. Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів
Наближені обчислення значень функцій.
Приклад 1. Обчислити приблизно з точністю до 0,0001 5
36 .
Розв’язання:
Представимо 5
36 у вигляді 5
1
55
8
1
1243236 





+=+= .
Оскільки 8
1
=x входить до області збіжності степеневого ряду ( )1;1− , то при
8
1
=x , 5
1
=m , враховуючи біноміальний ряд, одержимо
=












+⋅






+−





−
++⋅






−
+⋅+= 

 n
n
n
8
1
!
1
5
1
1
5
1
5
1
8
1
!2
1
5
1
5
1
8
1
5
1
1236 2
5
0477,2000016,0000188,00025,005,02 ≈+−+−+=  .
Для забезпечення даної точності розрахунку необхідно взяти 4 члени,
тому що для збіжного знакопереміжного ряду похибка 0001,0000016,0 <≤nr .
Приклад 2. Обчислити приблизно з точністю до 0,0001 
20sin
Розв’язання:
Для обчислення 9
sin20sin
π
=
напишемо ряд Маклорена при 9
π
=x , що
належить області збіжності ( )+∞∞− ; :
( )
( )
=+





−
−
+−





+





−=
−−

12153
9!12
1
9!5
1
9!3
1
99
sin
nn
n
πππππ
−+−= 00004,000709,034907,0 .
Достатньо взяти два члени, тому що при цьому похибка
0001,000004,0 <≤nr . Отже, 3420,000709,034907,020sin ≈−=
.
Наближене обчислення визначених інтегралів.
Приклад 3. Обчислити приблизно з точністю до 0,0001 ∫
−
1
0
dxex x
Розв’язання:

6. "Точне" інтегрування за формулою Ньютона-Лейбніца неможливо. Замінимо
x на ( )x− в розкладанні в ряд Маклорена, одержимо
( )  +
−
+−+−=−
!
1
!2
1
2
n
xx
xe
nn
x
.
Тому ( )  +
−
++−==
+
−−
!
1 2
1
2
3
2
1
2
1
n
x
xxexex
nn
xx .
Після по членного інтегрування в інтервалі ( )1;0 , що належить
інтервалу збіжності ряду ( )+∞∞− ; , одержимо
( ) =+
−
++−= ∫∫∫∫
+
−

1
0
2
1
1
0
2
31
0
2
11
0 !
1
dx
n
x
dxxdxxdxex
nn
x
( )
( )
=+
+
⋅−
++−=+⋅






+
−
++−=
+

!32
21
5
2
3
2
!
2
3
)1(
5
2
3
2
1
0
2
31
0
2
51
0
2
3
nnn
x
n
xx
nn
n
=−+−+−+−= 00018,000128,000758,003704,014286,040000,066667,0
3790,037897,0 ≈≈ .
Наближене інтегрування диференціальних рівнянь.
Приклад 4. Знайти три перших відмінних від нуля члени розкладу в ряд
розв’язку диференціального рівняння:
1)0(,0)0(, =′=+′=′′ yyyyxy
Розв’язання.
Шукаємо розв’язок рівняння ( )y x у вигляді ряду Маклорена:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 30 0 0 0
0 ... ...
1! 2! 3! !
n
ny y y y
y x y x x x x
n
′ ′′ ′′′
= + + + + + +
З початкової умови 0010)0(,1)0(,0)0( =+⋅=′′=′= yyy
Послідовно диференціюючи дане рівняння, дістанемо:
2)0(,2 =′′′′′+′=′+′′+′=′′′ yyxyyyxyy
0)0(,32 =′′′+′′=′′′+′′+′′= IVIV
yyxyyxyyy
8)0(,43 =+′′′=+′′′+′′′= VIVIVV
yxyyxyyyy
Підставляючи знайдені похідні в ряд Маклорена, дістанемо шуканий
розв’язок
( )
153!5
8
!3
2
!1
1 53
53 xx
xxxxxy ++=++≈

7. Задачі для самостійного розв’язування.
1. За допомогою рядів обчислити наближене значення інтегралів з
точністю до 0,001:
1. e dx
x
−
∫
2
2
0
1
. 2. sinx dx2
0
1
∫ . 3. cosx dx2
0
1
∫ .
4.
sinx
x
dx
0
1
∫ . 5. x xdxsin
0
1
∫ . 6. dx
x1 43
0
1
2
+
∫ .
7. xe dx
x
−
∫ 2
0
1
4
. 8. x
x
dx
1 2
0
1
4
+
∫ . 9. 1 3
0
1
2
+∫ x dx.
10.
1
32
0
ln(1 )x dx
x
+
∫ . 11. x e dxx2
0
1
2
−
∫ 12. x xdxcos
0
1
∫ .
13. x x dxcos 3
0
1
∫ 14.
1
2
0
ln(1 )x dx+∫ 15.
sinx
x
dx
2
0
1
∫
16.
1
2
0
arctgx
dx
x∫ 17. cos
x
dx
2
2
0
1
∫ 18. xe dx
x
−
∫ 3
0
1
19.
1
2
3 2
0
x ln(1 )x dx+∫ 20. x
x
dxcos
2
3
0
1
∫ 21.
1
3
0
x
xdx
e∫ .
22. x
x
dx2
2
0
1
2
sin∫ . 23. x xdx3
0
1
sin∫ 24.
1
0
sin
2
x
x dx∫
25. xe dxx−
∫
2
0
1
26.
1,2
3
0,1
x
e
dx
x
−
∫ 27.
0,25
2
0
ln(1 )x x dx+∫ .
28.
0,4 2
4
0
cos
3
x
x dx∫ 29.
0,25
0
2
x
xarctg dx∫ 30.
2
1
0
( 1)x
x e dx−
−∫ .
2. Знайти три перших відмінних від нуля члени розкладу в ряд розв’язку
диференціального рівняння.
1. ( )2 2
1; 0 0;y x y x x y′ = − + + = 16. ( )sin ; 0 0;y
y e x x y′ = + =

8. 2. ( )2 2
; 0 0;x
y x y e y′ = − + =
3. ( )2cos ; 0 0;y x y y′ = + =
4. ( )2
2 ; 0 0;x
y e x y y′ = − + =
5. ( )2 2
; 0 0;x
y y x e y′ = − + =
6. ( )2
sin 1; 0 0;y x y y′ = − + =
7. ( )2 2
1; 0 0;y x y y x y′ = + + + =
8. ( )2
; 0 0;x
y y x e y−
′ = − + =
9. ( )sin 2; 0 0;y y x x y′ = × + + =
10. ( )cos ; 0 0;x
y e y x y′ = + =
11. ( )sin cos ; 0 0;y y x x y′ = + + =
12. ( )2
; 0 0;y
y e x x y′ = − + =
13. ( )2
sin 2 1; 0 0;y y x y′ = + + =
14. ( )2; 0 0;x
y ye xy y′ = − + =
15. ( ); 0 0;y
y e xy y′ = + =
17. ( )2 2
2; 0 0;y x y y y′ = + − + =
18. ( )2
; 0 0;y
y e y y′ = + =
19. ( )2
; 0 0;y
y x y e y′ = + =
20. ( )2
; 0 0;x
y xy y e y′ = − + =
21. ( )2 2
; 0 0;y
y e x y′ = − =
22. ( )sin cos ; 0 0;y x y y′ = + =
23. ( )cos 2 ; 0 0;y y x y′ = + =
24. ( )3
3 ; 0 0;y
y e x y′ = − =
25. ( )2
2 1; 0 0;x
y xe y y′ = − + =
26. ( )sin sin 1; 0 0;y x x y y′ = × + + =
27. ( )2
; 0 0;y
y e x x y′ = + + =
28. ( )2
cos ; 0 0;y y y x y′ = + − =
29. ( )3
2cos ; 0 0;y y y x y′ = + − =
30. ( )3
1; 0 0.x
y ye x y′ = + + =