Урок ділова гра

1. Тема уроку
Похідна.
Застосування
похідної до
дослідження
функцій.

2. Мета уроку
 узагальнити та
ситематизувати знання,
уміння та навички за темою;
 поняття похідної, правила
знахождення похідної;
 застосування похідної для
дослідження функції :.

3. Визначення похідної
Нехай функція y = f(x) визначена на деякому проміжку (a; b).
Аргументу x надаємо деякий приріст : x∆
y
0 хх
f(x )
x+Δx
f(x+ Δx)
Знайдемо відповідний приріст функції:
)()( xfxxfy −∆+=∆
y∆
x∆
);( baxx ∈∆+
Якщо існує границя
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim
то її називають похідною
функції y = f(x) та позначають
одним з символів:
dx
dy
xfy );(; ′′

4. Отже, за визначенням:
x
xfxxf
y x
∆
−∆+
=′
→∆
)()(
lim0
Функція y = f(x) , яка має похідну у кожній точці інтервалу (a; b),
називається диференційованою на цьому інтервалі; операція
знахождення похідної функції називається диференціюванням.
Якщо функція y = f(x) описує будь- який фізичний процес, то f ’(x)
є швидкість протікання цього процессу – фізичний зміст похідної.
Визначення похідної

5. Історія
«Похідної»

6. Історична довідка
КінецьXVI – середина XVII
століття ознаменувалися
великим інтересом вчених
до пояснення руху та
знахожденню законів,яким
він підпорядковується.
Як ніколи гостро встали
питання про визначення
та обчислення швидкості
руху та його прискорення.
Розв’язування цих питань
привело до установлення
зв’язку між задачею про
обчислення швидкості
руху тіла і задачею
проведення дотичної до
кривої,яка описує
залежність пройденного
шляху від часу.

7. Давид Гильберт
УУ каждогокаждого человекачеловека естьесть
определенныйопределенный
кругозоркругозор.. КогдаКогда
этотэтот кругозоркругозор
сужаетсясужается додо
бесконечностибесконечности
малогомалого,, тото онон
обращаетсяобращается вв
точкуточку.. ТогдаТогда
человекчеловек ии говоритговорит,,
чточто этоэто естьесть егоего
точкаточка зрениязрения..

8. Загальне поняття похідної було зроблено
незалежно один від одного майже
одночасно
англійським фізиком и
математиком
німецьким філософом і
математиком
Г.Лейбніцем.
І.Ньютоном

9. Формула похідної зустрічається нам ще у 15
столітті. Великий італійський математик
Тартальї, вивчаючи питання, на скільки
залежить дальність польоту снаряду від
нахилу орудій, використовує її у своїх працях.
Присвячує цілий трактат ролі похідної у
математиці відомий вчений Галілео Галілей.
Потім похідна та різні способи її застосування
зустрічалися у роботах Декарта, французького
математика Роберваля і англійця Грегорі.
Значний вклад по вивченню похідної внесли
такі уми, як Лопіталь, Бернуллі, Лангранж та
інші.

10. Формули для обчислення
похідних
1. C´ = 0
2. x´ = 1
3. (xn
)´= nxn-1
4. 1
(√x)´= ——
2 √x
5. 1 ´ 1
— = - ——
x x2

11. Правила обчислення
похідних
Якщо функції U и V диференційовані у точці x0, то
Якщо функція U диференційована у точці x0, а С-стала
величина, то (СU)´=CU´
1. ( U + V )´ = U´ + V´
2. (U V)´ = U´ V + U V´
1. U ´ U´ V - U V´
— = ——————
V V2

12. (sin x)'=cos x
(cos x)'=-sin x,
(tgx)'=1/cos² x,
(ctg x)'=-1/sin²x.

13. Геометричний зміст похідної
Візьмемо на неперервній кривій L дві точки М и М1:
y
0 хх
f(x )
x+Δx
y∆
x∆
М
М1f(x+ Δx)
Через точки М и М1 проведемо
січну та позначимо через φ кут
нахилу січної.
φ
x
xfxxf
x
y
tg
∆
−∆+
=
=
∆
∆
=ϕ
)()(
При у силу неперервності функції також прямує до
нуля, тому точка М1 нескінченно наближається по кривій до точки М,
а січна ММ1 переходить у дотичну
0→∆x y∆
α→ϕ α=ϕ⇒ →∆ 0
limx
α=ϕ⇒ →∆
tgtgx 0
lim
y
0 хх
f(x )
α
М

14. 01
01 )()(
tt
tftf
t
х
vср
−
−
=
∆
∆
=
Задача про швидкість хімічної реакціїЗадача про швидкість хімічної реакції
Середня швидкість розчинення солі у воді за
проміжок часу [t0;t1] (маса солі, яка
розчинилася у воді, змінюється за законом х
= f(t)) визначається за формулою
.
Швидкість розчинення в данний
момент часу
)()( 00 tftv ′=

15. Зростання чисельності населення
Вивести формулу для обчислення чисельності
населення на обмеженій території в момент часу t.
Нехай у=у(t)- чисельність населення.
Розглянемо приріст населення за ∆t = t - t0
∆y=k ∙ y ∙ ∆t, где к = кн – кс –коефіцієнт приросту (кн –
коефіцієнт народженості, кс – коефіцієнт смертності)
Одержимо:
yk
t
y
⋅=
∆
∆
y
t
y
t
′=
∆
∆
→∆ 0
lim

16. Скажи мені, і я забуду.
Покажи мені, і я запам’ятаю.
Дай мені спробувати самому,
і я навчусь
Конфуцій