1. Вчитель математики: Ільюх С. М.
Гімназія, м. Ковель
Волинська обл.
Тема: Методи розв’язування систем рівнянь.
Мета:
- створити умови для узагальнення, поглиблення і закріплення основних знань,
набутих за час вивчення теми;
- удосконалення практичних умінь учнів через розв’язування нестандартних
завдань;
- розвивати пізнавальні інтереси, інтелектуальні і творчі здібності учнів;
- виховувати культуру спілкування, толерантне ставлення до оточуючих.
Тип уроку: урок узагальнення і систематизації знань.
Обладнання: мультимедійний проектор, комп’ютер, екран
На дошці: Золоті правила поведінки на уроці:
Бути
Позитивними
Тут і зараз.
Точними
Точність – увічливість королів.
Толерантними
Толерантність – це повага, у першу чергу, до самого себе.
Зібраними
Найдорогоцінніше, що є в нас, - це час.
На екрані: тема та девіз уроку.
Девіз уроку: «Зробіть усе, що можете, застосувавши те, що знаєте, знаходячись
там, де ви є.»
Теодор Рузвельт.
Хід уроку
І. Організаційна частина.
(оголошення теми, мети та плану проведення уроку; на дошці схема вивчення теми)
ІІ. Актуалізація опорних знань.
Усне опитування
- На які основні групи поділяються системи рівнянь?

2. - До нелінійних відносяться системи…?
- Що означає розв’язати систему рівнянь?
- Що ви розумієте під словами: сумісна система рівнянь, несумісна система
рівнянь?
- Що називається матрицею?
На дошці записані усні вправи.
1. Розв’язати системи рівнянь:
 x 2 + y 2 = 5,
1) 
 x + y = 3.
 x 2 − y 2 = 5,
2) 
 x − y = 1.
2. Обчислити визначник:
1)
4
2
−3
5
2)
25
37
35
27
3. Розв’язати рівняння:
1)
5
x2 +
x
1
=0
−4
2)
1
cos x
2
−
1
2
=0
1
8 sin x
4. Знайти похідні функцій:
'
'
5x 

4 

ІІІ. Тестова перевірка знань учнів.
 sin x
1) 
 tgx

cos x 

ctgx 

 x 2 −2
2) 
 −1

Учні отримують тестові завдання. На виконання завдань 7хв. За даний час учні
здають тестові бланки для перевірки вчителем і в той же час займаються
самоперевіркою (правильні відповіді на екрані).
ІV. Захист проектів.
Над проблемою узагальнення і систематизації знань з даної теми працювало три
творчих групи учнів.
І група «Методи розв’язування нелінійних рівнянь»
ІІ група «Методи розв’язування лінійних рівнянь»
ІІІ група «методи розв’язування лінійних рівнянь з параметрами»
Учні представляють свої проекти. На кожну презентацію відводиться 5хв.
(презентації додаються).Після кожної з презентацій члени творчої групи пропонують
розв’язати систему рівнянь презентованими методами. Під час презентацій учні класу
мають змогу розв’язувати і завдання пропоновані для роботи в класі. Кожне із
виконаних завдань оцінюється певною кількістю балів котрі проставляються учнями
в таблицю само оцінювання навчальних досягнень.
Завдання пропоновані творчими групами учням класу:

3. 1. Розв’язати колову систему рівнянь:
 xy + y + x = 5,

 yz + y + z = 11,
 xz + z + x = 7.

Додамо до обох частин кожного рівняння 1 і отримаємо:
 xy y x 1=+++ 6,  y(x 1 ++ () x 1)=+ 6,  (x+ 1)(y 1)=+ 6,
  
 yz y z 1=+++ 2,1  y(z 1 ++ () z 1)=+ 2,1  (z+ 1)(y 1)=+ 2,1
 xz z x 1=+++ 8,  z(x 1 ++ () x 1)=+ 8,  (x+ 1)(z 1)=+ 8
  
Перемноживши почленно обидві частини рівнянь системи отримаємо:
( x + 1) 2 ( y +1) 2 ( z +1) 2 = 24 2.
Добувши корені і використавши послідовно кожне рівняння системи отримаємо:
 z + 1 = ± 4,

 x + 1 = ± 2,
 y + 1 = ± 3.

Відповідь:(1,2,3), (-3,-4,-5)
2.Дослідити скільки розв’язків має система рівнянь залежно від параметра а. Знайти
ці розв’язки.
 ax+ 12y = 2,(× 3)  3ax+ 36y = 6, 2
 ⇔  2 − ⇔ (36− a )y 6−= a.
 3x+ ay = 1,(× a)  3ax+ ya = a,
2
 ax+ 12y = 2,(× a)  xa + 12ay = a,2 2
 ⇔  ⇔− (36− a )x = 2(6− a).
 3x+ ay = 1,(× 2)1  36x+ 12ay = 2,1

4. З отриманих рівнянь складаємо нову систему лінійних рівнянь:

y=


x=


6− a
,
36 − a 2
2(6 − a)
36 − a 2
 2
 x = a + 6 ,
6⇔ 
y= 1 .
 a + 6
Отже система має 1 розв’язок.
 6x + 12y = ,2
1− 3t
Якщо а=6, то
⇔ x = t , t ∈ R, y = .

6
 3x + 6y = ,1
Тобто система має безліч розв’язків виду:
 1 − 3t 
t ;
, деt ∈ R.
6 

Якщо а=-6, то
 − 6x + 12y = 2,  3x − 6y −= 1,
 ⇔
 3x− 6y = 1,  3x − 6y = 1.
Отже система є несумісною.
Відповідь:
1 
 2
;

, якщоa ≠ ±6
a +6 a +6 
 1 − 3t 
t ;
, якщоa = 6, деt ∈ R
6 

Не має розв’язків, якщо а=-6.
3.Дослідити скільки розв’язків має система рівнянь залежно від параметра а:
 (a − 1) 2 x + (a 2 − 1) y = (a + 1) 2 ,

 (2a − 1) x + (a + 1) y = a 2 − 1.
Розв’язання
∆
=
(a − )
1
( 2a − )
1
∆ =
x
2
(a + ) 2
1
a
2
−
1
a2 − 1
= (a − 1)(a 2 − 1 − 2a 2 − a + 1) = (a − 1)(− a 2 − a) = − a(a 2 − 1)
a+ 1
a2 − 1
a+ 1
= (a + 1) 3 − (a 2 − 1) 2 = (a + 1) 2 (a + 1 − a 2 + 2a − 1) = − a(a + 1) 2 (a − 3)

5. ∆ =
y
(a − )
1
2a −
1
2
(a + 1) 2
a2 − 1
= ( a −1)
2
( a −1)(a +1) − (a +1) 2 ( 2a −1) = ( a + 1)(a 3 − 5a 2 + 2a ) =
= a ( a +1)( a 2 − 5a + 2).
a ≠ 0, a ≠ ±1, то∆ ≠ 0
Якщо
∆ x − a(a + 1) 2 (a − 3) a 2 − 2a − 3
=
=
;
∆
a −1
− a (a 2 − 1)
∆ y a (a + 1)( a 2 − 5a + 2)
a 2 − 5a + 2
y=
=
=−
;
∆
a −1
− a(a 2 − 1)
x=
То дана система має один розв’язок.
Якщо a = 0, ∆ = 0, ∆x = 0, ∆ y = 0; то дана система має безліч розв’язків.
Якщо a = 1, ∆ = 0, ∆x ≠ 0, ∆ y ≠ 0; система не сумісна.
Якщо a = −1, ∆ = 0, ∆x = 0, ∆ y = 0; дана система має безліч розв’язків.
V. Підсумок уроку. Домашнє завдання.
Учні заповнюють картки самооцінювання. Оголошують отримані бали за урок.
Короткий звіт лідерів творчих груп за допомогою інтерактивної вправи «незакінчене
речення». Заключне слово вчителя. Усвідомлення ситуації досягнення мети,
переживання ситуації успіху, підкріплення позитивної мотивації до діяльності.

6. ∆ =
y
(a − )
1
2a −
1
2
(a + 1) 2
a2 − 1
= ( a −1)
2
( a −1)(a +1) − (a +1) 2 ( 2a −1) = ( a + 1)(a 3 − 5a 2 + 2a ) =
= a ( a +1)( a 2 − 5a + 2).
a ≠ 0, a ≠ ±1, то∆ ≠ 0
Якщо
∆ x − a(a + 1) 2 (a − 3) a 2 − 2a − 3
=
=
;
∆
a −1
− a (a 2 − 1)
∆ y a (a + 1)( a 2 − 5a + 2)
a 2 − 5a + 2
y=
=
=−
;
∆
a −1
− a(a 2 − 1)
x=
То дана система має один розв’язок.
Якщо a = 0, ∆ = 0, ∆x = 0, ∆ y = 0; то дана система має безліч розв’язків.
Якщо a = 1, ∆ = 0, ∆x ≠ 0, ∆ y ≠ 0; система не сумісна.
Якщо a = −1, ∆ = 0, ∆x = 0, ∆ y = 0; дана система має безліч розв’язків.
V. Підсумок уроку. Домашнє завдання.
Учні заповнюють картки самооцінювання. Оголошують отримані бали за урок.
Короткий звіт лідерів творчих груп за допомогою інтерактивної вправи «незакінчене
речення». Заключне слово вчителя. Усвідомлення ситуації досягнення мети,
переживання ситуації успіху, підкріплення позитивної мотивації до діяльності.