Вектори у просторі

1. 1.Вектором називають напрямлений
відрізок.
2. Позначають: або
3. Координатами вектора
початок якого – А(х1;у1;z1), а кінець
–В (х2;у2;z2), називають числа:
х=х2-х1, у=у2-у1 , z=z2-z1.
4. Записують = (х;у;z) або
= (х;у;z)
 Дії над векторами
1..Сумою векторів і
називають вектор
2. Різницею цих векторів називають
вектор
3. Щоб помножити вектор на число,
потрібно кожну його координату
помножити на це число.
Нехай , тоді
4. Для будь-яких векторів і чисел
m і n завжди: 1)
2)
3)х
у
z
О
а
в
с Ах
Ау
Аz
А(а;в;с)
а =
(а;в;с)
5.
Якщо О – початок
координат, а
числа
a, b, c- координати
точки А, то ці
числа є
координатами
вектора

2.  1. Для будь-яких векторів
 1)
 2)
1) Як би не були розміщені в
просторі точки А, В, С, D завжди
2) Правило паралелепіпеда
3. Модулем (абсолютною величиною)
вектора називається довжина відрізка,
яким задається вектор. Якщо
, то
 Модуль будь-якого ненульового вектора -
число додатне.
 Модуль нульового вектора дорівнює нулю:


 4. Два ненульові вектори називають
колінеарними, якщо вони
співнапрямленні або протилежно
напрямлені
 5.Ненульові вектори колінеарні
тоді і тільки тоді, коли їх
координати пропорційні, тобто
2.
A
BC
D
A1
B1
C1
D1
,
Види
колінеарних
векторів
співнапрямлені протилежно
напрямлені
рівні протилежні

3.  1. Три ненульові вектори називають компланарними , якщо напрямлені
відрізки, які їх зображають , лежать в одній площині або в паралельних
площинах.
 2. Будь – який вектор простору можна розкласти за трьома даними
некомпланарними векторами.
 Нехай дано три некомпланарні вектори .
 Якщо ці три одиничні вектори та довільний вектор
 АС1 відкласти від однієї точки А , то за трьома
 напрямами одиничних векторів і напрямленим
 відрізком АС1 можна побудувати паралелепіпед з
 діагоналлю АС1. Зав жди можна визначити таку трійку дійсних чисел k1, k2, k3 , що
 , , .
 Тоді .
 Вважають, що даний вектор розкладено за трьома
некомпланарними векторами.
A1
A
BC
D
B1
C1
D1

4. 1.Кутом між двома
ненульовими
векторами називають
кут між відповідними їм
напрямленими
відрізками, які виходять
з однієї точки.
Кут між
векторами
2. Кут між протилежно
напрямленими
векторами дорівнює
180˚ , а між
співнапрямленими - О˚.
3.Скалярним добутком
двох ненульових
векторів називається
добуток модулів цих
векторів на косинус
кута між ними.
Якщо кут між векторами
дорівнює , то їх
скалярний добуток
дорівнює:
4. Скалярний добуток
векторів і
дорівнює :
5. Якщо кут між
ненульовими
векторами дорівнює
90˚, то їх скалярний
добуток дорівнює 0,
бо сos 90˚=0.
Умова
перпендикулярності
двох векторів:
Два ненульові
вектори
перпендикулярні тоді
і тільки тоді, коли їх
скалярний добуток
дорівнює нулю.
А В
С
α