Downloaded 99 times
More Related Content
опорні факти геометрія 9 клас
- 1. 1 Опорні факти Геометрія9 клас Косинусом, синусом кута α (00 ≤ α ≤ 1800 ) називають відповідно абсцису х і ординату у точки М одиничного півкола, яка відповідає куту α. 0 ≤ sin α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1 Формули зведення sin(900 – α) = cos α cos(900 – α) = sin α tg(900 – α) = ctg α ctg(900 – α) = tg α sin(1800 – α) = sin α cos(1800 – α) = - cos α tg(1800 – α) = - tg α ctg(1800 – α) = - ctg α Формули sin2 α + cos2 α = 1 2 cos1sin 2 sin1cos cos sin tg sin cos ctg 2 2 cos 1 1 tg 2 2 sin 1 1 ctg tgα ∙ ctgα = 1 α < α/ → C є BD ADAC BDAB BDBC coscos / AC AB AD AB 300 450 600 sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 2 3 2 2 2 1 tg α 3 1 1 3 ctg α 3 1 3 1 якщо α ↑, то cos α ↓ якщо α ↑, то sin α ↑ корінь квадратний з номеру стовпчика поділити на 2 sin cos cos sin ctg tg
- 2. 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cosα 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 -1 tg α 0 3 1 1 3 - 3 -1 3 1 0 ctg α - 3 1 3 1 0 3 1 -1 3 - Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику cc bah 2 cbb c 2 caa c 2 Теотема1: (теорема косинусів)Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинус кута між ними. a2 = b2 + c2 – 2bc∙cosα Теорема 2 (наслідок з теореми косинусів) Нехай а, b і с – сторони трикутника, причому а – його найбільша сторона. Якщо a2 < b2 + c2 , то трикутник є гострокутним. Якщо a2 > b2 + c2 , то трикутник є тупокутним. Якщо a2 = b2 + c2 , то трикутник є прямокутним. Теорема 3: Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін. Формула медіани трикутника cbb caa bah c c cc середнє геометричне або середнє пропорційне
- 3. 3 ab cba ac bca bc acb 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 Формули для визначеннякутів трикутника за трьома сторонами. Теорема 4: (теорема синусів) Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. sinsinsin cba Лема: Хорда кола дорівнює добутку діаметра на синус будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду. Наслідок. Радіус описаного кола трикутника можна обчислити за формулою sin2 a R , де а – сторона трикутника, α – протилежний їй кут. 1. Висоти не прямокутного трикутника АВС перетинаються в точці Н. Радіуси кіл описаних навколо трикутників АНВ, ВНС, АНС, АВС – рівні. Теорема 5: (формула Ейлера) Відстань d між центрами вписаного і описаного кіл трикутника обчислюється за формулою RrRd 22 , де r і R - відповідно радіуси його вписаного і описаного кіл. 2. (теорема тангенсів) Відношення суми двох сторін трикутника до їх різниці дорівнює відношенню тангенсів півсуми протилежних кутів до тангенса піврізниці тих самих кутів. 2 2 tg tg ba ba
- 4. 4 3. (теорема Стюарта) 4.(формули Мольвейде) Так називаються дві пропорції, що являють собою відношення суми й різниці двох сторін трикутника до третьої сторони: 2 cos 2 sin ; 2 sin 2 cos c ba c ba Розв’язування трикутників Розв’язати трикутник – це знайти невідомі сторони і кути за відомими його сторонами і кутами. 1. Розв’язування трикутників за стороною і двома кутами 1) за двома відомими кутами знайти величину третього кута; 2) за теоремою синусів з відношень sinsinsin cba знайдіть значення невідомих сторін трикутника. 2. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними 1) за теоремою косинусів знайдіть невідому (третю) сторону трикутника; 2) з теореми косинусів знайдіть косинуси (двох інших ) невідомих кутів.
- 5. 5 3. Розв’язування трикутниківза двома сторонами і кутом, протилежним одній із них 1) за теоремою синусів знаходимо кут протилежний другій відомій стороні; 2) за теоремою про суму кутів трикутників знаходимо третій кут; 3) за теоремою синусів знаходимо третю невідому сторону. 4. Розв’язування трикутників за трьома сторонами Якщо виконується нерівність трикутників, за теоремою косинусів: cos2 cos2 cos2 222 222 222 abbac accab bccba Теорема 6: Площа трикутника дорівнює пів добутку двох його сторін і синуса кута між ними sin 2 1 abS Теорема 7: (формула Герона) Площу S трикутника АВС можна обчислити за формулою cpbpappS , де a, b, c – сторони трикутника, р – його півпериметр. Теорема 8: Площу S трикутника АВС можна обчислити за формулою R abc S 4 , де a, b, c – сторони трикутника, R – радіус описаного кола трикутника АВС. 5. Формула радіуса кола описаного навколо трикутника S abc R 4
- 6. 6 Теорема 9: Площатрикутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола: prS 6. Формула радіуса кола вписаного в трикутник cba S r 2 Теорема 10: Площа описаного многокутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола: prS Теорема 11: Площу S паралелограма можна обчислити за формулою sinabS , де a, b – сусідні сторони паралелограма, α – кут між ними. Теорема 12: Площа опуклого чотирикутника дорівнює пів добутку його діагоналей і синуса кута між ними. 7. Площу трикутника модна обчислити за формулою sinsinsin2 2 RS 8. cossin22sin 9. abS 2 1 , S – площа трикутника, a, b – довжини його сусідніх сторін. 10. Довжину бісектриси трикутника АВС можна обчислити за формулою cb bc la 2 cos2
- 7. 7 Многокутник називають правильним,якщо у нього всі сторони і всі кути рівні. Теорема 13: Правильний многокутник є опуклим многокутником. Теорема 14: Будь-який правильний многокутник є одночасно вписаним і описаним, причому центри його описаного і вписаного кіл збігаються. Формули радіусів вписаних та описаних кіл в правильний п-кутник n tg a r n a R n n n n 00 180 2 ; 180 sin2 Формула для обчислення довжини кола C = 2πR (R – радіус кола) Формула для обчислення довжини дуги кола 0 0 180 Rn l Формула для обчислення площі круга 2 RS Формула для обчислення площі сектора 0 02 360 nR S n = 3 n = 4 n = 6 R 3 3a 2 4a 6a r 32 3a 2 4a 2 36a
- 8. 8 Декартові координати наплощині А(х1; у1), В(х2; у2) Відстань між точками: 2 12 2 12 yyxxd Координата середини відрізка, С є АВ, С(х0; у0) 2 ; 2 21 0 21 0 yy y xx x Координата точки, що ділить відрізок у відношенні С є АВ, АС : СВ = λ, С(х0; у0) 1 ; 1 21 0 21 0 yy y xx x 11. Точки А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3) є вершинами трикутника АВС. Координата точки М(х; у) перетину медіан цього трикутника обчислюється за формулою 3 ; 3 321321 yyy y xxx x . Рівняння кола: 222 Rbyax (О(a; b) – центр кола, R – радіус кола) Рівняння еліпса: 12 2 2 2 b y a x (a >b, a2 – b2 = c2 ) Рівняння гіперболи: 12 2 2 2 b y a x (b2 = c2 – a2 ) Рівняння прямої: cbyax Рівняння Значення а, b, с Графік cbyax b ≠ 0, а, с – будь-які невертикальна пряма cbyax b = 0, a ≠ 0, с – будь-яке вертикальна пряма cbyax a = b = c = 0 уся координатна пряма cbyax a = b = 0, c ≠ 0 порожня множина Рівняння прямої: bkxy (k – кутовий коефіцієнт) tgk , α – кут, який утворює пряма з додатним напрямом осі абсцис.
- 9. 9 12. Якщо пряміy = k1x + b1, y = k2x + b2 паралельні, то k1 = k2, b1 ≠ b2. Теорема 13: Прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2 є паралельними тоді і тільки тоді, коли k1 = k2, b1 ≠ b2 13. Якщо α < 900 , то k > 0. 14. Якщо α > 900 , то k < 0. 15. Рівняння прямої з даним кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку М(х0; у0) 00 yxxky 16. Рівняння прямої, яка проходить через задані точки А(х1; у1), В(х2; у2) 12 1 12 1 yy yy xx xx Теорема 14: Прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2 перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k1k2 = - 1 . 17. Відстань від точки М(х0; у0) до прямої , заданої рівнянням ах + by + c = 0, обчислюється за формулою 22 00 ba cbyax q 18. (формула Лейбніца) Нехай медіани трикутника АВС перетинаються в точці М. Для довільної точки Х виконується рівність ХА2 + ХВ2 + ХС2 = МА2 + МВ2 + СМ2 + 3ХМ2 19. ГМТ, різниця квадратів відстаней від яких до двох даних точок А і В є величиною сталою.