.

1. Група дослідники
Керівник:
Вчитель математики
Х. Чепіль

2. … природа формулює
свої закони мовою
математики
Галілео Галілей

3. Вона допомогла людям описати такі
процеси, як радіоактивний розпад, розмноження
бактерій, утворення нейронів у ланцюговій реакції.
Без неї не були б розв’язані задачі про зміну
атмосферного тиску, приріст деревини.
І навіть сума вашого внеску до банку
підлягає закону, який описується цією функцією.
Ви прагнете бути активним учасником
сучасного життя? Тоді група дослідників
докладніше знайомить вас із темою
«Показникова функція» та її практичним
застосуванням!!!
Реклама

4. Наші завдання
 дослідити, чи має практичне
застосування показникова функція в житті
людини;
 показати, що в природі та науці
пов’язане з показниковою функцією;
 результати роботи оформити у вигляді
презентації.

5. В житті нерідко доводиться зустрічатися з такими
фактами, коли швидкість зміни деякої величини
пропорційна самій величині. В цьому випадку дана
величина буде змінюватися по закону, що має
вигляд:
у = у0ах
За допомогою показникової функції описуються
процеси природного зростання чи спадання.
Показникова функція дуже часто реалізується в
фізичних, біологічних та інших законах.
Закон показникової
функції

6. Коли радіоактивна речовина розпадається,
її кількість зменшується. Через деякий час
залишиться половина початкової кількості
речовини. Цей проміжок часу Т називається
періодом напіврозпаду речовини. Через t
років маса М речовини буде дорівнювати
М = М0(1/2)t/T
де М 0 – початкова маса речовини. Чим
більший період напіврозпаду, тим повільніше
розпадається речовина.
Радіоактивний розпад

7. Процеси, в яких величина
зменшується за рівні
проміжки часу в одному і
тому ж відношенні, називають
процесами органічного
спадання.
РАДІОАКТИВНИЙ
РОЗПАД
Явище радіоактивного
розпаду використовується
для визначення віку
археологічних знахідок,
наприклад, визначено
приблизний вік Землі, біля 5,5
млрд років, для підтримки
еталону часу.

8. Атомна енергетика
Задача
Через який час після аварії кількість
радіоактивних атомів Цезія-137 зменшиться у
128 разів? Період піврозпаду Т=30 років.
Розв’язання. Радіоактивний розпад даного
елемента описує рівняння
𝑵 𝟎
𝑵
= 𝟐
𝒙
𝑻.
𝟐
𝒙
𝟑𝟎 = 𝟏𝟐𝟖,
𝟐
𝒙
𝟑𝟎 = 𝟐 𝟕
,
𝒙
𝟑𝟎
= 𝟕,
𝒙 = 𝟐𝟏𝟎.
Відповідь: 210 років.

9. “Математичні методи стають
не тільки методами,
які використовуються в механіці,
фізиці, але загальними методами
для всієї науки в цілому”

10. Задача
Чому дорівнює маса йоду, в кінці 4 діб з початку
спостереження, якщо в початковий момент його
маса складала 1 г.
T
t
mm 






2
1
0
m0 =1 г маса в
початковий момент
t = 4 доби
T = 8 діб
m – ?
гm 70
2
1
2
1
1
2
1
8
4
,












Відповідь: маса йоду 0,7 грама

11. Задача
Перший міжнародний еталон радію був
виготовлений Марією Кюрі в серпні 1911 року, і
складав 16,74 мг чистого радію. Яка кількість
радію міститься в еталоні в 1991 року?
T
t
mm 






2
1
0
m0 =16,74 мг
T = 1600 років
t – час який пройшов
після 1911 р.
m – ?
мгm 1716
2
1
7416
1600
80
,, 






Відповідь: маса радію 16,17 мг.

12. http://linda6035.ucoz.ru/
Задача про парашутиста
При падінні тіл в безповітряному просторі
їх швидкість неперервно зростає. При падінні
тіл в повітрі швидкість падіння також зростає,
але не може перевищити визначеної
величини. Розглянемо задачу про падіння
парашутиста. Якщо вважати, що сила опору
повітря пропорційна швидкості падіння
парашутиста, тобто F = kV, то через t секунд
швидкість падіння буде дорівнювати:
V = mg/k (1- e-kt/m),
де m – маса парашутиста.
Через деякий проміжок часу
e-kt/m стане дуже маленьким
числом і падіння стане майже рівномірним.

13. http://linda6035.ucoz.ru/
Коливання маятника
Якщо при коливаннях маятника
не нехтувати опором повітря,
то амплітуда коливань стає все меншою,
коливання затухають. Відхилення точки, що
здійснює затухаючі коливання, виражається
формулою:
S = Ae-kt sin(ωt + φ0).
Оскільки множник e-kt
зменшується з плином часу,
то розмах коливань стає все
меншим і меншим.

14. Астрономія
Багато складних математичних задач доводиться
розв’язувати в теорії міжпланетних подорожей. Одною з
них є задача про визначення маси палива, необхідної
для надання ракеті потрібної швидкості V. Ця маса М
залежить від маси m самої ракети (без палива) і від
швидкості V0, з якою продукти горіння витікають з
ракетного двигуна. Якщо не враховувати опір повітря і
земне тяжіння, то маса палива обчислюється за
формулою:
M = m(ev/v0 – 1)
(формула К.Е. Ціолковського)

15. Задача про
чайник
Якщо зняти киплячий чайник з вогню, то
спочатку він швидко охолоджується, а потім
зниження температури йде набагато
повільніше.
Справа в тому, що швидкість охолодження
пропорційна різниці між температурою
чайника і температурою навколишнього
середовища. Чим меншою стає
ця різниця, тим повільніше
охолоджується чайник.
ПОБУТ

16. Якщо спочатку температура чайника дорівнювала Т0,
а температура повітря – Т1, то через t секунд
температура чайника виразиться формулою:
Т = (Т1 – Т0)е-kt + Т1,
де k – число, що залежить форми чайника,
матеріалу, з якого він зроблений та кількості
води, що в ньому знаходиться.

17. Банк – таке місце, де вам позичають парасольку в ясний
день, а потім вимагають повернути, коли починається
дощ.
Р. Фрост
А = А0(1+р/100)t
де А — шукана величина, А0 — початковий вклад, p — річний відсоток, t
— розрахунковий термін.
Приріст капіталу в банку
здійснюється за законом
природного зростання. Всім
відома формула складних
відсотків:

18. Економіка
Задача. Вкладник поклав на рахунок 1500 грн. Яка сума буде в нього через
5 років, якщо відсоткова ставка 10% річних.
.,
;,;%
роківnчерезвкладникотримаєякусумаS
вкладниквнісякусумаSрічнихбанкнараховуєp
n
SpS
n
n








100
1
В загальному вигляді задачу можна розв’язати за
формулою:
𝑺 𝒏 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟏 +
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟓
= 𝟏𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟏, 𝟏 𝟓 =
𝟐𝟒𝟏𝟓, 𝟕𝟕грн
Відповідь: 2415,77 гривень.

19. Медицина
N=N0akх, де N –
кількість бактерій після
розмноження, N0 –
початкова кількість
бактерій, х – час
розмноження, k і a –
деякі сталі

20. Біологія
Задача
Прикладом швидкого розмножування бактерій є виготовлення
дріжджів, під час якого по мірі росту бактерій проводиться відповідне
додавання цукрової маси. Знайти масу дріжджів, якщо початкова маса
складає 10 кг, а тривалість процесу 9 год.
m0 – початкова маса
дріжджів
t – час бродіння в
годинах
m – маса дріжджів в
процесі бродіння
Збільшення маси дріжджів
виражається формулою
показникової функції:
t
mm 210
,
кгm 6512110 9
,, 
Відповідь: маса отриманих дріжджів 51,6 кг

21. Задача про розмноження
водяних лілій
Припустимо, що в деякому великому ставку щоденно
подвоюється кількість водяних лілій. Якщо спочатку було 5
водяних лілій, скільки їх буде через 1, 2, 3, 5, 10 днів? Подай
загальну формулу для кількості Аn водяних лілій через n днів.
Скільки б їх стало через 30, 60 днів, якби ставок був достатньо
великим?
Розвязання.
Через 1 день: 5*2 = 10 = А1. Через 2 дні: 5*2*2 = 20
= А2.
Через 3 дні: 5*2*2*2 = 40 = А3 Через 5 днів: 5*25 = 160
= А5.
Через 10 днів: 5*210 = 5120 = А10 Через n днів: 5*2 = 10 n
= А nє
А30 = 5.37*109
А60 =5.76*1018
Біологія

22. Екологія
Приріст деревини
Дерево росте так, що кількість деревини в початковий
момент збільшується з часом за законом:
m=m 0 a k t
де m 0 – кількість деревини в початковий
момент, k – деяка постійна, t – час у роках,
(М=М0(5,3)2,1х – для дуба і М=М0(2,7)1,3х –
для сосни).

23. Географія
«Без знань математики не
можна зрозуміти ні основ
сучасної техніки, ні того, як
вчені вивчають природні і
соціальні явища»
А.М. Колмогоров

25. Географія
Задача. Обчислити яким буде
атмосферний тиск на вершині
Ельбрусу, висота якого 5,6 км, якщо
залежність атмосферного тиску p від
висоти (вираженої у кілометрах) h над
рівнем моря виражається формулою:
 87,276
h
p 
  ..,,
,
стртммp 92377276 8
65

На вершині Ельбрусу

26. Географія
Задача. Альпіністи, які підкорювали пік
Перемоги, досягли висоти, де тиск був рівний
304 мм рт. ст. Обчислити на якій висоті
находяться альпіністи, якщо p0 = 760 рт. ст.
p
p
h 0
43430
8000
lg
,

Висота над рівнем моря обчислюється за формулою:
p0 – тиск над рівнем моря;
p – тиск на висоті h м.
мh 27330
304
760
43430
8000
,lg
,

Пік Перемоги

27. Ріст населення
де N0 – кількість людей при t = 0,
N – кількість людей в момент часу t,
а, e – постійні величини.
Зміна кількості людей в країні за
великий проміжок часу t
описується формулою:
N = N0eat

28. Географія
Задача. Якою була чисельність населення міста 10 років тому, якщо в даний
час проживає 300 тис. чоловік, а щорічний приріст населення складає 3,5%.
n
p
aA 






100
1 a – чисельність населення 10 років тому назад;
A – 300 тис. чоловік; x – 10 років; p – 3,5%.
  чоловіктисaaa .,
,
,
,
7212
0351
300
0351300
100
53
1300 10
10
10







Відповідь:
Чисельність населення 10 років тому 212,7 тис.
чоловік

29. Географія
Задача. Населення міста зростає щорічно на 3%. Через скільки років
населення міста збільшиться у 5 разів.
Застосуємо формулу
складних відсотків:
n
p
aA 






100
1
a – населення міста
A – 1,5 a
x – кількість років
51031
100
3
151
100
3
151 ,),(,, 











 x
xx
aa
прологарифмуємо
14
128
1761
01280
17610
031
51
51031


,
,
,lg
,lg
,lg,lg
x
xx
Відповідь:
приблизно через 14 років

30. Виробництво
«Перш за все, візьмемо математику. Спільний відділ її,
який має справу з цифрами дає допомогу у всій
промисловості»
Г.Спенсер

31. Виробництво
Задача.
Вартість обладнання дорівнює 500 тис. грн. Відомо, що через 10
років вартість цього обладнання внаслідок амортизації буде рівна
200 тис. грн. Знайти відсоток щорічної амортизації обладнання.
n
n
p
BB 






100
10
B0 = 500 тис. грн
n =10 років
Bn = 200 тис. грн
 
%,
,
,
,,
,
,
,
768
010
401
010140
0101
5
2
100
1500200
10
10
10
10












p
p
p
p
Відповідь: щорічний процент амортизації 8,76%.

32. Виробництво
Задача 1.
Обчислити вартість обладнання в гривнах через 5 років, якщо його
початкова вартість 4,68∙105 грн, а щорічний відсоток амортизації 5,7%.
Вартість обладнання
через n років можна
знайти за формулою:
n
n
p
BB 






100
10
B0 - початкова вартість
p – щорічний процент
амортизації
Bn – вартість обладнання
через n років
грнBn
5
5
5
10493
100
75
110684 





 ,
,
,

33. Виробництво
Задача 3.
Ділянка лісництва складає 65000 м3 лісу. Скільки буде лісу на цій
ділянці через 10 років, якщо його щорічний приріст складає в
середньому 2%.
n
p
AS 






100
1
S - результат
A – початкова к-ть товару
p – відсоток збільшення
n – кількість років
3
10
467923
100
2
16500 мS ,






Відповідь: 7923,46 м3.

34. ХіміяЗадача
На скільки градусів треба
підвищити температуру
для прискорення хімічної
реакції в 5900 раз, якщо
швидкість реакції зростає
в геометричної прогресії
зі знаменником, що
дорівнює 3 при
підвищенні температури
на кожні 100.
Розв’язання
Відповідь:
Потрібно підвищити температуру на 100° для
прискорення хімічної реакції
10
47710
77094
3
5900
59003
59003
59003




,
,
lg
lg
lg
lglg
x
x
x
x
oo
x 10010 

35. Хімія
Задача про
вакуумування
Під час вакуумування кінцевий тиск пов'язаний з
початковим тиском співвідношенням
де р2 — кінцевий тиск, мм рт. ст.;
р1 — початковий тиск, мм рт. ст.; R — об'єм, що
підлягає відкачуванню, cm3; Q— об'єм газу, що
відкачується насосом за один оберт, см3;
n — кількість
обертів насоса, об/хв;
t — час вакуумування, хв.

36. Висновки
Показникова функція – не абстракція,
оскільки в багатьох галузях людської
діяльності відбуваються процеси,
протікання яких проходить за законом
показникової функції;
Практичне застосування показникової
функції ми показали шляхом розв’язування
конкретних задач;
Отримані знання допоможуть випускникам у
виборі майбутньої професії.

37. Дякуємо за увагу!