1. Роботу виконала
учениця 11 А класу
Харківського ліцею №149
Михайлова Катерина
2013р.

2. Визначення
Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона
існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту
аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і
позначається f'(x0).
Похідна позначається:

3. Геометричний зміст похідної
Похідна функції в даній
точці дорівнює тангенсу
кута
нахилу дотичної
до
функції
в
цій
точці f '(x ) = tg α = k.
Рівняння дотичної до
функції f(х) в
точці х записується
так: y=f(x )+f '(x )(x-x ).
0
0
0
0
0

4. Механічний (фізичний) зміст похідної
Коли задано функцію шляху S=S(t) то перша
похідна від неї за часом дасть функцію
швидкості St'(t) = v(t).
Похідна від функції швидкості по часу дасть
функцію прискорення vt'(t) = a(t).
Друга похідна від шляху по часу рівна
прискоренню тіла в даний момент часу St''(t) =
a(t).

5. Похідні функцій можна знаходити користуючись
означенням. Але такий спосіб є не зручним, і тому
на
практиці
похідні
знаходять
користуючись таблицею похідних. Якщо u, v диференційовні
функції, С стала,
то правила диференціювання записуються так:

6. Похідні основних елементарних функцій:
(C)' = 0, де С - деяка стала;
(x)' = 1;
(ex)' = ex;
(xn)' = n•xn - 1;
(sin x)' = cos x;
(cos x)' = -sin x.

7. Таблиця похідних

8. Застосування похідної для дослідження
функцій
Якщо y'(x) > 0, то функція зростає.
Якщо y'(x) < 0, то функція спадає.
Якщо y'(x) = 0 (або не існує), то в точці x =
x0 знаходиться екстремум функції (максимум
або мінімум).

9. Похідна складеної функції
Нехай
задано
функції y=f(t) і t=g(x).
підставимо другу функцію у першу.
Тепер
Означення.
Функція y=h(x)=f(g(x)) називається складеною
функцією (суперпозицією або композицією) функцій
відносно функцій f і g.
Наприклад, y=Sin2x – складена функція. Формула
для
знаходження похідної
складеної
функції записується так: (f(g(x)))'=f '(g(x))·g'(x).

10. Приклад із розв’язком
Знайти похідну складеної функції

11. Тренувальні вправи
1. Завдання на відповідність
1.
А.
Б.
2.
В.
3.
4.
Г.

12. 2. Знайдіть похідну функцій:
1.
5.
2.
6.
3.
4.
7.

13. Відео на тему похідні
показникової та
логарифмічної функції