Dokumen ini membincangkan pelbagai kaedah penyelesaian untuk integral trigonometri dan bentuk tertentu, termasuk penggunaan substitusi dan formula integral parsial. Terdapat juga contoh-contoh langkah demi langkah penyelesaian untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam. Kaedah yang dibentangkan direka untuk membantu dalam menyelesaikan integral yang kompleks dengan menggunakan teknik yang sesuai.

1. Bentuk
∫ sin mx cos nx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cos nx dx
• Untuk menyelesaikan integral tersebut, gunakan
persamaan berikut:
1
[ sin ( m + n ) x + sin ( m − n ) x]
sin mx cos nx =
2
1
sin mx sin nx = − [ sin ( m + n ) x − cos( m − n ) x ]
2
1
cos mx cos nx = [ cos( m + n ) x + cos( m − n ) x ]
2

2. Bentuk
n
ax + b
• Apabila di dalam integral terdapat bentuk tersebut
maka substitusikan:
u = n ax + b

3. Bentuk
2
2
a −x ,
2
a +x
2
, dan
x2 − a2
• Integral bentuk a 2 − x 2 , substitusi dengan
sehingga a 2 − x 2 = a cos t
x = a sin t
• Integral bentuk a 2 + x 2 , substitusi dengan
sehingga
a 2 + x 2 = a sec t
x = a tan t
• Integral bentuk x 2 − a 2 , substitusi dengan
sehingga
x 2 − a 2 = a tan t
x = a sec t

4. Integral Parsial
Formula integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫ vdu
Note: pilih u yang turunannya lebih sederhana

5. • Contoh 1:
∫
xe x dx = 
penyelesaian:
u=
misal
x
du = dx
∫
dv = e x dx
v = e x dx = e x
sehingga
∫
∫
xe x dx = x e x − e x dx = x e x − e x + C

6. Contoh 2:
∫
x 2 sin x dx = 
penyelesaian:
(i) Misal u =
x2
du = 2 x dx
dv = sin x dx
v = − cos x
du = dx
(ii) misal u = x
dv = cos x dx
v = sin x
x 2 sin x dx = − x 2 cos x + 2∫ x cos x dx
∫
= − x 2 cos x + 2( x sin x − ∫ sin xdx )
= − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + c

7. Contoh 2:
∫
x 2 sin x dx = 
penyelesaian:
(i) Misal u =
x2
du = 2 x dx
dv = sin x dx
v = − cos x
du = dx
(ii) misal u = x
dv = cos x dx
v = sin x
x 2 sin x dx = − x 2 cos x + 2∫ x cos x dx
∫
= − x 2 cos x + 2( x sin x − ∫ sin xdx )
= − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + c