Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Power point ini saya upload guna membantu siswa - siswi belajar Sistem PertidaksamaanDua Variabel, juga bagi Bapak Ibu Guru yang mengajar matematikadi SMA,.. semoga bermanfaat... :)
Himpunan fungsi-fungsi yang ada pada kita sekarang terdiri atas apa yang dinamakan fungsi-fungsi elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi eksponen, fungsi trigonometri dan bahkan fungsi trigonometri kebalikan, berikut fungsi-fungsi yang di peroleh dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan komposisi.
1. Soal Latihan dan Pembahasan
Integral
Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1
http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap
menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial
1
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu
meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di
SMA Negeri 3 Tasikmalaya
2. 1
Integral
1.
∫ ( 3x
2
)
− 4 x + 5 dx = ....
Jawab :
x3 − 2 x 2 + 5 x + c
2.
∫ 3
x+
1
+ 6 dx = .....
x
Jawab :
−
∫ 3x 2 + x 2 + 6 dx = 3. 23 x 2 + 2 x 2 + 6 x + c = 2 x x + 2 x + 6 x + c
1
3.
∫ sin
2
1
∫ (6x
2
)
+ 10 x − 4 dx = 2 x 3 + 5 x 2 − 4 x + c
x cos x dx = ....
Jawab :
Misal u = sin x ⇒ du = cos x dx
∫u
5.
3
∫ ( 3x − 1)( 2 x + 4) dx = .....
Jawab :
4.
1
2
du =
1
3
u3 + c =
1
3
sin 3 x + c
∫ 2 x sin x dx = .....
Jawab :
Diferensial
2x
2
0
∫ 2 x sin x dx =
Integral
Sin x
-cos x
-sin x
− 2 x cos x − (− 2 sin x ) + c = 2 sin x − 2 x cos x + c
3. 2
2
6.
∫ ( 3x
2
)
− 3 x + 7 dx = ....
0
Jawab :
1
7.
∫
0
[x
3
−
3
2
]
2
x 2 + 7 x 0 = (8 − 6 + 14) − (0 − 0 + 0) = 16
1
f ( x) dx = 2 dan ∫ 2 f ( x ) dx = 2 maka
2
2
∫
f ( x) dx = .....
0
Jawab :
1
∫
1
2 f ( x) dx = 2 ⇔
2
∫
f ( x) dx = 1
2
2
1
∫
f ( x) dx =
0
∫
2
f ( x) dx +
0
∫
1
f ( x ) dx =
1
∫
1
f ( x) dx −
0
∫
f ( x) dx = 2 − 1 = 1
2
8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu X dan garis x = 5 !
Jawab : Y
5
X
∫ 4 x dx = [2 x ]
5
L=
2 5
0
= 50
0
9.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = − x 2 + 2 x dan sumbu X untuk 0 ≤ x ≤ 3
Jawab :
Y
2
2
L=
∫ (−
0
)
x + 2 x dx −
2
3
3
∫ (−
2
X
)
[
x + 2 x dx = −
2
2
1
3
x + x
3
2
] − [−
0
1
3
x3 + x2
]
3
2
= 22
3
4. 3
10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 − 6 x
Jawab :
dan sumbu X !
Y
0
3
6
X
-9
6
(
)
2
Cara I : L = − ∫ x − 6 x dx = −
[
1
3
]
6
x 3 − 3x 2 0 = − (72 − 108) = 36
0
2
2
2
2
Cara II : yatas − ybawah = 0 − ( x − 6 x) = − x + 6 x ⇒ D = b − 4ac = 6 − 0 = 36
D D 36 36
=
= 36
6a 2
6.(− 1) 2
2
2
Cara III : L = 3 pl = 3 .6.9 = 36
L=
11. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6 x − x 2 dan y = x 2 − 2 x
Jawab :
y2 − y1 = (6 x − x 2 ) − ( x 2 − 2 x) = − 2 x 2 + 8 x
D = 64 − 0 = 64
L=
12.
64 64 64
=
6.(− 2) 2
3
Y
Jika luas yang diarsir 32, maka tentukan ordinat
Puncak parabola !
X
4
Jawab :
L=
32 =
2
3
pl
2
3
.4 y ⇔ y = 12
5. 4
13. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 3 , sumbu
X dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
Jawab :
Y
X
2
2
V = π ∫ ( x 3 ) 2 dx = π
0
2
∫x
6
dx = π
[ x]
1
7
7 2
0
0
=
128
π
7
14. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabola
y = x2 ,
y = 4 x 2 dan y = 4 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 !
Y
Jawab :
4
X
4
V = π ∫ ( y) − (
2
4
y ) dy = π
2
1
2
0
4
∫ y−
1
4
y dy = π
0
∫
3
4
y dy = π
[ y]
3
8
2 4
0
= 6π
0
15. ∫ x x dx = ......
Jawab :
∫
16.
∫
x
1 − x2
3
x 2 dx =
2
5
5
x2 + c =
2
5
x2 x + c
dx = ......
Jawab :
1 − x 2 = u ⇒ − 2 x dx = du ⇔ x dx = − 1 du
2
∫
x
1 − x2
dx =
−
1
∫ u 2. −
1
2
1
du = − 1 .2u 2 + c = − u + c = − 1 − x 2 + c
2
6. 5
17.
∫
12 x
2 x2 + 3
dx = ......
Jawab :
2 x 2 + 3 = u ⇒ 4 x dx = du ⇔ 12 x dx = 3 du
1
12 x
−1
dx = ∫ u 2 .3 du = 3.2u 2 + c = 6 2 x 2 + 3 + c
∫ 2 x2 + 3
18.
∫
18 x 2
2 x3 + 8
dx = .....
Jawab :
2 x 3 + 8 = u ⇒ 18 x 2 dx = 3 du
−
1
3
∫ u 2 .3 du = 6 2 x + 8 + c
19. ∫ x ( x + 4) 5 dx = ......
Jawab :
Diferensial
x
Integral
( x + 4)5
1
1
6
( x + 4)6
0
=
1
6
1
42
( x + 4) 7
x( x + 4)6 −
1
42
( x + 4)7 + c =
1
21
(3 x − 2)( x + 4) 6 + c
20. Jika f ‘(x) = 8x – 2 dan f(5) = 36 maka tentukan f(x) !
Jawab :
f ( x) =
∫ ( 8x − 2) dx =
4x2 − 2x + c
f (5) = 4.52 − 2.5 + c = 36 ⇔ c = − 54
f ( x ) = 4 x 2 − 2 x − 54
21. Diketahui f ‘(x) = (x+1)(x+2). Jika f(-3) = -3/2 maka tentukan f(x) !
Jawab :
f ( x) =
∫ (x
2
)
+ 3 x + 2 dx =
f (− 3) = − 9 +
27
2
f ( x) =
3
2
1
3
x3 +
− 6+ c = −
x2 + 2x
1
3
3
2
x2 +
3
2
x2 + 2x + c
⇔ c= 0
7. 6
22. Diketahui
dF
= ax + b, f (0) − f (− 1) = 3 dan f (1) − f (0) = 5 . Tentukan a+ b !
dx
Jawab :
f ( x) =
∫ (ax + b) dx =
a
2
x 2 + bx + c
f (0) − f (− 1) = 3 ⇒ (0 + 0 + c) − ( a − b + c) = 3 ⇔ − a + 2b = 6 ........(1)
2
f (1) − f (0) = 5 ⇒ ( a + b + c ) − (0 + 0 + c) = 5 ⇔ a + 2b = 10 ...........(2)
2
Dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan b = 4
Maka a + b = 6
23. ∫ sin ( 2 x − 3) dx = .......
Jawab :
2 x − 3 = u ⇒ dx =
∫ sin u.
24.
∫ (x
2
1
2
1
2
du
du = − 1 cos(2 x − 3) + c
2
)
+ 1 cos x dx = ......
Jawab :
Diferensial
Integral
cos x
sin x
-cos x
-sin x
x +1
2
2x
2
0
(
)
= x 2 + 1 sin x − ( − 2 x cos x) + (− 2 sin x) + c
= ( x 2 − 1) sin x + 2 x cos x + c
25. ∫ ( 3x + 1) cos 2 x dx = ......
Jawab :
Diferensial
3x+1
3
Integral
cos 2x
1
2
1
-4
0
sin 2 x
cos 2 x
=
1
2
(3 x + 1) sin 2 x − (− 3 cos 2 x ) + c
4
=
1
2
(3 x + 1) sin 2 x +
3
4
cos 2 x + c
8. 7
26. ∫ sin 3 x cos x dx = .......
Jawab :
sin x = u ⇒ cos x dx = du
∫ sin
3
∫u
x cos x dx =
3
du =
1
4
sin 4 x + c
a
27. Tentukan nilai a yang memenuhi
∫ (2 x − 1) dx =
6 dan a > 0 !
1
Jawab :
[
a
∫ (2 x − 1) dx =
]
a
6 ⇔ x 2 − x 1 = 6 ⇔ (a − 3)(a + 2) = 0 ⇒ a = 3
1
dF ( x)
11
= x 3 + x − 3 dan F (1) = −
28. Jika
maka tentukan
dx
20
2
∫
f ( x) dx
1
Jawab :
∫ (x
)
1
+ c
2 x2
1 1
11
3
F (1) = − + c = −
⇔ c= −
4 2
20
10
F ( x) =
2
3
+ x − 3 dx =
2
∫ F ( x) dx = ∫ (
1
29. Jika y =
1
3
1
4
x4 −
1
2
1
4
x4 −
x− 2 −
3
10
) dx = [
1
20
x5 +
1
2x
−
3
10
]
2
x1 = 1
1
(x
2
2
3
+
3
x
) maka ∫
dy
4 + dx = .......
dx
1
Jawab :
2
y=
1
3
x3 + x − 1 ⇒
2
2
1
2
=
2
dy
4 + dx =
dx
∫
∫ (x
1
2
)
(
dy
dy
2
−2
= x2 − x− 2 ⇒
= x − x
dx
dx
+ x − 2 dx =
∫
4+ x + x
4
−4
1
[
1
3
2
− 2 dx =
∫ (x
1
x3 −
]
1 2
x 1
=
17
6
2
)
2
= x4 + x− 4 − 2
+ x− 2
)
2
dx
9. 8
a
30. Jika
∫
b
13
2
x 2 dx =
0
3
, ∫ (2 x − 3) dx = 4 dan a, b > 0 maka tentukan nilai a 2 + 2ab + b 2
10 0
Jawab :
a
∫
1
2
2
x 3 dx =
0
5 a
3
3
⇔ 10 x 3 =
0
10
[
b
∫ (2 x − 3) dx =
3
10
]
5
a3 =
3
⇔ a=1
10
b
4 ⇔ x 2 − 3x 0 = 4 ⇒ b = 4
0
a 2 + 2ab + b 2 = 25
31. Diketahui
∫
f ( x) dx = ax 2 + bx + c dan a ≠ 0. Jika a, f(a), 2b membentuk barisan aritmetika
1
dan f(b) = b maka tentukan nilai ∫ f ( x) dx
0
Jawab :
f ( x ) = 2ax + b ⇒ f (a) = 2a 2 + b
6
2a + 1
a, f (a ),2b barisan aritmetika maka :
f (a) − a = 2b − f (a )
f (b) = 6 ⇒ 2ab + b = 6 ⇔ b =
2 f ( a) = a + 2b ⇒ 2( 2a 2 + b) = a + 2b ⇒ a =
1
∫
0
32.
Jawab :
1
f ( x) dx =
∫(
0
1
2
x + 4) dx =
[
1
4
]
1
x2 + 4x 0 =
17
4
1
4
⇒ b=
6
= 4
2. + 1
1
4