Dokumen ini berisi soal latihan dan pembahasan terkait integral, yang disusun oleh Yuyun Somantri dan didukung oleh portal edukasi gratis. Terdapat berbagai contoh soal integral yang mencakup penghitungan luas daerah, volume benda putar, dan perhitungan integral. Penulis menjelaskan langkah-langkah penyelesaian setiap soal serta hasil akhir dari setiap integral yang dihitung.

1. Soal Latihan dan Pembahasan
Integral
Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1
http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap
menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial
1
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu
meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di
SMA Negeri 3 Tasikmalaya

2. 1
Integral
1.
∫ ( 3x
2
)
− 4 x + 5 dx = ....
Jawab :
x3 − 2 x 2 + 5 x + c
2.

∫  3
x+
1

+ 6  dx = .....
x

Jawab :
−
∫  3x 2 + x 2 + 6  dx = 3. 23 x 2 + 2 x 2 + 6 x + c = 2 x x + 2 x + 6 x + c
1
3.
∫ sin
2
1
∫ (6x
2
)
+ 10 x − 4 dx = 2 x 3 + 5 x 2 − 4 x + c
x cos x dx = ....
Jawab :
Misal u = sin x ⇒ du = cos x dx
∫u
5.
3
∫ ( 3x − 1)( 2 x + 4) dx = .....
Jawab :
4.
1
2
du =
1
3
u3 + c =
1
3
sin 3 x + c
∫ 2 x sin x dx = .....
Jawab :
Diferensial
2x
2
0
∫ 2 x sin x dx =
Integral
Sin x
-cos x
-sin x
− 2 x cos x − (− 2 sin x ) + c = 2 sin x − 2 x cos x + c

3. 2
2
6.
∫ ( 3x
2
)
− 3 x + 7 dx = ....
0
Jawab :
1
7.
∫
0
[x
3
−
3
2
]
2
x 2 + 7 x 0 = (8 − 6 + 14) − (0 − 0 + 0) = 16
1
f ( x) dx = 2 dan ∫ 2 f ( x ) dx = 2 maka
2
2
∫
f ( x) dx = .....
0
Jawab :
1
∫
1
2 f ( x) dx = 2 ⇔
2
∫
f ( x) dx = 1
2
2
1
∫
f ( x) dx =
0
∫
2
f ( x) dx +
0
∫
1
f ( x ) dx =
1
∫
1
f ( x) dx −
0
∫
f ( x) dx = 2 − 1 = 1
2
8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu X dan garis x = 5 !
Jawab : Y
5
X
∫ 4 x dx = [2 x ]
5
L=
2 5
0
= 50
0
9.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = − x 2 + 2 x dan sumbu X untuk 0 ≤ x ≤ 3
Jawab :
Y
2
2
L=
∫ (−
0
)
x + 2 x dx −
2
3
3
∫ (−
2
X
)
[
x + 2 x dx = −
2
2
1
3
x + x
3
2
] − [−
0
1
3
x3 + x2
]
3
2
= 22
3

4. 3
10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 − 6 x
Jawab :
dan sumbu X !
Y
0
3
6
X
-9
6
(
)
2
Cara I : L = − ∫ x − 6 x dx = −
[
1
3
]
6
x 3 − 3x 2 0 = − (72 − 108) = 36
0
2
2
2
2
Cara II : yatas − ybawah = 0 − ( x − 6 x) = − x + 6 x ⇒ D = b − 4ac = 6 − 0 = 36
D D 36 36
=
= 36
6a 2
6.(− 1) 2
2
2
Cara III : L = 3 pl = 3 .6.9 = 36
L=
11. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6 x − x 2 dan y = x 2 − 2 x
Jawab :
y2 − y1 = (6 x − x 2 ) − ( x 2 − 2 x) = − 2 x 2 + 8 x
D = 64 − 0 = 64
L=
12.
64 64 64
=
6.(− 2) 2
3
Y
Jika luas yang diarsir 32, maka tentukan ordinat
Puncak parabola !
X
4
Jawab :
L=
32 =
2
3
pl
2
3
.4 y ⇔ y = 12

5. 4
13. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 3 , sumbu
X dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
Jawab :
Y
X
2
2
V = π ∫ ( x 3 ) 2 dx = π
0
2
∫x
6
dx = π
[ x]
1
7
7 2
0
0
=
128
π
7
14. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabola
y = x2 ,
y = 4 x 2 dan y = 4 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 !
Y
Jawab :
4
X
4
V = π ∫ ( y) − (
2
4
y ) dy = π
2
1
2
0
4
∫ y−
1
4
y dy = π
0
∫
3
4
y dy = π
[ y]
3
8
2 4
0
= 6π
0
15. ∫ x x dx = ......
Jawab :
∫
16.
∫
x
1 − x2
3
x 2 dx =
2
5
5
x2 + c =
2
5
x2 x + c
dx = ......
Jawab :
1 − x 2 = u ⇒ − 2 x dx = du ⇔ x dx = − 1 du
2
∫
x
1 − x2
dx =
−
1
∫ u 2. −
1
2
1
du = − 1 .2u 2 + c = − u + c = − 1 − x 2 + c
2

6. 5
17.
∫
12 x
2 x2 + 3
dx = ......
Jawab :
2 x 2 + 3 = u ⇒ 4 x dx = du ⇔ 12 x dx = 3 du
1
12 x
−1
dx = ∫ u 2 .3 du = 3.2u 2 + c = 6 2 x 2 + 3 + c
∫ 2 x2 + 3
18.
∫
18 x 2
2 x3 + 8
dx = .....
Jawab :
2 x 3 + 8 = u ⇒ 18 x 2 dx = 3 du
−
1
3
∫ u 2 .3 du = 6 2 x + 8 + c
19. ∫ x ( x + 4) 5 dx = ......
Jawab :
Diferensial
x
Integral
( x + 4)5
1
1
6
( x + 4)6
0
=
1
6
1
42
( x + 4) 7
x( x + 4)6 −
1
42
( x + 4)7 + c =
1
21
(3 x − 2)( x + 4) 6 + c
20. Jika f ‘(x) = 8x – 2 dan f(5) = 36 maka tentukan f(x) !
Jawab :
f ( x) =
∫ ( 8x − 2) dx =
4x2 − 2x + c
f (5) = 4.52 − 2.5 + c = 36 ⇔ c = − 54
f ( x ) = 4 x 2 − 2 x − 54
21. Diketahui f ‘(x) = (x+1)(x+2). Jika f(-3) = -3/2 maka tentukan f(x) !
Jawab :
f ( x) =
∫ (x
2
)
+ 3 x + 2 dx =
f (− 3) = − 9 +
27
2
f ( x) =
3
2
1
3
x3 +
− 6+ c = −
x2 + 2x
1
3
3
2
x2 +
3
2
x2 + 2x + c
⇔ c= 0

7. 6
22. Diketahui
dF
= ax + b, f (0) − f (− 1) = 3 dan f (1) − f (0) = 5 . Tentukan a+ b !
dx
Jawab :
f ( x) =
∫ (ax + b) dx =
a
2
x 2 + bx + c
f (0) − f (− 1) = 3 ⇒ (0 + 0 + c) − ( a − b + c) = 3 ⇔ − a + 2b = 6 ........(1)
2
f (1) − f (0) = 5 ⇒ ( a + b + c ) − (0 + 0 + c) = 5 ⇔ a + 2b = 10 ...........(2)
2
Dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan b = 4
Maka a + b = 6
23. ∫ sin ( 2 x − 3) dx = .......
Jawab :
2 x − 3 = u ⇒ dx =
∫ sin u.
24.
∫ (x
2
1
2
1
2
du
du = − 1 cos(2 x − 3) + c
2
)
+ 1 cos x dx = ......
Jawab :
Diferensial
Integral
cos x
sin x
-cos x
-sin x
x +1
2
2x
2
0
(
)
= x 2 + 1 sin x − ( − 2 x cos x) + (− 2 sin x) + c
= ( x 2 − 1) sin x + 2 x cos x + c
25. ∫ ( 3x + 1) cos 2 x dx = ......
Jawab :
Diferensial
3x+1
3
Integral
cos 2x
1
2
1
-4
0
sin 2 x
cos 2 x
=
1
2
(3 x + 1) sin 2 x − (− 3 cos 2 x ) + c
4
=
1
2
(3 x + 1) sin 2 x +
3
4
cos 2 x + c

8. 7
26. ∫ sin 3 x cos x dx = .......
Jawab :
sin x = u ⇒ cos x dx = du
∫ sin
3
∫u
x cos x dx =
3
du =
1
4
sin 4 x + c
a
27. Tentukan nilai a yang memenuhi
∫ (2 x − 1) dx =
6 dan a > 0 !
1
Jawab :
[
a
∫ (2 x − 1) dx =
]
a
6 ⇔ x 2 − x 1 = 6 ⇔ (a − 3)(a + 2) = 0 ⇒ a = 3
1
dF ( x)
11
= x 3 + x − 3 dan F (1) = −
28. Jika
maka tentukan
dx
20
2
∫
f ( x) dx
1
Jawab :
∫ (x
)
1
+ c
2 x2
1 1
11
3
F (1) = − + c = −
⇔ c= −
4 2
20
10
F ( x) =
2
3
+ x − 3 dx =
2
∫ F ( x) dx = ∫ (
1
29. Jika y =
1
3
1
4
x4 −
1
2
1
4
x4 −
x− 2 −
3
10
) dx = [
1
20
x5 +
1
2x
−
3
10
]
2
x1 = 1
1
(x
2
2
3
+
3
x
) maka ∫
 dy 
4 +   dx = .......
 dx 
1
Jawab :
2
y=
1
3
x3 + x − 1 ⇒
2
2
1
2
=
2
 dy 
4 +   dx =
 dx 
∫
∫ (x
1
2
)
(
dy
 dy 
2
−2
= x2 − x− 2 ⇒ 
 = x − x
dx
 dx 
+ x − 2 dx =
∫
4+ x + x
4
−4
1
[
1
3
2
− 2 dx =
∫ (x
1
x3 −
]
1 2
x 1
=
17
6
2
)
2
= x4 + x− 4 − 2
+ x− 2
)
2
dx

9. 8
a
30. Jika
∫
b
13
2
x 2 dx =
0
3
, ∫ (2 x − 3) dx = 4 dan a, b > 0 maka tentukan nilai a 2 + 2ab + b 2
10 0
Jawab :
a
∫
1
2
2
x 3 dx =
0
5 a
3
3
⇔  10 x 3  =

0


10
[
b
∫ (2 x − 3) dx =
3
10
]
5
a3 =
3
⇔ a=1
10
b
4 ⇔ x 2 − 3x 0 = 4 ⇒ b = 4
0
a 2 + 2ab + b 2 = 25
31. Diketahui
∫
f ( x) dx = ax 2 + bx + c dan a ≠ 0. Jika a, f(a), 2b membentuk barisan aritmetika
1
dan f(b) = b maka tentukan nilai ∫ f ( x) dx
0
Jawab :
f ( x ) = 2ax + b ⇒ f (a) = 2a 2 + b
6
2a + 1
a, f (a ),2b barisan aritmetika maka :
f (a) − a = 2b − f (a )
f (b) = 6 ⇒ 2ab + b = 6 ⇔ b =
2 f ( a) = a + 2b ⇒ 2( 2a 2 + b) = a + 2b ⇒ a =
1
∫
0
32.
Jawab :
1
f ( x) dx =
∫(
0
1
2
x + 4) dx =
[
1
4
]
1
x2 + 4x 0 =
17
4
1
4
⇒ b=
6
= 4
2. + 1
1
4