Dokumen ini menjelaskan sifat-sifat elips, termasuk fokus, sumbu utama dan sumbu minor, serta karakteristik matematis seperti persamaan elips dan eksentrisitas. Elips didefinisikan sebagai lokasi titik-titik yang jaraknya terhadap dua titik tetap adalah konstan. Penjelasan juga mencakup konsep garis singgung dan titik polar yang berkaitan dengan elips.

1. ELIPS
Tempat kedudukan titik-titik yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik
tertentu mempunyai nilai yang
tetap
Titik tertentu itu dinamakan
fokus atau titik api dari elips

2. F1
F2A1 A2

3. F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O
b
c
a
A2(a, 0)
B1(0, b)
B2(0, -b)
P(x, y)
Misal titik tersebut titik P, maka :
PF1 + PF2 = 2a

4. F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O
b
c
a
A2(a, 0)
B1(0, b)
B2(0, -b)
P(x, y)
Jika titiknya A2, maka :
A2F1 + A2F2 = 2a
(a + c) + (a – c) = 2a
2a = 2a

5. F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O
b
c
a
A2(a, 0)
B1(0, b)
B2(0, -b)
P(x, y)
Jika titiknya B1, maka :
222
22
22
2222
2111
22
2
2
acb
acb
acb
acbcb
aFBFB
=+
=+
=+
=+++
=+

6. PERSAMAAN ELIPS
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
Pusat O (0,0)

7. SUMBU SIMETRI
 Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2
disebut sumbu utama atau sumbu transversal
 Ruas garis A1A2 disebut sumbu panjang atau sumbu
mayor
 Sumbu simetri yang melalui titik tengah F1 dan F2
yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu
sekawan atau sumbu konjugasi
 Ruas garis B1B2 disebut sumbu pendek atau sumbu
minor

8. Menentukan eksentrisitas,
direktris dan lactus rectum
Definisi elips :
Perbandingan kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu
garis tetap harganya antara 0 dan 1

9. F1A1
F2 A2
B1
O
b
B2
c
a
x = -k x = k
Q P

10.  Ambil titik tertentu : A2
)1(....
)(
222
2
22
caaeke
caeak
FAPeA
PA
FA
e
−=−
−=−
=
=
 Ambil titik tertentu : A1
)2(....
)(
211
1
21
cakeae
caeka
FAPeA
PA
FA
e
+=+
+=+
=
=
F1A1
F2 A2
B1
O
b
B2
c
a
x = -k x = k
Q P

11. Subsitusi (1) dan (2)
direktrispers
e
a
k
kea
kea
aekeca
aekeca
.
22
→=
=
=
+=+
−=−

12. Subsitusi (1) dan (2)
taseksentrisi
a
c
e
aec
aec
aekeca
aekeca
→=
=
=
+=+
−=−
22

13. Contoh :
Tentukan persamaan elips dengan
pusat (1,2) dan eksentrisitas 4/5
sedangkan direktrisnya 4x = 25

14. F1A1
L1
L1’
F2 A2
L2(c, -y)
L2’(c, y)
B1
O
b
B2
c
a
Menentukan latus rectum
Definisi:
Garis yang melalui F1 dan F2 tegak
lurus sb. Utama memotong elips di L1 dan L’1
L1L1’ = L2L2’ =
latus rectum

15. a
b
y
a
b
y
bbya
cabya
bcbaya
baaybc
b
y
a
c
b
y
a
x
elipsL
2
2
4
2
2222
22222
222222
222222
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)(
1
1
±=→=
=
−=
−=
=+
=+
=+
∈
a
b
a
b
a
b
FLFLLL
maka
a
b
cL
dan
a
b
cL
diperoleh
2
22
212111
2
1
2
1
2
''
,,'
,
:
=
+=
+=






−






Panjang lactus rectum

16. ANALOG DENGAN
PERSAMAAN ELIPS PUSAT
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
y
a
x βα
( )βα,
e
a
hk
a
c
e ±== ,

17. GARIS SINGGUNG
Misal garis )1(.........cmxyg +=≡
)2(...........12
2
2
2
=+
b
y
a
x
)(4
02)(
)(
222222
222222222
222222
cbmabaD
bacamcxaxbma
bacmxaxb
−+=
=−+++
=++
Pers. Elips
maka :

18. g
O
x
y
g
O
x
y
g
O
x
y
D = 0
D > 0
D < 0

19. Persamaan garis singgung
bergradien p
12
1
2
1
=+
b
yy
a
xx

20. TITIK DAN GARIS POLAR
Misal sebuah titik P(x1, Y2) diluar suatu
elips . Dari titik P ditarik dua buah garis
singgung, maka garis hubung p antara
kedua titik singgungnya disebut garis
polarnya P terhadap elips dan P sebagai
titik polar dari garis p tersebut.

21. x
O
y
P (x1, y1)
Q (x2, y2)
R (x3, y3)
Titik Polar
Garis Polar

22. Akan dibuktikan:
12
1
2
1
=+
b
yy
a
xx
merupakan persamaan garis polar
titik P(x1, y1) yang terletak diluar
elips terhadap elips tersebut

23. Bagaimana jika titik polar P terletak di dalam elips?
x
O
y
P
Titik
Polar
Garis
Polar
A
B

24. Latihan (Hal 20 – 23)
 No. 4
 No. 7
 No. 26