Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
1. BAB XVI. INTEGRAL 1
10. ∫ cos n (ax+b)sin(ax+b) dx = cos n+1 (ax+b) +c
a(n + 1)
( a + b) ( a − b)
11. ∫ 2 sin ax cos bx dx = ∫ sin x dx + ∫ sin x dx
A. Integral Tak Tentu 2 2
1. Rumus Integral Fungsi Aljabar 12. ∫ sec 2 x dx = tan x + c
k
1. ∫ k x n dx = x n +1 + c ; n ≠ -1 1
n +1 13. ∫ sec 2 (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c
a
1
2. ∫ (ax + b) n dx = (ax+b) n+1 + c ; a ≠ 0 dan n ≠ -1
a (n + 1)
14. ∫ c sec 2 x dx = - ctg x + c
1
3. ∫ dx = ln|x| + c
x
1
4. ∫ ( f ( x)dx ± g ( x)dx) = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 15. ∫ c sec 2 (ax+b)dx = - ctg (ax+b)+ c
a
16. ∫ tan x secx dx = sec x + c
2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri
1. ∫ sin x dx = - cos x dx + c 17. ∫ c tan x csecx dx = -csec x + c
2. ∫ cos x dx = sin x dx + c
3. Rumus-rumus Integral yang lain
d
− cos x
sin x
3. ∫ tan x dx = ∫ dx = ∫ dx 1 2 x 1
cos x cos x
dx = - ln |cos x| + c 1. ∫ a 2 − x 2 dx =
2
a arc sin ( ) + x a 2 − x 2 + c
a 2
x x
d ( x = a sin θ ; sin θ = ; θ = arc sin ( ) )
sin x a a
cos x
4. ∫ ctgx dx = ∫ dx = ∫ dx dx = ln |sin x| + c 1 2 1
2. ∫ a 2 + x 2 dx = a ln |x + a 2 + x 2 | + x a 2 + x 2 +c
sin x sin x 2 2
1
5. ∫ sin(ax + b) dx = -
a
cos (ax+b) + c 3. ∫ x 2 − a 2 dx = -
1 2
a ln |x + x 2 − a 2 |
2
1
6. ∫ cos(ax + b) dx = sin (ax+b) + c 1
+ x x2 − a2 + c
a 2
1
7. ∫ tan(ax + b) dx = - dx x
∫
ln|cos(ax+b)| + c 4. = arc sin ( ) + c
a
a2 − x2 a
dx
8. ∫ ctg (ax + b) dx =
1
ln|sin(ax+b)| + c 5. ∫ a +x
2 2
= ln |x + a2 + x2 | + c
a
1 dx
9. ∫ sin n (ax+b) cos(ax+b) dx =
a(n + 1)
sin n+1 (ax+b) +c 6. ∫x −a2 2
= ln |x + x2 − a2 | + c
dx 1 x+a
7. ∫ 2 = ln | | +c
a −x 2
2a x−a
www.belajar-matematika.com - 1
2. dx 1 x
8. ∫a 2
+x 2
= arc tan| | + c
a a
a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)
4. Integral Parsial
∫ u dv = uv - ∫ v du
Didapat dari :
y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x)
y’ = u’ v + u v’ b
∫ f ( x) dx
= v u’ + u v’ L=
a
dy du dv b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)
= v. +u. (dikalikan dx)
dx dx dx
dy = v du + u dv
d (u.v) = v du + u dv
∫ d (u.v) = ∫ v du + ∫ u dv
u.v = ∫ v du + ∫ u dv
b a
∫ u dv = uv - ∫ v du L = - ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx
a b
B. Integral Tertentu
c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di
b b bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas
∫ f ( x) dx = F(x) |
a
a
= F(b) – F(a) sumbu x)
1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu
Koordinat
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y),
sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat
dibedakan sbb
c b
L = - ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx
a c
a b
= ∫
c
f ( x) dx + ∫ f ( x) dx
c
www.belajar-matematika.com - 2
3. d. jika
g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)
i
b
∫ g ( y) dy
c b
L=
a
L = - ∫ g ( y ) dy + ∫ g ( y) dy
a c
e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y) a b
= ∫ g ( y) dy + ∫ g ( y) dy
c c
2. Luas Daerah Antara Dua Kurva
a. Di atas sumbu x
b a
L = - ∫ g ( y ) dy = ∫ g ( y) dy
a b
f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada b b b
di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada L= ∫ y2 dx - ∫ y1 dx = ∫ ( y 2 − y1) dx
sebelah kanan sumbu y) a a a
www.belajar-matematika.com - 3
4. b. Di bawah sumbu x
b b b b
L = - ∫ y2 dx - { - ∫ y1 dx } = ∫ y1 dx - ∫ y2 dx
a a a a
b
= ∫ ( y1 − y 2) dx
a
c. Di sebelah kanan sumbu y
b b b
L= ∫ x2 dy - ∫ x1 dy = ∫ ( x2 − x1) dy
a a a
3. Volume Benda Putar
a. Diputar terhadap sumbu x maka,
b
V= π ∫y
2
dx
a
b. Diputar terhadap sumbu y maka,
b
V= π ∫ x dy
2
a
www.belajar-matematika.com - 4