30 soal integral

1. 1. Diketahui f adalah turunan dari fungsi F. Hubungan f(x) dan F(x) adalah...
A.∫ 𝑓′ ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓′( 𝑥)+ 𝐶
B.∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹′( 𝑥)+ 𝐶
C.∫ 𝐹′ ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓′( 𝑥) + 𝐶
D.∫ 𝑓′ ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑥) + 𝐶
E.∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑥)+ 𝐶
Pembahasan :
F turunan dari F, sehingga 𝐹′( 𝑥) = 𝑓(𝑥)
Himpunan arti turunan dari 𝐹′( 𝑥) adalah …
∫ 𝐹′( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑥) + 𝐶
2. Tentukan  dxxx 42
)3(2 !
A. Cx  52
)3(
5
1
B. Cxx  52
)3(2
5
1
C. Cxx  53
)3(
5
2
D. Cx  53
)3(
5
1
E. Cxx  53
)3(
5
4
Pembahasan :
Misalkan u = 32
x , maka x
dx
du
2 atau
x
du
dx
2

Sehingga diperoleh,   dxxx 42
)3(2 =  x
du
ux
2
2 4
=  duu4
= Cu 5
5
1

2. = Cx  52
)3(
5
1
3. Tentukan xxx dcos.sin3
!
A. Cxx  cossin
4
1 4
B. Cxx  coscos
4
1 4
C. Cxx  cos
4
1
cos
4
1 4
D. Cx 4
sin
4
1
E. Cx 4
cos
4
1
Pembahasan :
Misalkan u = sin x, maka x
dx
du
cos atau
x
du
dx
cos

Sehingga diperoleh,  xxx dcos.sin3
=  x
du
x
cos
cosu3
=  duu3
= Cu 4
4
1
= Cx 4
sin
4
1
4. ∫ 𝑥√ 𝑥 𝑑𝑥 adalah …
A. 1
1
2
𝑥√ 𝑥 + 𝑐
B. 2
1
2
𝑥2
√ 𝑥 + 𝑐
C. 2
1
2
𝑥√ 𝑥 + 𝑐
D.
2
5
𝑥√ 𝑥 + 𝑐
E.
2
5
𝑥2
√ 𝑥 + 𝑐
Pembahasan :

3. ∫ 𝑥√ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥. 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
3
2 𝑑𝑥
=
1
3
2
+1
𝑥
3
2
+1
+ 𝑐
=
2
5
𝑥
5
2 + 𝑐
=
2
5
. 𝑥2
. 𝑥
1
2 + 𝑐
=
2
5
. 𝑥2
. 𝑥
1
2 + 𝑐
=
2
5
. 𝑥2
.√2 + 𝑐
Jadi, ∫ 𝑥. √ 𝑥 𝑑𝑥 =
2
5
𝑥2
√2+ 𝑐
5. ∫ 2𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯
A. 2sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐
B. 2sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑐
C. 2cos 𝑥 − 2𝑥 sin 𝑥 + 𝑐
D.
1
2
cos 𝑥 −
1
2
𝑥 sin 𝑥 + 𝑐
E.
1
2
𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 + 𝑐
Jawab :
Diferensial Integral
2𝑥 sin 𝑥
2 − cos 𝑥
0 − sin 𝑥
∫ 2𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − 2𝑥 cos 𝑥 − (−2 sin 𝑥) + 𝑐 = 2sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐
6. Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)=
-12t + 24m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan
kecepatan molekul tersebut !
A. -6t2 + 12t + 20

4. B. -12t2 + 48t + 4
C. -6t2 + 24t + 20
D. 6t3 - 36t – 20
E. 3t3 - 8t + 20
Penyelesaian:
Percepatan molekul a(t) = -12t +24
Sehingga : v = a dt
v =   )2412( t dt
v = -6t2 + 24t + C
pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20
Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2 + 24t + 20
7. ∫ sin 3𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = ⋯
A.
1
3
sin 𝑥 −
1
2
sin6𝑥 + 𝑐
B.
1
2
sin 𝑥 −
1
10
sin 5𝑥 + 𝑐
C.
1
5
sin 5𝑥 + 𝑐
D. −
1
5
cos5𝑥 + 𝑐
E.
1
5
cos5𝑥 +
1
6
sin 2𝑥 + 𝑐
Penyelesaian :
Ingat rumus trigonometri : −2 sin 𝛼 sin 𝛽 = cos( 𝛼 + 𝑏) − cos(𝛼 − 𝛽)
sin 𝛼 sin 𝛽 = −
1
2
{cos( 𝛼 + 𝑏) − cos(𝛼 − 𝛽)}
∫sin 3𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
2
cos(3𝑥 − 2𝑥) 𝑑𝑥 − ∫
1
2
cos(3𝑥 + 2𝑥) 𝑑𝑥
= ∫
1
2
cos 𝑥 𝑑𝑥 − ∫
1
2
cos5𝑥 𝑑𝑥

5. =
1
2
sin 𝑥 −
1
2
.
1
5
sin 5𝑥 + 𝑐
=
1
2
sin 𝑥 −
1
10
sin5𝑥 + 𝑐
8. Tentukan xx sin2
dx !
A. - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C
B. x2. sin x -
1
2
x. sin x + C
C.
1
2
x2. sin x -
1
2
x. cos x + C
D. x2. sin x -
1
2
x. sin x + 2sin 𝑥 + C
E. -x2. cos x -
1
2
x. sin x + C
Penyelesaian:
Cara 1: dengan menggunakan rumus  u dv = uv -  v du
Misal : u = x2, xdxdu 2
dv = sin x dx  xdxv sin = - cos x
sehingga diperoleh,  xx sin2
dx = x2. (-cos x) -   xdxx 2)cos(
= x2. (-cos x) +  xdxx 2.cos
= - x2.cos x + 2 (x.sin x -  xdxsin )
= - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C
9. Tentukan integral dari   dxxx 102
)14(2
A. cx  112
)14(
44
1
B. cx
x
 112
)14(
3
2

6. C. cx
x
 112
)14(
11
D. cx  112
)14(
36
1
E. cx
x
 112
)14(
44
3
Penyelesaian :
Misal : 14 2
 xu
Maka:
x
du
dx
x
dx
du
8
8


Sehingga :
    cxcuduu
x
du
uxdxxx 112111010102
)14(
44
1
11.4
1
4
1
8
..2)14(2
10. Tentukan integral dari  dxxxcossin2 5
A. cx 4
sin
2
1
B. cx 6
cos
6
1
C. cxx sinsin
3
1 2
D. cxx  cossin
3
1 3
E. cx 6
sin
3
1

7. Misal u = sin x
x
du
dx
x
dx
du
cos
cos


Sehingga :
   cxcuduu
x
du
xudxxx 66555
sin
3
1
6
2
2
cos
cos.2cossin2
11. Gradien garis singgung pada grafik y = (x) di setiap titik (x , y) dinyatakan oleh bentuk
dy/dx = 2x  5. Bila grafik y = f (x) melalui titik A (1 , 7), tentukan persamaan fungsi
y = f (x) !
A. f (x) = x2  4x + 12
B. f (x) = x3  5 x2 + x + 11
C. f (x) = x2  12x + 36
D. f (x) = x2  5x + 11
E. f (x) = x2  x + 2
Jawab :
dy
dx
= 2x  5  dy = (2x - 5) dx
 dy = (2x  5) dx  y =  5)dx2x( = x2  5x + C
Grafik melalui titik A(1 , 7), jadi 7 = 12  5(1) + C didapat C = 11
Akibatnya persamaan y = f (x) adalah y = f (x) = x2  5x + 11
12. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis
y = x + 2 diputar mengeliling sumbu 𝑥!
A.
139
13
𝜋
B.
241
15
𝜋
C.
174
15
𝜋

8. D.
231
30
𝜋
E.
122
13
𝜋
Jawab :
2-1 0
y=x+2
y=x2
X
Y
Batas integral





2xy
xy 2
 x2 = x + 2
x2 – x – 2 = 0 didapat x1 = 1 dan x2 = 2. Isi benda putar yang terjadi :
I=   
 

2
1
2
1
42222
dx]x)4x4x[(dx)x()2x( 
= 2
1
5
5
123
)xx4x2x
3
1
(  = 
15
174
13. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1
diputar mengeliling sumbu x
A. 5
1
B. 5
2
C. 
D. 5
1
1
E. 5
4
5
Jawab :
Isi benda putar yang terjadi
X
Y
0 I

9. I =   
1
0
5
15
5
14
1
0
2
0
1
 xdxxdxy
14. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x
A.
3
4
B.
4
3
C.
3
4
2
D.
4
3
3
E.
3
2
1
Jawab : L = 
2
0
dxy
=  
2
0
23
3
12
xxdx)x2x( 
0
2
= ( 3
1
. 8 + 4) – 0 =
3
4
15. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8
A. 21 2
1
B. 17 4
3
C. 6 4
1
D. 3 4
3
E. 10 4
3
Jawab :
y = x2 ……... (1)
y = x + 6 ……… (2)
L
0 2 X
Y
3-2 0
y = x + 6
y = x
2

10. Dari (1) dan (2) didapat
x2 = x + 6
x2 – x – 6 = 0
x1 = 3 ; x2 = 2
Luas daerah, L = 3
2
3
3
12
2
12
x)(x6xdx)x6x( 
= ( 2
9
+ 18 – 9)  (2 – 12 + 3
8 ) = 4 ½ + 51/3 = 21 2
1
16. Tentukan dx
xx
2x+2x3x 
A. Cln xx4x2x
5
2 
B. C
x
4ln xx4 
C. C
x
4ln xx4x2x
5
2 
D. C
x
4ln xx2x
5
2 
E. C
x
4x2x
3
2 
Jawab :
dx
2
3
x
22
1
x+2x3x 
= dx)2
3
2x+
x
1+2
1
2x2
3
x(

 = C+2
1-
4xxln+2
1
4x2
5
x
5
2 
= C
x
4ln xx4x2x
5
2 
17.Hitung    dx5x3x2
A.
1
3
𝑥3
−
3
2
𝑥2
+ 5𝑥 + 𝑐
B.
1
2
𝑥 − 3 + 𝑐
C. 𝑥3
− 3𝑥2
+ 5𝑥 + 𝑐

11. D.
1
3
𝑥3
− 𝑥2
+
1
5
𝑥 + 𝑐
E.
1
3
𝑥3
−
3
2
𝑥2
+
1
5
𝑥 + 𝑐
Jawab :
2(x 3x 5) dx  = 2x dx 3 x dx 5 dx    =
1
3
𝑥3
−
3
2
𝑥2
+ 5𝑥 + 𝑐
18.Tentukan   dx)2xxexcosx(sin
A. – cos 𝑥 + sin 𝑥 − 𝑒 𝑥
+ 𝑥2
+ 𝑐
B. – cos 𝑥 + sin 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑥2
+ 𝑐
C. cos 𝑥 − sin 𝑥 − 𝑒 𝑥
+ 2𝑥2
+ 𝑐
D. –cos 𝑥 + sin 𝑥 −
1
2
𝑒 𝑥
+
1
2
𝑥2
+ 𝑐
E. –cos 𝑥 + sin 𝑥 −
1
2
𝑒 𝑥
+ 𝑥2
+ 𝑐
Jawab :
x(sin x cos x e + 2x) dx  = xsin x dx + cos x dx e dx+ 2x dx  
= x 2
cos x sin x-e x C   
19.Tentukan ( x x)( x 1) dx 
A. C2x2x
5
2xx
3
2  x
B. C3
3
12x
5
2x
3
2  x
C. C2x
5
2x
3
2  x
D. Cx2x
5
2xx
3
2  x
E. C2x2x
5
3xx
3
1  x
Jawab :

12. ( x x)( x dx  1) =   dx)xxxx(x
=   dx)x22
3
x2
1
(-x=dx)x2xxx(-
= C2x2x
5
2xx
3
2-=C22
5
x
5
22
3
x
3
2  xx
20. Tentukan   2x)x( dx
A. Cxxx  32
3
1
5
4
2
1
B. Cxxxx  422
4
1
5
4
2
1
C. Cxxx  322
2
1
5
4
D. Cx
3
1
xx
5
4
x
2
1 322

E. Cxxxx  322
3
1
5
4
Jawab :
  2x)x( dx =   )2xx2xx( dx =   dxxx2x 22/3
= Cx
3
1
x
5
4
x
2
1 32/52

= Cx
3
1
xx
5
4
x
2
1 322

21. Hitung
2
2
0
(x x) dx

A.
1
3
B.
2
3
C.1
1
3

13. D.
2
5
E.
3
5
Jawab :
2
2
0
(x x) dx
 = 1/3 x3 – ½ x2 
0
2
= 1 1 1 1 8 2
( 8 4) ( 0 0) 2
3 2 3 2 3 3
     
22. Hitung
0
cos (2t ) dt

 

A. 4𝜋
B. 2𝜋
C. 4
D. -2
E.0
Jawab :
0
cos (2t ) dt

 
 = ½ .sin (2t ) 
0

= ½ [sin (2  ) – sin (0  )]
= ½ [sin  – sin ( )] = 0
23. Hitung
1
2
2
0
(3x 4) dx

A. 3210100 
B. )3210100(15
2

C. )3210100(15
1

D. )641010(13
2

E. )641010(15
1

Jawab :  
2
0
2
3
)43( dxx = 3
1 2
5
)43(5
2
x 
0
2
= ])40()46[( 2
5
2
5
15
2

= )3210100(])410[ 15
2
15
2 2
5
2
5

24. Hitunglah nilai dari ∫ 𝑡𝑎𝑛4
𝑥 𝑑𝑥
A.
1
3
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 − tan 𝑥 + 𝑥 + 𝑐
B.
1
2
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 − cos 𝑥 + 𝑐

14. C.
1
6
𝑡𝑎𝑛6
𝑥 − 𝑥 + 𝑐
D.
1
3
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 − tan 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑐
E.
1
5
𝑡𝑎𝑛5
𝑥 + 𝑐
4 2 2 2 2
tan xdx tan x tan xdx tan x(sec x 1)dx  
  
= 2 2 2
tan xsec xdx tan xdx
  = 2 2
tan xd(tanx) (sec x 1)dx 
 
= 31
tan x tanx x C
3
  
25. Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
A. 43)( 2
 xxxf
B. xxxf 3
2
5
)( 2

C. 23
2
5
)( 2
 xxxf
D. 23
3
5
)( 3
 xxxf
E. 22
2
1
)( 2
 xxxf
Penyelesaian :
182.3)2(
2
5
18)2(
3
2
5
)35()(
2
2

 
cf
cxxdxxxf
18610  c
1816  c
2 c

15. Jadi 23
2
5
)( 2
 xxxf
26.  xdx2
sin
A. C
xx

4
2cos
2
B. C
xx

2
cos
2
C. Cx
x
 cos
2
D. C
xx

4
2cos
2
E. Cxx  2cos
Pembahasan :
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka


 dx
x
xdx
2
2cos1
sin2
  xdxdx 2cos
2
1
2
1
C
xx

4
2cos
2
. 27.  
2
0
32
)1( dxxx
A. 23
B.
87
3
C.
90
6

16. D.
20
3
E. 0
F.
21
2
Jawab
Misalnya u = (x 13
 )
du = 3x2
dx
dxx
du 2
3

Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
 
2
0
32
)1( dxxx = 
9
1
3
du
u
=
9
1
2
6





u
= 




6
1
6
91
=
6
90
28. sin 3x cos 4x dx
A. x7cos
7
1
 - cos
2
1
x + C
B. x7cos
14
1
 + cos
2
1
x + C
C. x7cos
14
1
 - sin
2
1
x + C

17. D. x14cos
7
1
 - cos
2
1
x + C
E. x7cos
14
1
 - cos
2
1
x + C
Pembahasan :
sin 3x cos 4x dx =   ])43sin()43[sin(
2
1
xx dx
=  x7sin
2
1
+ sin (-x) dx
= x7cos
14
1
 - cos
2
1
x + C
29.  xx 2sin3sin dx
A. sin
5
1
 5x + cos
2
1
x + C
B. sin
10
1
 5x + sin
2
1
x + C
C. sin
10
1
 5x - sin
2
1
x + C
D. sin10 5x + sin x + C
E. sin
10
1
5x + sin2 x + C
Pembahasan :
 xx 2sin3sin dx =   ])23cos()23[cos(
2
1
xx dx
= 
2
1
(cos 5x – cos x) dx

18. = sin
10
1
 5x + sin
2
1
x + C
30. cos y cos 4y dy
A. Cyy  3sin
6
1
5sin
10
1
B. Cyy  6sin
6
1
5sin
5
1
C. Cyy  3cos
6
1
5sin
10
1
D. Cyy  3sin
6
1
5sin
10
1
E. Cyy  3cos
6
1
5cos
10
1
Pembahasan :
cos y cos 4y dy =   y)41[cos(
2
1
+cos(1-4)y] dy
=   )]3cos(5[cos
2
1
yx dy
= Cyy  3sin
6
1
5sin
10
1