Fungsi, Macam-macam fungsi, Operasi aljabar pada fungsi.

1. EDY EKO SANTOSO, S.Pd.

2. STANDAR KOMPETENSI DAN
KOMPETENSI DASAR
STANDAR KOMPETENSI
 Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu
fungsi
KOMPETENSI DASAR
 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
 Menentukan invers suatu fungsi

3. INDIKATOR
 Menjelaskan produk Cartesius
 Menentukan hasil produk Cartesius
 Menjelaskan relasi
 Menyajikan relasi dengan himpunan pasangan
berurutan
 Menyajikan relasi dengan rumus
 Menyajikan relasi dengan diagram panah
 Menyajikan relasi dengan diagram Cartesius

4. Produk Cartesius
Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka
produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan
semua pasangan terurut (x, y) dengan x A dan y B.
Ditulis dengan notasi:
A B = {(x, y) | x A dan y B}
Contoh:
Diberikan himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}.
Tentukan tiap produk Cartesius berikut.
 A x B
 B x A
 A x A

5. Produk Cartesius
Jawab:
 A B = {(x, y) | x A dan y B} = {(a, 1), (b, 1), (c, 1),
(a, 2), (b, 2), (c, 2)};
 B A = {(x, y) | x B dan y A} = {(1, a), (2, a), (1, b),
(2, b), (1, c), (2, c)};
 A A = {(x, y) | x A dan y A} = {(a, a), (b, a), (c, a),
(a, b), (b, b), (c, b), (a, c), (b, c), (c, c)}.

6. Produk Cartesius
S O A L
1. Diberikan himpunan A = {p, q, r} dan B = {0, 1, 2}.
Tentukan tiap produk Cartesius berikut.
a. A x B
b. B x A
c. B x B
2. Diberikan himpunan P = {1, 3, 5, 7}, Q = {x, y, z}, dan
R = {2, b, 4, d}. Tentukan tiap produk Cartesius
berikut.
a. P x Q
b. R x Q
c. R x P

7.  Suatu relasi atau hubungan dari himpunan A ke
himpunan B adalah sembarang himpunan bagian dari
produk Cartesius A B.
 Jika R adalah suatu relasi dari himpunan A ke
himpunan B dan pasangan terurut (x, y) adalah
anggota R, maka dikatakan x berelasi dengan y, ditulis
x R y.
 Jika pasangan (x, y) bukan anggota R, maka dikatakan
x tidak berelasi dengan y, ditulis x y.R

8. Contoh Soal:
Perhatikan produk Cartesius A B berikut.
A B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}
Misalkan R adalah himpunan bagian dari produk
Cartesius A B seperti berikut.
R = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}
maka a R 1, b R 1, dan c R 2, tetapi a 2, b 2, dan c 1R RR

9.  Suatu relasi dapat disajikan dalam himpunan
pasangan berurutan, rumus, diagram panah, atau
diagram Cartesius.
Contoh:
Misalkan A = {2, 3, 4, 6, 8}, dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. R
menyatakan relasi a dua kali b. Sajikan relasi tersebut
dalam:
a. himpunan pasangan berurutan
b. rumus
c. diagram panah
d. diagram Cartesius

10. Jawab:
a. R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}
b. f(x) = ½ x atau y = ½ x dengan x A = {2, 4, 6, 8}
c. diagram panah untuk R adalah:
2
3
4
6
8
0
1
2
3
4
5

11. Jawab:
d. diagram Cartesius:
2 4 6 8
1
2
3
4
5
0 X
Y

12. S O A L:
1. Diketahui himpunan bilangan K = {3, 6, 9, 12} dan L = {0,
1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan K ke himpunan L adalah
“tiga kali dari”, buatlah diagram panahnya.
2. Diketahui P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {1, 3, 4, 6, 9, 11, 12}. Jika
relasi himpunan P ke himpunan Q adalah "sepertiga
dari", buatlah himpunan pasangan berurutannya.
3. Diketahui dua himpunan bilangan M = {6, 7, 8, 9, 10} dan
N = {8, 9, 10, 11, 12, 13}.
a. Gambarlah diagram panah yang memenuhi relasi “dua
kurangnya dari” dari himpunan M ke himpunan N.
b. Nyatakan relasi tersebut rumus.
c. Nyatakan relasi tersebut dengan diagram Cartesius.

13. Indikator
 Menjelaskan fungsi atau pemetaan
 Menentukan daerah asal fungsi
 Menentukan daerah kawan fungsi
 Menentukan daerah hasil fungsi
 Menyebutkan macam-macam fungsi

14. Fungsi atau Pemetaan
Definisi:
Diberikan dua himpunan tak kosong A dan B.
Sebuah fungsi atau pemetaan f dari A ke B adalah
pengawanan setiap unsur di A ke tepat satu unsur
di B.
Secara praktis, suatu pengawanan himpunan A ke
himpunan B disebut fungsi jika memenuhi syarat
fungsi berikut:
a. setiap anggota A mempunyai kawan di B
b. kawan setiap anggota A di himpunan B adalah
tunggal (unik)

15. Fungsi atau Pemetaan
Notasi Fungsi :
 Fungsi f yang mengawankan anggota himpunan A dengan
anggota himpunan B dapat digambarkan sebagai berikut.
f: A B
x y = f(x) dengan x A dan y B
A disebut daerah asal (domain) fungsi f.
B disebut daerah kawan (kodomain)
fungsi f.
C adalah himpunan semua anggota B
yang mempunyai kawan di A disebut
daerah hasil (range)

16. Fungsi atau Pemetaan
Contoh:
Perhatikan diagram panah relasi “ukuran sepatunya”.
 Daerah asal adalah A = {Kia, Tia, Nia, Lia, Mia}
 Daerah kawan adalah B = {36, 37, 38, 39, 40, 41}
 Daerah hasil adalah R = {37, 38, 39, 40}

17. Fungsi atau Pemetaan
S O A L:
Dari relasi-relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}
dinyatakan dengan diagram panah berikut. Manakah yang
merupakan fungsi? Kemudian tentukan daerah asal,
daerah kawan, dan daerah hasil!
.

18. Macam-macam Fungsi
 Fungsi Konstan
 Fungsi Identitas
 Fungsi Linear
 Fungsi Kuadrat
 Fungsi Mutlak atau Modulus
 Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat Terbesar
 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

19. Fungsi Konstan
Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus
f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap
anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di
mana C bilangan konstan.
Contoh:
Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3
dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}.
Tentukan gambar grafiknya.

20. Fungsi Konstan
Jawab:
Grafiknya:
x –3 –2 –1 0 1
f(x) 3 3 3 3 3
Macam-macam
Fungsi

21. Fungsi Identitas
Fungsi f disebut fungsi identitas, jika untuk setiap x
pada daerah asal berlaku f(x) = x. Fungsi ini sering
disimbolkan dengan I.
Contoh:
Untuk fungsi identitas I(x) = x, untuk setiap x R.
a. Carilah I(–1), I(0), I(7), dan I(a).
b. Carilah daerah hasilnya.
c. Gambarlah grafiknya.

22. Fungsi Identitas
Jawab:
a. I(–1) = –1, I(0) = 0, I(7) = 7, dan I(a) = a.
b. Daerah hasilnya Rf = {–1, 0, 7, a}.
c. Grafiknya
Macam-macam
Fungsi

23. SIFAT-SIFAT FUNGSI
INDIKATOR
 Menjelaskan sifat-sifat fungsi
 Menggunakan operasi aljabar pada fungsi
◦ Menghitung nilai operasi penjumlahan pada dua
fungsi atau lebih
◦ Menghitung nilai operasi pengurangan pada dua
fungsi atau lebih
◦ Menghitung nilai operasi perkalian pada dua
fungsi atau lebih
◦ Menghitung nilai operasi pembagian pada dua
fungsi atau lebih
◦ Menghitung nilai operasi perpangkatan pada
fungsi

24. Sifat-Sifat Fungsi
 Fungsi Injektif (satu-satu)
Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya
mempunyai satu kawan saja di A, maka
fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau
injektif.

25.  Fungsi Surjektif (onto)
Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B
mempunyai kawan di A, maka f
disebut fungsi surjektif atau onto.

26.  Fungsi Bijektif (korespondensi satu-
satu)
Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus
surjektif disebut fungsi bijektif atau
korespondensi satu-satu.

27. Operasi Aljabar pada Fungsi
 Penjumlahan f dan g berlaku
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Contoh:
Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4.
Tentukan (f + g)(x).
Jawab:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x + 2 + x2 – 4
= x2 + x – 2

28. Operasi Aljabar pada Fungsi
 Pengurangan f dan g berlaku
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
Contoh:
Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1.
Tentukan (f – g)(x).
Jawab:
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
= x2 – 3x – (2x + 1)
= x2 – 3x – 2x – 1
= x2 – 5x – 1

29. Operasi Aljabar pada Fungsi
 Perkalian f dan g berlaku
(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ (x)
Contoh:
Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x.
Tentukan (f × g)(x).
Jawab:
(f × g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
= (x – 5)(x2 + x)
= x3 + x2 – 5x2 – 5x
= x3 – 4x2 – 5x

30. Operasi Aljabar pada Fungsi
 Pembagian f dan g berlaku
Contoh:
Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2.
Tentukan .
Jawab:
(f × g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
= (x – 5)(x2 + x)
= x3 + x2 – 5x2 – 5x
= x3 – 4x2 – 5x
( )
( )
( )
f f x
x
x g x
( )
( )
( )
f f x
x
x g x