1. Integral Berulang
(Iterated Integral)
Disusun Dalam Rangka Tugas Kuliah
Dengan Dosen Pengasuh
Dr. E. Elvis Napitupulu, MS
Oleh :
1. Rizki Kurniawan Rangkuti (8136171045)
2. Mustika Fitri Larasati Sibuea (8136171036)
Program Pasca Sarjana
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2. KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan
hidayahNya berupa ilmu pengetahuan serta limpahan rahmat dan karuniaNya sehingga
penulis dapat menyelesaikan makalah ini sesuai dengan waktu yang telah direncanakan.
Makalah ini berjudul “Integral Berulang (Iterated Integral)” disusun dalam rangka
memenuhi salah satu tugas perkuliahan Program Pasca Sarjana Universitas Negeri Medan.
Penulis telah berupaya dengan semaksimal mungkin dalam penyelesaian makalah ini,
namun penulis menyadari masih banyak kelemahan baik dari segi ilmu maupun tata bahasa,
untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun dari pembaca
demi sempurnanya makalah ini. Kiranya makalah ini bermanfaat dalam memperkaya
khasanah ilmu pengetahuan khususnya bagi dunia pendidikan. Akhir kata penulis ucapkan
terima kasih, semoga Allah SWT senantiasa meridhoi niat baik kita semua. Amin.
Medan, 19 Februari 2014
Tim Penulis

3. Integral Berulang
Ingat bahwa biasanya sulit untuk mengevaluasi integral lipat satu secara langsung dari
definisi integral itu sendiri, akan tetapi Teorema Dasar Kalkulus menyediakan banyak metode
yang lebih mudah. Evaluasi integral lipat dua dari prinsip-prinsip pertama bahkan lebih sulit
lagi, tetapi pada bagian ini kita melihat bagaimana untuk mengekspresikan integral lipat dua
sebagai integral berulang, yang mana kemudian dapat dievaluasi dengan perhitungan dua
integral lipat satu.
Andaikan bahwa f adalah sebuah fungsi dua variabel yang kontinu pada persegi
panjang R=[a, b] X [c, d]. Kita gunakan notasi untuk mengartikan bahwa x
adalah tetap dan diintegralkan terhadap mulai dari sampai . Prosedur
ini disebut Integral Parsial terhadap y. (Perhatikan kemiripannya dengan differensiasi
parsial). Sekarang adalah suatu bilangan yang tergantung pada nilai x, jadi ini
didefinisikan fungsi x.
Jika kita sekarang mengintegralkan fungsi A terhadap x dari kita
dapatkan
Integral dari sisi kanan Persamaan 1 disebut sebagai Integral Berulang. Biasanya tanda
kurung siku dihilangkan, maka
Berarti pertama-tama kita integralkan terhadap y dari c sampai d dan kemudian terhadap x
dari a sampai b
Sama pula dengan intergral berulang
Berarti pertama-tama kita integralkan terhadap x (dengan membuat nilai y tetap) mulai dari
x=a sampai x=b dan kemudian kita menginteralkan fungsi hasil y terhadap y mulai dari y=c
sampai y=d. Perhatian bahwa dalam persamaan 2 dan 3 kita bekerja dari bagian dalam ke
luar.
1
2
3

4. Contoh 1 Evaluasi integral-integral berulang berikut:
(a)
(b)
Solusi
(a) Dengan menganggap x konstan, kita mendapatkan
Maka, fungsi A dalam pembahasan pada contoh ini dinyatakan dengan .
Sekarang kita mengintegralkan fungsi x ini dari 0 ke 3
(b) Berikut ini pertama-tama kita integralkan terhadap x
Perhatikan bahwa dalam Contoh 1 kita mendapatkan jawaban yang sama jika kita
mengintegralkannya pertama-tama terhadap y atau x. Pada umumnya, tampak bahwa pada
Teorema Fubini bahwa dua integral berulang pada persamaan 2 dan 3 adalah selalu sama;
tanpa dipengaruhi oleh urutan pengintegralannya. (Ini serupa dengan Teorema Clairaut
mengenai kesamaan turunan parsial campuran).
Teorema berikut memberikan sebuah metode praktis untuk mengevaluasi integral lipat
dua dengan mengekspresikannya sebagai integral berulang (dalam urutan yang bebas).
Teorema Fubini
Jika f kontinu pada persegi panjang , maka
Secara lebih umum, persamaan diatas benar jika kita mengasumsikan bahwa f dibatasi oleh
R, untuk f tidak kontinu hanya untuk jumlah yang terbatas dari kurva halus, dan integral
berulangnya ada.
Pembuktian Teorema Fubini terlalu sulit, tetapi setidaknya kita dapat memberi
indikasi secara intuitif mengapa hal tersebut benar untuk kasus dimana . Ingat
bahwa jika f positif, maka kita dapat menafsirkan integral lipat dua sebagai

5. volume V dari benda pejal S yang terletak di atas R dan di bawah permukaan .
Tetapi kita memiliki formula lain yang kita gunakan untuk menghitung volume yaitu :
Dengan A(x) adalah luas penampang silang dari S dalam bidang yang melalui x yang
tegaklurus terhadap sumbu x. Dari figur 1 Anda dapat melihat bahwa A(x) adalah luas di
bawah kurva C yang memiliki persamaan , dimana x dijaga tetap konstan dan
. Dengan demikian
dan kita mendapatkan
Sebuah argumen yang sama, dengan menggunakan penampang melintang yang tegaklurus
terhadap sumbu y seperti pada figur 2, menunjukkan bahwa
Contoh 2 Evaluasi integral lipat dua , dengan
.
Solusi 1 Teorema Fubini memberikan
Solusi 2 Kembali gunakan Teorema Fubini, tetapi saat ini pengintegrasiannya yang pertama
terhadap x, sehingga kita dapatkan

6. Gambar 1. Permukaan bidang
Contoh 3 Evaluasi , dimana .
Solusi 1 Jika pertama-tama kita mengintegralkanya terhadap x, kita dapatkan
Solusi 2 Jika kita balikkan urutan pengintegrasiannya, kita dapatkan
Untuk mengevaluasi integral dalamnya kita gunakan integrasi parsial dengan
sehingga
Jika sekarang kita mengitegralkan suku pertamanya dengan bagian-bagian dan
, kita dapatkan dan
Dengan demikian

7. Sehingga
Gambar 2. Permukaan bidang
Contoh 4 Temukan volume dari benda pejal S yang dibatasi oleh paraboloid eliptik dengan
persamaan , bidang-bidang dan , dan tiga bidang koordinat.
Solusi Pertama-tama kita meninjau bahwa S adalah benda pejal (padat) yang terletak
dibawah permukaan dan di atas persegi panjang .
Sekarang kita akan mengevaluasi integral lipat dua dengan menggunakan Teorema Fubini.
Oleh karena itu
Gambar 3. Permukaan bidang

8. Dalam kasus khusus dimana dapat dibagi menjadi fungsi x saja dan fungsi y
saja, integral lipat dua dari f dapat dituliskan dalam bentuk sederhana yang lebih khusus. Agar
menjadi spesifik, anggaplah bahwa dan . Kemudian
Teorema Fubini memberikan
Dalam integral bagian dalam y adalah konstanta, jadi h(y) adalah konstan dan kita dapat
menuliskan
karena adalah konstan. Oleh karena itu, di dalam kasus ini, integral lipat duadari f
dapat dituliskan sebagai hasil kali dari dua integral lipat satu :
dengan
Contoh 5 Jika , maka
Gambar 4. Permukaan bidang

9. Contoh :
Hitung integral lipat dua berikut yang dinyatakan dalam persegi panjang!
R
dAxy
2
6 , R = [2, 4] x [1, 2]
Penyelesaian :
R
dAxy
2
6 , R = [2, 4] x [1, 2]
Tanpa melihat variabel yang kita integrasikan terlebih dahulu, kita akan mendapatkan
jawaban yang sama terlepas urutan pengintegrasiannya. Untuk membuktikan hal tersebut,
dapat diselesaikan satu per satu dengan masing-masing variabel yang akan diselesaikan
terlebih dahulu untuk memastikan bahwa kita akan mendapatkan jawaban yang sama.
Artinya, baik kita integrasikan terhadap y terlebih dahulu kemudian terhadap x maupun
sebaliknya kita integrasikan terhadap x terlebih dahulu kemudian terhadap y akan memperoleh
jawaban yang sama.
Penyelesaian 1 :
Dalam hal ini kita akan mengintegrasikan terhadap y terlebih dahulu kemudian terhadap x.
Maka, integral berulang kita butuhkan untuk menghitung permasalahan ini.
4
2
2
1
22
66 dydxxydAxy
R
Untuk menyelesaikan permasalahan ini pastikan limit sesuai dengan turunannya. Karena dy
adalah diferensial inti (yaitu kita integralkan terhadap y terlebih dahulu) yang merupakan
integral dalam yang tidak terpisahkan yang mempunyai limit terhadap y kemudian kita
integrasikan terhadap x.
Untuk menghitungnya kita akan integrasikan yang bagian dalam terlebih dahulu dan kita
pisahkan dengan bagian luar sehingga diperoleh sebagai berikut :
4
2
2
1
32
3
6
6 dxxydAxy
R
4
2
2
1
32
26 dxxydAxy
R

10. 4
2
33
)1(22)2(2 dxxx
4
2
216 dxxx
4
2
14 dxx
Ingat bahwa kita memperlakukan x sebagai konstan ketika melakukan integrasi terhadap y
terlebih dahulu dan kita tidak melakukan integrasi apapun terhadap x. Sekarang, kita memiliki
integral tunggal normal yang terpisah, jadi mari kita selesaikan integral tersebut dengan
menghitungnya.
4
2
112
11
14
6 xdAxy
R
4
2
2
2
14
x
4
2
2
7 x
22
)2(7)4(7
4.716.7
28112
84
Penyelesaian 2 :
Dalam hal ini kita akan mengintegrasikan terhadap x terlebih dahulu kemudian terhadap y.
Sehingga diperoleh seperti berikut :
2
1
4
2
22
66 dxdyxydAxy
R
2
1
4
2
2112
11
6
6 dyyxdAxy
R
2
1
4
2
222
2
6
6 dyyxdAxy
R
2
1
4
2
222
36 dyyxdAxy
R

11. 2
1
2222
)2(3)4(3 dyyy
2
1
22
1248 dyyy
2
1
2
36 dyy
2
1
12
12
36
y
2
1
3
3
36
y
2
1
3
12 y
33
)1(12)2(12
1.128.12
1296
84
Tentu saja diperoleh jawaban yang sama seperti penyelesaian pertama. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa kita dapat melakukan integrasi dalam urutan apapun.
Gambar 5. Permukaan bidang

12. Daftar Pustaka
Spiegel, Wrede., (2006), Kalkulus Lanjut, Erlangga, Jakarta
Stewart, James., (2003), Multivariable Calculus Early Transcendentals fifth edition, Thomson
Learning, McMaster University