KALKULUS DASAR

HANDOUT :
KALKULUS
DASAR
Oleh :
Tony Hartono Bagio
2010
FAKULTAS ILMU KOMPUTER
Sistem Komputer & Sistem Informasi
Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio
i
KATA PENGANTAR
Kalkulus Dasar adalah salah satu mata diskusi di Fakultas Ilmu Komputer
Universitas Narotama, buku ini merupakan modul untuk menunjang mata kuliah tersebut,
diharapkan buku ini menjadi buku pegangan bagi mahasiswa sebagai modul (hand out)
untuk melengkapi isi dari modul ini, saya harap para mahasiswa membaca buku-buku lain
yang sejenis, karena modul (hand out) ini sangat jauh dari sempurna.
Modul / hand out dari http://blog.uad.ac.id/aris_thobirin/files/2008/11/xxx.pdf,
xxx.pdf : terdiri dari 7 files, yakni :
• kalkulus1-diktat1.pdf = Bab 1. Pendahuluan.
• kalkulus1-diktat2.pdf = Bab 2. Fungsi dan Limit (Sub bab 2.1 s/d 2.3)
• kalkulus1-diktat2a.pdf = Bab 2. Fungsi dan Limit (Sub bab 2.4 s/d 2.7)
• kalkulus1-diktat3.pdf = Bab 3. Turunan Fungsi.
• kalkulus2-diktat1.pdf = Bab 4. Integral
• kalkulus2-diktat2.pdf = Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5.1 s/d 5.2.5)
• kalkulus2-diktat3.pdf = Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5.2.6)
Dari ke 7 files diatas, digabung menjadi satu, dan dapat di download langsung dari
http://tonyhartonobagio.blogspot.com/2010/11/modul-mata-kuliah.html, pilih Kalkulus
Dasar, mudah-mudahan modul/hand out ini dapat berguna bagi semua mahasiswa,
Pembagian diskusi ini dibagi dalam 14 kali pertemuan, yang terdiri dari :
I. PENDAHULUAN
• Sistem Bilangan Real
• Operasi Bilangan
• Urutan
• Pertidaksamaan
• Nilai Mutlak
II. FUNGSI dan LIMIT
• Fungsi dan Grafik
• Operasi pada Fungsi
• Pengertian Limit
III. FUNGSI dan LIMIT
• Teorema Limit
• Limit Kiri dan :Limit Kanan
• Limit Tak Hingga
• Kekontinuan Fungsi
IV. TURUNAN FUNGSI
• Pengertian Turunan Fungsi
• Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat
V. TURUNAN FUNGSI

ii
• Sifat - Sifat Turunan
• Aturan Rantai
VI. TURUNAN FUNGSI
• Turunan Fungsi Invers
• Turunan Fungsi Implisit
• Turunan Tingkat Tinggi
VII. TURUNAN FUNGSI
• Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden
• Turunan Fungsi Parameter
VIII. UJIAN TENGAH SEMESTER
IX. INTEGRAL
• Rumus Dasar
• Integral dengan Subsitusi
X. INTEGRAL
• Integral Parsial
• Integral Arcus Tangen dan Logaritma
XI. INTEGRAL Fungsi Pecah Rasional
• Keadaan N(x) = D’(x)
• Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x)
• Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)
XII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri
• Rumus-rumus Sederhana
• Bentuk ∫ R(sin x) cos x dx dan ∫ R(cos x) sin x dx
• Integral dengan memperhatikan rumus-rumus
XIII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri
• Substitusi y = tan (x/2)
• Integral R(tan x)
• Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri
XIV. INTEGRAL Fungsi Irrasional
• Rumus Penting
• Bentuk Irrasional Satu Suku
• Satu-satunya Bentuk Irrasional
• Subsitusi Trigonometri
XV. INTEGRAL TERTENTU
• Pengertian Integral Tertentu
• Aplikasi Integral
XVI. UJIAN AKHIR SEMESTER

iii
Angka Romawi diatas, merupakan jadwal pertemuan, termasuk jadwal Ujian, baik
UTS (Ujian Tengah Semester) maupun UAS (Ujian Akhir Semester), sedang jadwal tugas
tidak tercantum diatas, melainkan tergantung dari situasi.
Bila para pembaca sekalian ingin memberi tambahan, koreksi atau
penyempurnaan, penulis menghaturkan terima kasih sebelumnya, karena modul ini pasti
akan menjadi lebih bermanfaat.
Atas perhatiannya dalam membaca modul ini, penulis mengucapkan terima kasih.
Narotama, 20 November 2010
Tony Hartono Bagio
Dosen Fakultas Ilmu Komputer
Universitas Narotama Surabaya

iv

DAFTAR ISI
Hal
Kata Pengantar ............................................................................................................ i
Daftar Isi ........................................................................................................................ iv
1. PENDAHULUAN ................................................................................................. 1
1.1 Sistem Bilangan Real ................................................................................ 1
1.2 Operasi Bilangan ....................................................................................... 3
1.3 Urutan .......................................................................................................... 3
1.4 Pertidaksamaan ......................................................................................... 4
1.5 Nilai Mutlak .............................................................................................. 7
2. FUNGSI dan LIMIT ............................................................................................... 12
2.1 Fungsi dan Grafik ...................................................................................... 12
2.2 Operasi pada Fungsi ................................................................................. 15
2.3 Pengertian Limit ........................................................................................ 16
2.4 Teorema Limit ........................................................................................... 23
2.5 Limit Kiri dan :Limit Kanan .................................................................... 31
2.6 Limit Tak Hingga ...................................................................................... 32
2.7 Kekontinuan Fungsi ................................................................................. 34
3. TURUNAN FUNGSI ............................................................................................ 38
3.1 Pengertian Turunan Fungsi ..................................................................... 38
3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat ..................................... 39
3.3 Sifat - Sifat Turunan .................................................................................. 40
3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) ............................ 41
3.5 Turunan Fungsi Invers ............................................................................. 42
3.6 Turunan Fungsi Implisit .......................................................................... 42
3.7 Turunan Tingkat Tinggi ........................................................................... 43
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden ............................... 44
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional ............................................................... 44
3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional ............................................................. 44
3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri ....................................................... 45
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri ............................................................ 46
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma ............................................................ 47
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial ....................................................... 49
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik ........................................................... 50

v

3.9 Turunan Fungsi Parameter ...................................................................... 50
4. INTEGRAL ............................................................................................................. 53
4.1 Rumus Dasar ............................................................................................. 54
4.2 Integral dengan Subsitusi ........................................................................ 55
4.3 Integral Parsial .......................................................................................... 57
4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma ............... 59
4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional ............................................................... 62
4.5.1 Keadaan N(x) = D’(x) ....................................................................... 62
4.5.2 Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x) .............................................. 62
4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x) ............................................ 63
4.6 Integral Fungsi Trigonometri.................................................................... 70
4.6.1 Rumus-rumus Sederhana ................................................................ 70
4.6.2 Bentuk ∫ R(sin x) cos x dx dan ∫ R(cos x) sin x dx ........................ 70
4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus ......................... 71
4.6.4 Substitusi y = tan (x/2) .................................................................... 71
4.6.5 Integral R(tan x) ................................................................................ 73
4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri ............... 73
4.7 Integral Fungsi Irrasional ......................................................................... 74
4.7.1 Rumus yang perlu dihafal ............................................................. 74
4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku .......................................................... 75
4.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional ..................................................... 75
4.7.4 Subsitusi Trigonometri ................................................................... 75
5. INTEGRAL TERTENTU ...................................................................................... 77
5.1 Pengertian Integral Tertentu ................................................................... 77
5.2 Aplikasi Integral ........................................................................................ 83
5.2.1 Luas Daerah ..................................................................................... 83
5.2.2 Volume Benda Putar ....................................................................... 86
5.2.3 Panjang Kurva .................................................................................. 93
5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar ....................................................... 97
5.2.5 Usaha atau Kerja .............................................................................. 101
5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat) ......................................... 104

PENDAHULUAN
1
1.1 Sistem Bilangan Real
Untuk mempelajari kalkulus perlu memahami bahasan tentang system
bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-
sifatnya.
Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ...
Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya buku yang
kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam
suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan
dengan N. Jadi
N = {1, 2, 3, 4, …}
Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua
negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1,
0, 1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi
Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus
listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam hal ini bilangan bulat tidak dapat
memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan
bilangan-bilangan rasional, seperti
2
19
,
5
2
,
4
3 −
, dan
8
7
. Bilangan rasional
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan
b
a
dengan a dan b
keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat
termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional
sebab 3 dapat ditulis sebagai
2
6
. Himpunan semua bilangan rasional biasa
dinotasikan dengan Q. Jadi
Q = {
b
a
⏐ a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}
Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup
ternyata masih tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi
miring segitiga siku-siku berikut.
1

1
1
Gambar 1
Dengan menggunakan bilangan irrasional maka hal tersebut di atas tidak menjadi
masalah. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 2 . Bilangan
irrasional yang lain antara lain 3 7,5,3 , e dan π.
Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol
bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real
dinotasikan dengan R.
Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
dan digambarkan dengan diagram venn berikut.
N
Z
Q
R
Gambar 2
Masih terdapat sistem bilangan yang lebih luas dari system bilangan real
yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a + b 1− dengan
a dan b keduanya bilangan bulat, atau a + bi dengan i = 1− . Bilangan demikian
dinamakan bilangan kompleks dan himpunan semua bilangan kompleks
dinotasikan dengan C.
2

Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebih lanjut. Jadi,
apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun
dimaksudkan adalah bilangan real.
1.2 Operasi Bilangan
Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x dan y
bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian x dan y ditulis
x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian
pada R adalah sebagai berikut.
1) Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx.
2) Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z.
3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz.
4) Elemen-elemen identitas:
Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = x.
Terhadap perkalian: 1 sebab x.1 = x.
5) Invers (balikan):
Setiap bilangan real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) –x yang
memenuhi x + –x = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai
invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x−1
yang memenuhi x. x−1
= 1.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan
x – y = x + (–y)
dan
y
x
= x. y−1
1.3 Urutan
Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan terpisah
yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan
fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) yang didefinisikan
dengan:
x < y jika dan hanya jika y – x positif.
x < y mempunyai arti yang sama dengan y > x.
3

Sifat-sifat urutan:
1) Trikotomi: Jika x dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku salah satu di
antara yang berikut:
x < y atau x = y atau x > y.
2) Transitif: jika x < y dan y < z maka x < z.
3) Penambahan: x < y ⇔ x + z < y + z
4) Perkalian:
Jika z positif maka x < y ⇔ xz < yz
Jika z negatif maka x < y ⇔ xz > yz
Relasi urutan ≤ (dibaca “kurang dari atau sama dengan”) didefinisikan dengan:
x ≤ y jika dan hanya jika y – x positif atau nol.
Sifat-sifat ini adalah:
1) Transitif: jika x ≤ y dan y ≤ z maka x ≤ z.
2) Penambahan: x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z
3) Perkalian:
Jika z positif maka x ≤ y ⇔ xz ≤ yz
Jika z negatif maka x ≤ y ⇔ xz ≥ yz
1.4. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, ≤
atau ≥. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi
pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan interval-
interval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut.
Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar
dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {x⏐ a < x < b}. Sedangkan interval tertutup
[a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan
kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {x⏐ a ≤ x ≤ b}. Beberapa interval
ditunjukkan dalam daftar berikut.
4

Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan
(a, b) {x⏐ a < x < b} a b
[a, b] {x⏐ a ≤ x ≤ b} a b
[a, b) {x⏐ a ≤ x < b} a b
(a, b] {x⏐ a < x ≤ b} a b
(−∞, b) {x⏐ x < b} a b
(−∞, b] {x⏐ x ≤ b} a b
(a, ∞) {x⏐ x > a} a b
[a, ∞) {x⏐ x ≥ a} a b
(−∞, ∞) R
Contoh Pertidaksamaan
1) 2x – 7 < 4x – 2
2) –5 ≤ 2x + 6 < 4
3) x2
– x – 6 < 0
4) 3x2
– x – 2 > 0
5) 1
2
52
≤
−
−
x
x
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2.
Penyelesaian: 2x – 7 < 4x – 2
⇔ 2x < 4x + 5
⇔ –2x < 5
⇔ x >
2
5
−
Hp: interval (
2
5
− , ∞) = {x⏐ x >
2
5
− }
5

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan –5 ≤ 2x + 6 < 4.
Penyelesaian: –5 ≤ 2x + 6 < 4
⇔ –11 ≤ 2x < –2
⇔
2
11− ≤ x < –1
Hp: interval [
2
11− , –1) = {x⏐
2
11− ≤ x < –1}
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2
– x – 6 < 0.
Penyelesaian: x2
– x – 6 < 0
⇔ (x – 3)(x + 2) < 0 + + – – – + +
–2 3
Hp: interval (–2, 3) = {x⏐ –2 < x < 3}
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2
– x – 2 > 0
Penyelesaian: 3x2
– x – 2 > 0
⇔ (x – 1)(3x + 2) > 0
+ + – – – + +
3
2− 1
Hp: interval (–∞,
3
2− ) ∪ (1, ∞) = {x⏐ x <
3
2− atau x > 1}
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1
2
52
≤
−
−
x
x
Penyelesaian:
2
52
−
−
x
x
≤ 1
⇔
2
52
−
−
x
x
– 1 ≤ 0
⇔
2
)2(52
−
−−−
x
xx
≤ 0
6

⇔
2
3
−
−
x
x
≤ 0
⇔ (x – 3)(x – 2) ≤ 0 dengan syarat x ≠ 2 (mengapa?)
+ + – – – + +
2 3
Hp: interval (2, 3] = {x⏐ 2 < x ≤ 3}
1.5 Nilai Mutlak
Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh
karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam kalkulus
disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak.
Definisi:
Nilai mutlak bilangan real x, ditulis x didefinisikan dengan
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
−
=
0
0
xjika
xjika
x
x
x
Misal: 55 = , 5)5(5 =−−=− , 00 =
Sifat-sifat nilai mutlak
1) baab =
2)
b
a
b
a
=
3) baba +≤+ (ketidaksamaan segitiga)
4) baba −≥−
Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat
digunakan teorema berikut.
7

Teorema:
1. ax < ⇔ –a < x < a
2. ax > ⇔ x < –a atau x > a.
Secara fisis x dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang memenuhi ax <
menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a.
Secara fisis cx − dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang memenuhi
acx <− menyatakan x yang jaraknya ke c kurang dari a.
44 844 76 a
44 844 76 a
–a 0 a
44 844 76 a
44 844 76 a
–a c a
Contoh 1
Tentukan penyelesaian 3<x .
Penyelesaian:
Nilai x yang memenuhi –3 < x < 3 merupakan penyelesaian pertidaksamaan 3<x .
Gambarkan penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2−x < 3.
Penyelesaian:
2−x < 3 ⇔ –3 < x – 2 < 3
⇔ –3 + 2 < x < 3 + 2
⇔ –1 < x < 5
Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi –1 < x < 5. Gambarkan pada garis
bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini.
8

Contoh 3
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 53 −x ≥ 1.
Penyelesaian:
53 −x ≥ 1 ⇔ 3x – 5 ≤ –1 atau 3x – 5 ≥ 1
⇔ 3x ≤ 4 atau 3x ≥ 6
⇔ x ≤
3
4
atau x ≥ 2
Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi x ≤
3
4
atau x ≥ 2. Gambarkan pada
garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini.
Contoh 4
Andaikan ε (epsilon) adalah bilangan positif.
Tunjukkan bahwa
5
2
ε
<−x ⇔ ε<−105x .
Penyelesaian:
5
2
ε
<−x ⇔ ε<− 25 x
⇔ ε<− 25 x
⇔ ε<− )2(5 x
⇔ ε<−105x
Contoh 5
Andaikan ε (epsilon) adalah bilangan positif, carilah bilangan positif δ sedemikian
sehingga δ<− 3x ⇒ ε<−186x
Penyelesaian:
ε<−186x ⇔ ε<− )3(6 x
⇔ ε<− 36 x
⇔ ε<− )36 x
⇔
6
3
ε
<−x
Oleh karena itu dapat dipilih δ =
6
ε
.
9

Secara mundur dapat dilihat bahwa δ<− 3x ⇒ ε<−186x .
Terkait dengan bilangan akar pangkat dua dapat dinyatakan bahwa
xx =2
SOAL 1
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan himpunan
penyelesaiannya pada garis bilangan.
1. 4x – 7 < 3x – 5 16. (x + 2)(2x – 1)(3x + 7) ≥ 0
2. 2x + 16 < x + 25 17. x3
– 5x2
– 6x < 0
3. 7x – 1 ≤ 10x + 4 18. (x + 5)(x + 2)2
(2x – 1) > 0
4. 6x – 10 ≥ 5x – 16 19. 2
4
2
<
+
−
x
x
5. 10x + 1 > 8x + 5 20. 1
3
12
≥
−
−
x
x
6. –6 < 2x + 3 < –1 21. 1+x < 4
7. –3 < 4x – 9 < 11 22. 43 +x < 8
8. 3x + 2 < 5x + 1 < 16 23. 2
3
−
x
≤ 6
9. 2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6 24. 24 +x ≥ 10
10. x2
+ x – 12 < 0 25. x42 − ≥ 10
11. x2
– 5x + 6 > 0 26. 1
5
3
+
x
≤ 4
12. 3x2
– 11x – 4 ≤ 0 27. 7
2
+
x
> 2
13. 2x2
+ 7x – 15 ≥ 0 28.
5
3
1
x
− ≤ 4
14. 0
12
5
≤
−
+
x
x
29.
x
5
2 + > 1
15. 0
1
32
>
+
−
x
x
30. 3
1
−
x
> 6.
10

Buktikan bahwa implikasi yang ditunjukkan adalah benar
31. 5,03 <−x ⇒ 5,2155 <−x .
32.
6
2
ε
<−x ⇒ ε<−126x .
33.
2
4
ε
<+x ⇒ ε<+ 82x .
Dalam soal berikut, jika ε bilangan positif, carilah bilangan positif δ sedemikian
sehingga implikasi yang diberikan benar.
34. δ<− 5x ⇒ ε<−153x
35. δ<− 2x ⇒ ε<−− 3)54( x
11

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Definisi
Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang
memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B.
A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan).
Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range
(daerah hasil).
f
A B
Gambar 2.1 Fungsi
Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain.
Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian
pula kodomain.
Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan
bilangan real.
Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F),
maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3
– 4,
maka
Fungsi dan Limit Fungsi 12

f(2) = 23
– 4 = 4
f(–1) = (–1)3
– 4 = –5
f(a) = a3
– 4
f(a + h) = (a + h)3
– 4 = a3
+ 3a2
h + 3ah2
+ h3
– 4
Contoh 1
Untuk f(x) = x2
– 2x, carilah dan sederhanakan:
a. f(4)
b. f(4 + h)
c. f(4 + h) – f(4)
d.
h
fhf )4()4( −+
dengan h ≠ 0.
Penyelesaian:
Contoh 2
Untuk f(x) = x2
– 2x dengan daerah asal {–1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f.
Penyelesaian:

Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah
asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya
bermakna dan memberikan nilai bilangan real.
Contoh 3
a. Daerah asal f(x) =
3
1
−x
adalah {x ∈ R⏐ x ≠ 3}.
b. Daerah asal g(t) = 2
9 t− adalah {t ∈ R⏐ 9 – t2
≥ 0}.
Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan
bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya
pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).
Contoh 4
Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2
– 4
(b) g(x) =
x
1
(c) h(x) = ⏐x⏐
Penyelesaian:

2.2 Operasi pada Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali fg, hasil bagi
f/g dan perpangkatan fn
adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari
daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f – g)(x) = f (x) – g(x)
(f g)(x) = f (x) g(x)
(f / g)(x) =
)(
)(
xg
xf
asalkan g(x) ≠ 0
Contoh 5
Jika f(x) = x2
– 2x dan g(x) = x – 1, tentukan f + g, f – g, fg, f/g dan f 3
. Selanjutnya
gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:

Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.
Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka
komposisi g o f memenuhi
(g o f)(x) = g (f(x))
Contoh 6
Jika f(x) = x2
– 2x dan g(x) = x – 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah
sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
(g o f)(x) = g (f(x))
= g (x2
– 2x)
= x2
– 2x – 1
(f o g)(x) = f (g(x))
= f (x – 1)
= (x – 1)2
– 2(x – 1)
= x2
– 2x + 1 – 2x + 2
= x2
– 4x + 3
Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan.
2.3 Pengertian Limit
Perkataan limit berarti mendekati, seperti “Saya sudah menahan sampai
mendekati batas kesabaran saya,” atau “Janganlah kamu mendekati zina.”
Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut.
f(x) =
1
13
−
−
x
x
Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 0
0
. Tetapi
dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1).
Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x)
dapat dilihat pada gambar berikut.

x y = f(x)
1,25 3,813
1,1 3,310
1,01 3,030
1,001 3,003
↓ ↓
1 ?
↑ ↑
0,999 2,997
0,99 2,970
0,9 2,710
0,75 2,313
Gambar 2.2
Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati
3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan
1
1
lim
3
1 −
−
→ x
x
x
= 3
dan ini dibaca “limit (x3
– 1)/ (x – 1) untuk x mendekati 1 adalah 3.”
Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1,
bukannya di 1.
Contoh 1
Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan
x
x
x
sin
lim
0→

Penyelesaian:
x y =
x
xsin
1 0,84147
0,5 0,95885
0,1 0,99833
0,01 0,99998
↓ ↓
0 ?
↑ ↑
–0,01 0,99998
–0,1 0,99833
–0,5 0,95885
–1 0,84147
Jadi,
x
x
x
sin
lim = 1.
0→
Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika ε adalah sembarang bilangan positif,
maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari ε dapat dinyatakan dalam bentuk:
Lxf −)( < ε
dan ini ekuivalen dengan
L – ε < f(x) < L + ε
yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L – ε, L + ε) seperti
terlihat pada gambar 2.3 (a).
Selanjutnya misalkan δ adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c
sehingga jarak x ke c kurang dari δ, tetapi x ≠ c maka
0 < cx − < δ
dan ini ekuivalen dengan
c – δ < x < c + δ
yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c – δ, c + δ) dan dapat digambarkan
seperti terlihat pada gambar 2.3 (b).

f(x)
L + ε
L
L – ε
x
ε<− Lxf )(
(a)
f(x)
c – δ c c + δ x
δ<−< cx0
(b)
Gambar 2.3
Gambar-gambar dalam Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 diharapkan dapat memudahkan
kita untuk memahami definisi formal dari limit sebagai berikut.
Definisi
Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis
Lxf
cx
=
→
)(lim
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat
bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε.

Untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga
apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε
Gambar 2.4
Contoh 2
Buktikan bahwa 5)73(lim
4
=−
→
x
x
Analisis pendahuluan:
Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian
sehingga apabila 0 < 4−x < δ berlaku 5)73( −−x < ε.
Perhatikan 5)73( −−x < ε ⇔ 123 −x < ε
⇔ )4(3 −x < ε
⇔ 43 −x < ε
⇔ 4−x <
3
ε

3
ε
. Tentu saja dapat dipilih bilangan δ yang kurang
dari
3
ε
.
Bukti:
Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pilih δ > 0, yaitu δ =
3
ε
. Apabila 0 < 4−x < δ
maka berlaku 5)73( −−x = 123 −x
= )4(3 −x
= 43 −x
= 3 4−x
< 3δ = 3.
3
ε
= ε.
Jadi, terbukti .5)73(lim
4
=−
→
x
x
Contoh 3
Buktikan bahwa 5
2
232
lim
2
2
=
−
−−
→ x
xx
x
Analisis pendahuluan:
Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian
sehingga apabila 0 < 2−x < δ berlaku 5
2
232 2
−
−
−−
x
xx
< ε.
Perhatikan 5
2
232 2
−
−
−−
x
xx
< ε ⇔ 5
2
)2)(12(
−
−
−+
x
xx
< ε
⇔ 5)12( −+x < ε
⇔ )2(2 −x < ε
⇔ 22 −x < ε
⇔ 2−x <
2
ε
2
ε
atau yang lebih kecil dari
2
ε
.

Bukti:
Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ =
2
ε
sehingga 0 < 2−x < δ berlaku
5
2
232 2
−
−
−−
x
xx
= 5
2
)2)(12(
−
−
−+
x
xx
= 5)12( −+x
= )2(2 −x
= 22 −x
= 2−x
< δ =
2
ε
< ε
Berarti terbukti bahwa 5
2
232
lim
2
2
=
−
−−
→ x
xx
x
.
Contoh 4
Buktikan bmcbmx
cx
+=+
→
)(lim
Analisis Pendahuluan:
Untuk setiap ε > 0, akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila
0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε.
Perhatikan:
⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε ⇔ ⏐mx – mc⏐ < ε
⇔ ⏐m⏐⏐x – c⏐ < ε
⇔ ⏐x – c⏐ <
m
ε
asalkan m ≠ 0
Dapat dipilih δ =
m
ε
.
Bukti:
Untuk m = 0, bukti cukup jelas.
Misal m ≠ 0. Untuk setiap ε > 0 dipilih δ =
m
ε
. Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ
maka berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ = ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐
= ⏐mx – mc⏐

= ⏐m⏐⏐x – c⏐
< ⏐m⏐
m
ε
= ε.

Contoh 5
Buktikan, jika c > 0, maka cx
cx
=
→
lim
Analisis Pendahuluan
Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku
cx − < ε untuk setiap ε > 0.
Perhatikan:
cx − =
cx
cxcx
+
+− ))((
=
cx
cx
+
−
=
cx
cx
+
−
≤
c
cx −
Dapat dipilih δ = cε
Bukti:
Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ = cε . Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka
berlaku cx − ≤
c
cx −
<
c
cε
< ε.
2.4 Teorema Limit
Teorema 2.4.1
Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang
mempunyai limit di c, maka:
1) kk
cx
=
→
lim
2) cx
cx
=
→
lim
3) )(lim)(lim xfkxkf
cxcx →→
=

4) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
cxcxcx →→→
+=+
5) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
cxcxcx →→→
−=−
6) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxf
cxcxcx →→→
=
7)
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
→
→
→
= , asalkan ≠ 0)(lim xg
cx→
8)
n
cx
n
cx
xfxf ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
→→
)(lim)]([lim
9) n
cx
n
cx
xfxf )(lim)(lim
→→
= , asalkan untuk n bilangan genap.0)(lim >
→
xf
cx
Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan.
Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan
menjadi lebih mudah.
Contoh 6
Carilah 2
3
5lim x
x→
Penyelesaian: = 5 teorema 2.2.1 3)2
3
5lim x
x→
2
3
lim x
x→
= 5 teorema 2.2.1 8)
2
3
lim ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
→
x
x
= 5(3)2
teorema 2.2.1 2)
= 45.
Contoh 7
Carilah )205(lim 2
3
−
→
x
x
Penyelesaian: = teorema 2.2.1 5))205(lim 2
3
−
→
x
x
20lim5lim
3
2
3 →→
−
xx
x
= 45 – 20 teorema 2.2.1 1)
= 25.

ontoh 8
Carilah
C
x
x
x
205
lim
2
3
−
→
=
x
x
x
x
3
2
3
lim
205lim
→
→
−
x
x
x
205
lim
2
3
−
→
Penyelesaian: teorema 2.2.1 7)
=
3
205lim 2
3
−
→
x
x
teorema 2.2.1 2) dan 9)
=
3
25
dari contoh 7.
=
3
5
gat, bentuk disebut polinom dan hasil bagi
polinom
n
n xaxaxaaxf ++++= ...)( 2
210
disebut fungsi rasional,
m
m
n
xa+...
In
n
xb+...
.
eorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.
engan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi
xbxbb
xaxaa
+++
+++
2
210
2
210
Teorema 2.4.2
olinom maka = f(c)
2) Jika f fungsi rasional maka = f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol.
1) Jika f fungsi p )(lim xf
cx→
)(lim xf
cx→
T
D
rasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut
untuk fungsi rasional dipenuhi.

Contoh 9
Tentukan 613107lim 45
2
+−−
→
xxx
x
Penyelesaian: = 7(2)5
– 10(2)4
– 13(2) + 6 = 44613107lim 45
2
+−−
→
xxx
x
Contoh 10
Tentukan
863
613107
lim
2
45
2 −−
+−−
→ xx
xxx
x
Penyelesaian:
863
613107
lim
2
45
2 −−
+−−
→ xx
xxx
x
=
8)2(6)2(3
6)2(13)2(10)2(7
2
45
−−
+−−
=
8
44
−
=
2
11
− .
Contoh 11
Tentukan
12
73
lim
2
3
1 +−
++
→ xx
xx
x
=
2
3
1 )1(
73
lim
−
++
→ x
xx
x
Penyelesaian:
Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol
dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol.
Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian
bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah
bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan
membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada.
Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain.
Contoh 12
Tentukan
6
103
lim 2
2
2 −+
−+
→ xx
xx
x
Penyelesaian:
Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan
penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi.
6
103
lim 2
2
2 −+
−+
→ xx
xx
x
=
)3)(2(
)5)(2(
lim
2 +−
+−
→ xx
xx
x
=
3
5
lim
2 +
+
→ x
x
x
=
5
7

Teorema 2.4.3 (Teorema Apit)
Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x di
sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika = = L,)(lim xf
cx→
)(lim xh
cx→
maka = L.)(lim xg
cx→
Bukti:
Diberikan bilangan ε > 0
Karena = L, berarti terdapat bilangan δ1 > 0 sedemikian hingga)(lim xf
cx→
0 < ⏐x – c⏐ < δ1 ⇒ ⏐f(x) – L⏐ < ε ⇔ L – ε < f(x) < L + ε.
Karena = L, berarti terdapat bilangan δ2 > 0 sedemikian hingga)(lim xh
cx→
0 < ⏐x – c⏐ < δ2 ⇒ ⏐h(x) – L⏐ < ε ⇔ L – ε < h(x) < L + ε
Dipilih δ = min{δ1, δ2}
Apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka berlaku
L – ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
⇒ L – ε < g(x) < L + ε
⇔ ⏐g(x) – L⏐ < ε
Terbukti = L.)(lim xg
cx→
Contoh 13
Dapat diselidiki bahwa 1 –
6
2
x
≤
x
xsin
≤ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi
tidak 0. Tunjukkan bahwa
x
x
x
sin
lim
0→
= 1.

Penyelesaian:
Misalkan f(x) = 1 –
6
2
x
, g(x) =
x
xsin
, dan h(x) = 1, maka =)(lim
0
xf
x→ 6
1lim
2
0
x
x
−
→
= 1
dan = 1, sehingga diperoleh)(lim
0
xh
x→
6
1lim
2
0
x
x
−
→
≤
x
x
x
sin
lim
0→
≤ 1lim
0→x
⇔ 1 ≤
x
x
x
sin
lim
0→
≤ 1
Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan
x
x
x
sin
lim
0→
= 1.
SOAL 2
1. Untuk fungsi f(x) = 3x3
+ x, hitunglah masing-masing nilai
a. f(1) c. f( 2
1
)
b. f(–6) d. f(
x
1
)
2. Untuk fungsi g(t) = 2
1 t
t
+
, hitunglah masing-masing nilai
a. f(1) c. f( 4
1
)
b. f(9) d. f(
4
1
x
)
3. Gambarlah grafik fungsi
a. b.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤+−
=
1,3
1,4
)(
2
xx
xx
xf
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥+
<<
≤−
=
2,1
20,1
0,1
)(
2
xx
x
xx
xg
4. Jika f(x) = x2
+ x dan g(x) =
3
2
+x
, tentukan:
a. (f + g)(2) d. (f / g)(1)
b. (f – g)(2) e. (g o f)(1)
c. (f g)(1) f. (f o g)(1)
5. Jika f(x) = 12
−x dan g(x) =
x
2
, tentukan:

a. (f g)(x) d. (f o g)(x)
+ g 4
(x)
c. (g o f)(x)
alam soal nom it-limit tersebut.
b. (f / g)(x) e. f 4
(x)
D or 6 – 10, buktikan lim
2)73(lim
3
=−
→
x
x
6.
8)42(lim
2
−=−
−→
x
x
7.
8. 10
5
25
lim
2
5
=
−
−
→ x
x
x
7
1
65
lim
2
1
=
−
−+
→ x
xx
x
9.
10. 22lim
2
=
→
x
x
11. Buktikan bahwa jika )(lim xf
cx→
= L dan )(lim xf
cx→
= M, maka L = M.
Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 ≤ F(x) ≤ G(x)
mua x dekat dengan c,
12.
untuk se kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika
= 0 maka = 0.
k soal-soa erikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut
3.
4.
5.
6.
)(lim xG
cx→
)(lim xF
cx→
Untu l b
)47(lim
3
−
→
x
x
1
)52(lim 3
1
xx
x
−
−→
1
)27)(34(lim 32
0
xxx
x
+−
→
1
24
83
lim 3
4
2 +
−
−→ x
x
x
1
17.
4
2
lim 2
2
2 −
−
→ u
uu
u
18.
54
77
lim 2
2
1 −−
++
−→ tt
tt
t

9.
44
)6)(2(
lim 2
2
2 ++
−−+
−→ ww
www
w
1
20.
12
)32)(1(
lim 2
2
1 +−
−+−
→ yy
yyy
y

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan
Definisi
Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis
)(lim xf
cx −
→
= L
jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0
sedemikian sehingga apabila 0 < c – x < δ , maka berlaku Lxf −)( < ε.
Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis
)(lim xf
cx +
→
= L
jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0
sedemikian sehingga apabila 0 < x – c < δ , maka berlaku Lxf −)( < ε.
Teorema 2.5.1
Lxf
cx
=
→
)(lim jika dan hanya jika = = L)(lim xf
cx −
→
)(lim xf
cx +
→
Contoh 14
f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥−
1,
1,2
2
x
x
x
x
Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik
fungsi f.
)(lim
1
xf
x −
→
)(lim
1
xf
x +
→
)(lim
1
xf
x→
Penyelesaian:
)(lim
1
xf
x −
→
= 1lim 2
1
=
→
x
x
)(lim
1
xf
x +
→
= 12lim
1
=−
→
x
x
Karena = = 1 maka = 1.)(lim
1
xf
x −
→
)(lim
1
xf
x +
→
)(lim
1
xf
x→

Contoh 15
g(x) = Tentukan , , dan ,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥−
1,
1,3
2
x
x
x
x
)(lim
1
xg
x −
→
)(lim
1
xg
x +
→
)(lim
1
xg
x→
selanjutnya gambarkan grafik fungsi g
Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik
fungsi f.
)(lim
1
xg
x −
→
)(lim
1
xg
x +
→
)(lim
1
xg
x→
Penyelesaian:
)(lim
1
xg
x −
→
= 1lim 2
1
=
→
x
x
)(lim
1
xg
x +
→
= 23lim
1
=−
→
x
x
)Karena ≠ maka tidak ada.)(lim
1
xg
x −
→
(lim
1
xg
x +
→
)(lim
1
xg
x→
2.6 Limit Tak Hingga
Contoh 16
Carilah 20
1
lim
xx→
jika ada.
Penyelesaian:
x
2
1
x
± 1 1
± 0,5 4
± 0,2 25
± 0,1 100
± 0,05 400
± 0,01 10.000
± 0,001 1.000.000
Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam contoh ini kita
gunakan notasi
Semakin x mendekati 0, x2
juga semakin dekat
dengan 0, dan nilai 2
1
x
menjadi sangat besar
(lihat tabel di samping). Nampak dari grafik
fungsi f(x) = 2
1
x
yang diperlihatkan pada
gambar 2.4 bahwa nilai f(x) dapat dibuat sangat
besar dengan mengambil x cukup dekat ke 0.
dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu
bilangan , sehingga 20
1
lim
xx→
tidak ada.

20
1
lim
xx→
= ∞
Hal ini tidak berarti bahwa kita menganggap ∞ sebagai suatu bilangan. Tidak juga
bermakna bahwa limit tersebut ada. Notasi tersebut hanyalah menyatakan cara khusus
untuk menunjukkan bahwa limit tersebut tidak ada.
Secara umum kita tuliskan
)(lim xf
cx→
= ∞
untuk menunjukkan nilai f(x) menjadi semakin besar ketika x semakin mendekati c.
Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak berhingga ketika x
mendekati c dituliskan dengan
)(lim xf
cx→
= – ∞
Contoh 17
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→ 20
1
lim
xx
= – ∞
Hal ini juga dapat diberlakukan untuk limit kiri dan limit kanan
)(lim xf
cx −
→
= ∞ = ∞)(lim xf
cx +
→
)(lim xf
cx −
→
= – ∞ = – ∞)(lim xf
cx +
→
Sebuah garis x = c disebut asimtot tegak kurfa y = f(x) jika paling sedikit salah satu
dari pernyataan berikut benar:
)(lim xf
cx→
= ∞ = ∞ = ∞)(lim xf
cx −
→
)(lim xf
cx +
→
)(lim xf
cx→
= – ∞ = – ∞ = – ∞)(lim xf
cx −
→
)(lim xf
cx +
→
Sebagai contoh, sumbu Y atau x = 0 merupakan asimtot tegak kurva y = 2
1
x
karena
20
1
lim
xx→
= ∞.

Contoh 18
Hitunglah
( )
x
x
tanlim
2
−
→ π
dan
( )
x
x
tanlim
2
+
→ π
Penyelesaian:
( )
x
x
tanlim
2
−
→ π
=
( ) x
x
x cos
sin
lim
2
−
→ π
=
( )
( )
x
x
x
x
coslim
sinlim
2
2
−
−
→
→
π
π
= ∞
( )
x
x
tanlim
2
+
→ π
=
( ) x
x
x cos
sin
lim
2
+
→ π
=
( )
( )
x
x
x
x
coslim
sinlim
2
2
+
+
→
→
π
π
= – ∞
2.7 Kekontinuan Fungsi
Definisi
Misalkan f : A → R suatu fungsi, maka
a. Fungsi f dikatakan kontinu di c ∈ A jika )()(lim cfxf
cx
=
→
b. Fungsi f dikatakan kontinu pada himpunan A jika f kontinu disetiap anggota A.
Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c ∈ A jika dipenuhi ketiga
syarat berikut:
1) ada)(lim xf
cx→
2) Nilai f(c) ada
3) )()(lim cfxf
cx
=
→

Contoh 19
1. f(x) =
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−
2,
2,
1
2
42
x
x
x
x
Apakah f kontinu di x = 2?
Gambarkan grafik fungsi f.
Penyelesaian:
1) =)(lim
2
xf
x→ 2
4
lim
2
2 −
−
→ x
x
x
=
2
)2)(2(
lim
2 −
+−
→ x
xx
x
= )2(lim
2
+
→
x
x
= 4 (ada)
2) f(2) = 1 (ada)
3) Karena ≠ f(2) maka f)(lim
2
xf
x→
tidak kontinu di x = 2.
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.
2. f(x) =
2
42
−
−
x
x
Penyelesaian:
1) =)(lim
2
xf
x→ 2
4
lim
2
2 −
−
→ x
x
x
=
2
)2)(2(
lim
2 −
+−
→ x
xx
x
= )2(lim
2
+
→
x
x
= 4 (ada)
2) f(2) tidak ada
3) Karena f(2) tidak ada, maka f tidak kontinu di x = 2.
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.
3. f(x) =
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−
2,
2,
4
2
42
x
x
x
x

Penyelesaian:
1) =)(lim
2
xf
x→ 2
4
lim
2
2 −
−
→ x
x
x
=
2
)2)(2(
lim
2 −
+−
→ x
xx
x
= )2(lim
2
+
→
x
x
= 4 (ada)
2) f(2) = 4 (ada)
3) Karena = f(2) maka f kontinu di x = 2.)(lim
2
xf
x→
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.
4. f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥−
1,
1,2
2
x
x
x
x
Penyelesaian:
1) =)(lim
1
xf
x −
→
1lim 2
1
=
→
x
x
)(lim
1
xf
x +
→
= 12lim
1
=−
→
x
x
Karena = = 1 maka = 1 (ada))(lim
1
xf
x −
→
)(lim
1
xf
x +
→
)(lim
1
xf
x→
Lihat kembali contoh 14.
2) f(1) = 2 – 1 = 1 (ada)
3) Karena = f(1), maka f kontinu di x = 1.)(lim
1
xf
x→
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.
5. g(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥−
1,
1,3
2
x
x
x
x
Apakah g kontinu di x = 1?
Gambarkan grafik fungsi g.
Penyelesaian:
1) =)(lim
1
xg
x −
→
1lim 2
1
=
→
x
x
=)(lim
1
xg
x +
→
23lim
1
=−
→
x
x

)Karena ≠ maka tidak ada.)(lim
1
xg
x −
→
(lim
1
xg
x +
→
)(lim
1
xg
x→
(lihat kembali contoh 15)
Karena tidak ada, maka g)(lim
1
xg
x→
tidak kontinu di x = 1
Teorema 2.7.1
1. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R.
2. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta
maka fungsi f + g, f – g, kf , f /g (asal )(lim xg
cx→
≠ 0) juga kontinu di c.
3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g
kontinu di c.
SOAL 2
1. Tentukan limit (sepihak) berikut:
a.
x
x
x −
→0
lim
b.
x
x
x +
→0
lim
c. ,
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>−
≤≤
<
=
1,2
10,
0,
)( 2
xx
xx
xx
xf
)(lim
0
xf
x −
→
, , , dan)(lim
0
xf
x +
→
)(lim
1
xf
x −
→
)(lim
1
xf
x +
→
2. Apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di 2?
a. h(t) =
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−
2,
2,
12
2
83
t
t
t
t

b. h(t) =
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−
2,
2,
2
2
84
t
t
t
t
c. g(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
+
+
2,
2,
1
3
2
x
x
x
x
d. f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
−
+−
2,
2,
2
43
x
xx
3. f(x) =
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>−
≤≤
<
1,2
10,
0,
2
xx
xx
xx
a. Apakah f kontinu di 0?
b. Apakah f kontinu di 1?
4.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤≤−
<
=
1,
10,
0,
)(
2
xx
xx
xx
xg
a. Apakah g kontinu di 0?
b. Apakah g kontinu di 1?

TURUNAN FUNGSI
3
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
Definisi
Turunan fungsi f adalah fungsi f ’ yang nilainya di c adalah
f ’ (c) =
h
cfhcf
h
)()(
lim
0
−+
→
asalkan limit ini ada.
Contoh 1
Jika f(x) = 3x2
+ 2x +4, maka turunan f di x = 2 adalah
f ’ (2) =
h
fhf
h
)2()2(
lim
0
−+
→
=
h
hh
h
)42.22.3(4)2(2)2(3
lim
22
0
++−++++
→
=
h
hhh
h
)4412(424)44(3
lim
2
0
++−+++++
→
=
h
hhh
h
2312
lim
2
0
++
→
=
h
hh
h
)2312(
lim
0
++
→
= )2312(lim
0
++
→
h
h
= 14
Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka
f ’ (x) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
Jika y = f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y ’, atau
dx
dy
, atau f ’ (x), atau
dx
xdf )(
Turunan Fungsi 38

Contoh 2
Jika f(x) = 3x2
+ 2x +4, maka turunan f di sembarang x adalah
f ’ (x) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
=
h
xxhxhx
h
)423(4)(2)(3
lim
22
0
++−++++
→
=
h
xxhxhxhx
h
)423(422)2(3
lim
222
0
++−+++++
→
=
h
hhxh
h
236
lim
2
0
++
→
=
h
hxh
h
)236(
lim
0
++
→
= )236(lim
0
++
→
hx
h
= 6x + 2
3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat
1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (f fungsi konstan), maka f ’(x) = 0.
Bukti: f ’(x) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
=
h
kk
h
−
→0
lim
= 0
2. Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f ’(x) = 1.
Bukti: f ’(x) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
=
h
xhx
h
−+
→
)(
lim
0
=
h
h
h 0
lim
→
= 1.
3. Jika f(x) = xn
dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1
.
Bukti: f ’(x) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
=
h
xhx nn
h
−+
→
)(
lim
0
Turunan Fungsi 39

=
h
xhnxhhx
nn
hnxx nnnnnn
h
−+++
−
++ −−−
→
1221
0
...
2
)1(
lim
=
h
hnxhhx
nn
nxh nnnn
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
−
+ −−−−
→
1221
0
...
2
)1(
lim
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
−
+ −−−−
→
1221
0
...
2
)1(
lim nnnn
h
hnxhhx
nn
nx
= 1
0
lim −
→
n
h
nx
= 1−n
nx
Contoh 3
Jika f(x) = x5
, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4
3.3 Sifat-sifat Turunan
Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi-
fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku:
1. Jika y = ku maka y ’ = k(u’ )
2. Jika y = u + v maka y ’ = u ’ + v ’
3. Jika y = u – v maka y ’ = u ’ – v ’
4. Jika y = u v maka y ’ = u ’ v + u v ’
5. Jika y =
v
u
maka y ’ = 2
''
v
uvvu −
Contoh 4
1. Jika f(x) = 3x5
, maka f ’(x) = 3.5x4
= 15x4
2. Jika f(x) = 3x5
+ 2x, maka f ’(x) = 15x4
+ 2
3. Jika f(x) = 3x5
– 2x, maka f ’(x) = 15x4
– 2
4. Jika f(x) = (3x5
+ 2x)(4x + 7), maka f ’(x) = (15x4
+ 2) (4x + 7) + (3x5
+ 2x)4
5. Jika f(x) =
74
23 5
+
+
x
xx
, maka f ’(x) = 2
54
)74(
4)23()74)(215(
+
+−++
x
xxxx
Turunan Fungsi 40

6. Jika f(x) = x p
dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x –n
dengan – n = p,
sehingga f(x) = n
x
1
. Dengan menggunakan turunan y =
v
u
diperoleh
f ’(x) = 2
1
)(
.1.0
n
nn
x
nxx −
−
= n
n
x
nx
2
1−
−
= nn
xnx 21 −−
−
= 1−−
− n
nx
= 1−p
px
3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi)
Untuk menentukan turunan y = (3x4
+ 7x – 8)9
dengan cara mengalikan
bersama kesembilan faktor (3x4
+ 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom
berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan
turunan y = (3x4
+ 7x – 8)9
adalah dengan menggunakan aturan rantai.
dx
du
du
dy
dx
dy
=
Aturan Rantai
Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan
dengan y = f(g(x)) = (f o g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di
u = g(x) maka y = (f o g)(x) terdiferensialkan di x dan
y ’ = (f o g) ’ (x)
= f ’(g(x)) g’(x)
atau
Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan
seterusnya.
Jika y = f(u)
u = g(v)
v = h(x)
yakni y = (f o g o h)(x)
maka
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
=
Turunan Fungsi 41

Contoh 5
Tentukan turunan y = (3x4
+ 7x – 8)9
Penyelesaian:
Misalkan u = 3x4
+ 7x – 8 →
dx
du
=12x3
+ 7
y = u9
→
du
dy
= 9u8
.
dx
du
du
dy
dx
dy
= = 9u8
(12x3
+ 7)
= 9(3x4
+ 7x – 8)8
(12x3
+ 7)
3.5 Turunan Fungsi Invers
Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f –1
sehingga x = f –1
(y). Dengan
menggunakan aturan rantai pada x = f –1
(y) diperoleh
dx
dy
dy
ydf
dx
dx )(1−
=
⇔ 1 =
dx
dy
dy
dx
⇔
dy
dx
=
dx
dy
1
3.6 Turunan Fungsi Implisit
Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai
fungsí dalam x.
Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3
– 8 = 0
2) 2x3
y – 7y – x2
+ 1 = 0
Contoh 6
1. Tentukan
dx
dy
dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3
– 8 = 0
Penyelesaian:
Apabila kedua ruas y – 2x3
– 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
Turunan Fungsi 42

dx
dy
– 6x2
= 0 ⇔
dx
dy
= 6x2
2. Tentukan
dx
dy
dari fungsí yang dirumuskan dengan 2x3
y – 7y – x2
+ 1 = 0
Penyelesaian:
Apabila kedua ruas 2x3
y – 7y – x2
+ 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
6x2
y + 2x3
dx
dy
– 7
dx
dy
– 2x = 0
⇔
dx
dy
(2x3
– 7) = 2x – 6x2
y
⇔
dx
dy
=
72
62
3
2
−
−
x
yxx
3.7 Turunan Tingkat Tinggi
Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi sehingga boleh
jadi f ’ mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’
baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f .
Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai
2
2
dx
yd
dx
dy
dx
d
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Notasi lain adalah f ’’(x) = D2
f(x)
Contoh 7
Jika f(x) = 3x4
+ 7x – 8, tentukan f ’’(x).
Penyelesaian:
f ’(x) = 12x3
+ 7
untuk mencari f ’’(x) kita turunkan f ’(x):
f ’’(x) = )712( 3
+x
dx
d
= 36x2
Contoh 8
Jika f(x) = (3x5
+ 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
Turunan Fungsi 43

Penyelesaian:
f ’(x) = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ )23( 5
xx
dx
d
(4x + 7) + (3x5
+ 2x) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ )74( x
dx
d
= (15x4
+ 2) (4x + 7) + (3x5
+ 2x)4
f ’’(x) =
dx
d
[(15x4
+ 2) (4x + 7) + (3x5
+ 2x)4]
=
dx
d
[(15x4
+ 2) (4x + 7)] +
dx
d
[(3x5
+ 2x)4]
= +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ )74()215()74()215( 44
x
dx
d
xxx
dx
d
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 4)23(4)23( 55
dx
d
xxxx
dx
d
= 60x3
(4x + 7) + (15x4
+ 2) 4 + (15x4
+ 2) 4 + (3x5
+ 2x).0
= 60x3
(4x + 7) + (15x4
+ 2) 4 + (15x4
+ 2) 4
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
HiperbolikFungsi
alEksponensiFungsi
LogaritmaFungsi
SiklometriFungsi
riTrigonometFungsi
TransendenFungsi
IrrasionalFungsi
RasionalFungsi
AljabarFungsi
Fungsi
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional
Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah
contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak
perlu dibahas kembali.
3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional
Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional
Turunan Fungsi 44

Contoh 9
Tentukan turunan y = n
x dengan n bilangan bulat positif
Penyelesaian: y = n
x ⇔ x = y n
sehingga
dy
dx
= ny n–1
dx
dy
=
dy
dx
1
= 1
1
−n
ny
= n
y
n
−11
= ( ) n
n
x
n
−11
= ( ) n
n
x
n
−111
=
111 −n
x
n
Contoh 10
Tentukan turunan y = xx 43
+
Penyelesaian: y = xx 43
+ = ( )2
1
43
xx +
Dengan aturan rantai diperoleh: y ’ = ( ) ( )434
2
1 23 2
1
++
−
xxx
=
xx
x
42
43
3
2
+
+
3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri
Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut.
Ingat: cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
Jika f(x) = cos x, maka
f ’(x) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
=
h
xhx
h
cos)cos(
lim
0
−+
→
=
h
xhxhx
h
cossinsincoscos
lim
0
−−
→
=
h
hxhx
h
sinsin)1(coscos
lim
0
−−
→
=
h
hx
h
)1(coscos
lim
0
−
→
–
h
hx
h
sinsin
lim
0→
= x
h
coslim
0→ h
h
h
)1(cos
lim
0
−
→
– x
h
sinlim
0→ h
h
h
sin
lim
0→
= cos x . 0 – sin x . 1
= – sin x
Turunan Fungsi 45

jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin xJadi,
Analog:
jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x
jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2
x
jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2
x
jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x
jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri.
Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut.
y = arc sin x → x = sin y → 1
x
y
2
1 x−
dy
dx
= cos y
dx
dy
=
ycos
1
cos y = 2
1 x−
=
2
1
1
x−
jika y = arc sin x, maka y ’ =
2
1
1
x−
Jadi,
Turunan Fungsi 46

Analog:
jika y = arc cos x, maka y ’ = –
2
1
1
x−
jika y = arc tg x, maka y ’ = 2
1
1
x+
jika y = arc ctg x, maka y ’ = – 2
1
1
x+
jika y = arc sec x, maka y ’ =
1
1
2
−xx
jika y = arc cosec x, maka y ’ = –
1
1
2
−xx
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma
Akan dicari turunan f(x) = ln x berikut.
f ’(x) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
=
h
xhx
h
ln)ln(
lim
0
−+
→
=
h
x
hx
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
→
ln
lim
0
=
h
x
h
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
1ln
lim
0
=
x
x
h
x
h
h
.
1ln
lim
0
⎝
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎛
+
=
x
x
h
h
x
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
1ln
lim
0
Turunan Fungsi 47

=
x
x
h h
x
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
1ln
lim
0
=
x
x
h
h
h
x
h
0
0
lim
1lnlim
→
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Mengingat (1) = ln dan (2))(lnlim
0
xf
h→
)(lim
0
xf
h→
e
x
h h
x
h
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
1lim
0
Sehingga diperoleh:
f ’(x) =
x
x
h
h
h
x
h
0
0
lim
1lnlim
→
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
x
x
h
h
h
x
h
0
0
lim
1limln
→
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
x
eln
=
x
1
jika f(x) = ln x, maka f ’(x) =
x
1Jadi,
Selanjutnya jika y = a
log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut.
y = a
log x ⇔ y =
a
x
ln
ln
=
aln
1
ln x
Sehingga y ’ =
aln
1
x
1
=
ax ln
1
Turunan Fungsi 48

jika y = a
log x , maka y ’ =
ax ln
1Jadi,
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial
Akan dicari turunan y = a x
sebagai berikut.
y = a x
⇔ ln y = ln a x
⇔ ln y = x ln a
⇔ x =
a
y
ln
ln
⇔ x =
aln
1
ln y
Sehingga
dy
dx
=
aln
1
y
1
Diperoleh
dx
dy
= y ln a.
= a x
ln a
jika y = a x
, maka y ’ = a x
ln aJadi,
Khususnya untuk a = e, jika y = e x
, maka y ’ = e x
ln e
= e x
jika y = e x
, maka y ’ = e xJadi,
Turunan Fungsi 49

3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik
Definisi
sinh x =
2
xx
ee −
−
coth x =
xtanh
1
= xx
xx
ee
ee
−
−
−
+
cosh x =
2
xx
ee −
+
sech x =
xcosh
1
= xx
ee −
+
2
tanh x =
x
x
cosh
sinh
= xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
csch x =
xsinh
1
= xx
ee −
−
2
Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh
)(' xf = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − −
2
xx
ee
dx
d
=
2
)( xx
ee −
−−
=
2
xx
ee −
+
= cosh x.
Jadi, jika f(x) = sinh x, maka f ’(x) = cosh x
3.9 Turunan Fungsi Parameter
Apabila disajikan persamaan berbentuk:
x = f(t)
y = g(t)
maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut
parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari
dx
dy
dengan cara sebagai
berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak
bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi
y = g(t)
= g(h(x))
Turunan Fungsi 50

Diperoleh
dx
dy
=
dt
dy
dx
dt
atau
dx
dy
=
dt
dy
dt
dx
1
dx
dy
=
dtdx
dtdysehingga
SOAL
Carilah
dx
dy
untuk yang berikut
1. y = (3x4
+ 2x2
+ x)(x2
+ 7) 5. y =
934
1
2
+− xx
2. y = (x3
+ 3x2
)(4x2
+ 2) 6. y =
1
1
+
−
x
x
3. y =
13
1
2
+x
7. y =
12
132 2
+
+−
x
xx
4. y =
15
2
2
−x
Dengan aturan rantai tentukan
dx
dy
untuk yang berikut
8. y = (2 – 9x)15
9. y = (5x2
+ 2x – 8)5
15. y = sin ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
52
13
x
x
10. y = 92
)934(
1
+− xx
16. y = cos ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
4
12
x
x
11. y = sin (3x2
+ 11x) 17. y = arcsin (3x4
– 11x)
12. y = cos (3x4
– 11x) 18. y = arctg (3x4
– 11x)8
13. y = sin3
x 19. y = ln (5x2
+ 2x – 8)
14. y =
4
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
x
x
20. y = e (2 – 9x)
Tentukan turunan fungsí implisit berikut
21. x2
+ y2
= 9 26. 4x3
+ 11xy2
– 2y3
= 0
22. 4x2
+ 9y2
= 36 27. xy + 3y = 10x
23. x y = 4 28. xy + sin y = x2
24. xy2
– x + 16 = 0 29. cos (xy) = y2
+ 2x
25. x3
– 3x2
y+ 19xy = 0 30. 6x – xy2 + xy3
= y2
Turunan Fungsi 51

Tentukan
dx
dy
untuk fungís parameter berikut
31. y = 2 – 9t 34. x = ln (2t – 9)
x = sin t y = (t2
+ 7)3
32. y = 2 – 9t2
35. x = e (2t – 9)
x = arc sin (t – 1) y = cosec t
33. x = ln (2 – 9t) 36. y = sec (t – 1)
y = sin t x = tg (t – 1)
Turunan Fungsi 52

Integral
INTEGRAL
4
Definisi 4.0.1
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan
D jika
F ’(x) = f(x)
untuk setiap x ∈ D.
Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan ∫ dxxf )( dan f (x) dinamakan integran.
Jadi
dx
d
∫ dxxf )( = f (x).
Contoh 1
sin x, sin x + 5, sin x – 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos x pada
seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos x untuk semua x.
Sifat 4.0.2:
Misalkan f dan g mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta, maka
1. ∫ dxxkf )( =
[ =
∫ dxxfk )(
2. ∫ + dxxgxf )]()( ∫∫ + dxxgdxxf )()(
Teorema 4.0.3
Jika F dan G keduanya integral tak tentu dari f pada interval I, maka F(x) dan G(x)
berselisih suatu konstanta pada I
Jadi F(x) – G(x) = C dengan C sembarang konstanta.
Akibat 4.0.4
Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f , maka
∫ dxxf )( = F(x) + C.
dengan C konstanta sembarang.
Thobirin, Kalkulus Integral 53

Integral
4.1 Rumus Dasar
1. ∫ =dxxn 1
1
1 +
+
n
x
n
+ C , n ≠ –1 11. dx
x∫ + 2
1
1
= arc tan x + C
2. ∫ dx
x
1
= ln x + C , x ≠ 0 = – arc cot x + C
3. ∫ = e x
+ C 12.dxex
dx
x
∫ − 2
1
1
= arc sin x + C
4. ∫ =dxax x
a
aln
1
+ C , a ≠ 1 = – arc cos x + C
a > 0
5. ∫ = – cos x + C 13.dxxsin dx
xx
∫ −1
1
2
= arc sec x + C
6. ∫ = sin x + C = – arc csc x + Cdxxcos
7. ∫ = tan x + C 14.dxx2
sec ∫ dxxsinh = cosh x + C
8. ∫ = – cot x + C 15.dxx2
csc ∫ dxxcosh = sinh x + C
9. ∫ = sec x + Cdxxx tansec
10. ∫ = – csc x + Cdxxxcotcsc
SOAL
Tentukan:
1. ∫ − dxx 2
)2(
2. dx
x
xx
∫
++
3
2
12
3. dx
x
x
∫
+1
4. ∫ − dxxx )(sin
5. ∫ dxx
2

Integral
4.2 Integral dengan Substitusi
Masalah: Tentukan ∫ + dxx 2006
)52(
Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada
teorema berikut.
Teorema 4.2.1
Jika u = g(x) yang didefinisikan pada interval I mempunyai invers x = g –1
(u) dan
fungsi-fungsi g dan g –1
keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada
intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g –1
didefinisikan,
maka
∫ dxxgxgf )(')}({ = ∫ duuf )(
Contoh 2
Tentukan ∫ + dxx 2006
)52(
Penyelesaian:
Substitusikan u = 2x + 5 → 2=
dx
du
du = 2 dx
maka =∫ + dxx 2006
)52( ∫ + dxx 2)52(
2
1 2006
= ∫ duu2006
2
1
= 2007
2007
1
2
1
u + C
= 2007
)52(
4014
1
+x + C
Contoh 3
Tentukan ∫ + dxxx 20062
)53(
Penyelesaian:
Substitusikan u = 3x2
+ 5 →
dx
du
= 6x
du = 6x dx

Integral
maka =∫ + dxxx 20062
)53( ∫ + dxxx 6)53(
6
1 20062
= ∫ duu2006
6
1
= 2007
2007
1
6
1
u + C
= 20072
)53(
12042
1
+x + C
Contoh 4
Tentukan ∫ dxx
2
1
cos
Penyelesaian:
Substitusikan u = x
2
1
→
2
1
=
dx
du
⇔ du =
2
1
dx
maka ∫ dxx
2
1
2
1
cos2 = ∫ duucos2
= 2 sin u + C
= 2 sin x
2
1
+ C
SOAL
Tentukan:
1. ∫ 6.− dxx 9
)2(3 ∫ −
dx
x2
4
1
2. ∫ 7.+ dxxx 92
)25( ∫ ++ 2
)1(4 x
dx
3. ∫ +
dx
x 4
)3(
8
8. ∫ − dxxx 12 2
4. ∫ dx
xx ln
1
9. ∫ dxxe x
cossin
5. ∫ dx
x
x)sin(ln
10. ∫ dxe x4

Integral
4.3 Integral Parsial
Masalah: Tentukan ∫ dxex x
Misalkan: u = f(x) → )(' xf
dx
du
= → dxxfdu )('= → dxudu '=
v = g(x) → )(' xg
dx
dv
= → dxxgdv )('= → dxvdv '=
uv = f(x) g(x) → )(')()()('
)(
xgxfxgxf
dx
uvd
+=
dxxgxfdxxgxfuvd )(')()()(')( +=
=)(uvd dxuvdxvu '' +
=)(uvd dvuduv +
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh
uv = ∫∫ + dvuduv
∫ dvu = uv – ∫ duv
⇔
Contoh 5
Tentukan ∫ dxex x
Penyelesaian:
Misalkan u = x → du = dx
→dxedv x
= xx
edxev == ∫
sehingga =∫ dxex x
∫− dxeex xx
= ∫− dxeex xx
= Ceex xx
+−
Contoh 6
Tentukan ∫ dxex x2
Penyelesaian:
Misalkan → du = 2x dx2
xu =
→dxedv x
= xx
edxev == ∫

Integral
sehingga =∫ dxex x2
∫− xdxeex xx
22
= ∫− dxxeex xx
22
= Ceexex xxx
+−− )(22
= Ceexex xxx
++− 22
Contoh 7
Tentukan 5.∫ dxxx cos
Penyelesaian:
Misalkan u = x → du = dx
→dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫
sehingga =∫ dxxx cos ∫− dxxxx sinsin
= Cxxx ++ cossin
Contoh 8
Tentukan ∫ dxxex
cos
Penyelesaian:
Misalkan →x
eu = dxedu x
=
→dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫
sehingga =∫ dxxex
cos ∫− dxexxe xx
sinsin
= ∫− dxxexe xx
sinsin
misal →x
eu = dxedu x
=
dxxdv sin= → ∫= dxxv sin
xcos−=
= { }∫−−−− dxexxexe xxx
cos)cos(sin
= ∫−+ dxexxexe xxx
coscossin
Diperoleh ∫ =dxxex
cos ∫−+ dxexxexe xxx
coscossin
2 ∫ =dxxex
cos xexe xx
cossin +
∫ =dxxex
cos xexe xx
cos
2
1
sin
2
1
+ + C

Integral
SOAL
Tentukan:
1. ∫ 6.dxxx sin ∫ dxxex
sin
2. ∫ 7.dxxx 2sin ∫ dxxarcsin
3. ∫ 8.dxxln ∫ dxarctan
4. ∫ 9.−
dxex x
∫ dxxx 2
ln
5. ∫ 10.−
dxex x2
∫ dx
x
xlnln
4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma
Ingat: dx
x∫ + 2
1
1
= arc tan x + C
Berdasarkan rumus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a ≠ 0, maka
berlaku:
dx
xa∫ + 22
1
=
a
1
arc tan
a
x
+ C (4.4.1)
Perhatikan penyebut dalam integran.
Selanjutnya akan dicari dx
cbxx∫ ++ 2
1
2
Jika f(x) = x2
+ 2bx + c dengan D = 4b2
– 4c < 0, maka f(x) definit positif dan
selalu dapat dibawa ke bentuk
f(x) = (x + b)2
+ p2
dengan p2
= c – b2
> 0
sehingga dx
cbxx∫ ++ 2
1
2
= dx
pbx∫ ++ 22
)(
1
dan dengan menggunakan (4.4.1)
dapat diperoleh
dx
cbxx∫ ++ 2
1
2
=
p
bx
p
+
arctan
1
+ C (4.4.2)
dengan p = 2
bc −

Integral
Contoh 9
Tentukan ∫ +
dx
x2
3
1
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +
dx
x2
3
1
=
3
1
arc tan
3
x
+ C
Contoh 10
Tentukan ∫ +
dx
x 9
1
2
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +
dx
x2
3
1
= =
3
1
arc tan
3
x
+ C
Contoh 11
Tentukan ∫ ++
dx
xx 52
1
2
Penyelesaian:
b = 1
c = 5
p = 2415 2
==−
Dengan rumus (4.4.2) diperoleh ∫ ++
dx
xx 52
1
2
=
2
1
arc tan
2
1+x
+ C
Atau secara langsung dengan cara berikut:
∫ ++
dx
xx 52
1
2
= ∫ ++
dx
x 4)1(
1
2
=
2
1
arc tan
2
1+x
+ C
Selanjutnya ingat: ∫ dx
x
1
= ln x + C
Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa
∫ dx
xg
xg
)(
)('
= ln )(xg + C (4.4.3)

Integral
Contoh 11
Tentukan ∫ ++
+
dx
xx
x
42
22
2
Penyelesaian:
Dengan rumus (4.4.3) diperoleh ∫ ++
+
dx
xx
x
42
22
2
= 42ln 2
++ xx + C
Contoh 12
Tentukan ∫ ++
+
dx
xx
x
136
5
2
Penyelesaian:
∫ ++
+
dx
xx
x
136
5
2
= ∫ ++
++
dx
xx
x
136
2)62(
2
2
1
= ∫ ++
+
dx
xx
x
136
)62(
2
2
1
+ ∫ ++
dx
xx 136
2
2
= 136ln
2
1 2
++ xx + ∫ ++
dx
x 4)3(
1
2 2
= 136ln
2
1 2
++ xx +
2
1
.2 arc tan
2
3+x
+ C
= 136ln
2
1 2
++ xx + arc tan
2
3+x
+ C
SOAL
Tentukan:
1. ∫ ++
+
dx
xx
x
1310
5
2
5. ∫ ++
+
dx
xx
x
74
23
2
2. ∫ −+
+
dx
xx
x
115
5
3
2
6. ∫ ++
+
dx
xx
x
136
15
2
3. ∫∫ = dx
x
x
dxx
cos
sin
tan 7. ∫ +−
+
dx
xx
x
136
14
2
4. ∫ ++
dx
xx 74
5
2
8. ∫ +−
−
dx
xx
x
74
23
2

Integral
4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional
Pn(x) = ao + a1x + a2x2
+ a3x3
+ ...+ anxn
dengan an ≠ 0 dinamakan polinomial (fungsí
suku banyak) berderajat n.
Fungsi konstan Po(x) = ao dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol.
Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk
)(
)(
xD
xN
dengan N(x) dan D(x) polinomial-
polinomial.
Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus
sebagai berikut.
4.5.1 Keadaan N(x) = D’(x)
Jika N(x) = D’(x) maka berdasarkan rumus (4.4.3) diperoleh:
∫ dx
xD
xN
)(
)(
= ln )(xD + C
dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang.
4.5.2 Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x)
Lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh bentuk
)(
)(
)(
)(
)(
xD
xR
xQ
xD
xN
+= dengan derajat R(x) < derajat D(x)
Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.
Contoh 13
1. ∫ +
dx
x
x
12
3
= ∫ ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
− dx
x
x
x
12
= ...
2. ∫ ++
+−−
dx
xx
xxx
136
604819
2
24
= ∫ ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++
+
++− dx
xx
x
xx
136
86
46 2
2
= ...
Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh
dalam contoh 13 di atas.
Dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana
derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) ≠ D’(x)

Integral
4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)
Pada pembahasan ini N(x) ≠ D’(x). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan,
diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu. Untuk
menghitung ∫ dx
xD
xN
)(
)(
, terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan-
pecahan parsialnya.
Contoh 14
64
66
23
2
−++
+
xxx
x
dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut
3
15
2
10
1
1
64
66
23
2
+
+
+
−
−
=
−++
+
xxxxxx
x
Jadi
∫ −++
+
dx
xxx
x
64
66
23
2
= ∫∫∫ +
+
+
−
−
dx
x
dx
x
dx
x 3
15
2
10
1
1
= ∫∫∫ +
+
+
−
−
dx
x
dx
x
dx
x 3
1
15
2
1
10
1
1
= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln
Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan
)(
)(
xD
xN
menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari
cara memisah
)(
)(
xD
xN
menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.
Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial
Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan:
1) derajat N(x) < derajat D(x)
2) koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu
3) N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai faktor persekutuan

Integral
Menurut keadaan faktor-faktor D(x), dalam memisahkan
)(
)(
xD
xN
menjadi pecahan-
pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu:
a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan
b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang)
c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan
d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama.
a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan
Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, dan x – d, maka
D(x) = (x – a) (x – b) (x – c) (x – d).
Dibentuk
)(
)(
xD
xN
=
dx
D
cx
C
bx
B
ax
A
−
+
−
+
−
+
−
(1)
sebagai suatu identitas dalam x, sehingga untuk setiap nilai x yang diberikan maka
nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam (1) sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah
konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya.
Contoh 15
Pisahkan
64
66
23
2
−++
+
xxx
x
atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
64 23
−++ xxx = 0 ⇔ (x – 1) (x + 2) (x + 3) = 0
Dibentuk
32164
66
23
2
+
+
+
+
−
=
−++
+
x
C
x
B
x
A
xxx
x
(2)
⇔
)3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(
64
66
23
2
++−
+−++−+++
=
−++
+
xxx
xxCxxBxxA
xxx
x
⇔ )2)(1()3)(1()3)(2(66 2
+−++−+++=+ xxCxxBxxAx
untuk x = 1 → )4)(3(12 A= ⇔ A = 1
untuk x = – 2 → 30 = B(–3)(1) ⇔ B = –10
untuk x = – 3 → 60 = C(–4)(–1) ⇔ C = 15
Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam (2) maka diperoleh
3
15
2
10
1
1
64
66
23
2
+
+
+
−
−
=
−++
+
xxxxxx
x

Integral
sehingga
∫ −++
+
dx
xxx
x
64
66
23
2
= ∫∫∫ +
+
+
−
−
dx
x
dx
x
dx
x 3
15
2
10
1
1
= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln
Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −
dx
ax
1
b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang)
Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, x – c, x – d, x – d, dan x – d,
maka D(x) = (x – a) (x – b) (x – c)2
(x – d)3
.
Selanjutnya dibentuk
)(
)(
xD
xN
= 322
)()()( dx
G
dx
F
dx
E
cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
(3)
Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama
c dan d.
Contoh 16
Pisahkan 3
)1)(2( +− xx
x
Penyelesaian:
Dibentuk
323
)1()1(12)1)(2( +
+
+
+
+
+
−
=
+− x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
(4)
)2()1)(2()1)(2()1( 23
−++−++−++= xDxxCxxBxAx
untuk x = –1 ⎯→ –1 = –3D
untuk x = 2 ⎯→ 2 = 27A
untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – 2B – 2C – 2D
untuk x = 1 ⎯→ 1 = 8A – 4B – 2C – D
Dari keempat persamaan tersebut diperoleh:
27
2
=A ,
27
2
−=B ,
27
6
−=C ,
3
1
=D
Jadi 323
)1(
3
1
)1(
27
6
1
27
2
2
27
2
)1)(2( +
+
+
−
+
+
−
+
−
=
+− xxxxxx
x

Integral
Selanjutnya dapat dicari integral ∫ +−
dx
xx
x
3
)1)(2(
∫ +−
dx
xx
x
3
)1)(2(
= ∫∫∫∫ +
+
+
−
+
+
−
+
−
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x 3
3
1
2
27
6
27
2
27
2
)1()1(12
= ...
dx
ax
1
dan ∫ −
dx
ax n
)(
1
n = 2, 3, ...
c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan
Ingat teorema dalam aljabar berikut.
Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real
sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a + bi suatu akar maka a – bi
juga akar persamaan itu
Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a + bi akar persamaan D(x) = 0 maka
demikian juga a – bi, sehingga salah satu faktor D(x) adalah
{x – (a + bi)}{ x – (a – bi)} = (x – a)2
+ b2
yang definit positif.
Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2
{(x – a)2
+ b2
}{(x – c)2
+ d2
} maka perlu dibentuk
)(
)(
xD
xN
= 22222
)()()( dcx
GFx
bax
EDx
qx
C
qx
B
px
A
+−
+
+
+−
+
+
−
+
−
+
−
(5)
Contoh 17
Pisahkan
1
3
3
−x
x
Penyelesaian:
1
3
3
−x
x
=
)1)(1(
3
2
++− xxx
x
Dibentuk
111
3
23
++
+
+
−
=
− xx
CBx
x
A
x
x
)1)(()1(3 2
−++++= xCBxxxAx
untuk x = 1 ⎯→ 3 = 3A
untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – C
untuk x = –1 ⎯→ –3 = A + 2B – 2C
Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh 1=A , 1−=B , dan , sehingga1=C

Integral
1
1
1
1
1
3
23
++
+−
+
−
=
− xx
x
xx
x
Jadi ∫∫∫ ++
+−
+
−
=
−
dx
xx
x
dx
x
dx
x
x
1
1
1
1
1
3
23
= ...
= ...
dx
ax
1
, ∫ −
dx
ax n
)(
1
n = 2, 3, ... , dan
∫ +−
+
dx
bax
BAX
22
)(
d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama
Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a + bi merupakan akar
berlipat k dari persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a – bi, dan faktor-faktor dari
D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah {(x – a)2
+ b2
}k
.
Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2
{(x – a)2
+ b2
}{(x – c)2
+ d2
}3
maka perlu dibentuk
)(
)(
xD
xN
= 22222222
}){()()()( dcx
JHx
dcx
GFx
bax
EDx
qx
C
qx
B
px
A
+−
+
+
+−
+
+
+−
+
+
−
+
−
+
−
322
}){( dcx
LKx
+−
+
+
Contoh 18
Pisahkan 22
23
)1)(2(
1523
+−
−+−
xx
xxx
Penyelesaian:
Dengan cara seperti yang telah diberikan sebelumnya didapatkan
22
23
)1)(2(
1523
+−
−+−
xx
xxx
= 222
)1(1
1
2
1
+
−
+
−
−
− x
x
x
x
x

Integral
Jadi ∫ +−
−+−
dx
xx
xxx
22
23
)1)(2(
1523
= ∫∫∫ +
−
+
−
−
−
dx
x
x
dx
x
x
dx
x 222
)1(1
1
2
1
Pada bagian ini dapat muncul bentuk ∫ +−
+
dx
bax
BAX
n
}){( 22
, n = 2, 3, ... , dan
Dalam mencari ∫ dx
xD
xN
)(
)(
kita dihadapkan kepada empat jenis integral yang
berbentuk:
(1) ∫ −
dx
ax
1
(2) ∫ −
dx
ax n
)(
1
n = 2, 3, ...
(3) ∫ +−
+
dx
bax
BAX
22
)(
(4) ∫ +−
+
dx
bax
BAX
n
}){( 22
, n = 2, 3, ...
Tiga bentuk yang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori yang
sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan
substitusi y = x – a sebagai berikut.
∫ +−
+
dx
bax
BAX
n
}){( 22
= ∫ +
++
dy
by
BaAAy
n
}{ 22
= ∫∫ +
+
+
+
+
dy
by
BaA
by
bydA
nn
}{}{
)(
2 2222
22
Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk
∫ n
u
du
, n = 2, 3, ... Sedangkan integral pada suku keduanya dapat diubah menjadi
∫ +
+
dy
by
BaA
n
}{ 22
= ∫
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
nn
b
y
dy
b
BaA
22
1
=
{ }∫ +
+
− nn
t
dt
b
BaA
212
1
dengan
b
y
t =
Untuk menghitung integral
{ }∫ +
n
t
dt
2
1
dapat digunakan rumus reduksi berikut

Integral
{ }∫ +
n
t
dt
2
1
=
{ }∫ −−
+−
−
+
+− 1212
122
32
)1)(22( nn
t
dt
n
n
tn
t
Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut.
Contoh 19
Selesaikan ∫ ++
+
dx
xx
x
22
)134(
3
.
Penyelesaian:
∫ ++
+
dx
xx
x
22
)134(
3
= ∫ ++
++
dx
xx
x
22
2
1
)134(
1)42(
= ∫∫ ++
+
++
+
dx
xx
dx
xx
x
22222
1
)134(
1
)134(
42
= ∫∫ ++
+
++
++
dx
xxx
xxd
2222
2
2
1
}9)2{(
1
)134(
)134(
= ∫∫ ++
+
++
++
dx
xxx
xxd
2222
2
2
1
}9)2{(
1
)134(
)134(
=
[ ]{ }∫ ++
+
++
− dx
xxx 2222
1
13/)2(9
1
134
1
=
[ ]{ }∫ ++
+
++
− dx
xxx 2281
1
22
1
13/)2(
1
134
1
Untuk
[ ]{ }∫ ++
dx
x
2281
1
13/)2(
1
substitusikan dxdt
x
t
3
1
,
3
2
=
+
= sehingga
[ ]{ }∫ ++
dx
x
2281
1
13/)2(
1
=
{ }∫ +
dt
t
2227
1
1
1
=
{ } ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
−
+
+− ∫ dt
tt
t
1
1
22.2
32.2
)1)(22.2(27
1
2
=
{ } ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+ ∫ dt
tt
t
1
1
2
1
)1(227
1
2
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
t
t
t
arctan
2
1
)1(227
1

Integral
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
+
+
+
3
2
arctan
2
1
)1(2.3
2
27
1
3
2
xx
x
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+
++
+
3
2
arctan
2
1
)2(26
2
27
1 x
x
x
=
3
2
arctan
54
1
102
2
27
1 +
+
+
+ x
x
x
Jadi ∫ ++
+
dx
xx
x
22
)134(
3
=
[ ]{ }∫ ++
+
++
− dx
xxx 2281
1
22
1
13/)2(
1
134
1
=
134
1
22
1
++
−
xx
+
3
2
arctan
54
1
102
2
27
1 +
+
+
+ x
x
x
+ C.
LATIHAN
1. ∫ −+
dx
xx
x
432
4. ∫ +−
dx
xx
x
)1()1( 222
2. ∫ +−
+
dx
xx
x
)4()1(
3
2
5. ∫ −
−+−
dx
xx
xxx
2
234
2322
3. ∫ +
dx
x
x
22
)1(
6. ∫ −
++
dx
x
xx
32
23
)2(
14
4.6 Integral Fungsi Trigonometri
4.6.1 Rumus-rumus Sederhana
∫ dxxcos = sin x + C ∫ dxxtan = – ln ⏐cos x⏐+ C
∫ dxxsin = – cos x + C ∫ dxxcot = ln ⏐sin x⏐+ C
∫ dxx2
sec = tan x + C ∫ dxxx tansec = sec x + C
∫ dxx2
csc = – cot x + C ∫ dxxxcotcsc = – csc x + C
∫ dxxsec = ln ⏐sec x + tan x⏐ + C ∫ dxxcsc = – ln ⏐csc x + cot x⏐ + C
4.6.2 Bentuk ∫ dxxxR cos)(sin dan ∫ dxxxR sin)(cos
Jika R fungsi rasional maka ∫ dxxxR cos)(sin = ∫ )(sin)(sin xdxR
= ∫ dyyR )(

Integral
∫ dxxxR sin)(cos = – ∫ )(cos)(cos xdxR
= – ∫ dttR )(
Dengan mengingat rumus cos2
x + sin2
x = 1, maka:
∫ dxxxxR cos)cos,(sin 2
= ∫ − dyyyR )1,( 2
∫ dxxxxR sin)sin,(cos 2
= – ∫ − dtttR )1,( 2
Contoh 20
1. ∫ +− dxxxx cos)7sincos2( 2
2. ∫ dxx3
sin
4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus
sin x sin y = )}cos(){cos(2
1
yxyx +−−
sin x cos y = )}sin(){sin(2
1
yxyx −++
cos x cos y = )}cos(){cos(2
1
yxyx −++
sin2
x = }2cos1{2
1
x−
cos2
x = }2cos1{2
1
x+
Contoh 21
Carilah
1. ∫ dxxx 2sin3sin
2. ∫ dxxx 2cos3sin
3. ∫ dxxx 2cos3cos
4. ∫ dxx2
sin
5. ∫ dxx4
sin
4.6.4 Substitusi xy 2
1
tan=
Jika R(sin x, cos x) fungsi rasional dalam sin x dan cos x, maka
dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam y dengan
menggunakan substitusi
∫ dxxxR )cos,(sin
xy 2
1
tan= .

Integral
xy 2
1
tan= → x = 2 arc tan y → dy
y
dx 2
1
2
+
=
Selanjutnya perhatikan
2
1 y+
x2
1
y
1
Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa
x2
1
sin =
2
1 y
y
+
dan x2
1
cos =
2
1
1
y+
sin x = ).2sin( 2
1
x
= xx 2
1
2
1
cossin2 = 2
2
1 y
y
+ 2
1
1
y+
= 2
1
2
y
y
+
Jadi sin x = 2
1
2
y
y
+
.
Dengan menggunakan rumus cos x = ).2cos( 2
1
x diperoleh
cos x = 2
2
1
1
y
y
+
−
tan x = 2
1
2
y
y
−
cot x =
y
y
2
1 2
−
Contoh 22
Carilah: 1. ∫ + x
dx
sin1
2. ∫ + xx
dx
cossin
3. ∫ + x
dx
cos1
4. ∫ dxxcsc

Integral
4.6.5 Integral R(tan x)
Jika integran fungsi rasional dalam tan x saja, maka dapat dijadikan integral
fungsi rasional dalam y dengan substitusi y = tan x, sehingga x = arc tan y dan
2
1 y
dy
dx
+
= .
Jadi ∫ ∫ +
= dy
y
yR
dxxR 2
1
)(
)(tan
Contoh 23
Carilah: 1. 2.∫ dxxtan ∫ + x
dx
tan1
4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri
Jika n bilangan bulat positif, maka:
∫ ∫ −−=+
dyydxx nn
)1(sin 212
dengan y = cos x
∫ ∫ −=+
dttdxx nn
)1(cos 212
dengan t = sin x
Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus:
∫ ∫
−
−
−
+= dxx
n
n
n
xx
dxx n
n
n 2
1
cos
1cossin
cos
∫ ∫
−
−
−
+
−
= dxx
n
n
n
xx
dxx n
n
n 2
1
sin
1sincos
sin
∫ ∫
−
−
+
−
= dxx
n
x
dxx n
n
n 2
1
tan
1
tan
tan
∫ ∫
−
−
−
−
−
= dxx
n
x
dxx n
n
n 2
1
cot
1
cot
cot
∫ ∫
−
−
−
−
+
−
= dxx
n
n
n
xx
dxx n
n
n 2
1
sec
1
2
1
secsin
sec
∫ ∫
−
−
−
−
+
−
−
= dxx
n
n
n
xx
dxx n
n
n 2
1
csc
1
2
1
csccos
csc
Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini.

Integral
LATIHAN
4.7 Integral Fungsi Irrasional
Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarnya
integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral
rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri.
4.7.1 Rumus yang perlu dihafal
1) dx
xa
∫ − 22
1
= C
a
x
+arcsin
2) dx
axx
a
∫ − 22
= arc sec C
a
x
+
3) dx
ax
∫ + 22
1
= Caxx +++ 22
ln
4) dx
ax
∫ − 22
1
= Caxx +−+ 22
ln
5) dxxa∫ − 22
= C
a
xa
xa
x
++− arcsin
22
2
22
6) dxax∫ + 22
= Caxx
a
ax
x
+++++ 22
2
22
ln
22
7) dxax∫ − 22
= Caxx
a
ax
x
+−++− 22
2
22
ln
22
Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan
substitusi
a
x
y = . Sedangkan rumus-rumus yang lain dapat dibuktikan dengan
menggunakan metode yang akan diterangkan pada bagian 4.7.4.

Integral
4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku
ntuk irrasional dari satu macam suku, misalnya x,Jika integran hanya memuat be
maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi n
xy = dimana n
kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.
Contoh 24
∫ +
dx
x
x3
6
xy =
1
diambil substitusi , sehingga dan
.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional
6
yx = dyydx 5
6=
cbxax ++2
Dalam hal ini
4
cbxax ++2
se tubagai satu-sa nya bentuk irrasional di dalam
tegran dapat dintegran, maka in ijadikan rasional dengan substitusi
cbxax ++2
= yax + , jika a > 0
atau
cbx cxy +ax2
++ = , jika c ≥ 0
Dengan substitusi yang pertama diperoleh
bay
cy
x
−
−−
=
2
)( 2
dan dx dapat dinyatakan
ke dalam bentuk rasional dalam y kali dy.
Contoh 25
∫ +−−
dx
xxx 26)3(
1
yxxx +=+− 262
2
diambil substitusi , sehingga
)3(2
)2( 2
+
−−
=
y
y
x dan dy
y
yy
dx 2
2
)3(
26
2
1
+
++
−= . Selanjutnya dapat diselesaikan seperti
integral raasional
.7.4 Substitusi Trigonometri
mus trigonometri
+ tan2
x = sec2
x
bentuk-bentuk irra rasional fungsi
4
Dengan memperhatikan ru
cos2
x + sin2
x = 1 dan 1
sional berikut dapat dijadikan bentuk
trigonometri.

Integral
entuk Substitusi DiferensialB
22
xa − x = a sin θ dx = a cosθ dθ
22
ax − x = a sec θ dx = a secθ tanθ dθ
22
xa + x = a tan θ dx = a sec2
θ dθ
Contoh 26
= C
a
xa
xa
x
++− arcsin
22
2
22
dxxa∫ − 22
1. Buktikan
dx
x
∫ − 2
9
1
2. Gunakan substitusi x = a sin θ untuk menentukan
dx
xxx
∫ +−− 26)3(
1
2
3. Carilah
ATIHAN 4.7L
1. d∫
1
x
xx − 22
1
2. dx
x
x
∫ − 2
1
dx
xxx
∫ +−− 14)2(
1
2
3.
dx
xxx
∫ +−− 84)2(
1
2
4.

Integral Tertentu
INTEGRAL TERTENTU
5.1 Pengertian Integral Tertentu
Definisi 5.1.1
Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, …, xn} dari
[a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.
Jika P = {x0, x1, x2, …, xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan
sebagai P = max{xi – xi-1⏐1 = 1, 2, 3, …, n}.
a = x0 x1 x2 … xn = b.
Contoh 1:
Pada interval [–3, 3], suatu partisi P = {–3, – 2
1
1 , – 2
1
, 3
1
, 2, 3}mempunyai norm:
P = max{– 2
1
1 – (–3), – 2
1
– (– 2
1
1 ), 3
1
– (– 2
1
), 2 – 3
1
, 3 – 2}
= max{ 2
3
, 1, 6
5
, 3
5
, 1}
= 3
5
.
Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, …, xn} suatu partisi pada
[a,b], wi ∈ [xi-1, xi], dan Δxi = xi – xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada
[a,b].
∑=
Δ
n
i
ii xwf
1
)(
w1 w2 w3 w4 wi wn
x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1
y = f(x)
5

Integral Tertentu
Contoh 2:
Fungsi f pada [–3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2
– 1 dan P = {–3, – 2
1
1 , – 2
1
, 3
1
, 2, 3} partisi
pada [–3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = –2, w2 = – 2
1
, w3 = 0, w4 = 2
1
1 , w5 = 3
2
2 .
w1 = –2 ⎯→ f(w1) = 3 Δx1 = 2
3
⎯→ f(w1).Δx1 = 2
9
w2 = – 2
1
⎯→ f(w2) = – 4
3
Δx2 = 1 ⎯→ f(w2).Δx2 = – 4
3
w3 = 0 ⎯→ f(w3) = –1 Δx3 = 6
5
⎯→ f(w3).Δx3 = – 6
5
w4 = 2
1
1 ⎯→ f(w4) = 4
5
Δx4 = 3
5
⎯→ f(w4).Δx4 = 12
25
w5 = 3
2
2 ⎯→ f(w5) = 9
55
Δx5 = 1 ⎯→ f(w5).Δx5 = 9
55
Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas
adalah ∑ =
=
Δ
5
1
)(
i
ii xwf
9
100
.
Jika P = {–3, – 2
1
1 , –1, – 2
1
, 3
1
, 2, 2 2
1
, 3} partisi pada [–3, 3] dan w1 = –2, w2 = –1, w3 –= 2
1
,
w4 = 0, w5 = 2
1
1 , w6 = 3
1
, serta w7 =2 4
3
tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [–3, 3]
bersesuaian dengan partisi P ini.
2
Definisi 5.1.2
1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: Lxwf
n
i
ii
P
=Δ∑=
→
1
0
)(lim jika dan hanya jika
untuk setiap bilangan positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga untuk setiap partisi
P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dengan P < δ, berlaku ∑=
−Δ
n
i
ii Lxwf
1
)( < ε.
2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan ∑=
→
Δ
n
i
ii
P
xwf
1
0
)(lim ini ada, maka limit tersebut
dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f
dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis .∫
b
a
dxxf )(
Jadi =∫
b
a
dxxf )( ∑=
→
Δ
n
i
ii
P
xwf
1
0
)(lim
3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = –∫
a
b
dxxf )( ∫
b
a
dxxf )(
b. Jika a = b maka = = 0∫
b
a
dxxf )( ∫
a
a
dxxf )(

Integral Tertentu
Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka
=
0)( >xf
∫
b
a
dxxf )( ∑=
→
Δ
n
i
ii
P
xwf
1
0
)(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva
, di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b.)(xfy =
Contoh 3:
Jika f(x) = x + 3, tentukan .∫−
+
3
2
)3( dxx
Penyelesaian:
-3 -2 -1 0 1 2 3
Y
f(x) = x + 3
3
Buat partisi pada [–2, 3] dengan menggunakan n
interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang
setiap interval bagian adalah Δx =
n
5
.
Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi
tersebut diambil wi = xi.
Akan dicari nilai ∑=
→
Δ
n
i
ii
P
xwf
1
0
)(lim .
X
x0 = –2
x1 = –2 + Δx = –2 +
n
5
x2 = –2 + 2Δx = –2 + 2(
n
5
)
x3 = –2 + 3Δx = –2 + 3(
n
5
)
.
:
xi = –2 + i.Δx = –2 + i(
n
5
)
.
:
xn = –2 + n.Δx = –2 + n(
n
5
) = 3
Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n dipilih wi = xi maka wi = –2 + i(
n
5
)= –2 +
n
i5
, sehingga

Integral Tertentu
f(wi) = wi + 3
= (–2 +
n
i5
) + 3
= 1 +
n
i5
Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [–2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah
∑=
Δ
n
i
ii xwf
1
)( = ∑=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
n
i nn
i
1
55
1
= ∑=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
n
i n
i
n 1
5
1
5
= ∑∑ ==
+
n
i
n
i n
i
nn 11
55
1
5
= ∑∑ ==
+
n
i
n
i
i
nn 1
2
1
25
1
5
= )}1({
25
)(
5
2
1
2
++ nn
n
n
n
= 5 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
n
1
1
2
25
Jika P → 0 maka n → ∞, sehingga:
∑=
→
Δ
n
i
ii
P
xwf
1
0
)(lim = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
∞→ nn
1
1
2
25
5lim
= 2
1
17
Jadi =∫−
+
3
2
)3( dxx 2
1
17 .
Contoh 4:
Tentukan .∫
b
a
dx
Penyelesaian:
Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x ∈ [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn}
pada [a,b] dan sembarang titik wi ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n, maka

Integral Tertentu
∑=
Δ
n
i
ii xwf
1
)( = dan Δxi = xi – xi-1∑=
Δ
n
i
ix
1
.1
= ∑=
−−
n
i
ii xx
1
1 )(
= (x1 – x0) + (x2 – x1) + (x3 – x2) + … + (xn – xn-1)
= xn – x0
= b – a
Jadi ∑=
→
Δ
n
i
ii
P
xwf
1
0
)(lim = )(lim
0
ab
P
−
→
= b – a
Dengan demikian = b – a.∫
b
a
dx
Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]
(atau F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b]), maka : = F(b) – F(a)∫
b
a
dxxf )(
F(b) – F(a) biasa ditulis [ ]b
axF )(
Bukti:
Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Karena F’(x) = f(x) untuk setiap
x ∈ [a,b] maka F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n. Berdasarkan teorema
nilai rata-rata maka terdapat wi ∈ [xi-1, xi] sehingga
F(xi) – F (xi-1) = F’(wi) (xi – xi-1)
= f(wi) (xi – xi-1) i = 1, 2, 3, …, n
Diperoleh:
∑=
Δ
n
i
ii xwf
1
)( = ∑=
−−
n
i
iii xxwf
1
1 ))((
= ∑=
−−
n
i
ii xFxF
1
1 )}()({
= {F(x1) – F(x0)} + {F(x2) – F(x1)} + {F(x3) – F(x2)} + … + {F(xn) – F(xn-1)}
= F(xn) – F(x0)
= F(b) – F(a)

Integral Tertentu
∑=
→
Δ
n
i
ii
P
xwf
1
0
)(lim = )}()({lim
0
aFbF
P
−
→
= F(b) – F(a).
Jadi ∫ = F(b) – F(a)
b
a
dxxf )(
Contoh 5
∫−
+
3
2
)3( dxx = [ ]3
2
2
2
1
3 −
+ xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 2
2
12
2
1
−+−−+ = 2
1
17 .
Contoh 6
Tentukan integral berikut.
1. ∫−
2
2
3
dxx
2. ∫−
π
π
dxxsin
Teorema 5.1.4
Jika f integrable pada [a,b] dan c ∈ (a,b) maka = +∫
b
a
dxxf )( ∫
c
a
dxxf )( ∫
b
c
dxxf )(
Teorema 5.1.5
1. k konstanta∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
2. ∫∫∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({
3. Jika f(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ [a,b] maka ≥ 0.∫
b
a
dxxf )(
4. Jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka ≤∫
b
a
dxxf )( ∫
b
a
dxxg )(

Integral Tertentu
5.2 Aplikasi Integral
5.2.1 Luas Daerah
Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan
uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris
menyatakan luas daerah di antara kurva
0)( >xf
)(x
∫
b
a
dxxf )(
fy = dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis
x = a dan x = b. Jadi
∫=
b
a
dxxfA )(
Contoh 7
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = –2 dan
garis x = 3.
Penyelesaian:
A = =∫−
+
3
2
)3( dxx [ ]3
2
2
2
1
3 −
+ xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 2
2
12
2
1
−+−−+ = 2
1
17 .
Contoh 8
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = –2 dan garis
x = 2.
3
xy =
Penyelesaian:

Integral Tertentu
Y
)(xfy =
)(xgy =
a b X
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy = dan serta
garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut
)(xgy =
{ }∫ −=
b
a
dxxgxfA )()(
b
Contoh 9
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan .4
xy = 2
2 xxy −=
Penyelesaian:
Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan
yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.
24
2 xxx −=
sehingga luasnya adalah A = =∫ −−
1
0
42
)2( dxxxx
1
0
532
5
1
3
1
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−− xxx =
15
7
5
1
3
1
1 =−− .
2
2 xxy −=
Y
4
xy =
X
0

Integral Tertentu
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(yx ϕ= dan )(yx ψ= serta
garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini, maka luas daerahnya adalah sebagai
berikut
{ }∫ −=
d
c
dyyyA )()( ϕψ
Y
d
x = ϕ(y)
x = ψ (y)
c
X0
Contoh 10
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva danxy 42
= 434 =− yx .
Penyelesaian:
434 =− yx
Menentukan batas-batas dengan mencari akar-akar persamaan yang
diperoleh y = –1 dan y = 4.
432
+= yy
xy 42
= ekuivalen dengan 2
4
1
yx = dan 434 =− yx ekuivalen dengan )43(
4
1
+= yx
Y
0
xy 42
=
X

Integral Tertentu
sehingga luasnya adalah A = ∫
− ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
4
1
2
4
1
)43(
4
1
dyyy = {∫
−
−+
4
1
2
43
4
1
dyyy } =
24
125
.
5.2.2 Volume Benda Putar
a. Metode Cincin
Y
0
y = f(x)
a b X1−ix ixwi
f(wi)
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis-garis x = a dan x = b diputar
mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari
sebagai berikut.
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu
titik wi ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan lebar
Δxi = xi – xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu X, maka diperoleh silinder
hampiran dengan volume
{ } iii xwfV Δ=Δ
2
)(π
f(xi)
Δxi
Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann
{ }∑∑
==
Δ=Δ
n
i
ii
n
i
i xwfV
1
2
1
)(π
Apabila P → 0 maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu

Integral Tertentu
{ }∑
=
→
Δ=
n
i
ii
P
X xwfV
1
2
0
)(limπ
== { }∫
b
a
dxxf
2
)(π { }∫
b
a
dxxf
2
)(π
JadiJadi
{ }∫=
b
a
X dxxfV
2
)(π { }∫=
b
a
X dxxfV
2
)(π
Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurvaSelanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva )(xfy )(xfy
π
= dan
serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
)(xgy =
{ } { }[ ]∫ −=
b
a
X dxxgxfV
22
)()(π
0 X
a b
Y
y = f(x)
y = g(x)
Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurva x = ϕ(y), sumbu Y, garis-garis y = c
dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang
terjadi adalah.
{ }∫=
d
c
Y dyyV
2
)(ϕπ
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx ψ= dan )(yx ϕ=
serta garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka
volume benda yang terjadi adalah

Integral Tertentu
{ } { }[ ]∫ −=
d
c
Y dyyyV
22
)()( ϕψπ
Contoh 11
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
xy = , sumbu X dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X.
Penyelesaian:
xy =
Y
X
0 4
{ }∫=
4
0
2
dxxVX π = πππ 8
2
1
4
0
2
4
0
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=∫ xdxx
Contoh 12
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
, sumbu Y dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu Y.3
xy =
Penyelesaian:
3 yx =
Y
X
0
3
Karena maka3
xy = 3 yx = , sehingga
{ } ππππ
5
99
5
3 3
3
53
0
3
0
2
3 3
2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=== ∫∫ ydyydyyVY

Integral Tertentu
Contoh 13
nda putar yang terjadi apabila daeTentukan volume be rah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva
diputar mengelilingi sumbu X.
Penyel
Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah di (0, 0) dan (2, 4). Jika
aka
2
xy = dan y x82
=
esaian:
xy 82
=
xy 8=m . Perhatikan gambar berikut.
{ } { }[ ] [ ] ππππ
481
488
2
52
2
4
2
222
=
⎤⎡
−=−=−= ∫∫ xxdxxxdxxxV
entukan pula apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y.
benda pejal (ruang antara tabung besar dan kecil)
adalah
55 000
⎥⎦⎢⎣
X
T
b. Metode Kulit Tabung
Perhatikan gambar di samping.
Volume
h)rrV ( 2
1
2
2 ππ −=
hrr )( 2
1
2
2 −= π
hrrrr ))(( 1212 −+= π

Integral Tertentu
hrr
rr 12
−
⎞⎛ +
= π )(
2
2 12⎟
⎠
⎜
⎝
Rumusan ini dapat ditulis sebagai
V rhr Δ= π2
dengan
2
12 rr
r
+
= dan 12 rrr −=Δ
Misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X serta garis-garis x = a
dan x = b. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putarnya,
maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.
titik
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu
2
1−+
= ii
i
xx
w ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan
dan lebar Δxi = xi – xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu Y, maka diperoleh
tabung hampiran dengan volume
iiii xwfwV Δ=Δ )(2π
Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann
Apabila
∑∑ Δ=Δ
nn
π
== i
iii
i
i xwfwV
11
)(2
P → 0 maka diperoleh volume benda putar yang dim ksud, yaitua
∑
=
→
Δ= f
n
i
iii
P
Y xwwV
1
0
)(lim2π

Integral Tertentu
=
Jadi
a kurva
∫
b
a
dxxfx )(2π
∫=Y dxxfxV )(2π
b
a
Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh du )(xfy = dan
serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputa
sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
]
serta garis-garis y = c dan y = d i
sumbu putarnya, maka volume
)(xgy = r mengelilingi
[∫ −=
b
Y dxxgxfxV )()(2π
a
oleh kurva x = ψ(x), sumbu YDengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi
Y
. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebaga
benda putar yang terjadi adalah
∫=
d
c
X dyyyV )(2 ψπ
y = f(x)
y = g(x)
0 X
a bΔxi
c
d
Y
X0
y = ψ (x)

Integral Tertentu
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx ψ= dan )(yx ϕ=
serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
Tentukan volum dibatasi oleh kurva
[ ]∫ −=
d
c
X dyyyyV )()(2 ϕψπ
c
d
Y
0
x =
X
ϕ(y)
x
Contoh 14
e benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang
x
y
1
= , sumbu X, dan garis x = 1 diputar mengelilingi sumbu Y.
Penyelesaian:
ππππ
3
28
3
2
22
1
2
4
1
2
34
1
2
14
1
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=== ∫∫ xdxxdx
x
xVY
Contoh 15
Diketahui suatu daerah tertutup dibatasi oleh kurva garis x
t
Dalam hal ini 0>
r
y = , sumbu X, dan garis x = t.
r dan 0>t . Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X, tentukan
olume benda yang terjadi dengan dua cara.v
= ψ (y)

Integral Tertentu
aian:
Dengan metode cincin
Penyeles
Cara I
∫ ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
t
X dxx
t
r
V
0
2
π
X
x
t
r
y =
Y
0 t
r
∫=
t
dxx
t
r
0
2
2
2
π
t
x
t
r
0
3
2
2
3
1
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
= π
tr2
3
1
π=
Cara II
Dengan metode kulit tabung. Karena x
t
r
y = y
r
t
x =, maka
∫ −=
r
X dyy
r
t
tyV
0
)(2π
∫ −=
r
dyy
r
yt
0
2
)
1
(2π
r
y
r
yt
0
32
3
1
2
1
2 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−= π
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−= 22
3
1
2
1
2 rrtπ
tr2
3
1
π=
5.2.3 P
n parameter x = f(t), y = g(t),
a ≤ t ≤ b. Panjang kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut.
X
anjang Kurva
Misalkan suatu kurva mulus diberikan oleh persamaa
y
r
t
x =
Y
0 t
r
x = t
yt r
t
−

Integral Tertentu
Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka
kurva akan terbagi menjadi n bagian oleh titik-titik Q0, Q1, Q2, …, Qn-1, Qn. Perhatikan gambar
berikut.
Pada bagian ke i, panjang busur Qi-1Qi , yaitu isΔ dapat didekati oleh . Dengan Pythagoras
kita peroleh
iwΔ
iwΔ = 22
)()( ii yx Δ+Δ
[ ] [ ]2
1
2
1 )()()()( −− −+−= iiii tgtgtftf
Selanjutnya berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata pada Derivatif tentu terdapat ),( 1 ii ttt −∈ dan
demikian sehingga),(ˆ 1 ii ttt −∈
))((')()( 11 −− −=− iiiii tttftftf
))(ˆ(')()( 11 −− −=− iiiii tttgtgtg
atau
iiii ttftftf Δ=− − )(')()( 1
iiii ttgtgtg Δ=− − )ˆ(')()( 1
dengan .1−−=Δ iii ttt
Oleh karena itu diperoleh
[ ] [ ]22
)ˆ(')(' iiiii ttgttfw Δ+Δ=Δ
[ ] [ ] iii ttgtf Δ+=
22
)ˆ(')('

Integral Tertentu
dan panjang polygon dari segmen garis
[ ] [ ]∑∑
==
Δ+=Δ
n
i
iii
n
i
i ttgtfw
1
22
1
)ˆ(')('
Apabila P → 0 maka diperoleh panjang kurva seluruhnya adalah
[ ] [ ] [ ] [ ]∫∑ +=Δ+=
=
→
b
a
n
i
iii
P
dttgtfttgtfL
22
1
22
0
)(')(')ˆ(')('lim
Jadi
[ ] [ ]∫ +=
b
a
dttgtfL
22
)(')('
atau
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
b
a
dt
dt
dy
dt
dx
L
22
Jika persamaan kurvanya adalah y = f(x) dengan a ≤ x ≤ b, maka
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
b
a
dx
dx
dy
L
2
1
dan jika persamaan kurvanya adalah x = ψ(y) dengan c ≤ y ≤ d, maka
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
d
c
dy
dy
dx
L
2
1
Contoh 16
Hitunglah keliling lingkaran .222
ryx =+
Penyelesaian:
Lingkaran tersebut dapat ditulis dalam persamaan parameter sebagai
x = r cos t, y = r sin t dengan π20 ≤≤ t , sehingga tr
dt
dx
sin−= dan tr
dt
dy
cos= .
Akibatnya [ ] rtrdtrdtt
π2
0
2
= ∫rtrL ππ
π
2cossin
2
0
2
0
222
==+= ∫
Contoh 17
Menggunakan integral hitunglah panjang ruas garis yang menghubungkan titik P(0, 1) dan
Q(5, 13).

Integral Tertentu
Penyelesaian:
Persamaan ruas garis PQ adalah 1
5
12
+= xy , sehingga
5
12
=
dx
dy
. Oleh karena itu
13
5
13
5
13
5
12
1
5
0
5
0
5
0
2
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= ∫∫ xdxdxL
Contoh 18
Menggunakan integral hitunglah panjang kurva 2
3
xy = dari (1, 1) dan (4, 8).
Penyelesaian:
2
3
xy = , maka 2
1
2
3
x
dx
dy
= . Oleh karenanya
63,7
8
13
10
27
8
4
9
1
27
8
4
9
1
2
3
1
2
3
2
3
4
1
2
3
4
1
4
1
2
2
1
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= ∫∫ xdxxdxxL
Diferensial Panjang Busur
Misalkan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a, b]. Untuk setiap ),( bax∈
didefinisikan s(x) sebagai
∫ +=
x
a
duufxs 2
)]('[1)(
maka s(x) adalah panjang kurva y = f(u) dari titik (a, f(a)) ke titik (x, f(x)), sehingga
2
2
1)]('[1)(' ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+==
dx
dy
xf
dx
ds
xs
•
•
a
Y
X0
s(x)
x
(x, f(x))
(a, f(a))

Integral Tertentu
Oleh karenanya diferensial panjang kurva ds dapat ditulis sebagai
dx
dx
dy
ds
2
1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
Selanjutnya hal ini dapat ditulis dalam bentuk-bentuk
dy
dy
dx
ds
2
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= atau dt
dt
dy
dt
dx
ds
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Untuk keperluan mengingat, dapat pula ditulis dalam bentuk:
222
)()()( dydxds +=
5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar
Kita mulai dengan mencari rumus untuk luas permukaan (selimut) kerucut terpancung.
Misalkan jari-jari lingkaran alas kerucut terpancung adalah r1 dan jari-jari lingkaran atasnya r2
sedangkan panjang ruas garis pada pembangun kerucut antara dua lingkaran itu (rusuk kerucut
terpancung) l, maka luas selimut kerucut terpancung itu adalah
l
rr
A ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
2
2 21
π
Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang
itu, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaan dapat dicari sebagai
berikut.

Integral Tertentu
Pemutaran terhadap sumbu X
Misalkan suatu kurva mulus pada kuadran pertama diberikan oleh persamaan parameter
x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b. Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan
a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka kurva terbagi menjadi n bagian. Misalkan panjang kurva
bagian ke i dan ordinat sebuah titik pada bagian ini. Apabila kurva itu diputar mengelilingi
sumbu X, maka ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian ini akan membentuk
permukaan bagian. Luas permukaan bagian ini dapat dihampiri oleh luas kerucut terpancung,
yaitu
isΔ
iy
isΔ
ii sy Δπ2 .
Apabila kita jumlahkan luas-luas ini dan kemudian mengambil limitnya dengan membuat
0→P , kita akan memperoleh hasil yang kita definisikan sebagai luas permukaan benda
putar tersebut. Jadi luasnya adalah
∫∑ =Δ=
=
→
**
*1
0
22lim dsysyA
n
i
ii
P
ππ
Dengan menggunakan rumus A tersebut di atas, kita harus memberi arti yang tepat pada y, ds,
dan batas-batas pengintegralan * dan **.
Misalkan apabila permukaan itu terbentuk oleh kurva )(xfy = , a ≤ x ≤ b, yang diputar
mengelilingi sumbu X, maka kita peroleh untuk luasnya:
dxxfxfdsyA
b
a
∫∫ +== 2
**
*
)]('[1)(22 ππ
Contoh 19
Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva xy = , 0 ≤ x ≤ 4, diputar mengelilingi
sumbu X.

KALKULUS DASAR

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to KALKULUS DASAR

Similar to KALKULUS DASAR (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

KALKULUS DASAR