Matematika Sistem 1. Pembentukan model 2. Menentukan titik setimbang 3. Linearisasi di titik setimbang 4. Analisa Kestabilan 5. Analisa Keterkontrolan 6. Analisa Keteramatan 7. Umpan Ballik Sistem 8. Simulasi dengan Matlab

1. MODEL PENGENDALIAN GERAK SATELIT
1. MOCHAMAD FARHAN
(06111740000099)
2. ANGGA KURNIAWAN
(06111740000102)
3. YERAHMEEL DWIYAWARA
(06111740000103)
4. FARHAN HAFIZH
(06111740000104)

2. Satelit adalah benda yang mengorbit benda lain dengan periode revolusi dan rotasi tertentu.
Ada dua jenis satelit yakni satelit alami dan satelit buatan. Satelit buatan adalah benda buatan manusia
yang beredar mengelilingi benda lain. Satelit buatan tersebut diluncurkan menuju posisi tertentu yang
tidak terpengaruh oleh gaya-gaya gravitasi dan hanya bergerak mengikuti pergerakan bumi. Posisi ini
disebut sebagai posisi geostasioner.
Jadi satelit geostasioner adalah satelit yang mengelilingi bumi dengan sudut inklinasi sama dengan nol
dan dengan periode yang sama dengan periode rotasi bumi, sehingga satelit ini akan tampak diam
(stasioner) dan tetap hanya pada satu titik tertentu dari permukaan bumi. Pada tugas ini akan dibahas
mengenai analisis dan kontrol optimal sistem gerak satelit untuk menstabilkan posisi satelit akibat
gangguan atau pengaruh dari luar yang terjadi pada gerak satelit.

3. LANGKAH KERJA 1
PEMBUATAN MODEL
2
TITIK SETIMBANG
3
LINEARISASI
4
ANALISA KESTABILAN,
KETERKONTROLAN,
KETERAMATAN
5
UMPAN BALIK SISTEM
6
SIMULASI

4. 1. PEMBENTUKAN MODEL GERAK SATELIT
Pertama-tama akan dicari gaya-gaya yang terjadi pada satelit.
Dari gambar diketahui :
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑟
dengan 𝜃, 𝑟, 𝑟, 𝑟 merupakan fungsi atas waktu.
Selanjutnya akan dicari hubungan antara 𝑟 dengan 𝜃.

5. Diketahui :
1. Unit vektor posisi satelit pada keadaan radial
𝑟 =
1
𝑟
∙ 𝑟 =
1
𝑟
𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑗 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑗
2. Unit vektor posisi satelit pada keadaan tangensial
𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗
Apabila persamaan 1 dan 2 dideferensialkan terhadap waktu maka diperoleh :
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
= −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑗
= 𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗
= 𝜃 ∙ 𝜃
𝑑 𝜃
𝑑𝑡
= −𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑖 − 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑗
= 𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 − 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑗
= −𝜃 ∙ 𝑟

6. Dengan mendiferensialkan 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑟 akan dicari persamaan kecepatan dari satelit.
𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑟
Misalkan :
u = r maka u’ =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟
v = 𝑟 maka v’ =
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
substitusikan u, v, u’, dan v’ maka dari persamaan kecepatan pada satelit diperoleh persamaan berikut
ini:
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟 𝑟 + 𝑟
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟 𝑟 + 𝑟 𝜃 𝜃
Dengan 𝑟 sebagai kecepatan pada arah radial dan 𝑟 𝜃 sebagai kecepatan pada arah tangensial.
Kemudian akan dicari persamaan percepatandari satelit dengan mendifernsialkan
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟 𝑟 + 𝑟 𝜃 𝜃.
Misalkan:
𝑢1 = 𝑟 maka 𝑢1
′
=
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟 𝑢2 = 𝑟 maka 𝑢2
′
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟
𝑣1 = 𝑟 maka 𝑣1
′
=
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
𝑣2 = 𝜃 𝜃 maka 𝑣2
′
= 𝜃 𝜃 + 𝜃
𝑑 𝜃
𝑑𝑡

7. Substitusikan 𝑢1, 𝑢2, 𝑣1, dan 𝑣2, maka diperoleh persamaan percepatan satelit berikut ini:
𝑑2
𝑟
𝑑𝑡2 = 𝑢1
′
∙ 𝑣1 + 𝑣1
′
∙ 𝑢1 + 𝑢2
′
∙ 𝑣2 + 𝑣2
′
∙ 𝑢2
= 𝑟 𝑟 +
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
𝑟 + 𝑟 𝜃 𝜃 + 𝑟 𝜃 𝜃 + 𝜃
𝑑 𝜃
𝑑𝑡
𝑟
= 𝑟 𝑟 + 𝜃 𝜃 𝑟 + 𝑟 𝜃 𝜃 + 𝑟 𝜃 𝜃 + 𝜃(− 𝜃. 𝑟)𝑟
= 𝑟 𝑟 + 2𝑟 𝜃 𝜃 + 𝑟 𝜃 𝜃 − 𝑟 𝜃2
𝑟
= 𝑟 − 𝑟 𝜃2
𝑟 + (2 𝑟 𝜃 + 𝑟 𝜃) 𝜃
Maka diperoleh percepatan radial sama dengan 𝑟 − 𝑟 𝜃2
dan percepatan tangensial sama dengan 2 𝑟 𝜃 +
𝑟 𝜃.

8. Selanjutnya untuk menentukan gaya-gaya yang memengaruhi satelit, maka akan diimplementasikan
penerapan Hukum II Newton.
𝐹 = 𝑚. 𝑎
1. Gaya yang bekerja pada arah radial
Gaya yang bekerja pada arah radial 𝐹𝑟 adalah gaya dorong yang arahnya menjauhi bumi serta terdapat
gaya gravitasi yang menarik satelit menuju bumi. Kedua gaya ini bekerja berlawanan sehingga diperoleh,
𝐹 = 𝑚. 𝑎
𝐹𝑟 − 𝐹𝑔 = 𝑚( 𝑟 − 𝑟 𝜃2)
𝐹𝑟 − 𝐺
𝑀. 𝑚
𝑟2 = 𝑚( 𝑟 − 𝑟 𝜃2
)
2. Gaya yang bekerja pada arah tangensial
Gaya yang bekerja pada arah radial 𝐹𝜃 adalah gaya dorong (tangensial).
𝐹𝜃 = 𝑚(2 𝑟 𝜃 + 𝑟 𝜃)
• Kedua persamaan di atas, baik secara radial maupun tangensial, disebut sebagai model persamaan
gerak satelit.
𝑚 𝑟 𝑡 − 𝑟 𝑡 𝜃2 𝑡 = 𝐹𝑟 − 𝐺
𝑀. 𝑚
𝑟2(𝑡)
𝑚 2 𝑟(𝑡) 𝜃(𝑡) + 𝑟(𝑡) 𝜃(𝑡) = 𝐹𝜃

9. 2. MENENTUKAN TITIK SETIMBANG
Dengan memisalkan 𝑔 = 𝐺𝑀 , 𝑢1 𝑡 =
𝐹𝑟
𝑚
, 𝑢2 𝑡 =
𝐹𝑔
𝑚
, dan 𝑟 , 𝑟, 𝑟, 𝜃, 𝜃, 𝜃 adalah fungsi atas waktu, maka
model persamaan gerak satelit dapat ditulis
𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑡 𝜃2
𝑡 −
𝑔
𝑟2 𝑡
+ 𝑢1
𝜃 𝑡 =
−2 𝑟 𝑡 𝜃(𝑡)
𝑟(𝑡)
+
1
𝑟(𝑡)
𝑢2
Jika 𝑢1 𝑡 = 𝑢2 𝑡 = 0 dan 𝑔 = 𝜎3
𝜔2
, dengan 𝜎, 𝜔 adalah konstanta, maka sistem akan mempunyai solusi
khusus, yaitu
𝑟 𝑡 = 𝜎
𝜃 𝑡 = 𝜔𝑡

10. Maka,
𝑟 𝑡 = 𝜎 𝜃 𝑡 = 𝜔𝑡
𝑟 𝑡 = 0 𝜃 𝑡 = 𝜔
𝑟 𝑡 = 0 𝜃(𝑡) = 0
Untuk mencari titik setimbang, maka 𝑟 𝑡 = 0 dan 𝜃 = 0, sehingga diperoleh
𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑡 𝜃2
𝑡 −
𝑔
𝑟2 𝑡
+ 𝑢1
0 = 𝜎𝜔2
−
𝜎3 𝜔2
𝜎2
+ 0
𝑑𝑎𝑛
𝜃 𝑡 =
−2 𝑟 𝑡 𝜃 𝑡
𝑟 𝑡
+
1
𝑟 𝑡
𝑢2
0 =
−2(0)𝜔
𝜎
+ 0
Karena didapat 𝑟 𝑡 = 0 dan 𝜃(𝑡) = 0, maka 𝑟 𝑡 = 𝜎 dan 𝜃 𝑡 = 𝜔𝑡 dengan 𝜎, 𝜔 adalah konstanta
merupakan titik setimbang dari sistem gerak satelit.

11. 3. LINEARISASI DI TITIK SETIMBANG
Transformasi sistem gerak satelit dilakukan dengan memisalkan suatu vektor baru. Diketahui bahwa 𝑟 =
𝜎 dan 𝜃 = 𝜔𝑡 merupakan solusi khusus dari sistem tersebut, maka vektor baru yang diambil adalah
• 𝒙 𝟏 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝜎
• 𝒙 𝟐 𝑡 = 𝑟 𝑡
• 𝒙 𝟑 𝑡 = 𝜎(𝜃 𝑡 − 𝜔𝑡)
• 𝒙 𝟒 𝑡 = 𝜎( 𝜃 𝑡 − 𝜔)

12. Berdasarkan 𝑥𝑖 𝑡 diatas, maka diperoleh 𝒙𝒊 𝑡 , 𝑖 = 1, 2, 3, 4 sebagai berikut
• 𝒙 𝟏 𝑡 = 𝑟
• 𝒙 𝟐 𝑡 = 𝑟 = 0
= 3𝜎𝜔2 − 2𝜎𝜔2 + −3𝜎𝜔2 + 2𝜎𝜔2 + 𝑢1
= (3𝜎𝜔2 − 3𝜎𝜔2) + 2𝜎𝜔2 − 2𝜎𝜔2 + 𝑢1
= 3𝜔2
(𝜎 − 𝜎) + 2𝜎𝜔(𝜔 − 𝜔) + 𝑢1
= 3𝜔2
(𝑟 − 𝜎) + 2𝜎𝜔( 𝜃 − 𝜔) + 𝑢1
• 𝒙 𝟑 𝑡 = 𝜎( 𝜃 − 𝜔)
• 𝒙 𝟒 𝑡 = 𝜎 𝜃
Dengan menstubtitusikan 𝜃 =
−2 𝑟 𝜃
𝑟
+
1
𝑟
𝑢2 kedalam 𝒙 𝟒 𝑡 maka diperoleh
𝒙 𝟒 𝑡 = 𝜎
−2 𝑟 𝜃
𝑟
+
1
𝑟
𝑢2
𝒙 𝟒 𝑡 = 𝜎
−2 𝑟𝜔
𝜎
+
1
𝜎
𝑢2
𝒙 𝟒 𝑡 = −2 𝑟𝜔 + 𝑢2

13. 𝒙 𝟏 𝑡 , 𝒙 𝟐 𝑡 , 𝒙 𝟑 𝑡 , 𝒙 𝟒 𝑡 diubah dalam bentuk matriks menjadi
𝒙 𝟏 𝑡
𝒙 𝟐 𝑡
𝒙 𝟑 𝑡
𝒙 𝟒 𝑡
=
𝑟
3𝜔2
(𝑟 − 𝜎) + 2𝜎𝜔( 𝜃 − 𝜔) + 𝑢1
𝜎( 𝜃 − 𝜔)
−2 𝑟𝜔 + 𝑢2
𝒙 𝟏 𝑡
𝒙 𝟐 𝑡
𝒙 𝟑 𝑡
𝒙 𝟒 𝑡
=
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
𝑟 − 𝜎
𝑟
𝜎(𝜃 − 𝜔𝑡)
𝜎( 𝜃 − 𝜔)
+
0 0
1 0
0 0
0 1
𝑢1(𝑡)
𝑢2(𝑡)
Dengan demikian, matriks tersebut dapat dipandang sebagai sistem linear 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢(𝑡) dengan
𝐴 =
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
; 𝐵 =
0 0
1 0
0 0
0 1

14. Selanjutnya, output dari sistem gerak satelit dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡) sebagai berikut
𝑦1
𝑦2
=
1 0 0 0
0 0 1 0
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
𝑥4(𝑡)
+ 0 𝑢
Dengan
𝐶 =
1 0 0 0
0 0 1 0
; 𝐷 = 0

15. 4. ANALISA KESTABILAN
Vektor 𝑥 yang memenuhi 𝑓 𝑥 = 0 disebut suatu titik setimbang.
• Suatu titik setimbang 𝑥 dikatakan stabil bila ∀ 𝜀 > 0 ada 𝛿 > 0 dan 𝑡 𝛿 sedemikian hingga bila
𝑥 𝑡𝛿 − 𝑥 < 𝛿 maka 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡𝛿 − 𝑥 < 𝜀 untuk semua 𝑡 > 𝑡 𝛿.
• Suatu titik setimbang 𝑥 dikatakan stabil asimtotik bila ia stabil dan bila ada 𝛿1 > 0 sedemikian higga
lim
𝑡→∞
𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡𝛿 − 𝑥 = 0 bila 𝑥 𝑡𝛿 − 𝑥 < 𝛿1.
• Suatu titik setimbang dikatakan takstabil bila ia tidak stabil.

16. ANALISA KESTABILAN MODEL GERAK SATELIT
Pertama-tama akan dicari persamaan karakteristik dari matriks A.
𝐴 =
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
Selanjutnya akan diuji kestabilannya dengan mencari nilai eigennya
𝐴 − 𝜆𝐼 =
−𝜆 1 0 0
3𝜔2 −𝜆 0 2𝜔
0 0 −𝜆 1
0 −2𝜔 0 −𝜆

17. Dengan metode ekspansi kofaktor pada baris pertama, maka diperoleh lambda:
𝐴 − 𝜆𝐼 = −𝜆
−𝜆 0 2𝜔
0 −𝜆 1
−2𝜔 0 −𝜆
− 1
3𝜔2
0 2𝜔
0 −𝜆 1
0 0 −𝜆
= 0
= −𝜆 −𝜆3 − 4𝜔2 𝜆 − 3𝜔2 𝜆2 = 0
= 𝜆4
+ 4𝜔2
𝜆2
− 3𝜔2
𝜆2
= 0
= 𝜆4 + 𝜔2 𝜆2 = 0
Dari persamaan di atas akan dicari nilai eigen
𝜆4
+ 𝜔2
𝜆2
= 𝜆2
𝜆2
+ 𝜔2
= 0
Maka diperoleh
𝜆2 = 0 dan 𝜆2 = −𝜔2
Sehingga
𝜆1 = 𝜆2 = 0, 𝜆3,4 = −𝜔2
𝜆1 = 𝜆2 = 0, 𝜆3 = 𝜔𝑖 , 𝜆4 = −𝜔𝑖
• Maka diperoleh nilai eigennya, yaitu (0, 0, 𝜔𝐼, −𝜔𝐼) sehingga tipe kestabilan dari sistem dinamik satelit
ini tidak dapat ditentukan dengan menggunakan nilai eigennya, maka perlu untuk menyelidiki
keterkontrolan dan keteramatan satelit

19. 5. ANALISA KETERKONTROLAN
Sebuah sistem dikatakan terkontrol jika fungsi kontrol 𝑢(𝑡) dapat ditransformasikan kedalam bentuk
keadaan awal 𝑥(𝑡0) menjadi sebuah keadaan akhir 𝑥(𝑡𝑓) dalam interval waktu terbatas 𝑡𝑓 − 𝑡0 , 𝑡 ≥ 0
𝑥 𝑡0
𝑢(𝑡)
𝑥(𝑡𝑓)
Uji keterkontrolan
Untuk sebuah sistem dikatakan terkontrol sepenuhnya syarat perlu dan cukup adalah Matriks 𝑀𝑐
mempunyai rank sama dengan n
𝑀𝑐 = (𝐵 𝐴𝐵 𝐴2
𝐵| … … |𝐴 𝑛−1
𝐵)

20. ANALISA KETERKONTROLAN MODEL GERAK SATELIT
Untuk menentukan sistem dikatakan terkontrol sepenuhnya syarat perlu dan cukup adalah Matriks 𝑀𝑐
mempunyai rank sama dengan n
𝑀𝑐 = (𝐵 𝐴𝐵 𝐴2
𝐵| … … |𝐴 𝑛−1
𝐵)
Pada transformasi sistem gerak satelit diatas maka dapat diketahui matriks-matriks :
𝐴 =
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
, 𝐵 =
0 0
1 0
0 0
0 1
𝑛 = 4, maka dikerjakan sampai 𝐴3 𝐵

21. • 𝐴 =
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
• 𝐴𝐵 =
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
=
1 0
0 2𝜔
0 1
−2𝜔 0
• 𝐴2
=
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
=
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 −𝜔2
0 0
0 −2𝜔2
0 0
−6𝜔3
0 0 −4𝜔2
• 𝐴2
𝐵 =
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 −𝜔2
0 0
0 −2𝜔2
0 0
−6𝜔3
0 0 −4𝜔2
0 0
1 0
0 0
0 1
=
0 2𝜔
−𝜔2
0
−2𝜔2
0
0 −4𝜔2
• 𝐴3
=
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 −𝜔2
0 0
0 −2𝜔2
0 0
−6𝜔3
0 0 −4𝜔2
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
=
0 −𝜔2
0 0
−3𝜔4
0 0 −2𝜔3
−6𝜔3
0 0 −4𝜔2
0 2𝜔3
0 0
• 𝐴3
𝐵 =
0 −𝜔2
0 0
−3𝜔4
0 0 −2𝜔3
−6𝜔3
0 0 −4𝜔2
0 2𝜔3
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
=
−𝜔2
0
0 −2𝜔3
0 −4𝜔2
2𝜔3
0

22. Sehingga diperoleh
𝑀𝑐 = 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 𝐴3 𝐵 =
0 0
1 0
0 0
0 1
1 0
0 2𝜔
0 1
−2𝜔 0
0 2𝜔
−𝜔2
0
−2𝜔2
0
0 −4𝜔2
−𝜔2
0
0 −2𝜔3
0 −4𝜔2
2𝜔3
0
Kalkulasi dikerjakan dengan aplikasi
Didapat 𝑅𝑎𝑛𝑘 𝑀𝑐 = 𝑛 = 4, maka sistem gerak satelit tersebut terkontrol(controllable).

23. 6. ANALISA KETERAMATAN
Bila keadaan awal 𝑥 0 secara tunggal dapat diamati dari setiap pengukuran keluaran sebuah sistem dari waktu
𝑡 = 0 ke 𝑡 = 𝑡1.
Uji keteramatan
Syarat perlu dan cukup sebuah sistem dikatakan teramati jika matriks 𝑀 𝑜 tidak singular dan rank dari 𝑀 𝑜 sama
dengan n
𝑀 𝑜 =
𝐶
− −
𝐶𝐴
− −
𝐶𝐴2
− −
.
.
.
− −
𝑛−1

24. ANALISA KETERAMATAN MODEL GERAK SATELIT
Untuk menentukan sistem dikatakan teramati sepenuhnya syarat perlu dan cukup adalah Matriks 𝑀 𝑜
mempunyai rank sama dengan n
𝑀 𝑜 =
𝐶
− −
𝐶𝐴
− −
𝐶𝐴2
− −
.
.
.
− −
𝐶𝐴 𝑛−1

25. Pada transformasi sistem gerak satelit diatas maka dapat diketahui matriks-matriks :
𝐴 =
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
, 𝐶 =
1 0 0 0
0 0 1 0
𝑛 = 4, maka dikerjakan sampai 𝐶𝐴3
• 𝐶 =
1 0 0 0
0 0 1 0
• 𝐶𝐴 =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
=
0 1 0 0
0 0 0 1
• 𝐶𝐴2
=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
3𝜔2 0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
2
= 3𝜔2
0 0 2𝜔
0 −2𝜔 0 0
• 𝐶𝐴3
=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
3
= 0 −𝜔2 0 0
−6𝜔3 0 0 −4𝜔2

26. Dengan 𝑦1 sebagai pengukuran radial dan 𝑦2 sebagai pengukuran sudut, maka
𝑀 𝑜 =
𝐶
𝐶𝐴
𝐶𝐴2
𝐶𝐴3
=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 −2𝜔 0 0
0 −𝜔2
0 0
−6𝜔2 0 0 −4𝜔2
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑀 𝑜 = 𝑛 = 4 , maka terbukti bahwa sistem ini teramati. Untuk meminumkan pengukuran maka 𝑦2
tidak diukur, sehingga 𝐶1 = 1,0,0,0 , maka diperoleh :
𝐶1
𝐶1 𝐴
𝐶1 𝐴2
𝐶1 𝐴3
=
1 0 0 0
0 1 0 0
3𝜔2
0 0 2𝜔
0 −𝜔2
0 0
Matriks 𝑀 𝑜1 mempunyai rank 3.

27. Jika 𝑦1tidak diukur maka 𝐶2 = 0,0,1,0 , maka didapat :
𝐶2
𝐶2 𝐴
𝐶2 𝐴2
𝐶2 𝐴3
=
0 0 1 0
0 0 0 1
0 −2𝜔 0 0
−6𝜔3
0 0 −4𝜔
Matriks 𝑀 𝑜2 mempunyai rank 4.
• Dapat disimpulkan bahwa apabila pengukuran sudut tidak diukur, maka system persamaan gerak
satelit tidak observable. Sebaliknya apabila pengukuran radial tidak diukur, maka sistem persamaan
gerak satelit dikatakan observable.

28. 7. UMPAN BALIK SISTEM
Kemudian akan dikonstruksikan suatu pengamat yang sedemikian hingga pole (A + BF) adalah pada titik
− 1 ± 𝑖 dan −2 ± 𝑖 sehingga F = 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓4 𝑥(𝑡) harus memenuhi det(𝜆𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐹 ) =
0 = 𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐹 =
𝜆 −1 0 0
−3 𝜆 0 −2
0 0 𝜆 −1
−𝑓1 2 − 𝑓2 −𝑓3 𝜆 − 𝑓4
0 = 𝜆
𝜆 0 −2
0 𝜆 −1
2 − 𝑓2 −𝑓3 𝜆 − 𝑓4 𝜆
+ 1
−3 0 −2
0 𝜆 −1
−𝑓1 −𝑓3 𝜆 − 𝑓4
0 = 𝜆4 − 𝑓4 𝜆3 + −2𝑓2 − 𝑓3 + 1 𝜆2 + −2𝑓1 + 3𝑓4 𝜆 − 3𝑓3
• 𝑝 𝜆 = 𝜆4
− 𝑓4 𝜆3
+ −2𝑓2 − 𝑓3 + 1 𝜆2
+ −2𝑓1 + 3𝑓4 𝜆 − 3𝑓3

29. 𝑝 𝜆 = 𝜆 + 1 + 2𝑖 𝜆 + 1 − 2𝑖 𝜆 + 2 + 𝑖 𝜆 + 2 − 𝑖
𝑝 𝜆 = (𝜆2
+ 2𝜆 + 5)(𝜆2
+ 4𝜆 + 5)
𝑝 𝜆 = 𝜆4
+ 6𝜆3
+ 18𝜆2
+ 30𝜆 + 25
𝜆4
− 𝑓4 𝜆3
+ 2𝑓2 − 𝑓3 − 7 𝜆2
+ 2𝑓1 + 3𝑓4 𝜆 + 3𝑓3 = 𝜆4
+ 6𝜆3
+ 18𝜆2
+ 30𝜆 + 25
• −𝑓4 𝜆3
= 6𝜆3
maka 𝒇 𝟒 = −𝟔
• 3𝑓3 = 25 maka 𝒇 𝟑 = 𝟖. 𝟑𝟑
• −2𝑓2 − 𝑓3 + 1 𝜆2 = 18𝜆2 maka 𝒇 𝟐 = -12,67
• −2𝑓1 + 3𝑓4 𝜆 = 30𝜆 maka 𝒇 𝟏 = −𝟐𝟒

30. 8. SIMULASI
Grafik dari sistem ketika belum stabil Grafik ketika sistem telah distabilkan untuk
titik −1 ± 𝑖 dan −2 ± 𝑖

31. TERIMAKASIH