2. KELOMPOK 3
Nama Anggota 1 :
1.Aufa Amrullah
[17031010122]
2.Endah Budi W [17031010113]
3.Friska Septinindya A
[17031010107]
4.Ivan Fau G
[17031010098]
5.Muhamad Dendy Hartono
3. dengan F(x) adalah integral dari f(x)
Integral Numerik dilakukan jika :
1. Integral sulit diselesaikan secara analitis.
2. Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk
persamaan, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel)
)()(])([)( bFaFxFdxxfI b
a
b
a
4. Adalah luasan antara kurva f(x) dan sumbu x serta antara x=a dan
x=b. Apabila nilai f(a) dan f(b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi
polinomial order satu f1(x).
a b
x
y
f(x)
I f(a)
f(x)
0 a b x f(x)
)1.(..........)(
b
a
dxxfI
6. Merupakan metode pendekatan integral numerik dengan persamaan
polinomial orde satu. Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi
f(x) digantikan oleh garis lurus.
Besarnya kesalahan yang terjadi dapat di perkirakan dengan
persamaan :
Dengan : adalah titik yang terletak di dalam interval a dan b.
Seperti yang terlihat dalam gambar penggunaan garis lurus untuk
mendekati garis lengkung menyebabkan terjadinya kesalahan sebesar
luasan yang tidak di arsir.
)2.....(..........
2
)()(
)(
bfaf
abI
)3...().........)(("
12
1
abfE
7. CONTOH Secara analitis bentuk integral tersebut
dapat diselesaikan dengan :
Hitungan integral numerik dilakukan
dengan :
Gunakan metode trapesium satu
pias untuk menghitung
penyelesaian
4
0
dxeI x
598150,53)( 044
0
4
0
eeedxeI xx
1963,111
2
)04(
2
)()(
)(
40
eebfaf
abI
8. CONTOH Untuk mengetahui tingkat ketelitian dari
integral numerik maka dicari kesalahan
relatif dari nilai eksak kedua integral di
atas.
Dari hasil perhitungan diatas terlihat
bahwa penggunaan metode trapesium
satu pias memberikan kesalahan sangat
besar (lebih dari 100%).
Gunakan metode trapesium satu
pias untuk menghitung
penyelesaian
4
0
dxeI x
%46,107%100
598150,53
1963,111598150,53
x
10. Dari contoh diatas terlihat bahwa pendekatan dengan menggunakan
satu pias (trapesium) menimbulkan kesalahan yang sangat besar.
Untuk kesalahan yang terjadi maka kurva lengkung di dekati oleh
sejumlah garis lurus, sehingga terbentuk banyak pias seperti gambar
3. Luas bidang adalah jumlah dari luas beberapa pias tersebut.
Semakin kecil pias yang digunakan, hasil yg di dapat menjadi
semakin teliti.
Dari gambar panjang tiap pias adalah ∆x. Apabila terdapat n pias
maka panjang masing-masing pias adalah
n
ab
x
11. y
f(x)
x
x0= a x1 x2 x3 xn-3 xn-2 xn-1 x0=b
∆x
Panjang tiap pias adalah sama
12. Batas-batas pias diberi notasi :
Integral total dapat ditulis dalam bentuk
Substitusi persamaan (2) ke (4) di dapatkan
Atau :
Besarnya kesalahan yang terjadi
bxxxax n ,......,,, 210
)4.....()(......)()(
1
2
1
1
0
n
n
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfI
)5.......()()(2)(
2
1
1
0
n
i
nxfxifxf
x
I
)6.......()(2)()(
2
1
1
n
i
xifbfaf
x
I
)7)........((")(
12
2
xifab
x
Et
13. Bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi
adalah
Harga dapat didekati dengan persamaan
Substiusi persamaan (9) ke (8) akan di dapat
Persamaan (10) disebut persamaan Trapesium dengan koreksi ujung
karena memperhitungkan koreksi ujung interval a dan b
)8)......(()(")(
12
)(2)()(
2
4
21
1
xofab
x
xifbfaf
x
I
n
i
)9(..........
)(')('
)("
ab
afbf
f
)10.....()(')('
12
)(2)()(
2
21
1
afbf
x
xfbfaf
x
I
n
i
i
14. CONTOH
Penyelesaian
Metode trapesium dengan empat pias
sehingga panjang pias adalah :
Luas bidang dihitung dengan persamaan
(6) :
Gunakan metode trapesium
empat pias dengan lebar pias
adalah ∆x=1 untuk menghitung
4
0
dxeI x
1
4
04
n
ab
x
1
1
)(2)()(
2
n
i
xifbfaf
x
I
991950,57)(2
2
1 32140
eeeee
15. CONTOH Kesalahan relatif terhadap nilai eksak
Apabila digunakan metode trapesium
dengan koreksi ujung, maka integral
dihitung dengan persamaan(10) dan
didalam persamaan tersebut
mengandung turunan pertama dari
fungsi
Gunakan metode trapesium
empat pias dengan lebar pias
adalah ∆x=1 untuk menghitung
4
0
dxeI x
%2,8%100
598150,53
991950,57598150,53
x
)(')('
12
)(2)()(
2
21
1
afbf
x
xfbfaf
x
I
n
i
i
)(
12
1
)(2
2
1 0432140
eeeeeee
525437,53466513,4991950,57
16. CONTOH Jadi
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak
Gunakan metode trapesium
empat pias dengan lebar pias
adalah ∆x=1 untuk menghitung
4
0
dxeI x
%14,0%100
598150,53
525437,53598150,53
x
17. CONTOH
Penyelesaian
Integral numerik dihitung dengan
persamaan (6)
Metode trapesium dengan koreksi ujung
dihitung dengan persamaan (10)
x 0 1 2 3 4
f(x) 1 3 9 19 33
Dari data di atas tentukan luasan
di bawah fungsi f(x) diantara x=0
dan x=4 dengan menggunakan
metode trapesium dan trapesium
dengan koreksi ujung
93(2331
2
1
)(2)()(
2
1
1
n
i
xifbfaf
x
I
48)1993(2331
2
1
)(2)()(
2
1
1
n
i
xifbfaf
x
I
)(')('
12
)(2)()(
2
21
1
afbf
x
xfbfaf
x
I
n
i
i
)0(')4('
12
)1993(2331
2
1 2
ff
x
I
18. CONTOH
Maka
x 0 1 2 3 4
f(x) 1 3 9 19 33
Dari data di atas tentukan luasan
di bawah fungsi f(x) diantara x=0
dan x=4 dengan menggunakan
metode trapesium dan trapesium
dengan koreksi ujung
47)214(
12
1
48
2
I
2
1
13)0()1(
)0('
x
ff
f
14
1
1933)3()4(
)4('
x
ff
f
20. KELOMPOK 3
Nama Anggota 2 :
1.Prana Widya S W [1531010074]
2.Sanjaya Achmad [1531010088]
3.Christine Aru Nadine B S [1631010071]
4.Abbiyu Fino F [17031010124]
5.Agung Firdaus K
[17031010127]
6.Aisha Aprillia C
[17031010121]
21. Integrasi numerik metode Simpson adalah metode yang digunakan
dengan mem-fitting persamaan quadratik kedalam tiga point yang
melalui f(x) untuk mengetahui luas area yang berada di bawahnya.
persamaan umum metode simpson adalah sebagai berikut :
22. Logaritma dalam menyelesaikan aturan simpson adalah:
1. Untuk i = 1 ke n+1 kerjakan instruksi berikut (n+1 harus ganjil)
2. Baca fi
3. Ulangi instruksi 1
4. jumlah f1 + (fn+1)
5. untuk i=2ke nlangkah-langkahnya sebagai berikut :
6. jumlah <---- jumlah + 4fi
7. Ulangi instruksi 5
8. Untuk i=3 ke n+1 longkap 2 kerjaka instruksi berikut:
9. jumlah <--- jumlah + 2fi
10. ulangi instruksi 8
11. Tulis integral
12. berhenti
23. Ada dua aturan simpson yang dapat digunakan. Menghitung luas
bidang lengkung dengan aturan Simpson I adalah rumus luas untuk 3
(tiga) ordinat yaitu : y0, y1 dan y2 atau jika jumlah ordinat lebih
banyak dapat dikatakan, rumus pendekatan ini digunakan untuk
menghitung luas bidang lengkung pada setiap jarak ordinat (h)
kelipatan 2. Untuk menghitung atau mendapatkan rumus luas bidang
lengkung dengan metode aturan Simpson I, dapat dilakukan dengan
2 (dua) cara, yaitu :
Cara 1:
24. Seperti terlihat pada gambar, misalkan persamaan garis lengkung
bidang tersebut adalah y = a0 + a1.x + a2.x². Dengan integrasi, luas
bidang lengkung di atas (A) dapat dihitung sebagai berikut:
• Persamaan garis : y = a0 + a1.x + a2.x² ……….. [I]
• Luas semua : A = 0∫2h dA = 0∫2h ydx = 0∫2h (a0 + a1.x + a2.x²)dx
A = 0∫2h (a0.dx) + 0∫2h (a1.x.dx) + 0∫2h (a2.x²dx)
A = a0.x + ½ a1.x² + 1/3a2.x³ = a0.2h + ½ a1.(2h)² + 1/3a2.(2h)³
A = 2a0.h + 2a1.h² + 8/3a2.h³………. [II]
Misalkan : A = B.y0 + C.y1 + D.y2 ………. [III]
Dari persamaan [I]:
Bila : x = 0 maka : y0 = a0 + a1.0 + a2.0 = a0
x = h maka : y1 = a0 + a1.h + a2.h²
x = 2h maka : y2 = a0 + 2a1.h + 4a2.h²
25. Masukkan y0, y1 dan y2 di atas ke persamaan [III], didapat :
A = B(a0) + C(a0 + a1.h + a2.h²) + D(a0 + 2a1.h + 4a2.h²)
= (B.a0 + C.a0 + D.a0) + (C.a1.h + 2D.a1.h) + (C.a2.h² + D.4a2.h²
= (B + C + D)a0 + (C + 2D)a1.h + (C + 4D)a2.h² ………. [IV]
Dari persamaan [II] : A = 2h. a0 + 2h.a1.h + 8/3h. a2.h²
dan [IV], didapat :
( B + C + D ) = 2 h …….(1)
( C + 2D ) = 2 h …….(2)
( C + 4D ) = 8/3 h … .(3)
Dari (3) – (2) didapat : (C+ 4D – C – 2D) = 8/3 h – 2h
2D = 2/3 h, D = 1/3 h
Dari (2) : (C + 2/3h) = 2 h, C = 2h – 2/3h = 4/3 h
Dari (1) : (B + 4/3 h + 1/3 h) = 2 h, B = 2h – 5/3 h = 1/3 h
Jadi didapat : B = D = 1/3 h dan C = 4/3 h
Dimasukkan ke persamaan [III], didapat :
A = 1/3 h.y0 + 4/3 h.y1 + 1/3 h.y2
A = 1/3 h (1.y0 + 4.y1 + 1.y2 )
26. Cara 2:
Luas bidang lengkung semua (ABCDHF) = Luas Trapesium
ACDF + luas tembereng parabola DEFH
Luas Trapesium ACDF = ½ (y0 + y2) x 2h = h (y0 +
y2)……..( 1 )
Luas tembereng DEFH = 2/3 luas jajaran genjang DFGI
= 2/3 (DI x AC) = 2/3 DI . 2h
= 2/3 EH . 2h = 4/3 h (BH – BE)
= 4/3 h [y1 – ½ (y0 + y2)]
= 4/3 h (y1 – ½ y0 – ½
y2)……………(2)
Dari (1) dan (2) :
L. keseluruhan bidang lengkung = h (y0 + y2) + 4/3 h (y1 – ½
y0 – ½ y2)
= 1/3 h (3y0 + 3 y2) + 1/3 h (4y1 –
2y0 – 2y2)
= 1/3 h (3y0 + 3y2 + 4y1 – 2y0 –
2y2)
A = 1/3 h (1.y0 + 4.y1 + 1.y2)
27. METODE SIMPSON 1/3
Integrasi numerik metode simpson 1/3 dihasilkan bila polinomial
orde dua disubsitusikan ke dalam persamaan
( persamaan 1 )
Simpson 1/3 digunakan polinomial orde dua (persamaan parabola)
yang melalui titik f(xi-1), f(xi)dan f(xi+1) untuk mendekati fungsi.
Rumus simpson dapat diturunkan berdasarkan deret taylor. Apabila
persamaan (1) didiferensialkan terhadap x, maka menjadi:
( persamaan 2 )
28. Dengan memperhatikan gambar (1) dan persamaan (2) maka
persamaan deret taylor adalah:
( persamaan 3 )
( persamaan 4 )
( gambar 1 )
29. Dari gambar (1) nilai I(xi+1) adalah luas dibawah fungsi f(x) antara
batas a dan (xi+1). Sedangkan nilai I(xi-1)adalah luas dibawah
fungsi f(x) antara batas a dan (xi-1). Misal luas dibawah
fungsi f(x)antara batas (xi-1) dan (xi+1) adalah I, maka:
atau:
( persamaan 5 )
Sedangkan f ''(xi) didapat dari diferensial center
( persamaan 6)
30. Kemudian subsitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (5)
( persamaan 7 )
Persamaan (7) ini adalah metode simpson 1/3, diberi tambahan 1/3
karena delta x dibagi dengan 3.
31. ATURAN SIMPSON 1/3 BANYAK PIAS
Pada pemakaian banyak pias (n pias), membagi luasan dengan n pias
dengan panjang interval yang sama dan missal n=4 Gambar dibawah
ini .
32. Luas total dibawah fungsi f(x) antra a dan bdengan menjumlahkan semua luas di
setiap pias.
persamaan (8)
Apabila persamaan (7) disubsitusikan ke dalam persamaan (8) akan diperoleh:
Atau
33. Atau untuk n pias
persamaan (9)
Persamaan (9) adalah untuk mencari nilai integral dari f(x)dengan pias n antara a danb.
34. Metode Simpson 3/8
Metode ini diturunkan dengan menggunakan
pers.polinomial order 3 yang melalui empat titik.
)20......()()(3)(3)(
8
3
3210 xfxfxfxf
x
I
dengan
3
ab
x
Pers. (20) dapat juga ditulis sbb:
)21.......(
8
)()(3)(3)(
)( 3210 xfxfxfxf
abI
Dalam pemakaian banyak pias aturan Simpson 1/3 hanya
Berlaku untuk jumlah pias genap. Jika dikehendaki jumlah
pias ganjil maka dapat digabung kedua aturan Simpson
yaitu sejumlah genap pias digunakan aturan Simpson 1/3
dan 3 pias sisanya digunakan aturan Simpson 3/8
35. Contoh
Dengan aturan Simpson 3/8 hitung
4
0
dxex
Hitung pula integral tersebut dengan menggunakan
gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila
digunakan 5 pias dengan x=0,8
Penyelesaian
a. Metode Simpson dengan satu pias.
Integral dihitung dengan menggunakan Persamaan (21) :
07798,55
8
)33(
)04(
46667,23333,10
eeee
I
Besarnya kesalahan adalah :
%761,2%100
59815,53
07798,55598150,53
x
36. b. Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk ke lima pias
tersebut adalah
1)0( 0
ef
22554,2)8,0( 8,0
ef
95303,4)6,1( 6,1
ef
02318,11)4,2( 4,2
ef
53253,24)2,3( 2,3
ef
59815,54)4( 4
ef
Integral untuk dua pias pertama dihitung dengan
metode simpson 1/3
96138,3)95303,422554,241(
6
16
I
Tiga pias terakhir digunakan metode simpson 3/8
86549,49
8
59815,5453253,24302318,11395303,4(
4,2
I
37. Integral total adalah jumlah dari kedua integral diatas :
I = 3,96138 + 49,86549 = 53,826873
Kesalahan terhadap nilai eksak
%427,0%100
59815,53
826873,53598150,53
Integral dengan panjang pias tidak sama
)22.........(..........
2
)()(
.........................
...............
2
)()(
2
)()(
1
12
2
01
1
nn
n
xfxf
x
xfxf
x
xfxf
xI
Dengan ∆xi = xi – xi-1 , i = 1, 2, 3,……, n
39. KELOMPOK 3
Nama Anggota 3 :
1.Iqbal Widiyono P [1531010057]
2.Teguh Agung P [1531010062]
3.Bika Amalia S [17031010093]
4.Bima Kusuma A I P
[17031010103]
5.Sukma Naufal S
[17031010110]
6.Vandim Zakaria
40. Dalam hal ini akan dibahas metode Gauss Kuadratur dan data berupa
fungsi.
Untuk menghitung luasan secara umum :
dimana a dan b adalah batas integrasi dan (b-a) adalah lebar dari
interval integrasi.
Jika digunakan metoda trapesium pers. (23) dapat di tulis sbb:
dimana c adalah konstanta yang akan dicari.
)23.(..........
2
)()(
)(
bfaf
abI
)24..().........()( 21 bfcafcI
41. Sama halnya dengan metode trapesium dalam metode
Gauss Kuadratur akan di hitung koefisien-koefisien dari
pers. berikut:
Dalam hal ini x1 dan x2 tidak tetap dan masih mengandung
empat bilangan yang tidak diketahui, yaitu c1, c2, x1, dan
x2. Untuk itu pers. (25) f(x)=x, f(x)=x2 dan f(x)=x3. Fungsi
tersebut dapat di harus memenuhi integral dari empat
fungsi yaitu f(x)=1, cari dengan cara sbb:
)25..().........()( 2211 xfcxfcI
43. Sehingga didapatsistem persamaan :
Dari pers. diatas di dapat harga :
2
0
3
2
0
21
2211
2
22
2
11
3
22
3
11
cc
xcxc
xcxc
xcxc
577350269,0
3
1
577350269,0
3
1
1
1
1
21
x
x
cc
44. Subsitusi harga diatas didalam pers. (25), didapat rumus
Gauss-Legendre dua titik:
Secara linear, batas-batas integral dalam pers.(26)-(29)
dapat ditulis:
Apabila batas bawah x = a, untuk variabel baru, batas
tersebut adalah xd = -1. Jika kedua nilai tersebut
disubsitusikan kedalam persamaan (31), didapat:
Dan batas baru xd = 1, memberikan:
)30........().........
3
1
()
3
1
( ffI
)31..(..............................10 dxaax
)32(....................).........1(10 aaa
)33..(....................).........1(10 aab
45. Persamaan (32) dan (33) dapat diselesaikan
secara simultan dan hasilnya adalah:
Subsitusi persamaan (34) dan (35) ke dalam
pers.(31) menghasilkan:
Differensial dari pers.(36) adalah:
)34.......(..............................
2
0
ab
a
)35..(..............................
2
1
ab
a
)36.(....................
2
)()( dxabab
x
)37(..............................
2
ddx
ab
dx
46. Bentuk rumus Gauss Kuadratur untuk n
titik adalah:
)38...().........(...)()( 2211 nn xfcxfcxfcI
Nilai c dan x
sampai
untuk rumus dg
enam
titik diberikan
tabel ;
Jumlah titik Koefisien c Variabel x
2 c1 = 1,000000000
c2 = 1,000000000
x1= -0,577350269
x2= 0,577350269
3 c1 = 0,555555556
c2 = 0,888888889
c3 = 0,555555556
x1= -0,774596669
x2= 0,000000000
x3= 0,774596669
4 c1 = 0,347854845
c2 = 0,652145155
c3 = 0,652145155
c4 = 0,347854845
x1= -0,861136312
x2= -0,339981044
x3= 0,339981044
x4= 0,861136312
5 c1 = 0,236926885
c2 = 0,478628670
c3 = 0,568888889
c4 = 0,478628670
c5 = 0,236926885
x1= -0,906179846
x2= -0,538469310
x3= 0,000000000
x4= 0,538469310
x5= 0,906179846
6 c1 = 0,171324492
c2 = 0,360761573
c3 = 0,467913935
c4 = 0,467913935
c5 = 0,360761573
c6 = 0,171324492
x1= -0,932469514
x2= -0,661209386
x3= 0,238619186
x4= 0,238619186
x5= 0,661209386
x6= 0,932469514
47. CONTOH 7
Hitung dengan menggunakan metode
Gauss
Kuadratur.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan pers.(36) untuk a=0
dan b=4 di dapat
Turunan dari pers. tersebut adalah :
Harga-harga tsb dimasukkan ke dalam
pers.asli akan didapat
4
0
dxex
dd xxx 22
2
)04()04(
d
xx
dxedxe d
2
1
1
22
4
0
ddxdx 2
48. Ruas kanan dihitung dengan metode Gauss
Kuadratur untuk menghitung luasan dengan
memasukkan nilai xd=x1=
-0,577350269 dan xd=x2=0,577350269.
Untuk x1=-0,577350269
Untuk x2= 0,577350269
Dengan menggunakan pers.(30) akan didapat
luasan total
Presen kesalahan :
6573501,42 )577350269,0(22
e
8920297,462 577350269,022
x
e
𝐼=4, 6 573501 + 46 , 8 920297 = 51 , 5 49380
𝜀 =
53 , 598150 −51 , 549380
53 , 598150
× 100 % = 3 , 8 2 %
49. Contoh 8
Dari contoh 7 hitung dengan menggunakan
metode Gauss Kuadratur 3 titik
penyelesaian
Dengan menggunakan pers.(38)
dan harga c1,c2,c3,x1,x2,dan x3 dari tabel
diatas akan di dapat
Untuk x1 = -0,774596669
Untuk x2 = 0,0
)()()( 332211 xfcxfcxfcI
13915546,32 )22( 1
x
e
7781122,142 )22( 2
x
e
50. Untuk x3 = 0,774596669
Dengan memasukkan harga-harga tersebut kedalam
pers.(38) akan didapat
Dengan % kesalahan sebesar
5704925,692 )22( 3
x
e
5303486,535704925,69555555556,0
7781122,14888888889,013915546,3555555556,0
I
%13,0%100
598150,53
5303486,53598150,53
![KELOMPOK 3
Nama Anggota 1 :
1.Aufa Amrullah
[17031010122]
2.Endah Budi W [17031010113]
3.Friska Septinindya A
[17031010107]
4.Ivan Fau G
[17031010098]
5.Muhamad Dendy Hartono](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)