Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (19)
Similar to Konstanta π
Similar to Konstanta π (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Konstanta π
- 1. KONSTANTA “ Essay di buat untuk memenuhi salah satu tugas matakuliah teori bilangan” Dosen pembimbing Eko Yulianto M.Pd, Oleh , Nina Siti Kurniati 142151001 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI TASIKMALAYA 2015
- 2. pakah rekan-rekan sudah mengetahui konstanta ??? Jawabannya pasti iyah. Pertama kali kita mengenal simbol ketika duduk di Sekolah Dasar tepatnya dalam rumus lingkaran dan bola, dan mungkin ini termasuk konstanta menarik pertama yang diajarkan. Dimana konstanta terkadang bernilai 3,14 atau , namun ternyata bilangan π tidak sesederhana itu. Apakah pertanyaan- pertanyaan ini pernah terpikirkan oleh rehan-rekan ...??? Dari mana nilai diperoleh? Apakah nilai setara dengan 3,14 dan ? Kapan pertama kali digunakan? Siapa yang memper- kenalkannya ? Ternyata : = 3,141592654... = 3,142857143... Selisihnya = 0,00126448886... Selisih nilai dengan nilai kelihatan sedikit, tetapi kalau diterapkan dalam perhitungan kecepatan rudal yang jaraknya ribuan Kilo Meter maka selisih tersebut menjadi besar. Yang benar adalah penggunaan nilai , disetarakan dengan 3,14 maupun hanya untuk memudahkan kita supaya tidak harus menghafal nilai yang terdiri lebih dari 100 digit yaitu : 3,14159265358979323842626433832 795028841971693993751058209749 445923078164062862089986280348 253421170679... Fakta menarik nilai adalah kita tidak menemukan angka nol dalam 31 digit pertama. Dan ditahun 2011 oleh para matematikawan dan Computer Scientist telah didapatkan suatu metode untuk menghasilkan nilai π berketelitian tinggi dengan angka desimal sebanyak 10 Trilyun (1013 ). Jadi 3,14 maupun hanyalah untuk pendekatan nilai . TAUKAH ANDA ??? A
- 3. π tersebut merupakan salah satu bilangan konstanta, yaitu bilangan untuk menyatakan objek yang bernilaisama bagi semua perhitungan matematika. Huruf berasal dari yunani, bilangan ini digunakan untuk semua perhitungan yang melibatkan bangun berbentuk lingkaran, seperti lingkaran, bola dan kerucut. Lalu keistimewaan apa yang menjadikan sebagai “Raja” Matematika ? Simbol dapat dinyatakan sebagai karakteristik dari kurva lengkung. Tanpa adanya bilangan maka kita tidak dapat menangani dengan baik bangun-bangun geometri yang memuat permukaan lengkung atau sisi lengkung, seperti lingkaran, elips, bola dan lain-lain. Selain itu bilangan telah menimbulkan usaha yang luar biasa dalam perkembangan matematika, bilangan ini telah melahirkan pula bidang-bidang kajian yang menarik perhatian para matematikawan, seperti mencari nilai pendekatan angka desimal terbanyak, meneliti sifat irasionalitas, permasalahan squaring a circle, transendental, normalitas bilangan, dan lain-lain. Beberapa sifat matematik menenai bilangan : 1. sebagai faktor dalam menentukan luas dan keliling lingkaran Dari ketentuan dasar : diameter , yang merupakan 2 radius atau dua jari-jari , sehingga ketentuan panjang jari-jari adalah sama dengan panjang , maka dalam mencari luas atau penampang dari suatu lingkaran , sebagai rumus dasar lingkaran yang dipergunakan, adalah berdasarkan penemunya . luas lingkaran = atau = Dan rumus dasar yang digunakan dalam menentukan panjang keliling lingkaran adalah : panjang keliling lingkaran = atau = Untuk memastikan nilai konstan ( ) tersebut, lakukanlah percobaan. Langkah pertama yang dilakukan, adalah mencari panjang keliling dengan nilai konstan ( ) pada suatu lingkaran dengan diameter
- 4. adalah bilangan dengan satuan unit yang bulat , yaitu 1 cm. Saya memilih angka 1, karena dalam perkalian akan menghasilkan nilai yang sama untuk bilangan yang akan dikalikan, dalam hal ini adalah nilai konstan ( ) tersebut. Jadi pada kalkulasi, dengan ukuran diameter yang bulat = 1 cm , jelas akan ditemukan nilai yang sama dengan nilai konstannya , dalam rumus ini adalah( = 3,14... ), yaitu : panjang keliling lingkaran = , maka 3,14... x 1 cm = 3,14... cm. Tapi ingat!!! Nilai yang digunakan dalam lingkaran hanya sebatas pendekatan yang akrab digunakan dalam kehidupan sehari-hari dengan derajat ketepatan 2 desimal di belakang koma. Hal ini berdasarkan perbandingan dengan nilai asli itu sendiri. 2. 180 derajat = radian Ketika SMA mengenal dengan nilai yang lain, yaitu 180 derajat. Misalnya di dalam bentuk Lalu, berapa nilai yang sebenarnya? Mendekati 3,14 atau bernilai 180 derajat? Kedua nilai tersebut benar. Baik nilai mendekati 3,14... atau bernilai 180 derajat. Lalu apa perbedaannya??? Perbedaanya terletak pada sistem bilangan. 180 adalah bilangan dengan satuan derajat. Sedangkan untuk yang mendekati 3,14... menggunakan sistem radian (bilangan real). Kedua sistem tersebut tidak dapat dioprasikan secara bersamaan. Misalnya : tidak bisa dioperasikan, karena sistem bilangan yang digunakan berbeda. Sedangkan untuk = 9,14… (karena kedua- nya sama-sama bilangan real, maka bisa dioperasikan) Sangat jelas berbeda jika kita menggunakan kalkulator scientific. Di dalam kalkulator scientific, perhatikan bahwa di situ ada Deg, Rad, Grad. Deg adalah singkatan dari Degrees yaitu derajat. Ketika kita menghitung dengan mode Deg nilai
- 5. , maka hasilnya adalah -1. Rad adalah singkatan dari Radian (bilangan real). Ketika kita menghitung dengan mode Rad nilai , maka hasilnya bukan -1. Sedangkan jika kita menghitung , maka hasilnya -0,9999987… (mendekati -1). 3. irrasional Pertama kali Al-biruni pada abad ke 11 menyatakan sifat irasionalitas berdasarkan argumentasi geometrik. Sifat irasionalitas pertama kali dibuktikan dengan jelas oleh lambert tahun 1767, lalu diikuti oleh bukti yang lebih baik oleh legendre (1794). π merupakan bilangan irasional, yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat (biasanya pecahan digunakan sebagai nilai pendekatan π, namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai eksak π). Oleh karena itu pula, representasi desimal π tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal π tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan. 4. transendental Bilangan juga bersifat transendental (non aljabar), artinya bilangan tersebut tidak dapat menjadi akar suatu polinom (persamaan suku banyak) dengan koefisien-koefisien bulat. Bukti bahwa transendental pertama kali diberikan oleh Lindemann tahun 1882. Dengan terjawabnya sifat transendental ini maka berakhir pula perburuan pemecahan atas masalah klasik sejak 20 abad sebebelumnya yaitu bagaimana melukis dengan jangka dan penggaris sebuah lingkaran yang memiliki luas sama dengan persegi yang diberikan (squaring of the circle). 5. sebagai pecahan kontinue Sama seperti semua bilangan irasional lainnya, π tidak dapat diwakilkan sebagai pecahan sederhana. Namun setiap bilangan irasional, termasuk π dapat diwakil-
- 6. kan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagai pecahan kontinu: Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan π; dua pecahan dan secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap π. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untuk π tidak memiliki pola-pola tertentu, matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya: Penelitian nilai dari tahun- ketahun Selama beribu-ribu tahun, matematikawan telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan π. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan πhingga keakuratan yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti Archimedes dan Liu Hui mengguna kan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai π. Mulai abad ke-15, algoritme baru yang didasarkan pada deret tak terhingga merevolusi perhitungan nilai π. Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti Madhava dari Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, dan Srinivasa Ramanujan. Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal π sampai dengan lebih 10 triliun (1013 ) digit. Penerapan bilangan π dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari 40 digit desimal π, sehingga motivasi utama dari komputasi ini didasarkan pada keingintahuan manusia. Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk
- 7. menguji kemampuan perkalian presisi tinggi. Lalu adakah rumus yang dapat menghitung nilai ??? Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai phi, yaitu : = 4 arc tan - arc tan . = . Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan π sebagai = 3,1250. Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (Papirus ini sendiri merupakan kopian dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai π sebagai Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai π sebesar ≈ 3,088. Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India menyatakan nilai π sama dengan ≈ 3,1622. KOMENTAR Nilai dari konstanta tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat (biasanya pecahan atau 3,14 atau bahkan digunakan sebagai nilai pendekatan π, namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai eksak π.) itu dikarenakan konstanta memiliki sifat irasional. Namun pada umumnya nilai dari konstanta yang digunakan atau 3,14 hanya untuk memudahkan dalam perhitungan karena sampai sekarang tidak ada seorangpun yang dapat mengetahui nilai secara keseluruhan (apabila x kelipatan 7 akan lebih mudah menggunakan dan untuk 3,14 biasanya digunakan bila x bukan kelipatan dari 7). Selain itu saya menemukan nilai lain yang mendekati nilai dari konstanta seperti :
- 8. No Pendekatan nilai Derajat ketepatan 1 3,14 Dua angka 2 Dua angka 3 Empat angka 4 Empat angka 5 Lima angka 6 Lima angka 7 = 3,14159209 Enam angka 8 Enam angka 9 = 3,141592657 Delapan angka Ada baiknya agar mendapat hasil yang lebih akurat lebih baik kita menggunakan pecahan yang lebih mendekati nilai nyata yaitu . SARAN Artikel ini dapat dijadikan sebagai referensi mengenai konstanta baik di Perguruan Tinggi ataupun di lingkungan Sekolah Menengah Atas, karena nilai yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari umumnya hanya memiliki derajat ketepatan 2 desimal di belakang koma. Ada baiknya agar mendapat hasil yang lebih akurat kita dapat menggunakan pecahan yang lebih mendekati nilai nyata yaitu dengan derajat ketepatan 6 desimal dibelakang koma.
- 9. DAFTAR PUSTAKA Anonim.(2014).Apa sih phi? Phi itu 22/7 atau 3,14. (Online) . Tersedia:http://ahmadsuaif.m ywapblog.com/menelusuri- asal-usul-nilai-pi.xhtml.[20 Mei 2015] Anonim.(2013).Asal usul phi (3,14). (Online). Tersedia: http:// profnazly.blogspot.com/2010 /09/asal-usul-phi-314. html. [20 Mei 2015] Anonim.(2010). Asal Muasal Phi = 3,14… .(Online). Tersedia: http://edukasi.kompasiana.co m/2010/01/08/asal-muasal- phi-314-50332.html.[20 Mei 2015] Wijanto Heroe.(2012).Benarkah Nilai π (Pi) = 3,14 atau 22/7 ? . (Online). Tersedia:http:// heroe.staff.telkomuniversity. ac.id/?p=133. [20 Mei 2015]