Dokumen tersebut membahas sejarah penemuan dan pengertian nilai phi (π), yang merupakan rasio antara keliling dan diameter lingkaran. Secara ringkas: 1. Nilai phi pertama kali dihitung oleh matematikawan Yunani kuno Archimedes, yang mengestimasi nilai phi antara 3 1/7 dan 3 10/71. 2. Simbol π mulai digunakan pada abad ke-18 untuk mewakili nilai phi. 3. Nilai phi sebenarnya ad

1. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Tidak diketahui siapa orang pertama yang menemukan phi atau biasa disebut rasio
antara keliling linkaran dengan diameter ini. namun, bukti-bukti menunjukkan bahwa phi ini
sudah banyak digunkan di dunia timur kuno. pada waktu itu pendekatan phi diambil 3, dan
untuk kwadratura lingkaran mesir yang diberikan dalam papyrus rhind didapat phi = (4/3)^4
= 3,1604....Tetapi usaha ilmiah pertama untuk menghitung phi agaknya datang dari
Archimedes dan kita akan mulai kronologi kita dengan hasil kerjanya.Sejarah ditemukannya
nilai Phi. Phi adalah suatu tetapan yang biasanya dipakai untuk mencari luas & keliling
lingkaran. Phi (π), merupakan huruf ke 16 dari abjad Yunani, biasanya digunakan untuk
konstanta matematika yang paling terkenal. Secara matematis, phi merupakan rasio keliling
terhadap diameter lingkaran. Tanpa menghitung seberapa besar ukuran lingkaran, nilai phi
selalu muncul dalam angka yang sama. Phi merupakan bilangan irasional, yaitu bilangan riil
dengan bilangan desimal yang tidak berulang. Bilangan ini tidak bisa diganti dengan rasio
bilangan bulat dan memiliki pecahan desimal yang tidak berujung, atau dikenal juga sebagai
bilangan desimal tak hingga. Tidak ada angka yang tepat untuk phi, angka ini juga sejauh ini
tidak ada ujungnya. Banyak ahli dan pencinta matematika yang tertarik mencari tahu
panjang digit yang mungkin dicapai oleh phi. Guinness World Record untuk jumlah digit
terbanyak phi dipegang oleh Lu Chao dari Cina, yang memperoleh 67.000 nilai desimal phi.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah penggunaan simbol 𝜋?
2. Apa pengertian dari phi?
3. Apa fakta mengenai nilai phi?
C. Tujuan
1. Mengetahui sejarah penggunaan simbol 𝜋
2. Mengetahui pengertian dari phi.
3. Mengetahui fakta mengenai nilai phi.

2. BAB II
PEMBAHASAN
A. Sejarah Penggunaan Simbol 𝝅
Dalam sejarah matematika, perbandingan keliling dan diameter lingkaran diungkapkan
dalam berbagai simbol di berbagai belahan dunia. Penggunaan huruf Yunani π juga
menyatakan beragam hal dalam sejarah matematika. Perbandingan keliling dengan diameter
lingkaran atau tepatnya 3,14159... disimbolkan dengan huruf π pertama kali dilakukan oleh
William Jones (1675-1749) tahun 1706. Namun pemakaian simbol ini secara luas hingga
kini setelah dipopulerkan oleh matematikawan Leonhart Euler (1707-1783).
William Jones sendiri sebelumnya kurang dikenal, tetapi setelah korespondensinya
dengan Newton diketahui oleh para sejarawan, ia mulai dikenal dalam sejarah matematika.
Ia antara lain pernah menjadi anggota the Royal Society (suatu perhimpunan ilmuwan
ternama di Inggris) tahun 1711. Simbol huruf Yunani π sendiri telah digunakan dalam
matematika jauh sebelum Jones. Simbol ini antara lain telah digunakan oleh
matematikawan William Oughtred (1574-1660), Isaac Barrow (1630-1677), dan David
Gregory (1661-1701).
Menurut sejarawan Cajori, penggunaan simbol tunggal untuk menyatakan
perbandingan keliling terhadap diameter mungkin pertama-tama dilakukan oleh J.
Christoph Sturm dalam bukunya Mathesis enucleata tahun 1689. Hanya ia menggunakan
simbol tunggal e bukan π. Tetapi klaim Cajori ini mungkin saja salah, sebab jauh sebelum
Eropa mengenal perbandingan keliling terhadap diameter lingkaran, peradaban Asia baik
India, Cina, Arab, Persia maupun Mesir telah mengenal perbandingan ini. Sebut saja al-
Kashi sekitar abad ke-15 telah menggunakan simbol tunggal berupa huruf Arab “tho”
untuk menyatakan bilangan 3,1415... .
"There are various other ways of finding the Lengths or Areas of
particular Curve Lines, or Planes, which may very much facilitate the
Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to the
Circumference as 1 to
, &c. = 3.14159, &c. =. This series
(among others for the same purpose, and drawn from the same
Principle) I received
from the Excellent Analyst, and my much esteem'd Friend Mr. John

3. Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art.
64.38 may be Examin'd with all desirable Ease and Dispatch."
Tahun 1734, Leonhart Euler (1707-1783) menggunakan huruf p dalam “De summis
serierum reciprocarum”. Dalam surat balasan tanggal 16 April 1738 dari Stirling kepada
Euler, juga terdapat penggunaan huruf p.
Tahun 1736, Euler menggunakan π untuk menyatakan keliling pada saat diameter
lingkaran sama dengan satu dalam bentuk 1 : π, pada buku Mechanica sive motus scientia
analytice exposita. Mulai tahun 1737, Euler menggunakan π untuk 3,14159... dalam surat
korespondensinya. Ini berlanjut pada surat-suratnya tahun 1738 dan 1739. Johann
Bernoulli mula-mula menggunakan huruf c tahun 1739 dalam suratnya kepada Euler,
tetapi pada surat tahun 1740 ia mulai menggunakan huruf π. Tahun 1741, π sudah
digunakan dalam Mathematical Tables oleh H. Sherwin. Pada tahun 1742, Nikolaus
Bernoulli juga menggunakan π dalam suratnya kepada Euler. Akhirnya, Euler
mempopulerkan penggunakan π secara luas setelah menulisnya dalam buku Introductio
in Analysin Infinitorum tahun 1748 dan tulisan-tulisan berikutnya. Berikut ini petikan
kalimat dari buku tersebut.
Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus
exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa
est .. esse = 3,14159 [hingga 128 desimal-pen], pro quo
numero, brevitatis ergo, scribam , ita ut sit =Semicircumferentiae
Circuli, cujus Radius = 1, seu erit longitudo Arcus 180 graduum.
Setelah penerimaan Euler akan lambang π tersebut, banyak orang juga menggunakan
lambang π, hingga kini semua orang menggunakan lambang π. Namun dalam masa-masa
setelah Euler tersebut tetap saja ada satu dua orang yang pernah menggunakan lambang
yang berbeda. Segner tahun 1751 menggunakan π tetapi pada tahun 1767 kembali
menggunakan lambang lama, δ : π. Matematikawan D. Lardner tahun 1828 menggunakan
lambang π untuk menyatakan pendekatan pada rasio keliling dan diemeter lingkaran, bukan
rasio itu sendiri. Juga, Pietro Ferroni tahun 1782 malah menggunakan lambang P untuk
3,14159... dan lambang ∏ untuk 6,283..
B. Pengertian Phi
Phi adalah suatu tetapan yang dipakai untuk mencari luas lingkaran. Di sekolah, kita
diajarkan bahwa nilai π (Phi) adalah 22/7. Sejak dulu, para ahli matematika telah mencari
nilai π (Phi) yang benar. Phi (π) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan

4. perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara Yunani yang
dibaca phi dan phi juga bisa dipakai dalam penulisan. Nilai π yang lazim digunakan adalah
3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat
desimal. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.
C. Sejarah Nilai Phi
1. Abad ke-19 SM bangsa Babilonia menetapkan bahwa π = 25/8 = 3,125.
2. Abad ke-17 SM, pakar matematika dari Mesir Ahmes menghitung bahwa π = 256/81 =
3,1605.
3. Abad ke-9 SM, astronom India Yajnavalkya menghitung bahwa π = 339/108 =
3,1389.
4. Abad ke-3 SM, Archimedes dari Yunani menyatakan bahwa 3 + 10/7 < π < 3 + 1/7,
atau π (Phi) itu terletak antara bilangan 3,1408 dan 3,1428.
5. Tahun 263, matematikawan China Liu Hui menghitung bahwa π = 3,141014.
6. Abad ke-15, Ghyath ad-din Jamshid Kashani dari Persia telah menghitung nilai π
yang akurat sampai 16 digit.
7. Tahun 1600, matematikan Jerman Ludolph van Ceulen menghitung π dengan akurasi
sampai 32 digit. Ia sangat bangga atas hal ini sampai di pahatkan dibatu nisannya.
8. Tahun 1873, seorang matematikawan amatir William Shanks menyelesaikan 20 tahun
menghitung phi dengan akurasi sampai 707 digit.
9. Tahun 1910, matematikawan India Srinivasa Ramanujan, merumuskan deret π yang
digunakan matematikawan saat ini untuk menghitung nilai π.
Jadi, misalkan kita punya roda yang diameternya 1 meter terus kita ukur kelilingnya
dengan cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang
dibutuhkan adalah sekitar 3.14159 meter. Nilai perbandingan antara keliling dan diameter
lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3.14159. Phi juga biasanya diartikan
sebagai 1 putaran penuh lingkaran atau 1 phi = 360 derajat. 22/7 itu merupakan angka yang
mendekati phi,tapi bukan phi yang sebenarnya.
Phi sebenarnya adalah 3,14159265358979323846264338327
Babel kuno menghitung luas lingkaran dengan mengambil 3 kali kuadrat jari-jarinya, yang
memberikan nilai phi = 3. Satu Babel tablet (ca. 1900-1680 SM) menunjukkan nilai 3,125
untuk pi, yang merupakan pendekatan lebih dekat. Rhind Papyrus (ca.1650 SM), terdapat
bukti bahwa orang Mesir menghitung luas lingkaran dengan formula yang memberikan nilai
perkiraan untuk phi 3,1605. Budaya kuno yang disebutkan di atas ditemukan pendekatan

5. mereka dengan pengukuran. Perhitungan pertama phi dilakukan oleh Archimedes dari
Syracuse (287-212 SM), salah satu matematikawan terbesar dunia kuno. Archimedes
diperkirakan luas lingkaran dengan menggunakan Teorema Pythagoras untuk menemukan
bidang dua poligon reguler poligon tertulis di dalam lingkaran dan poligon di mana lingkaran
itu dibatasi. Karena daerah yang sebenarnya lingkaran terletak di antara area ditulis dan
dibatasi poligon, luas dari poligon memberikan batas atas dan bawah untuk daerah lingkaran.
Archimedes tahu bahwa ia tidak menemukan nilai phi tetapi hanya sebuah pendekatan dalam
batas-batas tersebut. Dengan cara ini, Archimedes menunjukkan bahwa phi adalah antara 3 1
/ 7 dan 3 10/71. Pendekatan serupa digunakan oleh Zu Chongzhi (429-501), matematikawan
brilian dan astronom Cina. Zu Chongzhi tidak akan akrab dengan Archimedes metode-tapi
karena bukunya telah hilang, sedikit yang diketahui dari karyanya. Dia menghitung nilai rasio
keliling lingkaran dengan diameter menjadi 355/113. Untuk menghitung akurasi ini untuk
phi, dia selalu memulai dengan teratur menulis 24.576-gon dan melakukan perhitungan yang
panjang yang melibatkan ratusan akar kuadrat dilakukan sampai 9 desimal. Matematikawan
mulai menggunakan huruf Yunani π di tahun 1700-an. Diperkenalkan oleh William Jones
pada 1706, penggunaan simbol ini dipopulerkan oleh Euler, yang diadopsi itu pada 1737.
Abad ke-18 matematikawan Perancis yang bernama Georges Buffon merancang cara untuk
menghitung phi berdasarkan probabilitas. Anda dapat mencoba sendiri di Exploratorium’s
Phi Toss exhibit.Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan
abjad Yunani phi (π) untuk mewakili nilai yang dikatakan. Namun, pada tahun 1737, Euler
resmi mengadopsi simbol ini untuk mewakili bilangan. Pada tahun 1897, legislatif dari
Indiana mencoba menentukan nilai yang paling akurat untuk phi. Namun ternyata kebijakan
ini tidak berhasil. Sebagian besar orang pada waktu itu tidak mengetahui fakta bahwa
lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas. Nilai dari phi adalah banyaknya diameter
lingkaran yang akan dipaskan dengan keliling lingkaran. Nilai dari phi adalah 22 / 7 dan
ditulis sebagai π = 22 / 7 atau π = 3,14.
Nilai phi dengan 100 tempat desimal pertama adalah:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062
862089986280348253421170679
D. Fakta – fakta menarik mengenai Phi
1. Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani
phi untuk mewakili nilai yang dikatakan.
2. Pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol π ini untuk mewakili bilangan.
3. Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai phi yang paling

6. akurat. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil. Sebagian besar orang pada waktu itu
tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas.
Nilai dari phi adalah 22/7 dan ditulis sebagai π = 22/7 atau = 3,14. Nilai phi dengan
100 tempat desimal pertama adalah:
3,141592653589793238462643383279502884197169399375
1058209749445923078164062862089986280348253421170679.
Phi tidak hanya sebuah nomor irasional tetapi juga bilangan yang sulit dipahami.
Istilah phi sendiri diambil dari huruf Yunani "Phiwas". Itu juga merupakan Abjad Yunani
yang ke-16. Seorang pengusaha di Cleveland Amerika Serikat menerbitkan buku pada
pada tahun 1931 yang mengumumkan bahwa nilai phi adalah 256/81. Jika kita mencetak
miliaran dari desimal phi, maka angka itu akan merentang dari New York City ke Kansas.
Fakta menarik lain mengenai phi adalah kita tidak akan menemukan nol dalam 31 digit
pertama dalam dari phi.
Phi tidak hanya sebuah nomor irasional tetapi juga bilangan yang sulit dipahami.
Istilah phi sendiri diambil dari huruf Yunani "Phiwas". Itu juga merupakan Abjad Yunani
yang ke-16. Seorang pengusaha di Cleveland Amerika Serikat menerbitkan buku pada
pada tahun 1931 yang mengumumkan bahwa nilai phi adalah 256/81. Jika kita mencetak
miliaran dari desimal phi, maka angka itu akan merentang dari New York City ke Kansas.
Fakta menarik lain mengenai phi adalah kita tidak akan menemukan nol dalam 31 digit
pertama dalam dari phi.
Fakta-Fakta Menarik Lainnya Lagi Mengenai Phi:
1. Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo membutukan waktu sekitar
116 jam untuk menemukan sebanyak 6442450000 tempat desimal Phi dengan komputer.
2. Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai
phi yaitu : π/4 = 4*arc tan (1/5) – arc tan (1/239). Pada tahun 1949, ia juga menghabiskan
waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037 tempat desimal phi menggunakan ENIAC
(Electronic Numeric Integrator and Computer).
3. Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh
hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama phi.
4. Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Phi adalah sebuah bilangan
irasional.
5. Pada tahun 1882, Ferdinand Lindemann yang juga Ahli matematika terkenal
membuktikan Phi adalah bilangan yang sulit dipahami.
6. Ada orang yang hafal semua angka desimal phi. Orang tersebut membuat lagu dan

7. musik berdasarkan digit dari phi. Dalam kehidupan ini, memang terdapat banyak
fakta yang menarik dan menyenangkan mengenai phi.
7. Tanggal 14 maret diperingati sebagai Hari Phi. Lalu mengapa tanggal 14 Maret
dirayakan sebagai hari Phi ? Karena dalam penulisan di barat tanggal tersebut ditulis
dengan 3.14 yang merupakan pendekatan dari nilai Phi itu sendiri. Pada tanggal ini pula
diperingati hari kelahiran Einstein, ilmuwan yang pernah meraih hadiah nobel bidang
fisika karena teori foto elektriknya.
Perhitungan dalam menggunakan nilai phi pada lingkaran
1. Jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran merupakan kelipatan 7 maka akan lebih mudah
jika kamu menggunakan π yang 22/7.
2. Jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran merupakan kelipatan 10 maka tentu akan lebih
mudah jika kamu menggunakan 3,14 sebagai nilai π.
E. Sejarah lampau tentang π dari abad ke abad
Dari berbagai sabak/tablet lempung, kayu, dan batu yang pernah ditemukan,
disimpulkan catatan-catatan bahwa bangsa Babilonia telah menggunakan π = 3 sejak tahun
4000 SM (Sebelum Masehi), kemudian π = 25/8 = 3,125 pada 1900–1600 SM. Bangsa Mesir
telah telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan π = (16/9)^2 ≈
3,1605 sejak tahun 1850 SM. India menggunakan π = (9785/5568)^2 ≈ 3.088 sejak tahun 600
SM. Bangsa Indian menggunakan π = sqrt(10) ≈ 3.1622 sejak tahun 150 SM.
Definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode
pendekatan yang lebih jelas ditemukan dari catatan tahun 250 SM milik Archimedes dari
Syracuse Yunani. Perhitungan keliling lingkaran dilakukan oleh Archimedes dalam
pendekatan bentuk lingkaran sebagai suatu polygon, yaitu bentuk segi-banyak sama sisi.
Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjang sisi polygon segi-96 sama
sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehingga
dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429).
Pendekatan polygonal Archimedes ini mendominasi metode pencarian nilai π hingga 1000
tahun lebih. Bahkan pendekatan nilai π = 22/7 yang sempat dikenal sebagai “konstanta
Archimedes” itu masih digunakan hingga sekarang. Sebagai gambaran, perimeter-perimeter
lingkaran dengan menggunakan polygon segi-lima (pentagon), segi-enam (hexagon), dan
segi-delapan (octagon) yang lebih sederhana dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

8. Di China, nilai-nilai π yang pernah dipergunakan meliputi 3,1547 (sekitar tahun 1 M),
sqrt(10) = 3,1623 (sekitar tahun 100 M), and 142/45 = 3,1556 (sekitar abad ke-3 M). Pada
masa kekaisaran Wei di sekitar tahun 265 M, matematikawan Liu Hui menggagas algoritma
iteratif untuk menghitung keliling lingkaran berdasarkan polygon 3.072 sisi yang
menghasilkan nilai π = 3,1416. Algoritma Liu Hui dapat menghasilkan nilai π = 3,14 lebih
cepat dari polygon 96 sisi dengan memanfaatkan sifat bahwa perbedaan dari selisih luas
polygon berurutan dengan sisi tetap adalah berkelipatan 4, yaitu selisih antara luas polygon
sisi-N terhadap polygon sisi-(N – 1) adalah 4 kali lipat dari selisih antara luas polygon sisi-(N
– 1) terhadap polygon sisi-(N – 2) jika semua polygon memiliki sisi yang sama.
Matematikawan Zu Chongzhi pada tahun 480 M menggunakan algoritma Liu Hui dengan
menggunakan polygon 12.288 sisi yang menghasilkan nilai π = 355/113 = 3,141592920…
yang dianggap akurat hingga 800 tahun kemudian.
Di Persia, pada tahun 1424 dipublikasikan Risala al-Muhitiyya (“Treatise on the
Circumference”) oleh Jamshid Masud al-Kashi al-Kashani yang mengemukakan perhitungan
berdasarkan struktur polygon 3 x 228 sisi dengan hasil π = 3,1415 9265 3589 7932 5… yang
memberikan ketelitian 17 digit desimal. Dengan nilai tersebut oleh Al-Kashani dikatakan
bahwa perhitungan keliling suatu lingkaran berdiameter 600.000 kali diameter bumi (rataan
jejari bumi 6.370 km) akan memberikan kesalahan yang kurang dari “ketebalan rambut ekor
kuda”, suatu ukuran Persia kuno yang setara dengan sekitar 0,7 millimeter. Al-Kashani telah
memberikan pemahaman dengan baik mengenai ketakbermaknaan deretan panjang angka
desimal.
Penggunaan pertama kali simbol π dan pengukuhan definisinya sebagai ratio keliling
lingkaran (C) terhadap diameternya (d), yaitu π = C /d , dikemukakan oleh William Jones
(matematikawan Inggris dari Welsh Inggris, teman baik Isaac Newton dan Edmun Halley)
pada tahun 1706 dalam bukunya Synopsis Palmariorum Matheseos (A New Introduction to
the Mathematics) yang membahas tentang kalkulus diferensial dan deret tak hingga. Sesudah
itu, simbol π tidak pernah digunakan lagi hingga pada tahun 1736 mulai digunakan lagi oleh
Leonhard Euler (matematikawan Swiss yang pernah tinggal di Jerman dan Rusia). Leonhard
Euler adalah murid doctoral Johann Bernoulli dan kemudian menjadi dosen doctoral untuk

9. Joseph Louis Lagrange. Dia sangat dikagumi oleh Pierre-Simon Laplace. Terutama pada
tahun 1748, melalui dua volume bukunya Introductio in analysin infinitorum (Introduction to
the Analysis of the Infinite), penggunaan simbol π oleh Euler semakin dikenal luas hingga
saat ini.
Acuan definisinya dengan bentuk lingkaran telah menyebabkan π banyak
dipergunakan dalam rumus-rumus trigonometri dan geometeri, khususnya yang terkait
dengan bentuk-bentuk lingkaran, elips, bola, elipsoida. Struktur-struktur tersebut juga banyak
dijumpai dalam berbagai percabangan sains, seperti kosmologi, teori bilangan, statistika,
fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagntika. Terdapatnya dalam berbagai
fenomena matematika dan sains menyebabkan π menjadi salah satu dari lima konstanta
terpopuler bersama 0, 1, i = sqrt(–1), dan e (bilangan natural/Euler). Konstanta π dikenal baik
oleh kalangan dalam maupun kalangan luar scientific. Bahkan parlemen Amerika Serikat
menyetujui adanya hari khusus untuk memperingati keberadaan π, yaitu pada setiap bulan
Maret tanggal 14 atau dituliskan dengan format bulan/tanggal adalah 3/14, yang disebut
sebagai π-Day/Hari-π, diperingati oleh orang-orang dengan makan macam-macam kue pie
dan mendiskusikan berbagai perkembangan mutakhir tentang π
F. Napak tilas π a-la Archimedes
Sekarang, mari kita menapak tilas pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran
seperti yang pernah dilakukan oleh Archimedes. Kita hitung saja keliling lingkaran
berdiameter 1 berdasarkan keliling polygon segi-enam (hexagon) sebagai perimeter dalam
dan perimeter luar seperti pada gambar di bawah ini:
Dengan menggunakan pendekatan hexagonal, diperoleh keliling hexagon dalam
adalah 3 dan keliling hexagon luar adalah 2 sqrt(3) = 3,46410161513776. Jika kita kembali
ke definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya (π = C /d), maka diperoleh
nilai-nilai batas bawah dan batas atas 3,0 < π < 3,46410161513776. Nilai batas bawah π = 3
adalah penggunaan awal nilai π yang pernah digunakan oleh bangsa Babilonia tahun 4000

10. SM dan hingga saat ini digunakan pada sekolah-sekolah dasar di Jepang untuk pengenalan
awal tentang penggunaan π.
Dengan cara seperti itulah, semakin tinggi orde polygon yang digunakan sebagai
pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran, maka nilai batas bawah dan batas atas yang
makin konvergen. Konvergensi nilai tersebut seperti yang dihasilkan oleh Archimedes 223/71
< π < 22/7 (3 + 10/71 < π < 3 + 10/70 atau 3,1408 < π < 3,1429) dengan menggunakan 96-
gon, oleh Liu Hui π = 3.1416 dengan menggunakan 3.072-gon, dan oleh Zu Chongzhi π =
355/113 = 3,1415929204… dengan menggunakan 12.288-gon.
Kita juga bisa menghitung dengan cara lain, yaitu dengan memanfaatkan fungsi-
fungsi trigonometri terhadap segitiga siku-siku Phytagoras yang dapat kita analisis pada
struktur polygon di atas. Untuk polygon orde-6 (hexagon), dasar perhitungan keliling
perimeter hexagon dalam (Inner Perimeter) adalah:
Inner Perimeter = 6 AC = 6 x 2 x jejari AO x sin (½ x 3600/6) = 6 sin (½ x 3600/6)
Sedangkan perimeter hexagon luar (Outer Perimeter) adalah: Outer Perimeter = 6 DF = 6 x 2
x jejari OE x tan (½ x 3600/6) = 6 tan (½ x 3600/6)
Dengan demikian, jika sruktur polygon untuk perimeter dalam dan perimeter luar kita
kembangkan untuk orde-N yang lebih umum atau lebih tinggi, maka akan diperoleh rumusan
yang lebih umum, yaitu:
π by Inner Perimeter = N sin (1800/N)
π by Outer Perimeter = N tan (1800/N)
Dengan cara ini, sebenarnya kita sedang memindahan persoalan akurasi perhitungan
π menjadi persoalan akurasi perhitungan nilai fungsi trigometri sinus dan tangens. Mari kita
bandingkan hasil-hasil kalkulasi dengan 10 angka desimal menggunakan perangkat lunak
Microsoft Excel untuk pendekatan dari polygon 12.288 sisi Zu Chongzhi:
a. π by Inner Perimeter = 12.288 sin (1800/12.288) = 3,1415926194…
b. π by Outer Perimeter = 12.288 tan (1800/12.288) = 3,1415927220…
c. π kalkulasi Algoritma Zu Chongzhi = 355/113 = 3,1415929204…
d. π kalkulasi Microsoft Excel untuk fungsi PI() = 3,1415926536…
Dari pendekatan polygonal di atas, dapat pula diturunkan Algoritma Rekursif
Archimedes yang digunakan oleh Liu Hui dan Zu Chongzhi, yaitu:
a. Insialisasi dari hexagon (n = 0):
b. Initial Outer Perimeter (OP0) = 2 sqrt(3) = 3,4641016151378
c. Initial Inner Perimeter (IP0) = 3,0000000000000
d. Iterasi ke-n mulai n = 1, 2, dst untuk polygon 6 x 2n berlaku:

11. e. Outer Perimeter ke-n : OPn = 2 OPn–1 IPn–1 /(OPn–1 + Pn–1)
f. Inner Perimeter ke-n : IPn = sqrt(OPn IPn–1)
Sehingga dapat diperoleh hasil-hasil melalui perhitungan sederhana sebagaimana pada
tabel di bawah ini. Kolom terakhir tabel tersebut menggambarkan selisih antara keliling
perimeter luar terhadap keliling perimeter dalam polygon sebagai bentuk pendekatan bentuk
lingkaran berdiameter 1. Perhatikan pada tabel tersebut hasil-hasil dari polygon segi-96
Archimedes pada iterasi ke-4, polygon segi-3072 Liu Hui pada iterasi ke-9, dan polygon segi-
12.288 Zu Chongzhi pada iterasi ke-11. Terlihat pada iterasi ke-20 kita peroleh selisih
perimeter luar terhadap perimeter dalam sebesar 4 x 10–12 dengan polygon segi-6.291.456
sama sisi.
Sifat-sifat π :
Beberapa sifat π yang penting adalah sebagai berikut
1. Nilai π adalah bilangan irasional, artinya tidak dapat secara tepat dinyatakan dengan ratio
bilangan integer terhadap bilangan integer. Pernyataan nilai π = 22/7 atau 355/113
merupakan suatu nilai pendekatan rasionaliasi yang sangat populer. Pernyataan nilai
π dalam angka desimal akan memiliki panjang angka desimal di belakang koma dengan
panjang tak-berhingga.
2. Nilai π juga merupakan bilangan transendental, artinya tidak menjadi solusi bagi
persamaan polinomial tak-konstan yang memiliki koefisien-koefisien rasional.
Transendensi pada π memiliki dua konsekuensi, yaitu: pertama, π tidak dapat dinyatakan
sebagai kombinasi bilangan-bilangan rasional maupun sebagai akar kuadrat dan akar
integer dari suatu bilangan integer; kedua, tidak mungkin dibuat suatu segi empat

12. bujursangkar dengan luasan yang sama dengan luas lingkaran yang sesuai (squaring a
circle), dengan sisi segi empat bujur sangkar sqrt (π) seperti pada gambar di bawah ini.
3. Digit-digit desimal pada π tidak memiliki pola keteraturan dan telah dibuktikan memiliki
keacakan secara statistik, termasuk dalam uji normalitas dengan hasil yang tidak
konsisten. Suatu bilangan irasional dikatakan memenuhi sifat normalitas jika semua angka
yang muncul dalam deretan angka desimalnya memiliki tingkat keseringan muncul yang
sama.
4. Meskipun bersifat irasional dan transendental dengan pola desimal tak beraturan, terdapat
pula upaya para matematikawan untuk melakukan pendekatan fraksional kontinu
(continued fractional) dengan pola tertentu.

13. BAB III
KESIMPULAN
Penggunaan pertama kali simbol π dan pengukuhan definisinya sebagai ratio keliling
lingkaran (C) terhadap diameternya (d), yaitu π = C /d , dikemukakan oleh William Jones
(matematikawan Inggris dari Welsh Inggris, teman baik Isaac Newton dan Edmun Halley)
pada tahun 1706 dalam bukunya Synopsis Palmariorum Matheseos (A New Introduction to
the Mathematics) yang membahas tentang kalkulus diferensial dan deret tak hingga. Sesudah
itu, simbol π tidak pernah digunakan lagi hingga pada tahun 1736 mulai digunakan lagi oleh
Leonhard Euler (matematikawan Swiss yang pernah tinggal di Jerman dan Rusia). Leonhard
Euler adalah murid doctoral Johann Bernoulli dan kemudian menjadi dosen doctoral untuk
Joseph Louis Lagrange. Dia sangat dikagumi oleh Pierre-Simon Laplace. Terutama pada
tahun 1748, melalui dua volume bukunya Introductio in analysin infinitorum (Introduction to
the Analysis of the Infinite), penggunaan simbol π oleh Euler semakin dikenal luas hingga
saat ini.
Phi (π) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan
keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara Yunani yang dibaca phi dan
phi juga bisa dipakai dalam penulisan. Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7
namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai
π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.
Sifat-sifat π, Nilai π adalah bilangan irasional, artinya tidak dapat secara tepat
dinyatakan dengan ratio bilangan integer terhadap bilangan integer. Pernyataan nilai π = 22/7
atau 355/113 merupakan suatu nilai pendekatan rasionaliasi yang sangat populer. Nilai
π juga merupakan bilangan transendental, artinya tidak menjadi solusi bagi persamaan
polinomial tak-konstan yang memiliki koefisien-koefisien rasional. Digit-digit desimal pada
π tidak memiliki pola keteraturan dan telah dibuktikan memiliki keacakan secara statistik,
termasuk dalam uji normalitas dengan hasil yang tidak konsisten. Meskipun bersifat
irasional dan transendental dengan pola desimal tak beraturan, terdapat pula upaya para
matematikawan untuk melakukan pendekatan fraksional kontinu (continued fractional)
dengan pola tertentu.

14. DAFTAR PUSTAKA
Kurnia, Alviana. 2015. Sejarah Phi. Diakses dari http://alvianikurnia.blogspot.co.id/2015/03/
sejarah-phi.html
Nazly. 2014. Asal Usul Phi. Diakses dari http://profnazly.blogspot.co.id/2010/09/asal
usul-phi-314.htmlv
Nuhon, Zito. 2012. Sejarah Penemuan Nilai Phi. Diakses dari
http://sahabatanakcerdas.blogspot.co.id/2012/01/sejarah-penemuan-nilai-phi.html
Munawaroh, Zian. 2012. Uniknya Nilai Phi. Diakses dari http://zianmunawaroh.blogspot.
co.id/2012/02/fakta-mengenai-nilai-phi.html
Wijanto, Heroe. 2012. Benarkah Nilai π (Pi) = 3,14 atau 22/7. Diakses dari http://heroe.staff.
telkomuniversity.ac.id/?p=133
Wardana, Daniel Ari. 2009. Fakta – Fakta Menarik Mengenai Phi. Diakses dari
http://math07.findtalk.biz/t46-fakta-fakta-menarik-mengenai-phi
Meta. 2013. Nilai Phi Si Bilangan Gaib. Diakses dari https://chimbs.wordpress.com
/2013/03/09/nilai-pi-%CF%80-si-bilangan-gaib/