Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Perkembangan πœ‹ (Pi)
Untuk memenuhi salah satu tugas matakuliah Teori Bilangan
Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.Pd.
Oleh,
S...
2
Perkembangan 𝝅 (Pi)
Matematika sebagai alat bagi
ilmu yang lain sudah cukup dikenal
dan sudah tidak diragukan lagi.
Mate...
3
Simbol Ο€ pertama kali
digunakan oleh William Jones (1675-
1749). Namun pemakaian simbol πœ‹
secara luas karena dipopulerka...
4
Isaac Barrow
Simbol huruf Yunani Ο€
sendiri sebenarnya telah digunakan
dalam matematika jauh sebelum
william Jones. Willi...
5
Di Mesir, Papirus Rhind yang
berasal dari tahun 1650 SM ( papirus
sendiri merupakan salinan dari
dokumen tahun 1850 SM )...
6
yang digunakan dengan 3072-gon
untuk menghasilkan nilai πœ‹ sebesar
3,1416. Liu kemudian menciptakan
metode yang lebih cep...
7
George Reitwiesner dan John von
Neumann pada tahun yang sama
berhasil mencapai 2.037 digit
menggunakan komputer ENIAC
de...
8
sampai sekarang, πœ‹ selalu
kita jumpai dalam
perhitungan mencari luas
lingkaran dan keliling
lingkaran.
Luas lingkaran di...
9
Nilai Ο€ memainkan peran
penting dalam sudut yang
diukur dalam radian, yang di
asumsikan bahwa satu
lingkaran penuh memil...
10
πœ‹ merupakan bilangan
irrasional, yang artinya nilai πœ‹ tidak
akan pernah berulang dan tidak
berhingga. Penulis berharap ...
11
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Perkembangan pi

655 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Perkembangan pi

  1. 1. Perkembangan πœ‹ (Pi) Untuk memenuhi salah satu tugas matakuliah Teori Bilangan Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.Pd. Oleh, Siti Mutmainatur Rohmah 142151240 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI SILIWANGI 2015
  2. 2. 2 Perkembangan 𝝅 (Pi) Matematika sebagai alat bagi ilmu yang lain sudah cukup dikenal dan sudah tidak diragukan lagi. Matematika bukan hanya sekedar alat bagi ilmu, tetapi lebih dari itu matematika adalah bahasa. Matematika merupakan bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Dalam hal ini yang dipakai oleh bahasa matematika ialah dengan menggunakan simbol-simbol. Walaupun matematika merupakan bahasa simbol, namun manfaat simbol itu benar-benar penting. Dalam matematika banyak sekali simbol yang digunakan untuk membantu proses perhitungan. Adapun salah satunya yaitu pi, pi digunakan dalam menghitung luas lingkaran. Pi diinterpretasikan dengan perbandingan keliling dengan diameter lingkaran. Pi juga biasanya diartikan sebagai 1/2 putaran lingkaran atau Pi = 180o. πœ‹ merupakan simbol untuk huruf p pada huruf Yunani yang dibaca pi. πœ‹ adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Banyak rumus dalam matematika, sains dan teknik yang menggunakan πœ‹, yang menjadikannya salah satu konstanta matematika yang sangat populer. πœ‹ ditemukan oleh para ilmuan sejak zaman dahulu. Para ahli matematika telah mencari nilai πœ‹ dengan benar. Masing-masing ilmuan menemukan bahwa nilai πœ‹ mendekati 3,14. Dengan penemuan itulah tangga 14 maret diperingati hari πœ‹. Karena pada penulisan di Inggris tanggal tersebut di tulis dengan 3,14 yang merupakan pendekatan dari nilai pi itu sendiri. Pada tanggal ini pula diperingati sebagai hari kelahiran Einstein, ilmuwan yang pernah meraih hadiah nobel bidang fisika karena teori foto elektriknya. Penggunaan Simbol 𝝅 William Jones
  3. 3. 3 Simbol Ο€ pertama kali digunakan oleh William Jones (1675- 1749). Namun pemakaian simbol πœ‹ secara luas karena dipopulerkan oleh matematikawan Leonhart Euler (1707-1783). William Jones sendiri sebelumnya kurang dikenal, tetapi setelah korespondensinya dengan Newton diketahui oleh para sejarawan, ia mulai dikenal dalam sejarah matematika. Ia antara lain pernah menjadi anggota the Royal Society (suatu perhimpunan ilmuwan ternama di Inggris) tahun 1711. Leonhart Euler Tahun 1736, Euler menggunakan Ο€ untuk menyatakan keliling pada saat diameter lingkaran sama dengan satu. William Jones mungkin memilih simbol Ο€ karena Ο€ adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani. Namun ia menulis bahwa persamaan untuk Ο€ tersebut berasal dari John Machin. Setelah William Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani Ο€ ini pada tahun 1706, simbol πœ‹ tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karyanya tahun 1736 Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p. Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan- matematikawan di Eropa, penggunaan huruf Ο€ meluas dengan cepat. Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol Ο€ dalam karyanya Introductio in analysin infinitorum (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai Ο€; sehingga Ο€ sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan Ο€ yang universal di Barat. William Oughtred
  4. 4. 4 Isaac Barrow Simbol huruf Yunani Ο€ sendiri sebenarnya telah digunakan dalam matematika jauh sebelum william Jones. William Oughtred (1574-1660) dan Isaac Barrow (1630-1677) menggunakan Ο€ dan Ξ΄ (delta) untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter. Di sini terlihat penggunaan Ξ΄ untuk menyatakan diameter di mana huruf Yunani Ξ΄ bersesuaian dengan huruf latin β€œd”, sedangkan huruf Ο€ bersesuaian dengan huruf latin β€œp”, dari kata periphery yang artinya keliling. Sementara David Gregory (1661-1701) pada tahun 1697 menggunakan Ο€ untuk menyatakan perbandingan keliling dengan jari- jari lingkaran dalam bentuk ρ/Ο€. Lagi-lagi terlihat bahwa penggunaan huruf Ο€ untuk menyatakan keliling. Pendekatan Nilai 𝝅 Piramida Giza mesir yang dibangun pada tahun 2589-2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah 1760 280 β‰ˆ 6,2857. Nilai ini mendekati nilai 2πœ‹ β‰ˆ 6,2857. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini dimungkinkan memiliki pengetahuan akan πœ‹ dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini. Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada bukti apapun yang mendukungnya. Pendekatan tertulis terhadap nilai πœ‹ paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang satu persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat pernyataan mengenai geometri yang mengasumsikan πœ‹ sebagai 25 8 =3,125.
  5. 5. 5 Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM ( papirus sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM ) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai πœ‹ sebagai 16 9 2 β‰ˆ3,1605. Di india sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa sansekerta memuat nilai πœ‹ sebesar  9785 68 2 β‰ˆ3,088. Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan nilai Ο€ dengan β‰ˆ 3,1622. Archimedes Archimedes mengembangkan algoritme poligon untuk menghitung nilai pendekatan Ο€. Dia menghitung nilai πœ‹ dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran. Archimedes memperkirakan luas lingkaran dengan menggunakan Teorema Pythagoras untuk menemukan bidang dua poligon reguler, yaitu poligon tertulis di dalam lingkaran dan poligon di mana lingkaran itu dibatasi, karena lingkaran terletak di antara area ditulis dan dibatasi poligon, luas dari poligon memberikan batas atas dan bawah untuk daerah lingkaran. Archimedes tahu bahwa ia tidak menemukan nilai πœ‹ tetapi hanya sebuah pendekatan dalam batas-batas tersebut. Dengan cara ini, Archimedes menunjukkan bahwa nilai πœ‹ adalah antara 223 71 < πœ‹ < 22 7 atau 3,1408 < πœ‹ < 3,1429. Hal ini yang membuat orang-orang menganggap nilai πœ‹ = 22 7 . Sebagaimana yang dilakukan archimedes, Fibonacci pun pada tahun 1220 menghitung nilai Ο€ dan mendapatkan hasil 3,1418 dengan menggunakan metode poligon. Pada zaman Cina kuno sekitar tahun 1 masehi nilai πœ‹ adalah 3,157, pada abad ke-1 sekitar 3,1623. Abad ke-3 sekitar 3,1556. Sekitar tahun 26, matematikawan dari kerajaan Wei, Liu Hiu menemukan algoritme iteratif berbasis poligon
  6. 6. 6 yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai πœ‹ sebesar 3,1416. Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14. Matematikawan cina Zu Chongzi sekitar tahun 480 menghitung bahwa πœ‹ β‰ˆ 355 113 dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.2888-gon. Nilai yang didapat adalah 3,1415926... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun berikutnya. Perhitungan nilai Ο€ juga direvolusi oleh berkembangnya teknik deret tak terhingga pada abad ke-16 dan 17. Deret tak terhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya. Hal ini mengizinkan matematikawan menghitung nilai Ο€ dengan menggunakan metode yang melebihi metode Archimedes. Walaupun metode deret tak terhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai Ο€, pendekatan ini pertama kali ditemukan di India antara tahun 1400 dan 1500. Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai deret Gregory- Leibniz. G. Leibniz Leibniz menggunakan deret tak terhingga untuk memperkirakan nilai Ο€ sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia Jamshid al-Kashi pada tahun 1430 menggunakan algoritma poligon. Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal nilai Ο€. Matematikawan Amerika John Wrench dan Levi Smith berhasil menghitung nilai πœ‹ sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja. Sekelompok tim yang dipimpin oleh
  7. 7. 7 George Reitwiesner dan John von Neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer ENIAC dengan lama perhitungan selama 70 jam. Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973. Metode yang digunakan untuk mencari nilai pi yang paling mendekati yaitu dengan algoritma iteratif. Algoritma ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritma iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan. Algoritme iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritme ini lebih cepat daripada algoritma deret tak terhingga. Manakala algoritma deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritme iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Pada tahun 1984, John dan Peter Borwein berhasil menemukan algoritma iteratif yang membuat pangkat empat dari jumlah digit pada tiap iterasi dan pada tahun 1987 berhasil membuat pangkat lima dari jumlah digit pada tiap iterasi. Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga. Kegunaan Karena konstanta Ο€ berhubungan dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. Konstanta Ο€ juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya seperti Geometri dan Trigonometri, Fisika, Musik dan beberapa bahasa Pemrograman. Berikut penggunaan konstanta πœ‹ bidang yang telah disebutkan: 1. Geometri dan Trigonometri Seperti yang telah kita pelajari dari sekolah dasar
  8. 8. 8 sampai sekarang, πœ‹ selalu kita jumpai dalam perhitungan mencari luas lingkaran dan keliling lingkaran. Luas lingkaran di atas adalah sama dengan nilai Ο€ kali luas daerah yang diarsir. Konstanta Ο€ muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas permukaan dan volume bidang yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola dan kerucut. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan konstanta Ο€ misalnya: ο‚· Keliling bidang yang dibatasi lingkaran dengan jari-jari r adalah ο‚· Luas bidang yang dibatasi lingkaran dengan jari-jari r adalah ο‚· Volume bola dengan jari- jari r adalah ο‚· Luas permukaan bola dengan jari-jari r adalah Ο€ muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah: Dalam integral tersebut, fungsi mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu x. Fungsi sinus dan kosinus berulang dengan periode 2Ο€ Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, para matematikawan mengguna- kan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut.
  9. 9. 9 Nilai Ο€ memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang di asumsikan bahwa satu lingkaran penuh memiliki sudut 2Ο€ radian. Hal ini berarti 180Β° sama dengan Ο€ radian, dan 1Β° = Ο€/180 radian. Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari Ο€, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2Ο€, sehingga untuk sudut ΞΈ apapun dan bilangan bulat k apapun, dan 2. 𝝅 pada bidang Fisika Konstanta πœ‹ berguna didalam perhitungan tekanan udara didalam kaleng yang berbentuk tabung karena pengukuran tekanan yang berada didalam kaleng sangat erat kaitannya dengan bentuk kaleng minuman itu sendiri. Sedangkan perhitungan bentuk kaleng minuman biasanya menggunakan pi untuk mengoptimalkan bentuk kaleng. Contohnya: dalam membuat kaleng susu tentu kita harus mengukur voleme pada kaleng tersebut, agar kaleng bisa terisi dengan maksimal. Adapun rumus yang digunakan yaitu: Volume tabung: 1 4 πœ‹d2 x t. 3. 𝝅 pada bidang musik Pada bidang ini pi erat kaitannya dengan gelombang bunyi yang dihasilkan dari alat musik tersebut, selain itu pi juga berfungsi didalam pengukuran saat akan membentuk atau membuat suatu alat musik itu sendiri. 4. 𝝅 dalam bahasa pem- rograman Seiring berkembang- nya teknologi, penggunaan pi kini semakin luas, banyak aplikasi komputer yang menggunakan pi, misalnya Microsoft Excel, Turbo Pascal, class Math dan lainnya. Adapun identitas πœ‹ yang digunakan sebagai berikut: ο‚· Class Math: Math.Pi ο‚· Turbo pascal: Const Pi ο‚· Microsoft Excel: Pi
  10. 10. 10 πœ‹ merupakan bilangan irrasional, yang artinya nilai πœ‹ tidak akan pernah berulang dan tidak berhingga. Penulis berharap setelah pembaca membaca tulisan ini, kita dapat menghargai sebuah penemuan para matematikawan dalam bidang Geometri dan Trigonometri, Fisika, Musik dan beberapa bahasa Pemrograman. Tanpa adanya William Jones, Leonhart Euleur, William Oughtred, Isaac Barrow, Archimedess, G. Leibniz yang menemukan simbol-simbol dalam perhitungan matematika, kita akan mengalami kesulitan dalam melakukan perhitungan. Pi sangat berguna pada semua bidang keilmuan yang perhitungannya melibatkan bentuk lingkaran dan sejenisnya. Daftar Pustaka Haqqi.(2012).Tutorial Java: Bermain Matematika dengan Class Math. [Online] Tersedia: http://bisakomputer.com/tutoria l-java-bermain-matematika- dengan-class-math/. diakses pada tanggal 15 juni 2015 Hendroanto, Aan. (2014). Sejarah Bilanagn Pi (Kronologi Pi). [Online] Tersedia: http://aanhendroanto.blogspot.c om/2012/06/sejarah-bilangan- phi-kronologi-phi.html. diakses pada tanggal: 2 juni 2015 Mukharromah, Kurnia. (2012). β€œAsal Muasal Pi = 3,14….”. [Online]. Tersedia: http://kurnia- mukharromah.blogspot.com/20 12/11/asal-muasal-pi-314.html. diakses pada tanggal: 2 juni 2015 Oktora, Rizky (2013). Simbol Sebagai Alat Komunikasi Pada Pembelajaran Matematika. [Online] Tersedia: http://rizkyoktora.blogspot.com /2013/06/simbol-sebagai-alat- komunikasi-pada.html. diakses pada tanggal: 2 juni 2015 Sumardyono.(2013). Sejarah Penggunaan Simbol Konstanta Ο€. [Online] Tersedia: [pdf] http:// Sejarah-penggunaan- simbol-phi-sumardyono-sigit- tri-G-yazri-aznam. diakses pada tanggal: 3 juni 2015 Syairozi, Ahmad. (2013). Sejarah Perjalanan Pi. [Online] Tersedia: http://mathsyairozi.blogspot.co m/2013/02/sejarah-perjalanan- pi.html. diakses pada tanggal: 2 juni 2015 Wikipedia. (2015). Simbol πœ‹. [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/Pi. diakses pada tanggal: 2 juni 2015 Yesa, angela. (2014). πœ‹ Semua Ada Disini. [Online] Tersedia: http://pisemuaadadisini.blogsp ot.com/2014/06/aplikasi- pi.html?. diakses pada tangagal 15 juni 2015
  11. 11. 11

Γ—