Teks tersebut merangkum perkembangan geometri non-Euclid, dimulai dari kontribusi para matematikawan Arab dan Eropa dalam mempertanyakan postulat kelima Euclid, hingga penemuan geometri hiperbolik dan non-Euclid oleh Gauss, Lobachevsky, dan Bolyai pada abad ke-19. Saccheri dianggap sebagai pendiri geometri non-Euclid karena membuktikan bahwa jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat.

1. 66
RESUME GEOMETRI NON EUCLID
A. Perkembangan Geometri Non Euclid
1. Matematikawan Arab
Bangsa Arab mengembangkan keilmuan Geometri yang bersumber dari India dan
Yunani di bidang matematika. Mereka dikenal sangat luar biasa dalam mengungkap
permasalahan matematika terutama yang berkaitan dengan Trigonometri dan juga beberapa
masalah yang tak terpecahkan dalam hal teori kesejajaran. Salah satunya, yang cukup populer
adalah Omar Khayyam (Nishapur – sekarang Iran, 1048 – 1131). Omar Khayyam mencoba
untuk membuktikan postulat kesejajaran Euclid dengan hanya memanfaatkan postulat yang
pertama dari empat postulat lainnya yang dikemukakan oleh Euclid. Di mana, dengan
menggunakan postulat-postulat tersebut ia memberikan kejelasan mengenai teorema
kesejajaran Euclid berdasarkan pada birectangular quadrilateral.
Satu tokoh matematikawan Arab lainnya yang juga berkontribusi terhadap
perkembangan keilmuan bidang Geometry adalah Nasîr Eddîn (1201-1274). Salah satu
hipotesisnya yang berkenaan dengan Postulat Ke-5 Euclid adalah ‘if two straight lines r and s
are the one perpendicular and the other oblique to the segment AB, the perpendiculars drawn
from s upon r are less than AB on the side on which s makes an acute angle with AB, and
greater on the side on which s makes an obtuse angle with AB’. Hipotesisnya ini,
menuntunnya untuk menyimpulkan bahwa jumlah sudut dari suatu segitiga adalah sama
dengan dua kali sudut siku. Dan segitiga siku-siku merupakan setengah bagian dari suatu
segiempat yang ‘dipotong’ mengikuti diagonalnya.
2. Matematikawan Eropa
Beberapa matematikawan Eropa kemudian juga mencoba membuktikan kebenaran
Postulat Ke-5 Euclid, yang beberapa diantaranya adalah:
1. John Wallis (1616-1703), seorang profesor dari Oxford University.
Ia membuat pembuktian terhadap Postulat Ke-5 Euclid dengan berdasarkan pada aksioma
‘to every figure there exists a similiar figure of arbitrary magnitude’.
2. C. S. Clavio (1573 - 1612)
Ia mencoba untuk memunculkan model pembuktian baru terhadap hipotesis Euclid dengan
berlandaskan pada teorema ‘the line equidistant from a straight line is straight line’.
Dalam banyak hal, ternyata apa yang dihasilkannya memiliki kemiripan dengan karya
Nasîr Eddîn.
3. Jonh Playfair (1748-1819)
Postulat Playfair. Untuk suatu garis dan setiap titik yang tidak terletak pada garis ,
terdapat suatu garis yang melewati dan sejajar dengan . Dengan postulatnya, Playfair
mencoba untuk mengkonstruksi postulat kesejajaran yang dikemukakan oleh Euclid agar
lebih mudah dipahami.
4. Adrien Marie Legendre (1752-1833)
Ia tidak sepenuhnya mengakui kebenaran hipotesis Saccheri, terutama yang berkenaan
dengan sudut tumpul (obtuse angle). Ia membuktikan bahwa ‘jumlah sudut dari suatu
segitiga adalah kurang dari atau sama dengan dua kali sudut siku’. Pada teorema ke-2nya,
Legendre mengungkapkan bahwa ‘jika jumlah sudut pada suatu segitiga kurang dari atau

2. 67
sama dengan dua kali sudut siku dalam suatu segitiga maka ianya juga akan berlaku sama
pada segitiga-segitiga lainnya’
Playfair dan Legendre mengemukakan suatu pernyataan yang equivalen dengan
Postulat Ke-5 Euclid, yaitu :
‘Jumlah sudut-sudut pada suatu segitiga adalah sama dengan dua kali sudut siku’
(Adrien Marie Legendre, 1752-1833)
Aksioma Kesejajaran : ‘melalui suatu titik yang tidak berada pada suatu garis yang
diberikan, hanya akan terdapat satu garis sejajar’
(Jonh Playfair, 1748-1819)
Para matematikawan Eropa tersebut menggunakan pernyataan yang equivalen dengan
postulat ke-5 Euclid dalam pembuktian teori-teori geometri mereka, walaupun kemudian
diketahui bahwasannya ternyata pembuktian mereka adalah mengandung suatu kontradiksi
tertentu.
Selain Playfair dan Legendre, kami belum menemukan referensi yang secara spesifik
mengungkap karya dari John Wallis serta C. S. Clavio yang secara spesifik terkait dengan
perkembangan keilmuan geometri.
3. Skema Perkembangan Geometri Non Euclid
Saccheri
(1667-1773)
Lambert
(1728-1777)
Schweibart
(1780-1859)
Taurinus
(1794-1874)
Gauss
(1777-1855)
W Bolyai
(1775-1856)
M Barlels
(1769-1836)
Riemann
(1826-1866)
J Bolyai
(1802-1860)
Lobatchevsky
(1793-1856)
Geometri Hiperbolic Geometri Elliptic
Riemann
(1826-1866)
Beltrami
(1835-1900)
Klein
(1849-1925)

3. 68
Gambar 2. Skema Perkembangan Geometri Non Euclid
4. Dasar Geometri Non Euclid
Girolamo Saccheri (San Remo, 1667-1733). Ia adalah seorang profesor di Pavia
University. Ia-lah yang mempublikasikan keberadaan Euclides ab Omni Naevo Vindicatus dan
kemudian mencoba untuk membuktikan Postulat Ke-5 Euclid. Saccheri menggunakan Absurd
Method dalam pengkonstruksian Postulat Ke-5 Euclid. Hasil temuannya kemudian menjadi
dasar bagi perkembangan Geometri Non-Euclid.
Gambar 3. Saccheri Quadrilateral
Definition. Saccheri Quadrilateral adalah suatu segi empat di mana dan
merupakan sudut siku-siku dengan . Segmen (ruas garis) disebut sebagai alas dan
puncak.
Dari gambar Quadrilateral bentukan Saccheri, paling tidak ia melihat terdapat tiga
kemungkinan yang akan terjadi :
 Sudut-sudut puncak ( dan ) pada quadrilateral tersebut besarnya lebih
dari sudut siku
 Sudut-sudut puncak ( dan ) pada quadrilateral tersebut besarnya sama
dengan sudut siku
 Sudut-sudut puncak ( dan ) pada quadrilateral tersebut besarnya kurang
dari sudut siku
Walaupun sebenarnya beberapa ide dasar Saccheri telah terlebih dahulu diajukan oleh seorang
Ahli Matematika Persia pada abad ke-11, yaitu Omar Khayyam dalam buku Omar Khayyam’s
Discussion of Difficulties in Euclid, tetap saja Saccheri dianggap sebagai peletak pondasi awal
perkembangan geometri non Euclid.
5. Kelahiran Geometri Non Euclid
Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 18 hingga awal
abad 19, beberapa dari para matematikawan mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Tapi
apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak cukup memuaskan. Namun beberapa
diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah :
Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859). Ia yang kemudian membagi keilmuan
Geometri ke dalam dua kutub yaitu Geometri euclid dan Geometri yang menolak kebenaran
Postulat Ke-5 Euclid (atau Geometri Non-Euclid). Franz Adolf Taurinus (1728-1779). Ia
adalah sepupu dari Schweikart, yang secara otomatis juga berperan sebagai rekan kerja
Schweikart. Johann Heinrich Lambert (1728-1779). Ia yang mengajukan konsep Geometri
pada bola nyata dan radius tak berhingga dari sebuah bola.
Para ahli matematika dunia sadar bahwa Postulat Ke-5 Euclid tidak dapat dibuktikan
dengan menggunakan aksioma-aksioma yang terdapat pada Geometri Euclid. Terdapat
banyak fakta yang mengindikasikan penolakan ini. pada waktu yang hampir bersamaan, tiga

4. 69
orang matematikawan ternyata berhasil menemukan solusi dari perdebatan panjang mengenai
keberadaan Postulat Ke-5 Euclid. Mereka adalah :
 Karl Friedrich Gauss di Jerman (Brunswick 1777 – Gotinga 1855)
 Nicolai Ivanovitsch Lobatchevski di Rusia (Novgororod, sekarang Gorki, 1792-1856)
 János Bolyai di Hungaria (Kolozxvar, sekarang Napoca Rumania, 1802-1860)
B. Geometri Non Euclid
1. Geometri Hiperbolik
Pada kajian Geometri Hiperbolik ini objek-objek kajianya yang berupa titik,
garis, bidang dan segmen tidak sama dengan titik, garis, bidang dan segmen pada
Geometri Parabolik. Pada Geometri Hiperbolik Ini bidang direpresentasikan oleh
sebuah lingkaran O (Prenowitz,1965: 91). Berikut ini adalah tabel representasi untuk
Geometri Hiperbolik.
Tabel 1. Representasi Geometri Hiperbolik
Geometri Hiperbolik Representasi Geometri Euclid
Titik Titik: Titik dalam lingkaran
Garis Penghubung terbuka lingkaran
Bidang Bagian dalam lingkaran
Segmen Segmen: Segmen penghubung dua titik
Postulat kesejajaran Hiperbolik (Prenowitz, 1965: 54)
Untuk suatu titik dan suatu garis yang tidak melalui titik tersebut terdapat dua garis
yang melalui titik tersebut yang sejajar dengan garis pertama.
1. Jumlah besar sudut suatu segitiga di dalam Geometri Hiperbolik
Teorema 2.1 (Teorema sudut luar) (Prenowitz,1965: 22)
Sudut luar segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam)
yang tidak bersisian dengan sudut tersebut.
Gambar 4. Sudut luar segitiga
Bukti :
Misalkan Δ adalah sembarang segitiga, dan misalkan D merupakan
perpanjangan dari melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa lebih
besar dari . Misalkan E merupakan titik tengah , dan misalkan merupakan
perpanjangan garis yang melalui E hingga F, maka = , =
dan = (sudut bertolak belakang sama besar). Jadi Δ ≅Δ
( . . ), dan = (bagian segitiga kongruen sama besar). Karena
> (keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya), sehingga
dapat disimpulkan > = A.

5. 70
Untuk menunjukkan bahwa > , perpanjang melalui C hingga
H, yang membentuk > , dengan menggunakan prosedur bagian
pertama pembuktian: misalkan M merupakan titik tengah , perpanjang melalui
M, dan lain-lain. Untuk melengkapi bukti, perhatikan bahwa dan
merupakan sudut bertolak belakang sehingga sudut tersebut sama besar.
Lemma 2.1 (Prenowitz, 1965: 57)
Jumlah besar dua sudut suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan
sudut luarnya.
Gambar 5. Jumlah besar dua sudut suatu segitiga
Bukti:
Menurut Teorema Sudut Eksterior m ACD > m ABC dan m ACD > m BAC.
Berikutnya, perhatikan bahwa
m ACD + m ACB = 180º
m ACD = 180º - m ACB
180º - m ACB > m ABC dan 180º - m ACB > m BAC
180º > m ACB + m ABC dan 180º > m ACB + m BAC
Dengan cara yang analog, dapat diperoleh m BAC + m ABC < 180º.
Lemma 2.2 (Prenowitz, 1965: 58)
Terdapat garis l, sebuah titik P yang tidak berada digaris l, dan titik Q berada
digaris l. Misal diberikan garis . sebagai sisinya, maka ada suatu titik R di l, pada
sisi yang diberikan, sedemikian sehingga PRQ lebih kecil atau kurang dari
sudut yang telah ditentukan, seperti yang terdapat pada gambar dibawah ini.
Gambar 6. Sudut terkecil pada segitiga
Bukti:
Misal ά yaitu sudut yang ditentukan (berapapun ukuran sudutnya), perhatikan
pada gambar di atas yang terdapat titik R pada garis l, yang terbentuk dari sisi PQ,
sedemikian sehingga PRQ <ά. Pertama dibuat langkah-langkah untuk
mendapatkan barisan sudut.
P 1 1 P 2 2….
Setiap sudut yang ditentukan tidak lebih besar dari setengahnya yaitu dari hasil
yang telah didapat.

6. 71
Gambar 7. Sudut-sudut terkecil pada segitiga
Misal R1 adalah titik pada garis l pada sisi PQ sehingga QR1 = PQ (gambar
23), maka ΔPQR1 sama kaki, dan QP 1 = PR1Q = b1
Misal b adalah sudut luar ΔPQR1 pada Q, berdasar lemma 1
b1 + b1 = 2b1 ≤ b
sehingga b1 ≤ ½ b ……………………(1)
Sekarang dibentuk sudut baru dengan langkah yang sama. Perpanjangan QR1
melalui R1 dan R2 sehingga R1R2 = PR1. Digambar PR2, kemudian ΔP 1R2 sama
kaki dan
1P 2 = PR2R1 = PR2Q = b2.
Dengan lemma 1 b2 + b2 = 2b2 ≤ b1
Sehingga b2 ≤ ½ b1
Dengan persamaan (1) didapat
b1 ≤ ½2
b.
dengan mengulangi proses pembagian dua n, sehingga didapat titik Rn di L, pda sisi
PQ, sehingga bn = PRnQ ≤ ½n
b.
Hasilnya nilai n sangat besar ½n
b < ά. kemudian PRnQ ≤ ά. Sehingga teorema
yang berlaku adalah R =Rn.
Dari kedua lemma yang disampaikan sebelumnya dapat diturunkan teorema berikut
ini.
Teorema 2.2 (Prenowitz, 1965: 59)
Pada segitiga jumlah besar sudut-sudutnya kurang dari 180°.
Gambar 8. Segitiga dengan jumlah sudutnya kurang dari 180°
Bukti:
Buat garis l dan itik P tidak pada l. Digambar garis m melalui P sejajar l,
dengan cara biasa. tegaklurus terhadap l pada Q dan m tegaklurus terhadap
pada P. Menurut postulat kesejajaran Hiperbolik, ada garis selain m melewati P sejajar
l. Misal garis tersebut adalah n, sehingga sudut yang dibentuk oleh garis n dan
besarnya harus kurang dari 90°. Y titik pada garis m, dan X titik pada garis n, terdapat
ά = XPY, maka QPX = 90° - ά.
Dengan menggunakan Lemma 2.2 buat titik R pada l, sedemikian sehingga PRQ < ά.
terbentuk ΔPQR.

7. 72
m PQR = 90°
m QRP < ά
m RPQ < m XPQ = 90° - ά
Dijumlahkan diperoleh
m PQR + m QRP + m RPQ < 90° + ά + 90° - ά = 180°
Jadi Δ PQR memiliki jumlah sudut kurang dari 180°.
Segiempat pada Geometri Hiperbolik
Dari teorema 2.2 di atas mengakibatkan adanya dua corollary untuk segiempat sebagai
berikut.
Corollary 2.2 (Prenowitz, 1965: 61)
Jumlah besar sudut-sudut dari segiempat kurang dari 360°.
Bukti:
Gambar 9. Segiempat yang jumlah besar sudutnya kurang dari 360°
Segiempat ABCD pada gambar 25 diatas, jika dibuat garis yang
menghubungkan titik B dan D maka akan terbentuk dua segitiga, segitiga I dan
segitiga II, berdasar teorema 2.2 bahwa jumlah besar sudut dari segitiga kurang dari
180°, maka segiempat tersebut jumlah besar sudut-sudutnya kurang dari 360°.
2. Geometri Eliptik
Geometri Eliptik berbeda dengan Geometri Euclid hanya pada postulat
kesejajarannya saja, Postulat kesejajaran dari Riemann adalah sebagai berikut
(Moeharti, 1986: 5.17): “Tidak ada garis-garis sejajar dengan garis lain”
Berdasarkan pada Postulat diatas, pada Geometri Eliptik ini dua garis selalu
berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Pada Geometri Eliptik terdapat dua
macam pengkhususan yang pertama Geometri “single elliptic” dan yang kedua
Geometri “double elliptic”.
Kata Eliptik didasarkan atas klasifikasi Geometri Proyektif, karena tidak ada
dua garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. Untuk dapat memudahkan dalil-dalil
berikut, maka sebagai model dari Geometri “double elliptic” ialah bola dan untuk
Geometri “single elliptic” adalah setengah bola.
Model Geometri Eliptik tunggal (Moeharti, 1986: 5.19)
Sebarang dua garis yang berpotongan tepat pada satu titik, tetapi tidak ada garis yang
memisahkan bidang tersebut.

8. 73
Gambar 10. Model Geometri Eliptik tunggal
Model Geometri Eliptik ganda (Moeharti, 1986: 5.19)
Dua garis berpotongan tepat pada dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang.
Gambar 11. Model Geometri Eliptik ganda
Tabel 2. Representai bola Euclid
Geometri Eliptik Ganda Representasi Euclid
Titik Titik pada bola
Garis Lingkaran besar bola
Bidang Bola
Segmen Busur dari suatu lingkaran bola
Jarak antara dua titik Panjang busur terpendek dari lingkaran
besar yang melalui kedua titik itu.
Sudut yang dibentuk oleh dua garis Sudut pada bola yang dibentuk oleh dua
lingkaran besar.
Dalam Geometri Eliptik melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dilukis
satu garis yang tegak lurus garis tersebut. Untuk setiap garis l ada kutup K sedemikian
sehingga semua garis melalui K tegak lurus pada l (gambarnya seperti semua meridian
melalui kutub tegak lurus melalui ekuator atau katulistiwa). Sifat kutub misalnya l
suatu garis, maka ada suatu titik K, yang disebut kutub dari l sedemikian sehigga :
1. Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik l tegaklurus pada l.
2. K berjarak sama dari setiap titik pada l.
Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak polar suatu kutub
sampai garisnya adalah konstan, demikian juga panjang suatu garis adalah konstan.
Berikut ini adalah dalil-dalil yang berlaku pada Geometri Elliptik ini:

9. 74
Dalil 3.1 (Moeharti, 1986: 5.20)
Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik ujungnya.
Dalil 3.2 (Moeharti, 1986: 5.20)
Semua garis tegak lurus pada suatu garis berpotongan pada titik yang disebut kutub
dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus pada
garis itu.
Bukti Dalil 3.2
Pada dalil 3.1 dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada satu titik sudah
terbukti, titik itulah yang disebut titik kutub, disini akan berlaku untuk setiap garis
yang tegak lurus pada garis l, begitu sebaliknya jika pada titik C ditarik garis yang
tegak lurus terhadap garis l maka semua garis akan tegaklurus ke l.
Sudut-sudut segitiga dalam Geometri Eliptik
Pembahasan sudut-sudut segitiga pada Geometri Eliptik ini berlaku beberapa dalil
sebagai berikut :
Dalil 3.3 (Moeharti, 1986: 5.20)
Dalam sebarang ΔABC dengan C = 90°, sudut A kurang dari, sama dengan atau
lebih besar dari 90°, tergantung dari segmen kurang dari, sama dengan atau lebih
besar dari jarak polar q.
Keabsahan dalil 3.3 diatas dapat ditunjukan dengan ilustrasi dibawah ini
Diketahui : segitiga ABC dengan C = 90 °
a. Ditunjukkan A < 90°, bila < dari jarak polar
Gambar 12. A < 90°, karena < jarak polar

10. 75
b. Ditunjukkan A = 90°, bila = dari jarak polar
Gambar 13. A = 90°, karena BC = jarak polar
c. Ditunjukkan A > 90°, bila BC > dari jarak polar
Gambar 14. A > 90°, karena BC > jarak polar
Untuk jumlah besar sudut-sudut segitiga dalam Geometri Eliptik ini berlaku dalil 3.4
berikut ini
Dalil 3.4 (Moeharti, 1986: 5.20)
Jumlah besar sudut-sudut segitiga lebih besar dari 180°.
Keabsahan dalil 3.4 diatas dapat ditunjukan dengan menggunakan gambar 13, dan
gambar 14:
Pada gambar 13: A = 90°, C = 90°, B positif
Sehingga m A + m B + m C 180°
Pada gambar 14: C = 90°, A tumpul
Sehingga m A + m B + m C > 180°.

11. 76
1. Segiempat pada Geometri Eliptik
Segiempat pada Geometri Eliptik ini yang dibahas adalah berikut ini
Dalil 3.5 (Moeharti, 1986: 5.21)
Jumlah besar sudut-sudut segiempat lebih besar dari 360°.
Bukti Dalil 3.5
Gambar 15. Ilustrasi Jumlah Besar sudut-sudut Segiempat Lebih Besar dari
360°.
Segiempat ABCD pada gambar 15 diatas, jika dibuat garis yang
menghubungkan titik B dan D maka akan terbentuk dua segitiga, segitiga I dan
segitiga II, berdasar dalil 3.4 bahwa jumlah besar sudut dari segitiga lebih dari 180°,
maka segiempat tersebut jumlah besar sudutnya lebih dari 360°.