1. PENDAHULUAN TEORI BILANGAN
1.1 Notasi dan Simbul
Matematika selalu berkenaan dengan ide-ide dan konsep, oleh karena itu untuk
memudahkan uraian, penjelasan, atau keterangan diperlukan seperangkat
kesepakatan bersama sebagai dasar dalam memahami matematika sehingga apa
yang ingin diketahui menjadi lebih mudah dan sederhana. Disamping itu dalam
matematika diperlukan lambang-lambang tertentu. Lambang-lambang yang telah
disepakati tersebut mempunyai makna tertentu, dan makna tersebut dinamakan
dengan notasi.
Istilah lain dari notasi adalah simbul. Penggunaan notasi haruslah disepakati
bersama oleh pengguna matematika. Notasi-notasi yang ada dalam matematika
dapat berkaitan dengan himpunan misalnya penggunaan huruf kapital latin, operasi
atau pengerjaan misalnya penjumlahan beruntun atau perkalian beruntun,
hubungan antara unsur misalnya kesamaan atau ketidaksamaan, atau pernyataan
yang menunjukkan penunjuk misalnya kelipatan persekutuan terkecil, pembagi
persekutuan terbesar dan sebagainya.
Berikut ini dituliskan beberapa notasi dengan artinya.
Notasi yang berkaitan dengan operasi
+ : jumlah
- : selisih
x : perkalian
: : pembagian

2. Teori Bilangan 2
: akar kuadrat
 : Penjumlahan beruntun
 : Perkalian beruntun
 : integral
Notasi yang berkaitan dengan hubungan
= : sama dengan
 : tidak sama dengan
> : lebih besar daripada
< : lebih kecil daripada
 : lebih kecil atau sama dengan
 : lebih besar atau sama dengan
 : ekuivalen
 : sama dan sebangun
 : gabungan
 : Irisan
 : anggota
 : bukan anggota
Notasi yang berkaitan dengan petunjuk atau tujuan
KPK : kelipatan persekutuan terkecil (low commond multiple)
FPB : pembagi persekutuan terbesar (great commond devisor)
 : implikasi ( jika ... maka ... )
 : biimplikasi ( ... jika dan hanya jika ... )

3. Teori Bilangan 3
┴ : tegak lurus
└ : sudut 90o
║ : sejajar
 : himpunan kosong
∆ : segitiga
‫ٱ‬ : bujur sangkar (persegi)
Notasi yang berkaitan dengan himpunan
a. Himpunan bilangan Nol yaitu {0}
b. N = himpunan bilangan Asli (Natural)
= { 1,2,3,4,5, ... }
c. W = himpunan bilangan Cacah (Whole)
= { 0,1,2,3,4, ... }
d. Z = himpunan bilangan Bulat (Zahlen)
= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } , sehingga dalam bilangan bulat terdapat bilangan
bulat positip (Z+), bulat negatip (Z-) dan bilangan nol
e. Q = himpunan bilangan rasional (Q = Quotient) yaitu bilangan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk
b
a
, dengan a,b  Z, b  0 . Bilangan rasional juga
dinamakan dengan bilangan desimal berulang.
Q = { x : x =
b
a
, a,b  Z, b  0 }

4. Teori Bilangan 4
f. Q = himpunan bilangan tak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan
dalam bentuk
b
a
dengan a,b Z. b  0 Bilangan tidak rasional juga disebut
dengan istilah lain yaitu bilangan desimal tak berulang.
g. R himpunan bilangan nyata (R = Real) yaitu gabungan dari bilangan-bilangan
Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan tidak Rasional. Dengan kata lain:
R = { N  W  Z  Q  Q }
h. Himpunan bilangan tidak nyata (i = imajiner ) yaitu bilangan yang dinyatakan
dengan i dimana i = 1 .
i. C = himpunan bilangan komplek yaitu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk C
= {x : x = a + bi, a,b  Z, i = 1 }.
Notasi-notasi tersebut dapat digunakan dengan tujuan untuk penyimbulan
konsep dalam matematika yang sudah disepakati bersama.
Contoh:
1. Jika kita ingin menyatakan jumlah 10 suku pertama dari bilangan genap
adalah dengan menggunakan simbul

10
1
2
q
q
2. Diberikan dua bilangan bulat berbeda, misal x dan y. Kita akan menggunakan
simbul > atau < sehingga didapat x > y atau x < y.
3. Untuk menyatakan dua garis lurus L1 dan L2 yang sejajar cukup menggunakan
simbul L1 ║ L2.

5. Teori Bilangan 5
Terlihat dari contoh di atas maka penggunaan simbul dalam matematika
memberikan makna singkat dan lugas.
1.2 Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan suatu metode yang penting dalam pembuktian
dan sering digunakan dalam berbagai buku. Induksi matematika merupakan suatu
metode yang digunakan untuk membangun kevalidan pernyataan yang diberikan
dalam istilah-istilah bilangan asli (N). Walaupun kegunaannya agak dibatasi dalam
konteks yang agak khusus, namun keberadaannya merupakan suatu alat yang
sangat diperlukan dalam cabang-cabang matematika.
Dianggap bahwa kita sudah mengenal bilangan asli N = { 1,2,3, ... }, baik
operasi biasa pada penjumlahan dan perkalian dan arti dari suatu bilangan asli yang
satu lebih kecil dari yang lain. Juga dianggap kita sudah mengenal dengan sifat-sifat
dasar dari bilangan asli berikut ini:
Sifat terurut baik dari N menyatakan bahwa setiap subset tidak kosong dari N
mempunyai unsur terkecil. Sifat yang lebih mendetail dari sifat terurut baik bilangan
asli adalah sebagai berikut:
Teorema 1.1
Jika S adalah subset dari N dan jika S   , maka terdapat suatu m  S sedemikian
sehingga m  k, untuk setiap k  S.
Prinsip Induksi Matematika

6. Teori Bilangan 6
Misal S subset dari N, maka berlaku sifat-sifat:
(1) 1  S
(2) jika k  S, maka (k+1)  S, dan S = N
Bukti:
Anggaplah berlaku sebaliknya S  N. Maka himpunan N – S tidak kosong dan
selanjutnya dengan sifat terurut dengan baik ia akan memuat suatu unsur terkecil.
Misal m adalah unsur terkecil dari N-S. Karena 1  S, maka menurut hipotesis (1),
kita tahu bahwa m  1. Selanjutnya untuk m > 1 mengakibatkan bahwa m – 1 juga
merupakan bilangan asli, Karena m – 1 < m dan karena m adalah unsur terkecil dari
N sedemikian sehingga m  S, ia mestilah merupakan kasus bahwa m-1  S.
Selanjutnya kita gunakan hipotesis (2) untuk unsur ke ke k = m – 1 dan
menyimpulkan bahwa k+1 = (m-1) + 1 = m  S. Kesimpulan ini bertentangan
dengan pernyataan bahwa m  S. Karena m diperoleh dengan mengasumsikan
bahwa N-S tidak kosong, hal ini juga bertentangan dengan kesimpulan bahwa N-S
kosong. Dengan demikian kita telah menunjukkan bawa S = N.
Bentuk lain dari prinsip Induksi Matematika dinyatakan sebagai berikut:
Untuk setiap n  N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n,
anggaplah bahwa:
(1) P(1) benar
(2) P(k) benar maka P(k+1) benar,
Maka P(n) adalah benar untuk setiap n  N.

7. Teori Bilangan 7
Contoh
Untuk setiap n  N, buktikan rumus penjumlahan berikut dengan induksi
matematika.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + n =
2
)1( nn
Jawab
Untuk n = 1  1 =
2
)11(1 
, sehingga 1  S,
Andaikan untuk n = k diasumsikan bahwa k  S, sehingga
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... k =
2
)1( kk
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 benar, maka
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + k + (k+1) = )1(
2
)1(


k
kk

2
)1(2
2
)1( 

 kkk

2
122
 kkk

2
132
 kk

2
)2)(1(  kk

2
)1)1)(1(  kk
, karena n = k+1, maka:

2
)1)(( nn

8. Teori Bilangan 8
Karena rumus ini terpenuhi untuk n = k+1, kita menyimpulkan bahwa k+1  S. Jadi
dari Induksi matematika terpenuhi. Oleh karena itu dengan prinsip induksi
matematika kita menyimpulkan bahwa S = N dan rumus tersebut adalah benar
untuk semua n  N.
1.3 Prinsip Urutan
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan
dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari
definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada
bagian lain suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika
adalah prinsip urutan (Well Ordering Principle).
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-
bilangan real. Sebagaimana halnya dalam Struktur Aljabar dari sistem bilangan real.
Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat urutan adalah mengidentifikasi
suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan “kepositipan”.
Definisi 1.1
Misal P subset R dan P   . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real positip
kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
(1) Jika a,b  P, maka (a+b)  P
(2) Jika a,b  P, maka (a.b)  P
(3) Jika a  R, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi

9. Teori Bilangan 9
a  P, a = 0, -a  P
Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi
penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat
trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa
himpunan {-a: a P} dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan
dengan P, dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan
yang saling asing.
Definisi 1.2
a. Jika a  P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat
(strictly positip) dan dituliskan dengan a > 0, Jika a  P  {0}, maka a disebut
bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk a  0.
b. Jika -a  P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat
(strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a < 0, Jika -a  P  {0}, maka a
disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk a  0.
c. Jika a, b  R dan jika a – b  P maka dituliskan dalam bentuk a > b atau b <
a.
d. Jika a,b  R dan jika a – b  P  {0}, maka a  b atau b  a
Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan a < b < c yang berarti a < b
dan b < c
Demikian juga jika a  b dan b  c maka a  b  c. demikian seterusnya.
Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan

10. Teori Bilangan 10
Teorema 1.2
Misalkan a,b,c  R
a. Jika a > b dan b > c maka a > c
b. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi
a > b, a = b , a < b
c. Jika a  b dan b  a maka a = b
Bukti
a. a > b maka menurut definisi a – b > 0 atau a – b P
b > c maka menurut definisi b – c > 0 atau b – c P
Karena a – b P dan b – c P maka menurut definisi diperoleh
(a-b) + (b-c) P.
Sehingga a – c P atau a > c
b. Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut
mungkin terjadi
a – b > 0, atau a-b = 0, atau –(a-b) = 0 sehingga
a > b atau a = b atau a < b.
c. Jika a  b, maka a – b  0, sehingga dari bukti (b) kita dapatkan a – b P atau
b-a  P yakni a > b atau b > a. Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi
tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a = b.
Teorema 1.3
1. Jika a  R dan a  0, maka a2 > 0

11. Teori Bilangan 11
2. 1 > 0
3. Jika n  N, maka n > 0
Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika a  0, maka a P atau –a  P. Jika a P maka
dengan definisi kita mempunyai a2 = a, untuk a P. Dengan cara yang sama
Jika -a  P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk (-a)2 = (-a)(-a) 
P. Dari teorema sebelumnya berakibat bahwa:
(-a)(-a) = ((-1)a)((-1)a) = (-1)(-1)a2 = a2. Akibatnya bahwa a2
P. Jadi kita
simpulkan bahwa jika a  0, maka a2 > 0.
2. Karena 1 = (1)2, menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa
1 > 0.
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini.
Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap
benar untuk n = k, dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan 1 P, maka k + 1 P, sehingga pernyataan di atas benar
adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Teorema 1.4
Misalkan a,b,c R
1. Jika a > b, maka a+c > b+c
2. Jika a > b, dan c > d maka a+c > b+d
3. Jika a > b, c>0 maka ca > cb

12. Teori Bilangan 12
4. Jika a > b, c<0 maka ca < cb
5. Jika a >0 maka 1/a > 0
6. Jika a < 0 maka 1/a < 0.
Bukti
1. Karena a > b berarti menurut definisi sebelumnya a – b > 0. Karena a-b > 0
sehingga a – b P.
(a – b ) = (a-b) + (c-c)
(a – b ) + (c – c ) = (a+c) – (b+c)
Sehingga (a+c) – (b+c)  P. Dengan kata lain (a+c) – (b+c) > 0
Karena (a+c) – (b+c) > 0 berarti (a+c) > (b+c)
2. Karena a > b, dan c > d berarti a – b > 0 dan c – d > 0.
Hal ini berarti a - b P dan c – d P.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh
(a-b) + (c-d) P. Dengan kata lain (a-c) + (c-d) > 0, atau
(a+c) – (b+d) > 0 sehingga berlaku (a+c) > (b+d)
3. Karena a > b, dan c > 0 berarti a – b > 0 dan c > 0.
Hal ini berarti a - b P dan c P.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
(a-b) c P. Dengan kata lain (ac – bc) P, atau
(ac) – (bc) > 0 sehingga berlaku ac > bd
4. Karena a > b, dan c < 0 berarti a – b > 0 dan c < 0 atau –(c) > 0.
Hal ini berarti a - b P dan -c P.

13. Teori Bilangan 13
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
(a-b)(-c) P. Dengan kata lain (bc – ac) P, atau
(bc) – (ac) > 0 sehingga berlaku bc > ac
5. Jika a > 0, maka a  0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a > 0, berdasarkan
sifat sebelumnya maka berlaku 1/a  0. Jika 1/a < 0, berdasarkan teorema
sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
1/a > 0.
6. Jika a < 0, maka a  0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a < 0, berdasarkan
sifat sebelumnya maka maka berlaku 1/a  0. Jika
1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
1/a < 0.
Teorema 1.5
Jika a,b R, maka a >
2
1
(a+b) > b.
Bukti.
Karena a > b, maka dapat diperoleh a + a > a + b atau 2a > a + b. Demikian pula
a > b maka dapat diperoleh a + b > b + b atau a + b > 2b
Dari ketaksamaan 2a > a + b dan a + b > 2b didapatkan
2a > a+b > 2b
 a=1/2(2a) > ½(a+b) > ½(2b)=b

14. Teori Bilangan 14
 a > ½(a+b) > b.
Akibat dari teorema di atas adalah:
jika a R dan a > 0 maka a > 1/2a > 0.
1.4 Prinsip Proporsi
Dalam setiap komunikasi, setiap orang penting untuk mempunyai pikiran yang
tepat dalam benaknya. Pernyataan “Setiap mahasiswa IKIP Budi Utomo mempunyai
cita-cita menjadi guru” belumlah merupakan informasi yang khusus jika ternyata
teman yang diajak berkomunikasi melihat beberapa mahasiswa IKIP Budi Utomo
ternyata setelah lulus tidak menjadi guru.
Dalam matematika, terutama di kelas kita dapat menyampaikan konsep x2 = 1 di
papan tulis, hal ini dimaksudkan apa yang dimaksudkan oleh penulis dengan huruf x
dan angka 1. Apakah x bilangan bulat? Apakah bukan bilangan? Apakah angka 1
merupakan bilangan asli? atau 1 merupakan konsep yang lain. Dalam matematika
seringkali juga muncul istilah “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk sesuatu”, “ada”,
dan seterusnya.
Misalnya:
1. Untuk setiap bilangan bulat x, x2 = 1.
2. Terdapat suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x2 = 1.
Dari contoh di atas, jelaslah bahwa contoh 1 salah, akan tetapi contoh 2
adalah benar karena kita dapat memilih a = 1 atau x = -1.

15. Teori Bilangan 15
Berdasarkan contoh di atas, jika konteks yang dibicarakan adalah bilangan bulat,
maka pernyataan di atas akan menjadi lebih aman jika disingkat dengan:
Untuk setiap x, x2 = 1 dan terdapat suatu x sedemikian sehingga
x2 = 1. Pernyataan pertama merupakan Universal Quantifier “untuk setiap”, dan
yang membuat pernyataan ini salah adalah pernyataan “ setiap bilangan bulat”.
Pernyataan kedua merupakan Existential Quantifier “terdapat suatu”, dan yang
membuat pernyataan ini benar adalah “ palingb sedikit satu bilangan bulat”. Kedua
quantifier ini sering terjadi sehingg para pengguna matematika menggunakan simbul
 untuk menyatakan pernyataan untuk setiap dan simbul  untuk menyatakan
terdapat atau ada.
1.5 Konjektur
Teori bilangan penuh dengan masalah-masalah yang belum terselesaikan atau
belum ditemukan jawabnya. Masalah yang belum terselesaikan tersebut dinamakan
konjektur yang diambil dari kata “conjecture” yang berarti dugaan atau perkiraan.
Dalam tulisan ini diperkenalkan beberapa konjektur, antara lain:
1. Terdapat definisi suatu bilangan perfek, yaitu suatu bilangan bulat positip yang
jumlah pembaginya yang positip adalah dua kali bilangan dimaksud.
Contoh.
Pembagi positip 6 adalah 1, 2, 3, 6
Jumlah pembagi positip bilangan 6 adalah 1 + 2 + 3+ 6 = 12 = 2 x 6.
Pembagi positip bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, 28

16. Teori Bilangan 16
Jumlah pembagi positip bilangan 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 x
28
Selain 6 dan 28 bilangan perfek yang lain adalah 496, 8.128, dan 33.500.336.
Berkaitan dengan bilangan perfek terdapat konjektur
- Banyaknya bilangan perfek adalah tak hingga.
- Semua bilangan perfek adalah genap.
- Jika (2n – 1) bilangan prima maka 2n-1(2n -1) adalah bilangan perfek.
2. Terdapat definisi suatu pasangan dua bilangan yang sekawan (amicable), yaitu
pasangan dua bilangan bulat positip yang masing-masing jumlah pembaginya
positip (tidak termasuk bilangannya) sama dengan bilangan yang lain.
220 dan 284 adalah bilangan sekawan, karena:
Jumlah pembagi positip 220 adalah
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Jumlah pembagi positip 284 adalah
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Pasangan bilangan sekawan yang lain adalah 1184 dan 1210, 17296 dan
18416.
Suatu konjektur yang berkaitan dengan pasangan dua bilangan sekawan adalah
terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan.
3. Terdapat definisi tentang pasangan bilangan prima (twine prime), yaitu dua
bilangan prima berurutan yang berselisih dua. Beberapa pasangan pasangan
bilangan prima adalah 3 dan 5, 5 dan 7, 17 dan 19, 29 dan 31, 41 dan 43.

17. Teori Bilangan 17
Konjektur tentang pasangan bilangan prima menyatakan bahwa banyaknya
pasangan prima adalah tak hingga.
4. Berdasarkan pasangan bilangan prima Goldbach mempunyai 2 konjektur yaitu:
- Setiap bilangan bulat positip genap lebih dari 4 merupakan jumlah dua
bilangan prima ganjil.
Contoh
6 = 3 + 3 14 = 3 + 11
8 = 3 + 5 12 = 5 + 7
10 = 3 + 7 30 = 23 + 7
- Setiap bilangan bulat positip ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah tiga
bilangan prima ganjil.
Contoh
9 = 3 + 3 + 3 13 = 5 + 5 + 3
101 = 11 + 43 + 47 19 = 5 + 7 + 7
11 = 3 + 3 + 5 37 = 11 + 13 + 13
5. Selain Goldbach, Pierre Fermat juga mempunyai dua konjektur terkenal yaitu:
a. 2
2 n
+ 1 adalah bilangan prima
Untuk n = 0, diperoleh 2 + 1 = 3
Untuk n = 1, diperoleh 4 + 1 = 5
Untuk n = 2 , diperoleh 17
Untuk n = 3, diperoleh 257
Untuk n = 4, diperoleh 65.537

18. Teori Bilangan 18
Untuk n = 5, diperoleh 4.294.967.297
b. Untuk n  3, tidak ada bilangan-bilangan bulat positip x,y,z yang memenuhi
hubungan xn + yn = zn
Meskipun masih merupakan konjektur, pernyataan ini sering disebut sebagai
teorema terakhir Fermat. (Fermat’s last theorem)
Soal-soal
1. Tunjukkan formula berikut ini benar.
a. 1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n-1) = n2.
b. 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ..... + n(n+1) =
3
)2)(1(  nnn
c. 12 + 32 + 52 + 72 + ..... + (2n-1)2 =
3
)14( 2
nn
d. 13 + 2 3+ 33 + 43 + ..... + n3 =
2
2
)1(





 nn
2. Jika r  1, tunjukkan bahwa:
a + ar + ar3 + ar4 + ..... + arn-1 =
1
)1( 1


r
aa n
, untuk sebarang bilangan bulat
positip n.
3. Misalkan a,b.c. d R, buktikan pernyataan berikut:
a. Jika a < b, b < c maka ad+bc < ac+bd
b. Jika a b dan c < d, maka a+c < b+d
c. a2 + b2 = 0 jika dan hanya jika a=0 atau b=0

19. Teori Bilangan 19
4. Carilah bilangan a,b,c,d R yang memenuhi 0 < a < b dan a < d < 0 dan
berlaku
(a) ac < bd (b) ac > bd.
5. Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga:
d. x2 > 3x +4
e. 1 < x2 < 4
f.
x
1
< x