sejarah matematika

1. Sejarah Penemuan Integral dan Diferensial
a. John Wallis (1616-1703)
Gambar 18
John Wallis (616-1703)
John Wallis (23 November 1616 - 28 Oktober 1703) adalah seorang ahli
matematika terkemuka pada masanya. Ia seorang penulis terkemuka dan ahli dalam
berbagai bidang ilmu. Selain itu juga menemukan metode mengajar orang tuli-bisu. Ia
menjadi guru besar geometri di Universitas Oxford tahun 1649-1703.
Wallis sebagai ahli matematika membahas irisan kerucut sebagai fungsi derajat
dua. Ia dipandang sebagai ahli yang mempersiapkan kebesaran Newton dalam analisa.
Wallis menerbitkan sejumlah karya tulis. Pada tahun 1656 ia menerbitkan karya
dengan judul Arithmetica Infinitorium. Buku itu menjadi karya baku selama bertahun-
tahun dalam kalkulus. Dalam buku itu ia menulis metode Descartes dan Cavaleri
secara sistematik dan memperluasnya dari hal-hal yang khusus kepada hasil-hasil yang
lebih umum. Contohnya, rumus ∫ 𝑥 𝑚
𝑑𝑥 =
1
𝑚+1
1
0
yang berlaku untuk m positif dia
perluas berlaku untuk n bilangan pecahan dan bilangan negatif kecuali untuk m = -1.
Wallis ahli pertama menguraikan pentingnya eksponen nol, eksponen pecahan
dan eksponen negatif. Ia pula yang pertama memperkenalkan lambang untuk tak
berhingga. Ia berusaha menentukan nilai 𝜋 dengan perhitungan luas lingkaran di
kuadran pertama pada 𝑥2
+ 𝑦2
= 1 sama dengan
𝜋
4
dari hasil perhitungan integral :
∫ (1 − 𝑥2)1/2
𝑑𝑥
1
0
. Tetapi Wallis belum dapat secara langsung menentukan hasil

2. integral itu, tetapi Wallis kerjakan melalui interpolasi (interpolasi dalam pengertian
matematika adalah perkiran suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui.
Pengertian interpolasi yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi
analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi yang rumit yang tidak mungkin
diperoleh persamaan analitiknya) dari hasil integral,
∫ (1 − 𝑥2)0
𝑑𝑥
1
0
, ∫ (1 − 𝑥2)1
𝑑𝑥
1
0
,∫ (1 − 𝑥2)2
𝑑𝑥
1
0
,……………….
Hasil integral itu adalah barisan
1,
2
3
,
8
15
,
16
53
, ……………. untuk 𝑛 = 0,1,2,3,……………
Perhitungan menginterpolasi untuk 𝑛 =
1
2
ia selesaikan dengan proses
perhitungan yang rumit dan akhirnya ia mendapatkan bahwa
𝜋
2
=
2
1
∙
2
3
∙
4
3
∙
4
5
∙
6
5
∙
6
7
⋯
Wallis juga menemukan rumus yang sesuai dengan
𝑑𝑠 = [1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
]
1/2
𝑑𝑥
Pada tahun 1673, Ia menerbitkan bukunya dengan judul De Algebra Tractatus
Historicus dan Practicus. Buku itu dipandang sebagai usaha pertama menulis sejarah
matematika di Inggris. Selain dari itu buku itu menguraikan tafsiran grafik pada akar-
akar kompleks dari persamaan kuadrat dengan koefisien real.
Wallis juga menerbitkan bagian-bagian karya matematika dari Gerik, ia juga
menulis berbagai bahasan mengenai fisika. Ia juga salah seorang pendiri dari Royal
Society.
b. Isaac Barrow (1630-1677)

3. Gambar 19
Isaac Barrow (1630-1677)
Isaac Barrow (Oktober 1630 - 4 Mei 1677) lahir di London, pada usia awal
masuk sekolah Barrow adalah anak nakal dan suka mengganggu anak lain, dan
ayahnya hampir putus asa karena kenakalannya. Ia menyelesaikan sekolahnya di
Cambridge. Ia memperoleh pengakuan atas kemampuannya yang tinggi dalam bidang
matematika, fisika, astronomi, dan theologia. Barrow adalah seorang theolog Kristen
Inggris, dan matematika yang umumnya diberikan penghargaan untuk peran awal
dalam pengembangan kalkulus, khususnya, untuk penemuan teorema dasar kalkulus.
Karyanya berpusat pada sifat-sifat tangen. Barrow adalah orang yang pertama
menghitung garis singgung dari kurva kappa. Isaac Newton adalah seorang mahasiswa
murid dari Barrow, Newton dan terus mengembangkan kalkulus dalam bentuk
modern. Nama Kawah di bulan yakni Kawah Barrow berasal dari namanya.
Pada tahun 1669 ia menerbitkan karyanya dengan judul Lectiones opticae et
geometriae. Dalam buku itu diuraikan pendekatan proses pendiferensialan. Seperti
yang dikenal sekarang. Ia menggunakan lambang ∆, segitiga diferensial yang dipakai
sekarang.
Untuk menentukan garis singgung ia menguraikannya seperti pada gambar di
bawah ini.
Gambar 20
Kurva II

4. Titik P (x,y) pada kurva dan titik Q letaknya berdekatan. ∆PQR disebut sebagai
segitiga kecil tak berhingga, sedangkan ∆PQR amat mendekati sebangun dengan
∆PTM maka dianggap bahwa
𝑃𝑅
𝑄𝑅
=
𝑃𝑇
𝑇𝑀
atau 𝑇𝑀 = 𝑃𝑇 .
𝑄𝑅
𝑃𝑅
Misalkan QR = e dan PR = a
Maka koordinat Q adalah (x − e, y − a), Kemudian koordinat titik Q substitusikan
pada persamaan kurva dan mengabaikan kuadrat dan pangkat lebih tinggi dari 𝑒 dan 𝑎,
maka akan diperoleh perbandingan dari
𝑎
𝑒
𝑂𝑇 = 𝑂𝑀 − 𝑇𝑀
= 𝑂𝑀 − 𝑃𝑇. (
𝑄𝑅
𝑃𝑅
)
= 𝑥 − 𝑦. (
𝑒
𝑎
) Sehingga garis singgung TP dapat ditentukan.
Barrow menggunakan metode itu untuk menentukan garis singgung pada
kurva-kurva :
(i) 𝑥2( 𝑥2
+ 𝑦2) = 𝑟2
𝑦2
(Kurva Kappa)
(ii) 𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑟3
(Kurva Lame Khusus)
(iii) 𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑟𝑥𝑦 (Folium Descartes yang disebut Barrow dengan la galande)
(iv) 𝑦 = ( 𝑟 − 𝑥) 𝑡𝑔 (
𝜋𝑥
2𝑟
) (Kuadratriks)
(v) 𝑦 = 𝑟 𝑡𝑔 (
𝜋𝑥
2𝑟
) (Kurva Tangen)
Contoh : Gunakan metode perbandingan
𝑎
𝑒
untuk menentukan tangen pada kurva
𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑟3
Penyelesaian :
𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑟3
 ( 𝑥 − 𝑒)3
+ ( 𝑦 − 𝑎)3
= 𝑟3
 𝑥3
− 3𝑥2
𝑒 + 3𝑥𝑒2
− 𝑒3
+ 𝑦3
− 3𝑦2
𝑎 + 3𝑦𝑎2
− 𝑎3
= 𝑟3
;
Karena 𝑒2
= 𝑒3
= 𝑎2
= 𝑎3
= 0 𝑚𝑎𝑘𝑎
 𝑥3
+ 𝑦3
− 3𝑥2
𝑒 − 3𝑦2
𝑎 = 𝑟3
 𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑟3
…………..(1)

5. 3𝑥2
𝑒 + 3𝑦2
𝑎 = 0……….(2)
Dari persamaan (2) diperoleh
3𝑥2
𝑒 + 3𝑦2
𝑎 = 0
3𝑥2
𝑒 = −3𝑦2
𝑎
𝑥2
𝑒 = −𝑦2
𝑎
𝑎
𝑒
= −
𝑥2
𝑦2
Perbandingan
𝑎
𝑒
adalah
𝑑𝑦
𝑑𝑥
pada diferensial yang dipelajari sekarang.
Langkah di atas secara matematika akan dibuat lebih kuat dengan
menggunakan limit seperti juga dipelajari di sekolah-sekolah sekarang. Walaupun
belum mencapai bukti yang kuat Barrow adalah ahli pertama yang menghubungkan
pengerjaan diferensial dengan integral sebagai pengerjaan hitung yang berkebalikan
yang menjadi teorema dasar dari kalkulus. Teorema dasar kalkulus itu dilukiskan
Barrow dalam karyanya Lections. Hingga tingkatan itu, pengembangan integral dan
diferensial sudah banyak dikerjakan.
Proses mendiferensial, melukis tangen pada kurva-kurva, dan konsep limit
telah dimengerti. Tetapi masih perlu dikembangkan lambang-lambang umum dengan
aturan analitik yang sistematik. Selain karya-karya tersebut, pada tahun 1675 Barrow
menerbitkan lagi karya Archimedes dari Theodosius.
c. Isaac Newton
Gambar 21
Isaac Newton (1643-1727)

6. Isaac Newton lahir di Woolsthorpe-by-Colsterworth, sebuah hamlet (desa) di
county Lincolnshire, 4 Januari 1643 – meninggal 31 Maret 1727 pada umur 84 tahun;
(KJ: 25 Desember 1642 – 20 Maret 1727). Pada saat kelahirannya, Inggris masih
mengadopsi kalender Julian, sehingga hari kelahirannya dicatat sebagai 25 Desember
1642 pada hari Natal pada saat Galileo meninggal. Ayahnya yang juga bernama Isaac
Newton merupakan seorang petani yang meninggal tiga bulan sebelum kelahiran
Newton. Newton dilahirkan secara prematur. Dilaporkan pula ibunya, Hannah
Ayscough, pernah berkata bahwa ia dapat muat ke dalam sebuah cangkir (≈ 1,1 liter).
Ketika Newton berumur tiga tahun, ibunya menikah kembali dan meninggalkan
Newton di bawah asuhan neneknya, Margery Ayscough. Newton muda tidak
menyukai ayah tirinya dan menyimpan rasa benci terhadap ibunya karena menikahi
pria tersebut, seperti yang tersingkap dalam pengakuan dosanya: "Threatening my
father and mother Smith to burn them and the house over them."
Berdasarkan pernyataan E.T. Bell (1937, Simon and Schuster) dan H. Eves:
“Newton memulai sekolah saat tinggal bersama neneknya di desa dan
kemudian dikirimkan ke sekolah bahasa di daerah Grantham dimana dia akhirnya
menjadi anak terpandai di sekolahnya. Saat bersekolah di Grantham dia tinggal di
kost milik apoteker lokal yang bernama William Clarke. Sebelum meneruskan kuliah
di Universitas Cambridge pada usia 19, Newton sempat menjalin kasih dengan adik
angkat William Clarke, Anne Storer. Saat Newton memfokuskan dirinya pada
pelajaran, kisah cintanya dengan menjadi semakin tidak menentu dan akhirnya Storer
menikahi orang lain. Banyak yang mengatakan bahwa dia, Newton, selalu mengenang
kisah cintanya walaupun selanjutnya tidak pernah disebutkan Newton memiliki
seorang kekasih dan bahkan pernah menikah.”
Sejak usia 12 hingga 17 tahun, Newton mengenyam pendidikan di sekolah The
King's School yang terletak di Grantham (tanda tangannya masih terdapat di
perpustakaan sekolah). Keluarganya mengeluarkan Newton dari sekolah dengan alasan
agar dia menjadi petani saja, bagaimanapun Newton tidak menyukai pekerjaan
barunya. Kepala sekolah King's School kemudian meyakinkan ibunya untuk mengirim
Newton kembali ke sekolah sehingga ia dapat menamatkan pendidikannya. Newton
dapat menamatkan sekolah pada usia 18 tahun dengan nilai yang memuaskan.

7. Ketika masih remaja Newton sudah menunjukkan kemampuan – kemampuan besar,
senang memikirkan model-model pesawat dan melakukan percobaan. Ia adalah seorang
fisikawan, matematikawan, ahli astronomi, filsuf alam, alkimiawan, dan theolog yang
berasal dari Inggris. Ia merupakan pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang
sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak ilmu fisika
klasik.
Pada Juni 1661, Newton diterima di Trinity College Universitas Cambridge
sebagai seorang sizar (mahasiswa yang belajar sambil bekerja). Pada saat itu, ajaran
universitas didasarkan pada ajaran Aristoteles, namun Newton lebih memilih untuk
membaca gagasan-gagasan filsuf modern yang lebih maju seperti Descartes dan
astronom seperti Copernicus, Galileo, dan Kepler. Pada tahun 1665, ia menemukan
teorema binomial umum dan mulai mengembangkan teori matematika yang pada
akhirnya berkembang menjadi kalkulus. Segera setelah Newton mendapatkan gelarnya
pada Agustus 1665, wabah pes melanda Cambridge sehingga Newton tinggal di
rumah. Pada masa itulah ia mengembangakan menentukan tangen dari jari-jari
kelengkungan di suatu titik dari suatu kurva, melakukan percobaan – percobaan dalam
fisika mengenai optik, dan merumuskan prinsip dasar dari teori gravitasi. Pada tahun
1667 ia kembali ke Cambridge dan selama dua tahun melakukan penelitian mengenai
optik. Pada tahun 1669, ia menjadi guru besar di Cambridge.
Dalam bidang matematika pula, bersama dengan karya Gottfried Leibniz yang
dilakukan secara terpisah, Newton mengembangkan kalkulus diferensial dan kalkulus
integral. Ia juga berhasil menjabarkan teori binomial, mengembangkan "metode
Newton" untuk melakukan pendekatan terhadap nilai nol suatu fungsi, dan
berkontribusi terhadap kajian deret pangkat.
Kebanyakan ahli sejarah percaya bahwa Newton dan Leibniz mengembangkan
kalkulus secara terpisah. Keduanya pula menggunakan notasi matematika yang
berbeda pula. Menurut teman-teman dekat Newton, Newton telah menyelesaikan
karyanya bertahun-tahun sebelum Leibniz, namun tidak mempublikasikannya sampai
dengan tahun 1693. Ia pula baru menjelaskannya secara penuh pada tahun 1704,
manakala pada tahun 1684, Leibniz sudah mulai mempublikasikan penjelasan penuh

8. atas karyanya. Notasi dan "metode diferensial" Leibniz secara universal diadopsi di
Daratan Eropa, sedangkan Kerajaan Britania baru mengadopsinya setelah tahun 1820.
Dalam buku catatan Leibniz, dapat ditemukan adanya gagasan-gagasan
sistematis yang memperlihatkan bagaimana Leibniz mengembangkan kalkulusnya dari
awal sampai akhir, manakala pada catatan Newton hanya dapat ditemukan hasil
akhirnya saja. Newton mengklaim bahwa ia enggan mempublikasi kalkulusnya karena
takut ditertawakan. Newton juga memiliki hubungan dekat dengan matematikawan
Swiss Nicolas Fatio de Duillier. Pada tahun 1691, Duillie merencanakan untuk
mempersiapaan versi baru buku Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Newton, namun tidak pernah menyelesaikannya. Pada tahun 1693 pula hubungan
antara keduanya menjadi tidak sedekat sebelumnya. Pada saat yang sama, Duillier
saling bertukar surat dengan Leibniz.
Pada tahun 1699, anggota-anggota Royal Society mulai menuduh Leibniz
menjiplak karya Newton. Perselisihan ini memuncak pada tahun 1711. Royal Society
kemudian dalam suatu kajian memutuskan bahwa Newtonlah penemu sebenarnya dan
mencap Leibniz sebagai penjiplak. Kajian ini kemudian diragukan karena setelahnya
ditemukan bahwa Newton sendiri yang menulis kata akhir kesimpulan laporan kajian
ini. Sejak itulah bermulainya perselisihan sengit antara Newton dengan Leibniz.
Perselisihan ini berakhir sepeninggal Leibniz pada tahun 1716.
Newton umumnya diakui sebagai penemu teorema binomial umum yang
berlaku untuk semua eksponen. Ia juga menemukan identitas Newton, metode
Newton, mengklasifikasikan kurva bidang kubik, memberikan kontribusi yang
substansial pada teori beda hingga, dan merupakan yang pertama untuk menggunakan
pangkat berpecahan serta menerapkan geometri koordinat untuk menurunkan
penyelesaian persamaan Diophantus.
Ia dipilih untuk menduduki jabatan Lucasian Professor of Mathematics pada
tahun 1669. Pada saat itu, para pengajar Cambridge ataupun pengajar Oxford haruslah
seorang pastor Anglikan yang telah ditahbiskan. Namun, jabatan profesor Lucasian
mengharuskan pula pejabatnya tidak aktif dalam gereja. Oleh karena itu, Newton
berargumen bahwa ia seharusnyalah dibebaskan dari keharusan penahbisan. Raja

9. Charles II menerima argumen ini dan memberikan persetujuan, sehingga konflik
antara pandangan keagamaan Newton dengan gereja Anglikan dapat dihindari.