siapakah pi??

3,814 views

Published on

ini menurut saya,, :-)

Published in: Education
2 Comments
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
3,814
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
116
Comments
2
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

siapakah pi??

  1. 1. PENDAHULUAN1.1 LATAR BELAKANG “Matematika adalah ratu ilmu,,,,,,” pendapat ini dinyatakan oleh Carl Fried Gauss, pernyataan ini dapat dikatakan benar, karena hamper semua cabang ilmu pengetahuanberpedoman pada ilmu matematika.Salah satu contoh, penemuan konstanta pi (Л). Pi (Л) adalah rasio antara keliling lingkaran dibagi diameter lingkaran tersebut. Pencarian nilai terakurat dan perumusan nilai pi dilakukan oleh paraa ilmuwan matematika, sehingga mendapatkan nilai paling mendekati yaitu 3.14 yang dilakukan oleh Archimedes. Pengaplikasian nilai pi (Л) dapat kita temukan dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan lain, misalnya fisika, astronomi dll. Pi (Л) adalah unsure dari sebuah lingkaran, maka setiap pembahasan pada cabang ilmu pengetahuan lain yang berhubungan dengan lingkaran tentu akan menggunakan konstanta pi (Л). Contohnya, pada fisika menghitung jari- jari atom, gerak melingkar (gerak rotasi), gerak harmonis dll.mengaplikasikan konstanta pi(Л) dalam beberapa rumus, karena berhubungan dengan lingkaran. “Matematika adalah pelajaran yang sulit dipelajari dan sulit dipahami” pernyataan ini dikemukaakan oeh
  2. 2. BAB II.
  3. 3. ISI2.1 Memahami Apa itu pi (Л) Siapa itu pi?? Ketika pertanyaan ini diajukan kepada beberapa orang, spontan akan menjawab 22/7 atau 3.14,sekarang pertanyaannya, benarkah pi adalah 22/7 atau 3.14? Dari manakah ditemukan angka tetapan itu?? pi merupakan unsur yang terdapat pada lingkaran, dan memiliki nilai berupa rasio antara keliling lingkaran dibagi diameter lingkaran tersebut. Untuk lebih memahami, perhatikan tabel berikut: Tabel ini, beisi keliling lingkaran, diameter lingkaran dan rasio kelilinglingkaran dibagi diameter lingkaran Perhatikan nilai keliling : diameter pada k empat lingkaran
  4. 4. Lingkaran I= K/d=3.1428…..Lingkaran II= K/d= 3.1417….dstDari ke 4 lingkaran tersebut memiliki nilai perbandingan yang hampir mendekatisama yaitu nilai pi (Л), jika diambil 2 angka dibelakang koma mendekati 3.14. 22Nilai /7 sendiri dipakai karena nilai 22/7=3.1428… nilainya mendekati nilai pi.Nilai 22/7 biasanya hanya digunakan untuk limgkaran dengan nilai kelipatan 7,hanya untuk mempermudah perhitungannya saja. Beberapa buku Matematika SMP, SD, ataupun SMA, sering kita jumpainilai Л=22/7 atau Л=3.14, lambang “=” itu sebenarnya salah, seharusnya tandayang dipakai adalah ‘≈’ sebagai tanda bahwa nilai itu hanya mendekati bukantepat 22/7 atau 3.14.Kesalahan inilah yang membuat salah pemahaman dari sejak awal yangtertanam dalam benak siswa yang dihapal dengan nilai itu.Jadi, tidak heran ketika sampai pelajar SMA pun, jika ditanya apa yang diaketahui tentang pi (Л) adalah 22/7 atau 3.14.
  5. 5. 2.2 Penemu nilai pi (Л) yang paling akurat. Jika membicarakan tentang penemu pi, semua orang pasti mengingat Archimedes, padahal sebelum Archimedes pun, banyak para ilmuwan yang memberi atau sudah memperhitungkan nilai pi, Sejak 2000 tahun sebelum Masehi para insinyur di Babilon sudah menggunakan bilangan Pi = 3.125 (3 +1/8). Begitu pula arsitek Mesir purba yang membangun piramid sudah menggunakan bilangan Pi = 3.16405. Sebuah ayat Bible (1Kings 7:23) yang ditulis sekitar 550 sebelum Masehi menceritakan raja Solomon yang membuat bak mandi bundar yang kelilingnya 3 kali diameter (Pi = 3). Sejak itu ratusan orang melakukan perhitungan dan menentukan Pi yang "diyakini" masing-masing. Semua perhitungan Pi ini dilakukan secara empiris, dengan pengukuran secara fisik, sampai jaman Archimedes. Archimedes lah orang yang pertama kali melakukan perhitungan Pi secara teoritis, tanpa mengukur benda di lapangan. Beginilah cara berpikir Archimedes pada saat itu: Keliling lingkaran terletak diantara "inscribed polygon" (polygon dalam, yang sudut sudutnya terletak pada keliling lingkaran) dan "circumscribing polygon" (poligon luar, yang sisi-sisinya menyentuh keliling lingkaran). Keliling poligon yang teratur (panjang sisi sama) lebih mudah dihitung, dan ini yang kemudian dipakai sebagai pendekatan (pembatas) keliling lingkaran didalamnya. Makin besar jumlah sisi poligon, makin dekat kedua poligon tersebut pada lingkaran, dan pada akhirnya keduanya konvergen menjadi lingkaran.
  6. 6. Pada jaman Archimedes, perhitungan yang kelihatannya "sepele" ini ternyataluar biasa repot, mengingat ilmu yang ada waktu itu baru geometri (ilmu ukur)saja. Jangankan kalkulator, trigonometry (ilmu ukur sudut) dan aljabar masihbelum ada, bahkan notasi desimal pun masih belum diciptakan manusia. Harapdiingat, Archimedes ini hidup di tahun 287 sampai 212 ... sebelum Masehi!Karena itulah Archimedes "hanya" sempat menghitung sampai polygon dengansisi 96, dan mendapatkan nilai Pi diantara keliling kedua poligon pembatas, yaitu223/71 < Pi < 22/7Contoh gambar lingkaran dan polygon luar dan dalam lingkaran yang digunakanArchimedes :Jadi, nilai pi (Л) hasil Archimedes, bukan lah nilai pi yang pertama kali ditemukan, tapinilai pi yang untuk saat ini paling akurat.
  7. 7. 2.3. Pendekatan terhadap nilai pi (Л) menurut para ilmuwan- ilmuwan 1. Rhind Papyrus (ca.1650 SM), terdapat bukti bahwa orang Mesir menghitung luas lingkaran dengan formula yang memberikan nilai perkiraan untuk pi 3,1605. 2. Liu Hui, ahli matematika di zaman Tiga Kerajaan mengemukakan cara untuk menghitung nilai pi dengan “Metode Memotong Lingkaran”. Berdasarkan penelitian Liu Hui kemudian Zu meneliti kembali “Metode Memotong Lingkaran” dan menyimpulkan bahwa nilai pi, melalui lebih dari 1000 kali perhitungan, berada di antara 3.1415926 dan 3.1415927.Dia juga berpendapat bahwa nilai pi kira-kira sebesar 355/133, yang disebut "Milu" dan kemudian mendorong perhitungan pi ke fase baru. Perhitungan nilai pi oleh Zu Chongzhi dilakukan 1000 tahun lebih awal dibandingkan matematikawan barat. Dengan demikian nilai pi juga disebut "Zu Lu" sebagai penghargaan atas jasanya 3. Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama phi. 4. Al-Kasyi yang berhasil menghitung bilangan π hingga 16 desimal (terbanyak hingga zamannya) menulisnya dengan huruf “tho”, huruf ke-16 dalam huruf Arab
  8. 8. 5. Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo Ia menemukan sebanyak 6442450000 tempat desimal Pi dengan computer 6. Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai phi, yaitu : / 4 = 4 * arc tan (1 / 5) - arc tan (1 / 239). 7. Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama pi. 8. Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Pi adalah sebuah bilangan irasional. 9.2.4 Rumus- rumus menentukan nilai pi menurut beberapa orang 1. Rumus menentukan nilai pi, menurut Calvin Clawson, Mathematical Mysteries, 1996 2. Rumus menentukan njilai pi, menurut Leonhard Euler, J. Sondow “problem 88”, Math Horionz, (September, 1997)
  9. 9. 3. Rumus menentukan njilai pi, menurut James Gregory (1638- 1675) dan GettfriedLerbniz (1646-1716)4. Rumus menentukan njilai pi, menurut Srinivasa Ramanunjan (1887-1997)
  10. 10. 5. Rumus menentukan njilai pi, menurut Isaac Newton in 16666. Rumus menentukan nilai pi lainnya7) Rumus menentukan njilai pi, menurut Chodnovsky brothers8) Rumus menentukan njilai pi, menurut Simon Plouffe
  11. 11. Dimana k= bilangan ganjil, dan a,b,c bilangan bulat, dan q= eπ (Gelfonds constant)2.5 Sifat- sifat istimewa dari pi (π) 1) Luas beberapa bidang datar yang menggunakan nilai π untuk perhitungan luas, ellips dengan sumbu mayor 2a dan minor 2b adalah πab. Luas lingkaran = πr2, luas pemukaan bola= 4πr2, volum bola = 4/3.πr3 2)180 derajat = π radian. Nilai radian ditemukan oleh Arhcimedes. 3) π irrasional, sebelumnya Al-Biruni pada abad ke-11 telah menyarankan sifat irasionalitas π berdasarkan argumentasi geometric, kemudian Sifat irasionalitas π ini pertama kali dibuktikan dengan jelas oleh Lambert tahun 1767, lalu diikuti oleh bukti yang lebih baik oleh Legendre. 4) π transcendental, Bilangan Transcedental transcendental number adalah bilangan yang bukan merupakan akar dari fungsi polynomial berkoefisien bilangan rasional. Misalkan kita punya fungsi polynomial dengan adalah bilangan rasional. Sebagai contoh 9 Л4 - 240 Л2^2 + 1492 ≈ -0.023237, tetapi dijamin polinom seperti itu tidak akan pernah bernilai tepat 0. Dengan terjawabnya sifat transendental π ini maka berakhir pula perburuan pemecahan atas masalah klasik sejak 20 abad sebelumnya, yaitu bagaimana melukis dengan jangka dan penggaris sebuah lingkaran yang memiliki luas sama dengan persegi yang diberikan (squaring of the circle). 5) π (diduga kuat) bersifat normal, distribusi angka-angkanya merata
  12. 12. 6) π2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 +....7) π/2 = (2x2x4x4x6x6x.....)/(1x1x3x3x5x5x8) Bilangan π dikenal dengan berbagai lambang pada zaman dahulu. Al-Kasyi yang berhasil menghitung bilangan π hingga 16 desimal (terbanyak hingga zamannya) menulisnya dengan huruf “tho”, huruf ke-16 dalam huruf Arab. Secara mengejutkan, lambang π yang kita gunakan sekarang juga huruf ke-16 darialfabeYunani. Lambang π pertama kali digunakan oleh William Jones tahun 17

×