Dokumen tersebut membahas perkembangan geometri analitik pada abad ke-17 yang diciptakan oleh Descartes dan Fermat. Juga membahas ahli-ahli matematika pada abad tersebut seperti Descartes, Fermat, Huygens, Terricolli, Bachet de Meziriac, Mercenne, Roberval, dan de la Hire beserta penemuan dan kontribusi masing-masing.

1. Disusun Oleh:
Kelompok X/ 6A1
Suryani (11144100166)
Nur Hidayah (11144100174)
Rin Widiarti (13244100001)
Diah Ajeng Titisari (08144100009)

2. A. Geometri Analitik, Matematika Abad Ke-17
Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting
dalam geometri. Perkembangan geometri yang pertama dan yang
terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan
koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre
de Fermat (1601-1665).
Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari
geometri projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Geometri
projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan
menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama lain.

3. B. Ahli-Ahli Matematika Abad Ke-17 dan Penemuannya
 Rene Descartes (1596-1650)
Terobosan baru pada penemuan karya matematika dalam
bidang analitik geometri yang dipelopori oleh Descartes.
Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan
dalam tulisanya yang berjudul la geometrie. Karyanya yaitu
koordinat kartesius. Uraian geometri pada bagian pertama
dari karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai
pengembangan dari aljabar geometri gerik purbakala. Saat
Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan
sumbu-sumbu. Descartes menemukan hasil mengejutkan,
diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori
persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menentukan
suatu titik memenuhi relasi x dan y.
Pada suatu sumbu dilukiskan x, mengapit sudut tertentu
dengan sumbu yang dilukiskan y, maka terbentuk (x,y).
Rene Descartes

4. Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk ruang diperlukan sebuah grafik
untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan menyilangkan garis horizontal -
diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama sumbu y, dimana
persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah positif
sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan
sedang di sisi bawah negatif. Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada
grafik sesuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh,
sebuah titik dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu
x dan lainnya menunjukkan jarak pada sumbu y.

5. Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 3 dan 2 menunjuk 3
satuan ukuran pada sumbu x dan 2 satuan ukuran [yang identik]
pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (2,3). Notasi positif
karena berada di kuadran 1. Pada kuadran 2, maka titik pada
sumbu x bertanda negatif dan titik pada sumbu Y positif seperti
pada contoh (-2,3). Pada kuadran 3, titik-titik pada sumbu X
maupun sumbu Y, sama-sama negatif seperti contoh (-1,-2). Untuk
kuadran 4, titik pada sumbu X positif sedang titik pada sumbu Y
bertanda negatif seperti (2,-3). Untuk lebih jelasnya Anda bisa
melihat gambar di bawah ini.

6. Gambar : Fungsi Lingkaran
Saat Beliau mempelajari bentuk-
bentuk dengan menggunakan sumbu-
sumbu, Descartes menemukan hasil
mengejutkan. Diketahui bahwa semua
bentuk memunyai kategori persamaan
umum, seperti halnya garis lurus.
Menggambar theorema Pythagoras, pada
sebuah lingkaran dengan pusat pada titik
(0,0) dengan x dan y masing-masing
menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah
jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r².
Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran.

7.  Pierre de Fermat (1601-1665)
Fermat lahir di Toulouse, anak dari seorang
saudagar kulit. Beliau menerima pendidikan
pertama di rumah. Beliau memperoleh pendidikan di
bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum
dengan penampilannya yang sederhana. Beliau
dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam
tugasnya dan bersikap rendah hati sebagai anggota
dewan kota praja Toulouse pada usia 30 tahun.
Beliau memanfaatkan waktu luangnya belajar
matematika. Bersamaan dengan saat Descartes
merumuskan dasar geometri analitik, Fermat juga
mempelajari bahan pelajaran itu. Maka Fermat
dipandang sebagai jenius matematika Prancis abad-
Pierre de Fermat

8. Penemuan fermat terpenting adalah mengenai teori bilangan. Dalam teori
bilangan Beliau dipandang memiliki intuisi dan kemampuan luar biasa yakni:
 Jika m suatu bilangan prima dan p
bilangan relatif prima kepada m
maka pm-1
-1 habis dibagi m.
Misalnya: m = 5, p =4 maka 45-1
-1 = 255 habis dibagi 5.
 Tiap bilangan prima ganjil dapat
dinyatakan sebagai selisih dari
dua kuadrat hanya dengan satu
cara. Teorema ini dibuktikan
sebagai berikut :
Jika p suatu bilangan prima
ganjil, maka :
Bukti yang diberikan itu amat
sederhana. Sebut p = x2 – y2,
maka p = (x + y) (x - y) Karena p
adalah bilangan prima, maka
faktornya hanyalah x +y = p dan,
x - y = 1.
 Suatu Bilangan Prima dalam
bentuk p = 4m+1 dapat dinyatakan
sebagai jumlah dari dua bilangan
kuadrat. Misalnya: 13 = 4 x 3 + 1=
22
+ 32
29 = 4 x 7 + 1 = 52
+ 22
.
 Bilangan Prima p = 4m +1 hanya
terjadi satu kali sebagai hipotenusa
segitiga siku. Kuadrat dari p dapat
terjadi dua kali sebagai hipotenusa
dan pangkat tiga dari p dapat
terjadi tiga kali sebagai hipotenusa
dan seterusnya. Contohnya : p =
13 = 4(3) + 1, maka 132
= 122
+ 52
( satu kali),
p = 169, maka 1692
= 1562
+ 652
=
1202
+ 1192
(dua kali) Dan
seterusnya.

9.  Terdapat hanya satu bilangan bulat sebagai
penyelesaian dari x2
+ 2 = y3
, dan hanya dua dari x2
+
4 = y3
. Soal ini dikemukakan Fermat sebagai
tantangan kepada ahli matematika inggris.
Penyelesaiannya :
x = 5 , y = 3 pada persamaan pertama.
x=2, y =2 ; x =1 , y = 5 pada persamaan kedua

10.  Huygens (1629-1695)
Huygens lahir di Hague, belajar di Leiden pada
Frans van Schooten de Younger. Pada tahun 1951
yaitu pada usia 22 tahun. Beliau menerbitkan
makalah yang menunjukkan kesalahan Saint-Vincent
dalam perhitungan kuadratur lingkaran. Tulisan itu
diikuti dengan karya-karyanya mengenai kuadratur
irisan kerucut, perbaikan trigonometri dari Snell
dalam metode perhitungan. Pada tahun 1665,
Huygens pindah ke Paris untuk mempergunakan
pensiun yang diberikan Louis XIV. Semasa berada di
paris Beliau berhubungan dengan Royal Society
London dengan mengirim makalah mengenai
eksperimen bahwa momentum dari dua benda pada
arah yang ditentukan adalah sama sebelum dan
sesudah tumbukan. Pada tahun 1675 Beliau
menerbitkan karya besarnya di Paris, dengan judul
“HOROLOGIUM OSCILATORIUM”.
Huygens

11. Karya itu terdiri dari lima bagian yakni:
 Bagian pertama mengenai jam bandul yang ditemukannya pada tahun
1656. Bagian kedua membicarakan benda jatuh bebas dalam ruang kosong,
tentang benda yang menggelinding pada bidang miring atau yang
menggelinding pada kurva licin.
 Dalam bagian dua itu diuraikan sifat isochron dari busur cycloida terbalik,
bahwa partikel berat akan mencapai dasar dari busur cycloida terbalik
dalam panjang dan waktu yang sama dari titik manapun partikel mulai
turun.
 Pada bagian ketiga Beliau menguraikan sifat-sifat dari evolut dan involut.
Huygens menemukan evolut dari parabola adalah semi parabola deratat
tiga, sedang evolut dari cyclodia adalah cyclodia dengan ukuran yang
sama.

12.  Pada bagian empat diuraikan sifat dari bandulan majemuk dengan bukti
bahwa pusat oskilasi dan titik gantung dapat dipertukarkan. Pada bagian
lima diuraikan mengenai teori dari jam. Dalam bagian itu didapat gambar
dari bandul cycloida dengan periode oskilasi selalu sama bagaimanapun
besar atau kecilnya amplitudo dari askelasi itu.
 Bagian terakhir dari 13 teorinya yang berkenaan dengan gaya sentrifugal
dalam gerak melingkar yang dikenal sekarang dengan gerak melingkar
uniform. Bahwa besar gaya sentrifugal berbanding lurus dengan pangkat
dua dengan kecepatan linier dan berbanding terbalik dengan jari-jari
lingkaran.

13.  Evangelista Terricolli (1608 – 1647)
Terricolli adalah murid dari Galileo di Italia. Pada tahun
1643, Torricelli membuat eksperimen sederhana, yang
dinamakan Torricelli Experiment, yaitu beliau menggunakan
sebuah tabung kaca kuat dengan panjang kira-kira 1 m dan
salah satu ujungnya tertutup. Dengan menggunakan sarung
menghadap ke atas. Dengan menggunakan corong beliau
menuangkan raksa dari botol ke dalam tabung sampai penuh.
Kemudian Beliau menutup ujung terbuka tabung dengan
jempolnya, dan segera membaliknya. Dengan cepat beliau
melepaskan jempolnya dari ujung tabung dan menaruh tabung
vertikal dalam sebuah bejana berisi raksa. Ia mengamati
permukaan raksa dalam tabung turun dan berhenti ketika tinggi
kolom raksa dalam tabung 76 cm di atas permukaan raksa
dalam bejana. Ruang vakum terperangkap di atas kolam raksa.
Pada tahun 1644,Beliau menerbitkan karyanya yang pertama
menentukan cycloida sama dengan tiga kali luas lingkaran
yang menggelinding itu. Buktinya dengan metoda kecil tak
berhingga. Bukti yang diberikannya dengan metoda kecil tak
berhingga.Terricolli lebih dikenal dari penemuannya dalam
fisika, yakni mengenai barometer. Beliau juga mengemukakan
teori-teori tentang percepatan dan gravitas, gerakan cairan dan
teori proyektil.
Evangelista Terricolli

14.  Bachet de Meziriac (1581 – 1638)
Penyair dan matematika awal Akademi
Perancis, paling dikenal untuk terjemahan tahun
1621 dari Diophantus's Arithmetica, buku yang
Pierre de Fermat sedang membaca ketika Beliau
menuliskan margin dengan terkenal Teorema
Terakhir. Bachet juga dikenang sebagai seorang
kolektor teka-teki matematika, banyak yang,
termasuk masalah penyeberangan sungai,
mengukur dan menimbang teka-teki, nomor trik,
dan kotak ajaib, beliau diterbitkan di Problèmes
plaisans et Delectables qui font yang par les
nombres (1612). Salah satu teka-teki adalah
untuk menemukan jumlah terkecil dari bobot
yang dapat digunakan pada panci skala untuk
menimbang setiap jumlah integral pound 1-40
inklusif, jika bobot dapat ditempatkan dalam
salah satu dari panci skala. Jawabannya adalah
empat: 1, 3, 9, dan 27 kilogram.
Bachet de Meziriac

15.  Marin Mercenne (1588 – 1648)
Marin Mersenne (diucapkan Mehr-Senn) lahir
dari orang tua petani dekat Oizé, Maine (hari ini
Sarthe, Prancis). Beliau dididik di Le Mans dan di
Jesuit College of La Fleche. Pada tanggal 17 Juli
1611, beliau bergabung dengan Minim Friars dan
setelah mempelajari teologi dan Ibrani di Paris
menerima penuh perintah suci pada 1613.
Beliau seorang ahli teori dan penulis besar dalam
berbagai bidang ilmu di Perancis. Beliau juga
mengelola suatu jurnal, sebagai bank ide
matematika dan menulis berbagai bidang ilmu dan
jurnalnya. Namanya terkenal, karena terkait dengan
yang disebut “MERSSENNE PRIM” yakni
bilangan prima dalam bentuk 2n – 1.
Marin Mercenne

16.  Gilles Persone de Roberval (1602 – 1675)
Beliau seorang ahli geometri dan fisika di
Perancis. Penemuannya antara lain, metoda
menggambar tangent, kurva dan menemukan
beberapa kurva datar derajat tinggi.
Menurutnya, kurva datar adalah tempat
kedudukan titik-titik ysng mengikuti dua gerak
yang diketahui. Konsep tangent itu juga
dikemukakan oleh Terricolli. Siapa penemunya
tidak dapat dipastikan. Demikian juga mengenai
metoda tak terbagi sebagai awal dari kalkulus
dari Cavaleri. Roberval mengatakan bahwa
dialah penemunya. Beliau menuntut bahwa
Beliaulah penemu membujur sangkarkan daerah
cycloida oleh Terricolli. Roberval berhasil
menggunakan metoda tak terbagi untuk
menentukan luas, isi dan titik beratnya.
Gilles Persone de Roberval

17.  Phillipe de la Hire (1642 – 1718)
Lahir pada tanggal 18 Maret 1640 di Paris,
Perancis dan meninggal dunia pada tanggal 21
April 1718 di paris, Perancis. Beliau dipandang
sebagai jenius dalam berbagai bidang ilmu
pengetahuan, sebagai pelukis, arsitek, astronomi
dan ahli matematika. Karyanya mengenai
Matematika adalah irisan kerucut, metoda grafik,
kurva datar derajat tinggi dan bujursangkar ajaib.
Beliau menggambar peta bumi dengan proyeksi
globe dengan pusat proyeksi pada garis melalui
kutub sejauh r sin 45o
di luar bola.
Teorema-Teorema dalam Geometri Proyektif :
Teorema 1: Dua garis berbeda insiden dengan
tepat satu titik.Phillipe de la Hire

18. Bukti:
Andaikan dua garis tersebut memiliki 2 titik potong A dan B.
Berdasarkan aksioma 3, setiap garis ditentukan oleh dua titik tersebut. Maka
dua garis tersebut sama (coincide). Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui
bahwa 2 garis tersebut berbeda. Jadi pengandaian salah. Yang benar kedua
garis hanya perpotongan di 1 titik.
Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang sebidang memiliki paling
sedikit satu titik potong.
Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada garis BC maka A, B, dan C
berbeda dan nonkolinear.
Teorema 4 : sebuah garis dan sebuah titik di luar garis hanya termuat pada
sebuah bidang
Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik potong maka garis tersebut
sebidang
Teorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya adalah
sebuah garis
Teorema 7: Terdapat empat titik sebidang yang tiga diantaranya tidak
collinear
Teorema 8: (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden dengan minimal 3 garis
berbeda

19. 1. Menurut penemuan Phillipe de la Hire ada 8 teorema dalam geometri
proyektif. Buktikan Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang sebidang
memiliki paling sedikit satu titik potong.
2. Geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu sangat praktis dengan
segala cara anda melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer Anda,
semua perhitunganuntuk menghasilkan citra realistik dihitung dengan
menggunakan rumus geometri proyektif. Carilah contoh aplikasi Geometri
Proyektif menurut Phillipe de la Hire !
3. Gambarlah grafik menurut Rene Descartes segitiga ABC yang titik
sudutnya A (5,4), B(-3,2), C(0,-1)!

20. 1. Bukti:
Misal diberikan garis AC dan BD. ACE adalah bidang yang memuat AC
dan BD. Titik E tidak pada AC dan BD. Karena bidang ACE ditentukan
oleh pensil garis yang melalui E dan memotong AC, sedangkan BD
menghubungkan 2 titik pada garis pensil berbeda. Misal: B pada EA maka
EA = BA. Titik D pada EC maka EC = CD. Maka BA berpotongan
dengan CD. Berdasarkan aksioma 4, AC dan BD memiliki titik potong.
E C
B
A
D

21. 2. Sebuah kamera lubang jarum memberikan ilustrasi perspektif yang
sangat bagus. Sebuah kamera lubang jarum hanya kotak lampu-ketat
dengan satu film melekat di dalam wajah dan dengan lubang jarum pada
wajah berlawanan yang tercakup sampai kita ingin mengambil foto.
Untuk mengambil foto, titik lubang jarum di arahkan yang benar,
menangkap sampai film benar terkena, tutup lagi, kemudian keluarkan
dan mengembangkan film di kamar gelap.

22. Bayangkan Anda mengambil foto garis pada sebelah kanan dengan titik
ditandai di atasnya. Cahaya tersebar dari setiap titik ke segala arah. Jadi,
Geometri proyektif menggunakan prinsip utama seni perspektif yaitu garis
sejajar berpotongan di tak hingga dan tidak didasarkan konsep jarak.
3. Gambar grafik menurut Rene Descartes segitiga ABC yang titik sudutnya
A (5,4), B(-3,2), C(0,-1) yakni:

23. Aby.2011.http://aby-matematika.blogspot.com/2011/08/sejarah-
geometri.html(accesed jum’at, 9 Mei 2014 pukul 13.25)
Andhini,Febriza.2012.http://febrizaandhini27.blogspot.com/2012/12/ahli-ahli-
matematika terkemuka-abad.html (accesed jum’at 19 Mei 2014 pukul 16.57).
Antique-horology.2014.http://www.antique-
horology.org/thuret/huygensthureteng.html.( accesed jum’a, 30 mei 2014
pukul 5.39).
Gabung.2011.http://gabung-bergabung.blogspot.com/2011/06/matematika-
abad-xvii.html (accesed jum’at, 9 mei 2014 pukul 13.19).
Samarah,kevin.2012.http://tokoh-duniaku.blogspot.com/2012/12/marin-
mersenne-pencetus-hukum-mersenne.html.( accesed jum’at, 9 mei 2014 pukul
13.19)