persamaan diferensial

1. PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Departemen Matematika
FMIPA-IPB
Bogor, 2012
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 1 / 20

2. Topik Bahasan
1 Konsep dan Istilah Dasar
2 PDB Orde-1 Terpisahkan
3 Terapan PDB
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 2 / 20

3. Konsep dan Istilah Dasar
Istilah-istilah
Persamaan diferensial biasa (PDB) berupa persamaan yang
melibatkan fungsi satu peubah yang tak diketahui, turunan fungsi,
atau peubah bebas fungsi.
F x, y, y0
, y00
, . . . , y(n)
= 0 (1)
dengan y = y (x): fungsi terhadap x yang tak diketahui, x: peubah
bebas, y0, y00, . . . y(n): turunan-turunan fungsi.
Contoh:
dy
dx
+ xy = 1 atau y0 + xy = 1
d2y
dx2
+ y 1 = 0 atau y00 + y 1 = 0
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 3 / 20

4. Konsep dan Istilah Dasar
Terapan PDB
dy
dt = ky (model pertumbuhan populasi, peluruhan bahan radioakif)
dR
dS = k
S (model respons R terhadap stimulus S)
dx
dt = ax (N x) (model penyebaran inovasi teknologi)
dS
dt + rA
M + λ S = rA (model respons penjualan S terhadap iklan A)
dk
dt = f (k) λk c (model pertumbuhan ekonomi neoklasik)
d2x
dt2 + kdx
dt + ω2x = 0 (model osilasi mekanik)
dT
dt = s + rT 1 T
Tmax
µT (model infeksi HIV)
8
<
:
dx
dt = a1x + b1y + c1
dy
dt = a2x + b2y + c2
(model perlombaan senjata dua negara)
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 4 / 20

5. Konsep dan Istilah Dasar
Orde Persamaan Diferensial
Orde suatu persamaan diferensial adalah derajat (pangkat tertinggi)
turunan persamaan tersebut.
Contoh:
dy
dx
= y ) orde-1
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ 2y = 0 ) orde-2
1 +
dy
dx
2
!
y = 0 ) orde-1
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 5 / 20

6. Konsep dan Istilah Dasar
Solusi Persamaan Diferensial
Fungsi f disebut solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan
tersebut terpenuhi ketika y = y (x) = f (x) dan turunannya
disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial tersebut.
Solusi umum suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) mengandung
konstanta C.
Solusi khusus suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) dengan kondisi awal
y (x0) = y0 tidak mengandung konstanta C.
Permasalahan mencari solusi khusus persamaan diferensial dengan
kondisi awal disebut masalah nilai awal.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 6 / 20

7. Konsep dan Istilah Dasar
Soal
Tunjukkan bahwa
1 y (x) = Ce2x adalah solusi umum bagi persamaan diferensial
dy
dx
= 2y.
2 x2 + y2 = 1 adalah solusi khusus bagi masalah nilai awal
y0 = x/y, y (0) = 1.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 7 / 20

8. PDB Orde-1 Terpisahkan
PDB Orde-1 Terpisahkan
PDB Orde 1 dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan dalam
bentuk
dy
dx
= f (x) g (y) (2)
Untuk menyelesaikan PDB terpisahkan, kumpulkan suku-suku dengan
peubah yang sama, lalu integralkan.
Z
dy
g (y)
=
Z
f (x) dx
Selesaikan integral masing-masing ruas untuk memperoleh
solusi eksplisit: y = y (x), atau
solusi implisit: F (x, y) = 0.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 8 / 20

9. PDB Orde-1 Terpisahkan
Soal (PDB Terpisahkan)
Tentukan solusi PDB berikut:
1
dy
dx
+
x
y
= 0 , y (0) = 1, jawab: x2 + y2 = 1 SOLUSI
2
dy
dt
= y, y (0) = 1, y > 0, jawab: y = e t
3
dy
dx
=
1 + x
xy
, x > 0, y (1) = 4, jawab: y2 = 2 ln x + 2x + 14
4
dy
dt
= t ey, y (1) = 0, jawab: y = ln 2 ln 3 t2 , jtj <
p
3.
SOLUSI
5 y0 = x ey x, y (0) = 1, jawab: y = ln xe x + e x + 1 e
e
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 9 / 20

10. Terapan PDB
Terapan PDB
Model Eksponensial (Malthus) - 1
Cocok untuk masalah pertumbuhan tanpa adanya keterbatasan
ruang, sumber daya, persaingan.
Sederhana, baik untuk prediksi jangka pendek, kurang realistik untuk
prediksi jangka panjang.
Terapan:
pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.),
peluruhan bahan radioaktif,
tabungan dengan bunga dihitung kontinu, dsb.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 10 / 20

11. Terapan PDB
Terapan PDB
Model Eksponensial (Malthus) - 2
Asumsi: laju perubahan y sebanding dengan besaran y
dy
dt
= ky, y (0) = y0 (3)
Konstanta kesebandingan k disebut laju pertumbuhan (per kapita)
(satuan: /[y][t], [y] = satuan y, [t] = satuan waktu t).
Solusi (3) adalah
y (t) = y0ek t (4)
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 11 / 20

12. Terapan PDB
Gra…k Model Eksponensial
Dalam jangka panjang, y (t) ! ∞ untuk pertumbuhan, y (t) ! 0
untuk peluruhan.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 12 / 20

13. Terapan PDB
Terapan Model Eksponensial
Prediksi Penduduk Dunia dengan Model Eksponensial
Contoh
Sebuah koran memberitakan bahwa pada tahun 1990, banyaknya
penduduk dunia tercatat 5.3 miliar. Dengan laju pertumbuhan 0.017 (per
orang per tahun) dan dengan asumsi laju pertumbuhan sebanding dengan
banyaknya penduduk, maka populasi penduduk dunia diprediksi akan
berlipat ganda dalam 40 tahun. Artinya, pada tahun 2030, penduduk
dunia akan mencapai 10.6 miliar. Bagaimana prediksi semacam ini
dilakukan?
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 13 / 20

14. Terapan PDB
Terapan Model Eksponensial
Usia Benda Purbakala
Soal
Melalui pengukuran kandungan karbon C-14 pada contoh (sampel) benda
peninggalan purbakala, diperoleh hasil C-14 yang tersisa sebesar 10% dari
massa semula. Bila waktu paruh C-14: 5730 tahun (diperlukan 5730
tahun untuk meluruh separuhnya),
a Tentukan massa yang tersisa setelah t tahun. Jawab:
y (t) = y0e
ln 2
5730 t
.
b Berapakah usia benda tersebut? Jawab: 5730 ln 10/ ln 2 19 000
tahun (dibulatkan ke ratusan terdekat).
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 14 / 20

15. Terapan PDB
Terapan Perluasan Model Eksponensial
Orang Pintar Berhenti Merokok
Soal
Jika seseorang membuka tabungan dengan jumlah awal S0 rupiah pada sebuah bank
dengan bunga r per tahun yang dihitung secara kontinu, serta sejumlah d rupiah
ditabung secara reguler setiap tahun, maka besarnya tabungan pada waktu t, S (t), akan
memenuhi masalah nilai awal
dS
dt
= rS + d , S (0) = S0.
a Tentukan S (t). Jawab: S (t) = S0 + d
r ert d
r .
b Ketika berusia 20 tahun, "Tono Smoker" menghentikan kebiasaan merokoknya dan
membuka tabungan awal sebesar Rp 100 000,- dengan bunga 8% per tahun yang
dihitung secara kontinu. Ia pun secara rutin menyisihkan uang rokoknya sebesar
Rp 10 000,- per hari dan menabungnya Rp 3 650 000 per tahun. Tunjukkan bahwa
pada saat pensiun di usia 60 tahun kelak, Tono akan memiliki tabungan lebih dari
1 milyar rupiah!!! (dan karenanya ia memutuskan untuk berhenti merokok).
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 15 / 20

16. Terapan PDB
Terapan PDB
Model Logistik (Verhulst) - 1
Cocok untuk masalah pertumbuhan dengan adanya keterbatasan
ruang, sumber daya, persaingan.
Realistik untuk prediksi jangka panjang, sifat jangka pendek
menyerupai model eksponensial.
Terapan:
pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.),
penyebaran inovasi, informasi, penyakit, dsb.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 16 / 20

17. Terapan PDB
Terapan PDB
Model Logistik - 2
Asumsi:
ada batas maksimum M (disebut daya dukung lingkungan) yang
dapat "dicapai" suatu besaran y,
laju perubahan y sebanding dengan besaran y dan kapasitas ruang sisa
M y
dy
dt
= ky (M y), y (0) = y0 (5)
Solusi (5) adalah
y (t) =
M
1 + be Mkt
(6)
dengan b =
M
y0
1.
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 17 / 20

18. Terapan PDB
Gra…k Model Logistik
t
y0
0
y
M
( )
( )01 / 1 M kt
M
y t
M y e−
=
+ −
( )limt y t M→∞ =
Di awal, laju pertumbuhan meningkat, lalu perlahan menurun.
Dalam jangka panjang, y (t) ! M
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 18 / 20

19. Terapan PDB
Terapan Model Logistik
Penyebaran Inovasi
Soal
Suatu inovasi "weed spray" dikenalkan kepada "kelompencapir"
(Kelompok Pendengar, Pembaca, dan Pemirsa) petani yang berjumlah
5000 orang. Andaikan laju penyebaran inovasi berbanding langsung
dengan banyaknya petani yang sudah mengenal inovasi dan sisanya yang
belum mengenalnya. Di awal program, 50 petani telah mengenalnya, dua
minggu kemudian 500 petani mengenalnya.
a Formulasikan model diferensial yang dimaksud. Jawab:
dy
dt = ky (5000 y) .
b Tentukan konstanta kesebandingan model. Jawab: k = ln 11
10000
c Berapa lama waktu yang dibutuhkan sampai 50% petani mengenal
inovasi tersebut? Jawab: hampir 1 bulan
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 19 / 20

20. Terapan PDB
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA
IPB)
Versi: 2012 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 20 / 20