1. A
x
y
(x,y)
x
y
a
b (a,b)
P
AP
x
y
A
r
LIMIT FUNGSI DUA PEUBAH
Definisi 1
Jika P(x,y) dan A(a,b) titik-titik di dalam R2
, maka jarak antara P dan A yang ditulis
AP .
dimana :
22
byaxAP
Gambar 6 : jarak P dan A di R2
Definisi 2 (Bola buka di R)
Misalkan A(a,b) titik di R2
dan r bilangan positif , maka bola buka B(A,r) didefinisikan
sebagai himpunan semua titik di dalam lingkaran berpusat di A dengan jari-jari r , atau himpunan
semua titik P(x,y) di R2
dimana rAP
Jadi B(A,r) }),{(
222
rbyaxRyx
Gambar 7: Bola buka B(A,r)
Definisi 3

2. 0
B
,, 00 yxB
L
L
L
Z
X
Y
Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisi pada bola buka B(A,r) dan (x0,y0)titik limit
dari B , maka
Lyxfmil
yxyx
,
00 ,,
jika 0 yang cukup kecil, maka terdapat 0 sehingga untuk setiap Byx, dan
2
0
2
0 yyxx berlaku Lyxf ,
Tafsiran geometris definisi limit fungsi dua peubah
Dari gambar 8, jika (x,y) di dalam bola buka B(x0,y0, ), maka LyxfL , .
Sifat :
Jika lim f (x,y) = L1 dan lim g ( x ,y) = L2
(x,y ) (X0 ,Y0 ) (x,y) (x0 ,y0 )
Maka
 lim f (x,y) + g ( x ,y)] = L1 + L2
(x,y ) (X0 ,Y0 )
 lim f (x,y) - g ( x ,y)] = L1 - L2
(x,y ) (X0 ,Y0 )
 lim f (x,y) . g ( x ,y)] = L1 . L2
(x,y ) (X0 ,Y0 )
 lim f (x,y) ] = k L1 , k = konstanta
(x,y ) (X0 ,Y0 )
 lim = ,L2 ≠ 0
(x,y ) (X0 ,Y0 )
Catatan:

3. Dalam konsep limit ini:
1. f tidak harus terdefinisi di (a,b).
2. Jika lim f (x,y) = L
(x,y ) (a ,b )
ada maka bagaimanapun caranya (x,y) mendekati (a,b) nilai f(x,y) selalu mendekati L.
Contoh 1
Buktikan 1132
3,1,
yxmil
yx
Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap 0, terdapat 0 sehingga 1132 yx ,
dimana 0
22
31 yx .
Dengan menggunakan sifat baba diperoleh
331293221132 yxyxyx .
Karena
22
311 yxx dan
22
313 yxy
maka
33121132 yxyx
22
312 yx +
22
313 yx
= 5315
22
yx ,
sebab
0
22
31 yx
Dengan memilih
5
1
,
maka
3233121132 yxyx
dimana
0
22
31 yx
Jadi terbukti bahwa

4. 1132
3,1,
yxmil
yx
( Diktat Matematika Dasar II Unhas )
Contoh
Jika f ( x,y ) = maka lim f (x,y) tidak ada , buktikan !
(x,y ) (0 ,0 )
Penyelesaian :
Titik (x, y) dapat mendekati (0,0) melalui tak hingga banyak arah.Untuk itu akan dilihat ketika
(x, y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x, sumbu y. dan garis y = mx .Jika (x, y) mendekati (0,0)
sepanjang(melalui) sumbu x ,jadi
y = 0 ,
maka lim f (x,y) = lim
(x,y ) (0 ,0) (x,y ) (0 ,0 )
= lim
(x) (0)
Di sisi lain, (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu
y (x = 0), maka
lim f (x,y) = lim
(x,y ) (0 ,0) (x,y ) (0 ,0 )
= lim
(y) (0)
= lim
(y) (0)

5. Terlihat bahwa dari dua arah yang berbeda diperoleh nilai yang berbeda, dengan demikian dapat
disimpulkan bahwa limit f tidak ada untuk (x, y) (0, 0).
Pada contoh di atas kita tidak perlu mencari limit f dari arah lain, karena dari dua arah sudah
didapatkan nilai yang berbeda, sehingga dapat segera disimpulkan bahwa limitnya tidak ada. Jika
dari dua arah tersebut nilainya sama, perlu dicari dari arah lainnya, misal arah y = mx.
KONTINUTAS
Definisi 4
Fungsi f dua peubah dikatakan kontinu pada (x0,y0) jika memenuhi :
i. f(x0,y0) ada
ii. yxfmil
yxyx
,
00 ,,
ada
iii. 00
,,
,,
00
yxfyxfmil
yxyx
Contoh
0
3
, 22
2
yx
yx
yxf
Selidikilah kontinuitas di titik (0,0)
Jawab :
i. f(0,0) = 0 ada
ii. yxfmil
yx
,
0,0,
= 0
3
22
2
0,0, yx
yx
mil
yx
Bukti
Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang (melalui) sumbu x
,jadi y = 0 , maka
*lim f (x,y) lim f (x,y)
(x,y ) (0 ,0) (x , y ) (0 ,0)
lim
Jika (x,y) (0,0)
Jika (x,y) = (0,0)

6. x 0
lim
x 0
Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang (melalui) sumbu
y (x = 0), maka
*lim f (x,y) lim f (x,y)
(x,y ) (0 ,0) (x , y ) (0 ,0)
lim
y 0
lim
y 0
Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) y = x ,
Maka;
lim f (x,y) lim f (x,y)
(x,y ) (0 ,0) (x , y ) (0 ,0)
lim
x 0
lim
x 0
lim = lim = 0
x 0
Dapat disimpulkan bahwa lim f (x,y) = 0
(x,y ) (0 ,0)

7. iii. 00,0,
0,0,
fyxfmil
yx
Jadi f(x,y) kontinu di titik (0,0).
Contoh 2.7
0
, 22
yx
xy
yxf
Selidikilah kontinuitas di titik (0,0)
Jawab :
i. f(0,0) = 0 ada
ii. yxfmil
yx
,
0,0,
= 22
0,0, yx
xy
mil
yx
Tidak ada limitnya
Bukti
Ambil S1 himpunan semua titik pada sumbu x berarti y = 0, maka
yxfmil
yx
,
0,0,
= 0,
0
xfmil
x
= 0
0
0
2
0 x
mil
x
, 1, Syx
Ambil S2 himpunan semua titik pada garis y = x
maka yxfmil
yx
,
0,0,
=
2
1
22
2
0 xx
x
mil
x
, 2, Syx
karena yxfmil
yx
,
0,0,
= 0 untuk (x,y) S1 tidak sama dengan
yxfmil
yx
,
0,0,
=
2
1
untuk (x,y) S2 berarti
22
0,0, yx
xy
mil
yx
tidak ada.
Maka fungsi diatas tidak kontinu di titik ( 0,0 )
, jika (x,y) (0,0)
, jika (x,y) = (0,0)

8. Tugas kelompok
MATEMATIKA DASAR II
“LIMIT DAN KEKONTINUAN”
OLEH:
KELOMPOK II
JAMALUDDIN H22112011
AKMAL H22112268
MUH. IQBAL MAULANA H22112289
AHMAD JAMIL H12110290
UNIVERSITAS HASANUDDIN
2013