5. Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponensial
Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑡 menotasikan ukuran populasi pada waktu 𝑡. Apabila ada
kenaikan populasi ∆𝑦 selama periode waktu tertentu ∆𝑡, berlaku hubungan
formula ∆𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑦 ∙ ∆𝑡 atau
∆𝑦
∆𝑡
= 𝑘 ∙ 𝑦.
Gunakan formula limit, persamaan di atas menjadi:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘𝑦
Apabila 𝑘 > 0, populasi bertumbuh. Apabila 𝑘 < 0, populasi menyusut.
6. Penyelesaian persamaan diferensial
𝑑𝑦
y
= 𝑘 ∙ 𝑑𝑡 ⟹
𝑑𝑦
y
= 𝑘 𝑑𝑡
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑡 + 𝐶
Bila syarat 𝑦 = 𝑦0 pada 𝑡 = 0 memberikan 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑦0 sehingga diperoleh
persamaan:
𝑙𝑛 𝑦 − 𝑙𝑛 𝑦0 = 𝑘 ∙ 𝑡
𝑙𝑛
𝑦
𝑦0
= 𝑘𝑡 ⟹
𝑦
𝑦0
= 𝑒𝑘𝑡 ⟹ 𝑦 = 𝑦0𝑒𝑘𝑡
Apabila 𝑘 > 0, tipe pertumbuhannya adalah exponential growth. Apabila 𝑘 < 0, ini
dikenal exponential decay.
7. Ilustrasi Soal 1
Misalkan ukuran waktu dinotasikan oleh 𝑡 (dalam tahun), setelah tanggal 1 Januari
2004. Dan 𝑦 menyatakan banyaknya orang (dalam miliyar). Bila diketahui populasi
awal 𝑦0 = 6,4 dan 𝑘 = 0,0132, tentukan pertumbuhan populasi manusia pada 1
Januari 2020?
Solusi:
Pada 1 Januari 2020 terhitung 𝑡 = 16 sehingga formula pertumbuhan manusia
dinyatakan oleh
𝑦 = 6,4 ∙ 𝑒 0,0132 ∙16
≈ 7,9 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑦𝑎𝑟
8. Ilustrasi Soal 2
Berdasarkan ilustrasi soal 1, berapa lama waktu yang dibutuhkan agar populasi
manusia menjadi dua kalinya dari populasi awal (pada tanggal 1 Januari 2004)
menggunakan asumsi tersebut?
Solusi:
Populasi manusia menjadi dua kalinya pada waktu 𝑡, yaitu 𝑦𝑡 = 12,8. Lamanya
waktu yang dibutuhkan adalah
𝑦𝑡 = 𝑦0𝑒𝑘𝑡
⟹ 12,8 = 6,4 ∙ 𝑒 0,0132 ∙𝑡
⟹ 2 = 𝑒 0,0132 ∙𝑡
⟹ 𝑙𝑛 2 = 𝑙𝑛 𝑒 0,0132 ∙𝑡
9. ⟹ 𝑙𝑛 2 = 0,0132 ∙ 𝑡
⟹ 𝑡 =
𝑙𝑛 2
0,0132
≈ 53 𝑡𝑎ℎ𝑢 𝑛
Lama waktu yang dibutuhkan adalah 53 tahun.
10. Latihan
Diketahui jumlah penduduk dunia tahun 2023 sekitar 8 milyar jiwa. Tentukan
prediksi jumlah populasi manusia tahun 2033 dengan 𝑘 = 0,0132
