1. Dokumen ini membahas tentang materi kalkulus lanjut untuk fungsi dua variabel dan lebih, termasuk limit, kontinuitas, dan derivatif parsial. 2. Fungsi dua variabel didefinisikan sebagai z = f(x,y) dengan x dan y sebagai variabel bebas. Limit dan kontinuitas fungsi dua variabel juga dibahas. 3. Slide ke-2 membahas konsep derivatif parsial untuk fungsi dua variabel atau lebih.

1. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 11
Kalkulus Lanjut
(slide 1)
Dosen PengampuDosen Pengampu
Dra. Harmastuti M.KomDra. Harmastuti M.Kom

2. by.tuti & Kris 2
Jurusan Matematika
Fakultas Sains Terapan ISTA
Kompetensi Matakuliah:
Setelah mengikuti matakuliah Kalkulus Lanjut mahasiswa diharapkan mampu :
memahami konsep-konsep dasar Kalkulus lanjut dan dapat menerapkan pada
permasalahan di bidang statistika atau bidang lain secara tepat.
Program Studi : Statistika
SKS : 3
Semester : III

3. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 33
Rencana PerkuliahanRencana Perkuliahan
((Pertemuan PertamaPertemuan Pertama))
Pendahuluan :Pendahuluan : Menginformasikan TentangMenginformasikan Tentang
KontrakKontrak PembelajaranPembelajaran
GBPPGBPP; Cara Penilaian; Cara Penilaian,, Model TugasModel Tugas

4. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 44
SilabusSilabus
Materi yang akan dibahas dalam satu semester sbb:Materi yang akan dibahas dalam satu semester sbb:
Fungsi perubah ganda,Fungsi perubah ganda, limit dan kontinuitas fungsi perubah ganda.limit dan kontinuitas fungsi perubah ganda.
Definisi derivatif parsial tingkat satu dan tingkat yang lebih tinggi.Definisi derivatif parsial tingkat satu dan tingkat yang lebih tinggi.
Deferensial Total, derivatif total, aplikasi derivatif parsial derivatif fungsiDeferensial Total, derivatif total, aplikasi derivatif parsial derivatif fungsi
komposit.komposit.
Theorema Taylor, deret Taylordan Maclaurin, Transformasi koordinat,Theorema Taylor, deret Taylordan Maclaurin, Transformasi koordinat,
determinan jacobi, koordinat lengkung.determinan jacobi, koordinat lengkung.
Vektor: sifat-sifat perkalian titik(dot ) vector, perkalian silang(cross)Vektor: sifat-sifat perkalian titik(dot ) vector, perkalian silang(cross)
vekto,rfungsi vector, derivatif vektor, gradient , curl. Tafsiran geometrivekto,rfungsi vector, derivatif vektor, gradient , curl. Tafsiran geometri
derivatif vector. Bidang singgung dan garis normal permukaan,derivatif vector. Bidang singgung dan garis normal permukaan,
Derivatif berarah. Titik Ekstrim( Masimum dan minimum). PelipatDerivatif berarah. Titik Ekstrim( Masimum dan minimum). Pelipat
lagrangelagrange
Integral : vector, garis.teorema Green, divergensi dan stokes.Integral : vector, garis.teorema Green, divergensi dan stokes.
Deret Fourier,Deret Fourier, Integral Fourier, fungsi gamma dan fungsi betaIntegral Fourier, fungsi gamma dan fungsi beta

5. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 55
Buku PustakaBuku Pustaka
Wajib :Wajib :
1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995,1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus ,Calculus , Prentice hall EnglewoodPrentice hall Englewood
Cliffs , New JerseyCliffs , New Jersey
2.Kreyszic, 1988 : ‘2.Kreyszic, 1988 : ‘ Advanced Engineering Mathematics’Advanced Engineering Mathematics’, 6th ed, John, 6th ed, John
Wiley & Sons,Wiley & Sons,
New York.New York.
3.Spiegel M. R. 1990,’3.Spiegel M. R. 1990,’ Kalkulus lanjutan’Kalkulus lanjutan’ , edisi terjemahan Penerbit, edisi terjemahan Penerbit
Erlangga.Erlangga.
Pilihan :Pilihan :
1. Leithol, L 1991 :1. Leithol, L 1991 : ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’, Erllangga, Erllangga
2. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘2. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ Kalkulus dan Geometri AnalitikKalkulus dan Geometri Analitik ‘‘
, jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta., jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta.

6. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 66
Apa itu kalkulus LanjutApa itu kalkulus Lanjut ??
Kalkulus lanjut adalah matematika yang membahasKalkulus lanjut adalah matematika yang membahas
fungsi lebih dari satu variabel (multi variabel) baikfungsi lebih dari satu variabel (multi variabel) baik
dalam menentukan nilai fungsi, limit, kontinu, derivatif,dalam menentukan nilai fungsi, limit, kontinu, derivatif,
integral, deret beserta aplikasinya. Untuk mempela-integral, deret beserta aplikasinya. Untuk mempela-
jarinya diharapkan sudah pernah mengambiljarinya diharapkan sudah pernah mengambil
matakuliah kalkulus 2.matakuliah kalkulus 2.

7. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 77
Materi yang dibahas pada pertemuan 1Materi yang dibahas pada pertemuan 1
1.1. Fungsi dua perubahFungsi dua perubah
2.2. Limit dan kontinuitasLimit dan kontinuitas

8. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 88
Fungsi dua perubahFungsi dua perubah
Diketahui D daerah di dalam RDiketahui D daerah di dalam R 22
pada bidang XOY.pada bidang XOY.
FungsiFungsi ff : D: D →→ . didefinisikan z =. didefinisikan z = ff(x,y) untuk(x,y) untuk
setiap (x,y)setiap (x,y)∈∈ D disebut fungsi dua perubah(variable),D disebut fungsi dua perubah(variable),
dengan x dan y perubah bebas.dengan x dan y perubah bebas.
ℜ

9. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 99
Ilustrasi GrafisIlustrasi Grafis
ff : D: D →→ ,, (x,y)(x,y)∈∈D dan z =D dan z = ff(x,y)(x,y) ∈∈ pada bidang S.pada bidang S.ℜ ℜ
X
Z
Y
(x,y)
Z=f(x,y) ℜ
S
a b
c
d

10. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1010
Contoh. 1.1Contoh. 1.1
 FungsiFungsi ff didefinisikandidefinisikan ::
z =z = ff(x,y) = .(x,y) = .
 nilai fungsinilai fungsi ff, di titik(2,1) adalah, di titik(2,1) adalah ff (2,1) =(2,1) =
yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yangyang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang
didefinisikandidefinisikan
22
yxy2x
xy
++
9
2

11. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1111
Contoh 1.2.Contoh 1.2.
Dengan cara yang samaDengan cara yang sama
untuk z =untuk z = ff(x,y) = x(x,y) = x22
+ y+ y22
nilai fungsi z dititik (1,-1) adalahnilai fungsi z dititik (1,-1) adalah ff(1,-1) = 2(1,-1) = 2

12. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1212
Contoh 1.3.Contoh 1.3.
Luasan yang terbentuk untuk fungsí denganLuasan yang terbentuk untuk fungsí dengan
persamaanpersamaan
z =z = ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y+ y22
menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb:menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb:

13. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1313
2. Limit dan kontinuitas2. Limit dan kontinuitas
a. Limit :a. Limit :
Definisi- 1.1Definisi- 1.1. Fungsi. Fungsi ff dikatakan mempunyai limit L untukdikatakan mempunyai limit L untuk
(x,y)(x,y) →→ (x(x00 ,y,y00) yang ditulis) yang ditulis
jika untuk setiapjika untuk setiap εε>0 terdapat>0 terdapat δδ>0. sehingga untuk setiap (x,y)>0. sehingga untuk setiap (x,y)
yang memenuhiyang memenuhi
0 <0 < (1.1)(1.1)
makamaka || ff(x,y) - L | <(x,y) - L | < εε..
Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbukaDalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka
dengan pusat (xdengan pusat (x00,y,y00) dan berjari-jari) dan berjari-jari δδ..
L
)
0
y,
0
x()y,x(
)y,x(flim =
→
δ2)0y(y2)0x(x <−+−

14. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1414
Contoh 1.4.Contoh 1.4.
Tentukan nilai limitTentukan nilai limit ff(x,y) = x(x,y) = x22
+ y+ y22
untukuntuk
(x,y) mendekati di titik (2,1)(x,y) mendekati di titik (2,1)
Jawab :Jawab :
5
)yx(lim
)y,x(lim
22
)1,2()y,x(
)1,2()y,x(
=
+=
→
→
f

15. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1515
Limit dan kontinuitasLimit dan kontinuitas
b. Kontinub. Kontinu ::
Definisi- 1.2Definisi- 1.2..
FungsiFungsi ff dikatakan kontinu di titikdikatakan kontinu di titik (x(x00 ,y,y00)) , jika, jika
1.1. ff (x(x00 ,y,y00)) ada danada dan
2.2.
3.3.
apabila salah satu sifat tidak dipenuhi makaapabila salah satu sifat tidak dipenuhi maka ff dikatakandikatakan
tidak kontinu di titiktidak kontinu di titik (x(x00 ,y,y00))
ada),y,x(lim
)
0
y,
0
(xy)(x,
f
→
)y,(x
)
0
y,
0
(xy)(x,
y)(x,lim 00ff =
→

16. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1616
Contoh 1.5.Contoh 1.5.
Selidiki apakah fungsiSelidiki apakah fungsi
ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y+ y22 kontinu di titik (2,1)kontinu di titik (2,1)
Jawab : SJawab : Subtitusikan nilai x dan y untuk titik (2,1) ke sifat –sifat kontinu yaituubtitusikan nilai x dan y untuk titik (2,1) ke sifat –sifat kontinu yaitu
1.1. ff(2,1) = 5 <(2,1) = 5 < ∞∞ adaada
2. 52. 5
3.3. = 5= 5
karena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka fungsikarena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka fungsi ff kontinu di titik (2,1)kontinu di titik (2,1)
)yx(lim)y,x(lim 22
)1,2()y,x()1,2()y,x(
+=
→→
f

17. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1717
Soal LatihanSoal Latihan
1. a. Jika f(x,y) = 6 – 2x – 2y tentukan nilai f(1,1) dan (1,2) serta gambar luasan yang terjadi.
b. Diberikan fungsi f(x,y) = sin (3x + 2y), tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (0 , π/2).
c. Diberikan fungsi tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (4,3).
d. Diberikan fungsi tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y)= (π/4, π/3).
2. Gambarlah luasan
a. f(x,y) = 2y – x2 – y2
b. Gambarkan daerah R pada bidang XY yang dibatasi oleh X2 + Y2 = a2 ;
X 2 +Y2 = b2 ; X = 0 dan Y = 0 dimana 0< a <b.
c. Gambarkan luasan f(x,y) = 2y – x2 – y2
a. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasana. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasan

18. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1818
b.Limit Fungsi Dua Perubahb.Limit Fungsi Dua Perubah

19. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1919
c.Kontinuitasc.Kontinuitas

20. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2020
ResumeResume
1. Apabila D daerah di dalam atau bidang XOY, fungsi f : D → didefinisikan z = f (x,y)
untuk setiap (x,y)∈D disebut fungsi dua variabel, dengan x dan y variabel independen.
2. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk (x,y) →(x0 ,y0) yang ditulis
jika untuk setiap ε>0 terdapat δ>0. sehingga untuk setiap (x,y) yang memenuhi
0 < (1.1)
maka | f (x,y) - L | < ε
Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka dengan pusat (x0,y0) dan berjari-jari δ.
3. Fungsi f dikatakan kontinu di titik (x0 ,y0) , jika f(x0 ,y0) ada dan

21. by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2121
Derivatif ParsialDerivatif Parsial
Pada slide ke2 dibahas Derivatif ParsialPada slide ke2 dibahas Derivatif Parsial untukuntuk
fungsi dua perubah atau lebihfungsi dua perubah atau lebih

22. 22by.tuti & Kris
The endThe end
Selamat Mempelajari danSelamat Mempelajari dan MendalamiMendalami Mata KuliahMata Kuliah
Kalkulus LanjutKalkulus Lanjut
Semoga BermanfaatSemoga Bermanfaat