1. Dokumen membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, operasi vektor seperti jumlah vektor dan perkalian vektor dengan skalar, norma vektor, hasil kali titik dan silang dua vektor, proyeksi vektor, divergensi dan curl medan vektor, serta gradien medan skalar. 2. Berisi contoh soal dan penyelesaian tentang operasi vektor seperti hasil kali titik dua vektor, proyeksi vekt

1. 3. VEKTOR
KPB 1

2. KPB 2
Vektor di bidang dan di ruang
Definisi: Vektor adalah besaran yang mempunyai arah atau
Vektor adalah suatu ruas garis berarah.
1 2 1 2,OA a a i a j a a
→
= = + =
r rr
A (titik pangkal)
B (titik ujung)
v
r
1 2 1 2,AB v v i v j v v
→
= = + =
r rr
1 2 3 1 2 3, ,v v i v j v k v v v= + + =
rr rr

3. KPB 3
Operasi vektor:
Jumlah (resultan)
Perkalian dengan skalar
u
r
v
r
u v+
r r
u
r
2u
r

4. KPB 4
Norm (panjang vektor)
2 2
1 2| |a a a a= = +
r r
Vektor satuan : vektor yang panjangnya satu
Vektor posisi : vektor yang ujungnya (0,0)
Vektor nol : vektor 0 0,0=
r
2 2 3
1 2| |a a a a a= = + +
r r
1 2a a i a j= + →
r rr
1 2 3a a i a j a k= + + →
rr rr

5. KPB 5
Hasil kali titik dua vektor (Dot product)
1 2 3a a i a j a k= + +
rr rr
1 2 3b b i b j b k= + +
r rr r
1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b= + +
rr
Hasil kali silang dua vektor (cross product)
1 2 3
1 2 3
i j k
a b a a a
b b b
× =
rr r
rr ( )a b b a× = − ×
r rr r
. | || | cos ( , )a b a b a b= ∠
r r rr r r

6. KPB 6
Dua vektor dikatakan saling tegak lurus (disebut ortogonal)
jika hasil kali titiknya adalah nol.
Contoh: Tentukan m sehingga 8,6 dan 3,a b m= =
rr
adalah ortogonal.
Jawab : . 8.3 6. 24 6 0a b m m= + = + =
rr
4m⇒ = −

7. KPB 7
contoh: Tentukan sudut ABC,dimana (4,3), (1, 1), (6, 4)A B C= − −
Jawab:
(4 1) (3 1) 3 4u BA i j i j= = − + + = +
r r r rr
(6 1) ( 4 1) 5 3v BC i j i j= = − + − + = −
r r r rr
2 2
| | 3 4 5u = + =
r
2 2
| | 5 ( 3) 34v = + − =
r
. (3)(5) (4)( 3) 3u v = + − =
r r
1 1. 3
cos cos
| || | 5 34
u v
ABC
u v
− −   
∠ = = ÷  ÷
  

8. KPB 8
Proyeksi
Misalkan dana b
rr
adalah vektor, dan θ adalah sudut antara kedua vektor itu.
Misal c
r
vektor pada arah b
r
yang mempunyai besaran | | cos .a θ
r
b
r
a
r
θ
c
r
| | cos | | | | | |a c kb k bθ = = =
r rr r
2
| | | | . .
cos
| | | | | || | | |
a a a b a b
k
b b a b b
θ= = =
r rr r r r
r r r rr
Jadi, proyeksi vektor a
r
b
r
pada adalah: 2
.
| |
a b
c b
b
 
=  ÷
 
rr rr
r
Proyeksi skalar a
r
b
r
pada adalah:
.
| |
| |
a b
c
b
=
rr
r
r

9. KPB 9
Contoh:
1. Tentukan vektor yang merupakan proyeksi vektor 3,1, 1− pada
vektor 2,5,2 .
Jawab: 3,1, 1a = −
r
2,5,2 | | 33b b= → =
r r
. 6 5 2 9a b = + − =
rr
Maka vektor proyeksi a
r
b
r
pada adalah
. 9
. 2,5,2
33| |
a b
c b
b
= =
rr rr
r

10. KPB 10
2. Tentukan proyeksi skalar dari 2 2u i j k= − + +
rr rr
pada
2v i j k= + −
rr rr
Jawab:
. 2 2 2 2
| |
| | 1 4 1 6
u v
c
v
− + − −
= = =
+ +
r r
r
r

11. KPB 11
Divergensi dan curl dari medan vektor
Misal medan vektor
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z M x y z i N x y z j P x y z k= + +
rr r r
(i) Divergensi ( )div F
r
adalah medan skalar, yaitu
M N P
div F
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
r
(ii) Curl ( )curl F
r
adalah medan vektor,yaitu
i j k
curl F F
x y z
M N P
∂ ∂ ∂
= ∇× =
∂ ∂ ∂
rr r
r r r P N M P N M
i j k
y z z x x y
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= − + − + − ÷  ÷ ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
rr r

12. kalkulus 1 12
Gradien medan skalar
Misal ( , , )f x y z menyatakan suatu medan skalar, dan f diferensiabel,
maka gradien f,
( , , )
f f f
f x y z i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
rr r r

13. kalkulus 1 13
Soal
1. Tentukan ( )curl F
r
( )div F
r
dan dari
2 2
. ( , , ) 2a F x y z x i xyj yz k= − +
rr r r
. ( , , ) cos sinx x
b F x y z e yi e yj zk= + +
rr r r
. ( , , ) ( ) ( ) ( )c F x y z y z i x z j x y k= + + + + +
rr r r
2. Tentukan f∇
r
dari
2
. ( , , ) 4a f x y z xy yz z= − +
2 2
. ( , , ) z
b f x y z y e−
=