2. Pola Barisan dan Deret Bilangan
Kompetensi Dasar :
Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika
Indikator :
1. Nilai suku ke- n suatu barisan aritmatika ditentukan
menggunakan rumus
2. Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan
menggunakan rumus
Hal.: 2 BARISAN DAN DERET Adaptif
3. Pola Barisan dan Deret Bilangan
Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati
speedometer pada motor tersebut?
Pada speedometer terdapat angka-angka 0,20, 40, 60, 80, 100,
dan 120 yang menunjukkan kecepatan motor saat kalian
mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulai dari
yang terkecil ke yang terbesar dengan pola tertentu sehingga
membentuk sebuah pola barisan
Hal.: 3 BARISAN DAN DERET Adaptif
4. Pola Barisan dan Deret Bilangan
Bayangkan anda seorang penumpang taksi. Dia harus membayar biaya buka pintu
Rp 15.000 dan argo Rp 2.500 /km.
Buka pintu 1 km 2 km 3 km 4 km
15.000 17.500 20.000 22.500 …….
Hal.: 4 BARISAN DAN DERET Adaptif
5. NOTASI SIGMA
Konsep Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1)
Pada bentuk (1)
Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1
Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1
Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan
dalam bentuk 2k – 1, k ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Hal.: 5 BARISAN DAN DERET Adaptif
6. NOTASI SIGMA
Dengan notasi sigma bentuk penjumlahan (1) dapat
ditulis :
6
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ∑ (2k - 1)
k =1
Hal.: 6 BARISAN DAN DERET Adaptif
7. NOTASI SIGMA
6 9 9
Bentuk ∑ (2k − 1) ∑ (2(k − 3) − 1) ∑ (2k − 7)
k =1 k =4 k =4
dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”
atau “jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6”
1 disebut batas bawah dan
6 disebut batas atas,
k dinamakan indeks
(ada yang menyebut variabel)
Hal.: 7 BARISAN DAN DERET Adaptif
9. NOTASI SIGMA
Contoh:
Hitung nilai dari:
4
∑ (2k + 1) = (2 ⋅1 + 1) + (2 ⋅ 2 + 1) + (2 ⋅ 3 + 1) + (2 ⋅ 4 + 1)
k =1
=3 +5 +7 +9 =24
Nyatakan dalam bentuk sigma
1. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9
10
∑ (akbk − 1)
k =1
Hal.: 9 BARISAN DAN DERET Adaptif
10. NOTASI SIGMA
2. (a + b)n =
an + C1 an − 1b + Cnan − 2b2 + Cnan − 3b3 + ... + Cn − 1abn − 1 + Cnbn
n
2 3 n n
n
n n−r r
∑ Cr a b
r =0
Hal.: 10 BARISAN DAN DERET Adaptif
11. NOTASI SIGMA
Sifat-sifat Notasi Sigma :
n
1.∑ ak = a1 + a2 + a3 ... + an .
k =1
n n
2.∑ Cak = C ∑ ak
k =m k =m
n n n
3.∑ (ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk
k =m k =m k =m
n n+ p
4.∑ ak ∑ ak − p
k =m k =m+ p
n
5.∑ C = (n − m + 1)C
k =m
p −1 n n
6.∑ ak + ∑ ak = ∑ ak
k =m k= p k =m
m =1
7.∑ ak = 0 , Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n
k =m
Hal.: 11 BARISAN DAN DERET Adaptif
13. NOTASI SIGMA
Contoh 2 :
3 6
Hitung nilai dari ∑ 6k + ∑ 6k 2
k =1
2
k =4
Jawab:
3 6 6 6
∑ 6 k 2 + ∑ 6 k 2 = ∑ 6 k 2 = 6∑ k 2
k =1 k =4 k =1 k =1
= 6 (12 +22 + 32 + 42 + 52 + 62)
= 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
= 6.91 = 546
Hal.: 13 BARISAN DAN DERET Adaptif
14. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Bilangan-bilangan berurutan seperti pada speedometer memiliki selisih yang
sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan
bilangan
Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda)
dua suku yang berurutan selalu tetap
Bentuk Umum :
U1, U2, U3, …., Un
a, a + b, a + 2b,…., a + (n-1)b
Pada barisan aritmatika,berlaku Un – Un-1 = b sehingga Un = Un-1 + b
Hal.: 14 BARISAN DAN DERET Adaptif
18. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan
pembanding (rasio) antara dua suku yang
berurutan selalu tetap.
Ada selembar kertas biru, akan dipotong-potong menjadi dua bagian.
Hal.: 18 BARISAN DAN DERET Adaptif
21. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Suku ke-n barisan Geometri adalah :
Hal.: 21 BARISAN DAN DERET Adaptif
22. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Hubungan suku-suku barisan geometri
Seperti dalam barisan Aritmatika hubungan antara suku
yang satu dan suku yang lain dalam barisan geometri dapat
dijelaskan sebagai berikut:
Ambil U12 sebagai contoh :
U12 = a.r11
U12 = a.r9.r2 = U10. r2
U12 = a.r8.r3 = U9. r3
U12 = a.r4.r7 = U5. r7
U12 = a.r3.r8 = U4.r8
Un = Uk. rn-k
Secara umum dapat dirumuskan bahwa :
Hal.: 22 BARISAN DAN DERET Adaptif
25. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Deret Geometri tak hingga
Deret geometi tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-
sukunya tak hingga.
Jika deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 , maka jumlah deret
geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen).
a (1 − r n )
Sn =
1− r
Untuk n = ∞ , rn mendekati 0
a
Sehingga S∞ = 1 −r
Dengan S∞ = Jumlah deret geometri tak hingga
a = Suku pertama
r = rasio
Jika r < -1 atau r > 1 , maka deret geometri tak hingganya akan divergen,
yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas
Hal.: 25 BARISAN DAN DERET Adaptif
26. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Contoh :
1. Hitung jumlah deret geometri tak hingga : 18 + 6 + 2 + … . .
Jawab :
u 2 u3 1
a = 18 ; r = = =
u1 u2 3
a 18 18
s∞ = = = = 27
1− r 1− 1 2
3 3
Hal.: 26 BARISAN DAN DERET Adaptif
27. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
2. Sebuah bola elastis dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari
lantai, bola mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian sebelumnya. Berapakah
panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti ?
Lihat gambar di samping!
Bola dijatuhkan dari A, maka AB dilalui satu kali,
selanjutnya CD, EF dan seterusnya dilalui dua
kali. Lintasannya membentuk deret geometri
dengan a = 3 dan r = ¾
Panjang lintasan = 2 S∞ - a
a
=
2 −
a
−
1 r
2
=
2 2
−
3
−
1
4
2
=
2 2
− = 14
1
4
Jadi panjang lintasan yang dilalui bola adalah14 m
Hal.: 27 BARISAN DAN DERET Adaptif
