Vektor merupakan kuantitas fisik yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan tentang penjumlahan vektor, komponen vektor, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta contoh soal latihan tentang vektor.
5. r
Vektor b adalah vektor yang memiliki
r
besaran yang sama dengan vektor−b
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
r
r
(b ) + (− b ) = 0
6. Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
r
Komponen vektor : a ax = a cos θ dan a y = a sin θ
disebut komponen skalar atau komponen
7. Penjumlahan vektor dengan komponen
r
r
r
r
s = a + b , setiap komponen s sama dengan
r
r
b
komponen a +
sx = x + x
a
b
sy = y + y
a
b
sz = z + z
a
b
8. r
Besar vektor a:
a = a +a
2
x
2
y
dan
ax
tan θ =
ay
r
r
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b),
r
besar vektors
dapat dicari dengan rumus :
s = a 2 + b 2 + 2ab cos θ
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus : a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ
Dalil sinus :
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
10. r
r
Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut :
r
ˆ
a = ax i + a y ˆ
j
r
ˆ
b = bxi + by ˆ
j
disebut komponen vektor
11. Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
r
Jika vektor a
dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
r
absolute s dengan arah a jika s positif,rdan
berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi
r
dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
12. Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor
satuan dalam koordinat kartesius :
i.i=j.j=k.k=1
i.j=j.k=I.k=0
ixi=jxj=kxk=0
ixj=k; jxi=-k
ixk=-j;kxi=j
kxj=-i;jxk=i
14. Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
rr
a.b = (a cos φ )(b) = (a)(b cos φ )
Scalar product berlaku hukum komutatif
rr rr
a.b = b .a
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
rr
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
a.b = (ax i + a y ˆ + a z k ).(bxi + by ˆ + bz k )
j
j
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
rr
a.b = ax bx + a y by + az bz
15. Menghasilkan vector : Vector Product
Dikenal sebagai : Cross Product
r r r
a xb =c
Dengan besar c adalah :
c = ab sin φ
r r
Besaran a x b
r r
ditulis a x b = 0 jika
r r
dan maksimum jika a ⊥ b
r r
a // b
16. r
Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor
r
r
a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan.
r r
r r
b x a = −(a x b )
17. Penulisan dalam vektor satuan :
r r
ˆ
ˆ
a x b = (axiˆ + a y ˆ + az k ) x (bxiˆ + by ˆ + bz k )
j
j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ax i x bx i =a x bx (i x i ) =0
ˆ
ˆ
ax i x by ˆ = axby (iˆ x ˆ) = a xby k
j
j
Hasil akhir :
r r
a x b = (a ybz − by az )iˆ + (azbx − bz ax ) ˆ + (axby − bx a y )kˆ
j
18. Cara mudah untuk perkalian silang dengan
mengunakan metode determinan
i
j
k
a x b = ax ay az
bx by by
20. Latihan soal : r
r
1 Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama
r
saling mengapit dengan sudut α . Jika besar vektor a
r
a +b = 3 a −b
b
a+b
a2 +
dua kali vektor = dan b 2 + 2 ab cosα
, hitung
Jawab :
a − b = a 2 + b 2 − 2 ab cosα
α
!
a 2 + b 2 + 2 ab cos α = 3 a 2 + b 2 − 2 ab cos α
16 b 2 cos α=
10 b 2
α = 51, 320
21. 2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
2
2
r = v1 + v2 + 2 v1v2 cos 450
r = 458, 7
r = 21, 4 satuan
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus :
2
v2 = v12 + r 2 − 2v1r cos α
297, 7 = 342, 4 cos α ⇒ α =29,60
Dalil Sinus :
v2
r
=
sin α sin 1350
15(0, 707)
sin α =
⇒ α =29,7 0
21, 4
22. 3 Diketahui 3 buah vektor
r
a = i − ˆ+ k
1 ˆ
3 j
4 ˆ
r
b = 1i − ˆ+ k
− ˆ
2 j
2 ˆ
r
c = i − ˆ− k
3 ˆ 1j
3 ˆ
r
Hitung besar vektor rr sudut antara vektor ini dengan sumbu z
r
r
r r dan
r
jika r = 2a + b −. cHitung juga sudut antara vektor a dan b!
Jawab :
r
ˆ
ˆ
r = (−2)i + ( −7) ˆ + (13) k ⇒ r = ( −2) 2 + ( −7) 2 + (13) 2 = 14,9 satuan
j
r
Sudut antara r
dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan
r r
ˆ ˆ
arah sumbu z.
r . k = ( − i .k +( − ˆ.k +(13) k .k
2) ˆ ˆ
7) j ˆ
r k
Sudut antara
cos γ =13 ⇒ cosφ=
13
⇒ φ=29.30
14.9
r
r
a dan bdiperoleh dengan men”dot”kan keduanya.
r r
a. b =1.( − +( −
1)
3).(− +4.(2)
2)
a b
cos φ =13
⇒ cosφ=
13
26 9
⇒ φ=31,80
23. 4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan
dan arahnya 2520 terhadap sumbu x positif. Vektor b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor
tersebut.
Jawab :
Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
2520 − 900 = 1620
Sehingga diperoleh :
r r
a . b = ab cos φ = (5)(4) cos162 0 =− satuan
19
r
r
a x b = ab sin φ = (5)(4) sin162 0 = 6,18 satuan
24. Soal Tugas
1. Dua buah vektor yang besarnya 5 dan 3
satuan membentuk sudut 60 sama lain.
Hitung resultan vektor-vektor tersebut!
Hitung pula selisih dua vektor tersebut!
2. Tiga buah vektor a, b dan c terletak pada
satu bidang dan mempunyai titik tangkap
yang sama. Besar vektor berturut-turut
adalah 30, 20 dan 40 satuan. Berapakah
besar sudut apit vektor a dan b agar resultan
nya besarnya sama dengan vektor c ?
25. 3. Jumlah dua vektor adalah tiga kali vektor yang
lebih kecil. Jika vektor- vektor tersebut
membentuk sudut 60, berapakah
perbandingan kedua vektor tersebut ?
4. Hitung perkalian titik dan perkalian silang dari
dua vektor berikut ini :
a = 2i – 2j + 4k
b = i – 3j + 2k
5. a = 5,1i – 2,3j ; b = i ; c = -3,1i + 6,3j
Hitung resultan ketiga vektor tersebut dan
kemana arahnya?