Dokumen tersebut membahas tentang operasi matriks dan vektor, termasuk penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan matriks lain, serta operasi vektor seperti perkalian vektor dengan skalar dan penjumlahan vektor. Terdapat pula rumus untuk menghitung besar sudut antara dua vektor.

1. Matematika SMK
Persiapan Ujian Nasional
Kelas/Semester: II/2
Matriks dan Vektor

2. I. Operasi Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Matriks
Dua matriks A dan B dapat
dijumlahkan atau digunakan operasi
pengurangan bila ordo (baris x kolom)
kedua matriks tersebut sama . Hasil
jumlah (selisih) didapat dengan cara
menjumlahkan (mengurangkan)
elemen-elemen yang seletak dari kedua
matriks tersebut.

3. Contoh:
A – B =





 

1
2
0
2
1
3
A dan 








1
2
3
0
5
2
B
Maka A + B = 




 
















2
0
3
2
6
1
1
1
)
2
(
2
3
0
0
2
5
1
)
2
(
3

























0
4
3
2
4
5
1
1
)
2
(
2
3
0
0
2
5
1
)
2
(
3

4. 2. Perkalian Matriks
a. Perkalian Matriks dengan Skalar (k)
Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah
matriks maka k.A adalah sebuah
matriks yang didapat dengan cara
mengalikan setiap elemen (entri)
matriks A dengan skalar k.

5. Contoh:
Diketahui
maka 2A =







5
4
3
2
A













10
8
6
4
5
x
2
4
x
2
3
x
2
2
x
2

6. b. Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua matriks A dengan ordo mxn dan
matriks B dengan ordo nxp maka
C = A . B berordo mxp, didapat dengan
cara mengalikan setiap elemen baris
matriks A dengan elemen kolom matriks B.
Jika Matriks A berordo mxn dan B berordo
pxq dimana n  p maka A.B tak terdefinisi.

7. Contoh:
Diketahui dan
maka:







5
4
3
2
A 








1
2
3
0
5
2
B























 














5
10
7
3
4
5
1
.
5
0
.
4
)
2
.(
5
5
.
4
3
.
5
)
2
.(
4
1
.
3
0
.
2
)
2
.(
3
5
.
2
3
.
3
)
2
.(
2
1
2
3
0
5
2
5
4
3
2
B
.
A

8. II. Vektor
1. Operasi vector
1) Hasil Kali Vektor dengan Skalar
Vektor dapat dioperasikan dengan
skalar.
Karena skalar hanya mempunyai
besar maka perkalian vektor dengan
skalar hanya akan berpengaruh pada
besar vektor saja, sedangkan arahnya
tetap.

9. Contoh
Hasil kali vektor dengan skalar 2
akan menghasilkan vektor
denganbesar 2 kalinya sedangkan
arahnya tetap. Secara umum, hasil kali
vektor dengan skalar n akan
menghasilkan vektor n yang
besarnya n kali besar dan arahnya
sama dengan u bila n positif, dan
berlawanan arah bila n negatif

u

u

u

u

u

10. Grafis contoh soal:

11. Contoh
Pada gambar di samping
a) DM = 2 PR = =
b) KB = -3 PR = -3 = (tanda negative
hanya
menunjukkan
berlawanan arah)
c) AN = PR = = Secara umum dapat
dituliskan: jika a = , maka na =








2
2
2 







4
4








2
2










6
6
2
1








2
2
2
1








1
1








a
a








na
na

12. 2) Penjumlahan Vektor
Dengan aturan segi tiga : +

1
U

2
U
Dengan aturan jajaran genjang +

1
U

2
U

13. III. Besar Sudut Antara Dua Vektor
Rumus: b
.
a. θ
cos
b
.
a


=
b
.
a.


b1
.
a1


b2
.
a2


b3
.
a3
= + +
)
b3
b2
)(b1
a3
a2
(a1
b
.
a 2
2
2
2
2
2







cos = 



b
.
a
b
.
a
 = arc cos 



b
.
a
b
.
a

14. contoh:
Diketahui , , besar sudut antara
dan 120 maka nilai adalah
10

u

8

v

u

v

v
u



Penyelesaian:

a

b 
cos
.


b
a
0
120
cos
.
8
.
10 120 = (180 – 60)
0
60
cos
.
8
.
10  (terletak di kuadran II)
= 80.(-1/2)
= -40
=
0
=
0
=

15. 2. Diketahui
k
j
i
u 

 2

k
j
v 


dan , maka nilai Besar
sudut dan adalah
u

v

Penyelesaian:

a

b 
cos
.


b
a
=
= 2
= 1.0+2.1+(-1).(-1) = 3

a

b
)
)
1
(
1
0
)(
)
1
(
2
1
(
. 2
2
2
2
2
2









b
a 3
= arc cos = arc cos
 = 30
3
2
3 3
2
1
0

16. Latihan:
Diketahui , , besar sudut
antara dan ,135 maka nilai
adalah . . .
6

u

8

v

u

v
 0
v
u


.