vektor adalah salah satu materi matematika yang memiliki besarn dan arah

1. VEKTOR
MATEMATIKA SMK
ARIYANTO

2. Skalar adalah besaran yang
mempunyai besar saja tetapi tidak
mempunyai arah.
Vektor adalah besaran yang
mempunyai besar dan arah.

3. Contoh:
Vektor:
1. Kecepatan
2. Gaya
3. Perpindahan
4. Percepatan
Skalar:
1. Tinggi Badan
2. Jumlah Siswa dalam
kelas
3. Panjang sebuah meja
4. Volume bangun
Ruang

4. Vektor adalah ruas garis yang berarah
A
B
Vektor u diwakili Vektor AB = AB
A : Titik Pangkal / titik tangkap
B : Titik Ujung / Terminus
u
Secara geometri:

5. Jenis–jenis vektor
1. Vektor Baris :
2. Vektor Kolom :
3. Vektor Basis : AB = xi + yj
4. Vektor Polar (kutub) : AB = ( r, θ)
y)
(x,
AB 









y
x
AB

6. Tentukanlah vektor-vektor yang diwakili oleh
AB,CD,EF,dan GH
A
D
E
F
C
H
G
B

7. Jawab:
Vektor AB = a
Vektor CD = - c
Vektor EF = d
Vektor GH = - e

8. VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS
Vektor AB dalam
bentuk pasangan
Bilangan
AB =
SB Y
O
A (X1,Y1)
B ( X2, Y2)










1
2
1
2
Y
Y
X
X








y
x
y2
y1
x1 x2
AB =
SB X

9. BESAR VEKTOR PADA
BIDANG KARTESIUS
Besar Vektor AB = AB
SB Y
O
A (X1,Y1)
B ( X2, Y2)
2
1
2
2
1
2 )
y
(y
)
x
(x
AB 



2
2
y
x
AB 

atau
y2
y1
X1 X2 SB Y

10. Diketahui A( 2,1), B( 6,4).
Tentukanlah: a. Vektor AB
b. Besar Vektor AB




















3
4
1
4
2
6
AB
5
25
9
16
3
4
1)
(4
2)
(6
AB
y1)
(y2
x1)
(x2
AB
2
2
2
2
2
2














Jawab :
Contoh:

11. Latihan:
Tentukanlah Vektor dan Besar Vektor dari gambar
berikut :
o Sb x
Sb y
A
B
C
D
E
G
F

12. Jawab:
Vektor OA = 2
3
18
3
3
y
x 2
2
2
2





Vektor BC = 29
5
2
y
x 2
2
2
2




Coba tentukan yang lainnya

13. VEKTOR SATUAN
Vektor yang panjangnya satu satuan
a
a
e 


ˆ

14. Tentukanlah Vektor Satuan dari a
i
j
a
a = 3i + 4j
Sb x
Sb y
3
4
0

15. a = 3i + 4j
Jawab:
2 2
3i 4j
ˆ
3 4

 

a
e
a
     
   
2 2
a 3 4 9 16 25 5
1 3 4
e (3i 4j) i j
5 5 5

16. OPERASI VEKTOR
1. Penjumlahan
2. Pengurangan
3. Perkalian

17. Penjumlahan Vektor secara Grafis
a
b
a + b

18. Pengurangan Vektor secara Grafis
b
a
a
a+(-b) = a - b
-b

19. Perkalian Skalar dengan Vektor
a
- 3a
2a

20. Penjumlahan Vektor secara Analitis
Cos θ
b
a
2
b
a
b
a
θ)
Cos(180
b
a
2
b
a
b
a
θ)
Cos(180
b
a
2
b
a
b
a
2
2
o
2
2
o
2
2
2
































a
b
θ
a
b

21. Pengurangan Vektor secara Analitis
Cos θ
b
a
2
b
a
b
a
Cos θ
b
a
2
b
a
b
a
Cos θ
b
a
2
b
a
b
a
2
2
2
2
2
2
2






























a b a
-b
θ

22. Contoh :
b
a
dan
b
a
Hitunglah
60
b)
(a,
besar
4
b
dan
6
a o












Jawab :
4
6
60

23. 76
24
52
b
a
)
2
1
2.6.4.(
16
36
b
a
60
2.6.4.Cos
4
6
b
a
Cos θ
b
a
2
b
a
b
a
o
2
2
2
2





























24. 7
2
28
24
52
b
a
)
2
1
2.6.4.(
16
36
b
a
0
2.6.4.Cos6
4
6
b
a
Cos θ
b
a
2
b
a
b
a
o
2
2
2
2






























25. 1. Diketahui a = 3i + j , b = i – 2j
Tentukanlah :
a. Vektor Satuan a
b. Vektor Satuan 2b
c. Vektor Satuan ( a – 2b)
Latihan:

26. b
a
dan
b
a
Hitunglah
120
b)
(a,
besar
5
b
dan
8
a o












2
3
b
a
dan
b
a
Hitunglah
90
b)
(a,
besar
5
b
dan
12
a o












8
5 120
12
5
90

27. b
a
dan
b
a
Hitunglah
150
b)
(a,
besar
4
b
dan
6
a o












4.
150o a
b

28. b
a
dan
b
a
Hitunglah
180
)
b
,
a
(
besar
6
b
dan
8
a o












b
a
dan
b
a
Hitunglah
135
b)
(a,
besar
4
b
dan
8
a o












5.
6

29. PERKALIAN SKALAR DUA
VEKTOR
( Dot Product)

30. Perkalian Skalar Dua Vektor
Definisi :

Cos
b
a
b
a





.
a
b


31. Tentukanlah perkalian skalar vektor a dan b
Jawab :
a = 4
45o
b = 6
θ
Cos
b
a
b
.
a





2
12
2
2
1
24.
b
.
a 



0
4.6.Cos45
b
.
a 


Contoh:

32. Jika a = x1i + y1j + z1k
b = x2i + y2j + z2k
a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
Maka Perkalian Skalar a dan b adalah :

33. Bukti :
a.b = (x1i+y1j+z1k).(x2i +y2j +z2k)
= x1.x2.i.i + x1.y2.i.j + x1.z2.i.k +
y1.x2.j.i + y1.y2.j.j + y1.z2.j.k +
z1.x2.k.i + z1.y2.k.j + z1.z2.k.k
= x1.x2. 1 + x1.y2. 0 + x1.z2. 0 +
y1.x2. 0 + y1.y2. 1 + y1.x2. 0 +
z1.x2. 0 + z1.y2. 0 + z1.x2. 1
a.b = x1.x2. + y1.y2. + z1.z2.

34. Keterangan :
i.i = 1.1. Cos oo = 1.1.=1
j.j = 1.1. Cos oo = 1.1.=1
k.k= 1.1. Cos oo = 1.1.=1
i.j = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0
i.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0
j.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0

35. Diketahui a = 2i + 4j + 6k dan
b = 3i – 5j + 8k
Tentukan perkalian skalar a dan b
Jawab :
a.b = 2.3 + 4.(-5) + 6.8
a.b = 6 – 20 + 48
a.b = 34.
Contoh:

36. Perkalian Silang Dua Vektor
( CROSS PRODUCT )

37. Perkalian Silang Dua Vektor
e
.
Sin
b
a
b
x
a ˆ
θ





Definisi : a x b
a
b

ê Vektor satuan yang tegak lurus a dan b
ê


38. Jika a = x1i + y1j + z1k
b = x2i + y2j + z2k
Maka Perkalian Silang Vektor a dan b adalah :
a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j +
(x1.y2 - y1.x2) k
Atau secara determinan matrik sebagai berikut
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
x
k
j
i
b
x
a 



39. Bukti:
a x b = (x1i+y1j+z1k) x (x2i +y2j +z2k)
= x1.x2. ixi + x1.y2. ixj + x1.z2. ixk +
y1.x2. jxi + y1.y2. jxj + y1.z2. jxk +
z1.x2. kxi + z1.y2. kxj + z1.z2. kxk
= x1.x2. 0 + x1.y2. k + x1.z2. (-j) +
y1.x2. (-k) + y1.y2. 0 + y1.z2. i +
z1.x2. j + z1.y2. (-i) + z1.x2. 0

40. a x b = x1.y2. k + x1.z2. (-j) + y1.x2. (-k) +
y1.z2. i + z1.x2. j + z1.y2. (-i)
= x1.y2. k + y1.x2. (-k) + x1.z2. (-j) +
z1.x2. j + y1.z2. i + z1.y2. (-i)
= y1.z2. i + z1.y2. (-i) +
x1.z2. (-j) + z1.x2. j +
x1.y2. k + y1.x2. (-k)

41. a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j + (x1.y2 - y1.x2) k
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
x
k
j
i
b
x
a 



42. Keterangan :
i x i = 1.1. Sin oo . e = 1.0 .e = 0
j x j = 1.1. Sin oo . e = 1.0.e =0
k x k= 1.1. Sin oo .e = 1.0.e =0
i x j = 1.1. Sin 90o .k = 1. k = k
k x i = 1.1. Sin 90o .j = 1. j = j
j x k = 1.1. Sin 90o . i = 1. i = i
j x i = 1.1. Sin 90o (.-k)= 1.( -k )= -k
i x k = 1.1. Sin 90o .(-j) = 1. (-j )= -j
k x j = 1.1. Sin 90o . (-i ) = 1. (-i ) = -i
i
j
k
e

43. Diketahui a = 2i + j – 4k ,
b = 5i – 6j + 3k
Tentukan a x b
Jawab:
3
6
5
4
1
2



k
j
i
b
x
a


= (1.3 - (-4)(-6))i - ( 2.3 - (-4).5)j + (2.(-6) - 1.5)k
= ( 3 - 24) i - ( 6 + 20 ) j + (-12 - 5) k
= -21i - 26j - 17k
Contoh :

44. Luas Jajargenjang
e
Sin θi
b
a
b
x
a ˆ





a
b
h
Definisi Perkalian Silang
Luas Jajargenjang adalah
= alas x tinggi
= a x h
= a . b Sin
Jadi Luas Jajargenjang = Besar Vektor Perkalian Silang
Dua Vektor
Luas Jajargenjang = a x b
Ø
Ø