Dokumen ini membahas tentang fungsi dua variabel, turunan parsial, dan kurva ketinggian serta peta kontur dari suatu fungsi dua variabel.

1. FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAH,
KURVA KETINGGIAN DAN PETA
KONTUR DAN TURUNAN PARSIAL

2. • Fungsi Dua atau Lebih Peubah
Menentukan daerah asal
Topik Pembahasan
• Turunan Parsial
Menentukan turunan parsial dari fungsi dua
peubah di titik sembarang
• Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Menentukan kurva ketinggian dan menggambar
peta kontur fungsi dua peubah

3. Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah
Setelah mempelajari fungsi satu
peubah, baik yang bernilai skalar
maupun yang bernilai vektor,
sekarang kita akan mempelajari
fungsi dengan dua (atau lebih)
peubah, yang bernilai skalar.
Sebagai contoh, foto atau citra 2D
merupakan fungsi dua peubah.
Demikian juga suhu T pada suatu
keping datar.
T(x,y)

4. Fungsi Dua Peubah
Di sini kita akan membahas
secara khusus fungsi dua
peubah yang bernilai skalar,
yakni fungsi f yang memetakan
setiap titik (x,y) dalam suatu
daerah D di R2 ke suatu
bilangan z = f(x,y) ϵ R
(x,y)
f
z =f(x,y)

5. Contoh
Jawab:
x2
+ 4y2
f (x, y) =
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑦2
𝑓 1,0 = 12
+ 4.02
= 1
𝑓 0,1 = …2
+ 4 … .2
=
𝑓 2,5 = 22
+ 4.52
= 104
𝑓 5,2 = …2
+ 4 … .2
=

6. Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kadang kita dapat mempelajari
fungsi dua peubah f melalui
kurva-kurva ketinggian-nya,
yakni kurva-kurva perpotongan
permukaan z = f(x,y) dengan
bidang z = k
Bila kita gambar kurva-kurva
ketinggian ini pada bidang R2,
maka akan kita peroleh peta
kontur f
x
y
Contoh:
z = f(x,y) := x2 + y2
z
z = k
Peta
kontur
x
y
k1
k2
k3
K4
K5
= k

7. Contoh
Gambarkan kurva ketinggian fungsi z = k dari f(x,y) := x2 + 4y2,
dengan k = 0, 1, 4, 8
Jawab
k = 0 → 0 = 𝑥2 + 4𝑦2 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 0,0
k = 1 → 1 = 𝑥2 + 4𝑦2 elips, melalui titik (±1, 0 ), (0, ±1/2 )
k = 4 → 4 = 𝑥2 + 4𝑦2 elips, melalui titik (±2, 0), (0, ±1)
k = 8 → 8 = 𝑥2 + 4𝑦2 elips, melalui titik (± 8 , 0), (0, ± 2 )
Peta
kontur
x
y
0,0
(±1, 0 ), (0, ±1/2 )
(±2, 0), (0, ±1)
(± 8, 0), (0, ± 2)

8. TURUNAN PARSIAL

9. Mengukur Laju Perubahan dalam Arah
Sejajar dengan Sumbu-x atau Sumbu-y
Diketahui fungsi dua peubah
z = f(x,y), bayangkan grafiknya
spt pada gambar di samping.
Bila kita berada di suatu titik
pada permukaan tsb (bayang-
kan di titik puncaknya) dan
bergerak sejajar dengan
sumbu-x, berapakah laju
perubahan ketinggian-nya?
P
x
y
z

10. Turunan Parsial terhadap x
Jika y konstan, katakan y = y0,
maka z = f(x,y0) merupakan
fungsi dari x saja. Turunannya
di x = x0 disebut sebagai
turunan parsial dari f terhadap
x di (x0,y0) dan dilambangkan
dengan fx(x0,y0)
P
x
y
z
0 0
h
x 0 0
f (x0 + h, y0 ) −f (x , y )
f (x , y ) = lim
h→0

11. Turunan Parsial terhadap y
Jika x konstan, katakan x = x0,
maka z = f(x0,y) merupakan
fungsi dari y saja. Turunannya
di y = y0 disebut sebagai
turunan parsial dari f terhadap
y di (x0,y0) dan dilambangkan
dengan fy(x0,y0)
P
x
y
z
0 0
k
y 0 0
− f (x , y )
f (x0 , y0 +k)
f (x , y ) = lim
k→0

12. Contoh
Diketahui z = f(x,y) = – x2 – y2 maka,
fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y
Di titik (3,4),
fx(3,4) = -6; fy(3,4) = -8
Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arah
sejajar sumbu-y daripada dalam arah
sejajar sumbu-x

13. Turunan Parsial Kedua
Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubah
dapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya
Karena ada dua turunan parsial pertama, fx dan
fy, dan masing-masing mempunyai dua turunan
parsial, maka kita akan mendapatkan empat
turunan parsial kedua, yaitu
fxx = (fx)x, fxy = (fx)y, fyx = (fy)x, fyy = (fy)y

14. Contoh
Diketahui z = f(x,y) = -x2 – y2
Turunan parsial pertamanya adalah
fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y
Turunan parsial keduanya adalah
fxx(x,y) = -2; fxy(x,y) = 0
fyx(x,y) = 0; fyy(x,y) = -2
Catatan fxy dan fyx disebut sebagai turunan
parsial campuran. Secara umum, fxy ≠ fyx

15. Latihan
2. Diketahui
z = f(x,y) = 6𝑥2
𝑦3
+ 2𝑥4
𝑦 + 3𝑥𝑦2
− 8𝑥2
− 7𝑦4
Tentukan Turunan parsial pertama dan kedua!
1. Gambarkan kurva ketinggian fungsi z = k
dari f(x,y) = x2 + y2, dengan k = 0, 1, 4, 9