1. Teorema translasi pertama dan kedua menjelaskan bagaimana transformasi Laplace dari suatu fungsi akan berubah jika ada translasi pada sumbu waktu (t) atau frekuensi (s).
2. Teorema translasi pertama menyatakan bahwa jika terjadi translasi pada sumbu s, grafik transformasi Laplace akan bergeser sejauh nilai translasi pada sumbu s.
3. Teorema translasi kedua menyatakan bahwa jika terj
2. Teorema Translasi Pertama
Jika L {π π‘ } = πΉ π dan π adalah sebuah bilangann riil, maka L {π ππ‘
π π‘ } = πΉ π β π
Teorema 1
Pembuktian
L π ππ‘ π π‘ = 0
β
πβπ π‘ π ππ‘ π π‘ ππ‘ = 0
β
πβ π βπ π‘ π π‘ ππ‘ = πΉ π β π β
T r a n s l a s i p a d a s u m b u - s
3. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - s
Jika kita misalkan π adalah bilangan riil, maka grafik
dari πΉ(π β π) adalah grafik dari πΉ(π ) yang bergeser
pada sumbu π sepanjang |π|. Jika π > 0, grafik dari
πΉ(π ) bergeser sepanjang π satuan ke kanan,
kemudian jika π < 0 grafik bergeser sepanjang π
satuan ke kiri. Lihat gambar disamping.
Lebih jelasnya dapat dituliskan dalam bentuk seperti dibawah ini.
L π ππ‘
π π‘ = L π π‘ | π βπ βπ
Dimana π β π β π berarti transformasi laplace πΉ(π ) dari π(π‘) dengan mengganti
simbol π menjadi π β π.
4. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - s
Contoh
Tentukan : π L {π5π‘
π‘3
} (π) L {πβ2π‘
cos 4 π‘}.
Penyelesaian
π L π ππ‘
π π‘ = L π π‘ π βπ βπ
L π5π‘
π‘3
= L π‘3
| π βπ β5
=
3!
π 3+1 | π βπ β5
=
3!
π 4 | π βπ β5
=
6
π β5 4
(π) L π ππ‘
π π‘ = L π π‘ π βπ βπ
L πβ2π‘
cos 4 π‘ = L {cos 4π‘}| π βπ β β2
=
π
π 2 + 42
| π βπ +2
=
π
π 2 + 16
| π βπ +2
=
π + 2
(π + 2)2+16
5. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - t
Unit step function (fungsi tangga satuan)
didefinisikan sebagai
π’ π π‘ = π’ π‘ β π =
0, 0 β€ π‘ < π
1, π‘ β₯ π
Perhatikan bahwa fungsi tangga satuan
π’ π‘ β π ini dapat diinterpretasikan
sebagai kondisi menekan tombol switch
on dari suatu alat elektronik pada waktu
π‘ = π . Saat π‘ < π fungsi tersebut
bernilai 0 , sehingga merepresentasikan
kondisi alat belum dinyalakan, saat π‘ β₯
π fungsi bernilai 1 , dan
merepresentasikan kondisi alat sudah
menyala.
Gambar fungsi tangga satuan
6. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - t
Teorema Translasi Kedua
Jika πΉ(π ) = L {π(π‘)} dan π > 0, maka L { π π‘ β π π’ π‘ β π } = πβππ
πΉ(π )
Teorema 2
Pembuktian
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dalam integral
0
β
πβπ π‘
f t β a π’(π‘ β π)ππ‘, dapat ditulis menjadi 2 integral:
L π π‘ β π π’ π‘ β π = 0
β
πβπ π‘
π π‘ β π π’ π‘ β π ππ‘ + 0
β
πβπ π‘
π π‘ β π π’ π‘ β π ππ‘
=
0
β
πβπ π‘ π(π‘ β π) ππ‘
Sekarang kita misalkan π£ = π‘ β π, ππ£ = ππ‘ pada integral terakhir, maka
L {π π‘ β π π’ π‘ β π } = 0
β
πβπ π£+π f π£ ππ£ = πβππ
0
β
πβπ π£ π(π£)ππ£πβππ L π π‘ β
7. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - t
Contoh
Tentukan L {cos π‘ π’ (π‘ β π)}
Penyelesaian : dengan π(π‘) = πππ π‘ dan π = π, maka π(π‘ +
π) = πππ (π‘ + π) = βπππ π‘
dengan menggunakan rumus penjumlahan untuk fungsi cos.
(bentuk alternatif teorema translasi kedua)
L {cos π‘ π’(π‘ β π)} = βπβππ L cos π‘ = β
π
π 2+1
πβππ β
8. Invers teorema Translasi pertama
Jika L π ππ‘
π π‘ = πΉ π β π maka, L -1{πΉ(π β π)} = π ππ‘
L -1 πΉ π = π ππ‘
π(π‘)
Contoh
Tentukan invers dari transformasi laplace :
1
π βπ 2
Penyelasaian
πΉ π β π =
1
π β π 2
, πΉ π =
1
π 2
Sehingga , L -1{πΉ(π β π)} = π ππ‘
L -1 πΉ π
L -1 1
π βπ 2 = π ππ‘ L -1 1
π 2
L -1 1
π βπ 2 = π ππ‘ π‘
9. Invers teorema Translasi kedua
Jika π π‘ = L πΉ π , π > 0 maka L -1 πβππ
πΉ π = π π‘ β π π’ π‘ β π
Contoh
Tentukan : (π) L -1 1
π β4
πβ2π
(π) L -1 π
π 2+9
πβ ππ
2
Penyelesaian:
(π) dengan mengidentifikasi π = 2, πΉ π =
1
(π β4)
dan L -1 πΉ π = π4π‘
maka L -1 1
π β4
πβ2π
= π4 π‘β2
π’(π‘ β 2)
(b) dengan π =
π
2
πΉ π =
2
(π 2+9)
dan L -1 πΉ π = cos 3π‘ maka
L -1 π
π 2+9
πβ ππ
2 = cos 3 π‘ β
π
2
π’ π‘ β
π
2
Pernyataan terakhir dapat di sederhanakan dengan menggunakan rumus
penjumlahan cos.
Diperoleh hasil yang sama dengan βπ ππ3π‘ π’ π‘ β
π
2
β