materi kalkulus

1. 4.2 TURUNAN DAN DIFERENSIAL (lanj)
Evy Juliantini
Materi Kuliah Kalkulus
FINKOM UNBIN

2. Nilai Ekstrim
Nilai ekstrim dari suatu fungsi f(x) merupakan nilai ekstrim relatif (bukan
absolut). Nilai ekstrim di bedakan menjadi dua, yaitu : Nilai Ekstrim
Maksimum dan Nilai Ekstrim Minimum
Misal, diberikan kurva f(x) dan titik (a,b) merupakan titik ekstrim (gamb. 2-7),
maka garis singgung kurva di titik (a,b) akan sejajar sumbu X atau mempunyai
gradien m = 0, yaitu garis y = b. sehingga syarat perlu bahwa suatu fungsi f(x)
akan mencapai nilai ekstrim di x = a adalah f’(a) = 0. titik (a,b) disebut titik
ekstrim, nilai x = a disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b di sebut nilai
ekstrim.

3. Gambar 2-7 : Ditunjukkan di x = a, fungsi y = f(x) mencapai nilai ekstrim

4. Definisi nilai maksimum dan nilai minimum
Misal diberikan fungsi y = f(x) dan interval I yang memuat x = a Maka
• Nilai f(a) disebut nilai (ekstrim) maksimum pada interval I bila : f(a) > f(x)
untuk setiap a. Titik (a, f(a)) dinamakan titik maksimum dari fungsi y = f(x).
• Nilai f(a) disebut nilai (ekstrim) minimum pada interval I bila f(a) < f(x) untuk
setiap a. Titik (a, f(a)) dinamakan titik minimum dari fungsi y = f(x).
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari fungsi
f(x) dapat dilakukan dengan uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f’(x) dan f’’(x).
2. Tentukan titik stasioner (x = a) dengan cara f’(x) = 0
3. Bila f’’(a) < 0 maka f(a) maksimum, bila f’’(a) > 0 maka f(a) minimum.

5. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f(x) = x4 + 2x3 + x2 - 5
Jawab:
f’(x) = 4x3 + 6x2 + 2x , nilai stationer dari f(x) terjadi saat f’(x) = 0, jadi
4x3 + 6x2 + 2x = 0 diperoleh akar persamaan x1 = 0, x2 = -1/2 dan x3 = -1
f”(x) = 12x2 + 12x + 2. Untuk :
x1 = 0 ; f”(0) = 2 > 0 → titik minimum, nilai minimum y = -5
x2 = - ½ ; f”(0) = -1 < 0 → titik maksimun, nilai maksimum y = -4,94
x3 = -1 ; f”(0) = 2 > 0 → titik minimum, nilai minimum y = -5

6. Kecepatan dan Percepatan
Misalkan sebuah pesawat terbang dapat menempuh jarak Jakarta - Tokyo
5.800 Km selama 5 jam, kecepatan rata-rata = (5.800/5) = 1.160 km/jam.
Sebenarnya pada beberapa detik pertama kecepatannya tidak langsung
mencapai 1.160 km/jam. Juga dapat dipastikan pada detik tertentu, kecepat-
an pesawat tersebut bisa mencapai lebih dari 1.160 km/jam.
Sehingga kecepatan pesawat tersebut mulai dari nol (0) saat mulai bergerak
sampai mencapai angka 0 (nol) lagi pada saat berhenti sampai di tujuan,
bergerak berfluktuasi pada angka 1.160 km/jam. Pada saat kecepatan nol (0)
hingga mencapat kecepatan rata-rata 1.160 km/jam, tentunya ada suatu
pertambahan kecepatan, yang disebut percepatan.
Sedangkan kecepatan pada saat t detik disebut sebagai kecepatan sesaat.
Jika suatu benda kecepatannya sama dengan nol (0) berarti benda tersebut
dalam keadaan diam (berhenti).

7. Kecepatan pada saat t, v(t) merupakan turunan pertama dari fungsi posisi
s(t), sedangkan percepatan pada saat t, a(t) merupakan turunan pertama
dari fungsi kecepatan v(t). Dapat dikatakan bahwa percepatan a(t) adalah
turunan kedua dari fungsi posisi s(t). Hubungan s(t), v(t), dan a(t) dapat
dinyatakan sebagai berikut.

8. Contoh
Posisi sebuah benda yang sedang bergerak ditentukan oleh persamaan
s(t) = ⅓ t3 –t2 – 3t +10 dimana s dalam meter dan t dalam detik.
Hitunglah : a. Kecepatan benda pada saat t = 10 detik
b. Percepatan benda pada saat t = 4 detik
Jawab
Kecepatan: v(t) = s’(t) = t2 – 2t – 3
a. Untuk t = 10, maka kecepatannya : 100 – 20 – 3 = 77 km/det
b. Percepatan : a(t) = v’(t) = 2t -t
Untuk t = 4, maka kecepatannya : 16 – 8 – 3 = 5 km/det
percepatannya: 2(4) – 4 = 8 km/det2

9. Notasi Leibniz
Dalam kalkulus,notasi Leibniz, dinamakan sesuai dengan namanya
untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17
Gottfried Leibniz, menggunakan simbol dx dan dy untuk
melambangkan pertambahan "kecil tak terhingga" (atau
infinitesimal) dari x dan y, dengan Δx dan Δy melambangkan
pertambahan hingga dari x dan y.

10. Bagi kedua ruas dengan , maka kita peroleh
Jika maka :

11. Leibniz menggunakan lambang untuk menyatakan
Jadi jika y = f(x), maka:
Contoh:
Jika y = x3 + x , maka 3x2 + 1

12. Dalil L’hopital
Dalil L’Hopital ini diambil dari nama penemunya, yaitu
Guillaume de L’Hôpital, seorang matematikawan asal Perancis
lahir pada tahun 1661.
L’Hopital limit boleh dipakai jika untuk menghitung dan mene-
mukan fungsi limit yang hasilnya tak tentu (0/0 atau ∞/∞).
Dalil ini berlaku untuk fungsi trigonometri maupun
fungsi aljabar dan bisa untuk mencari limit akar.
Aturan L’Hopital berbunyi, misalkan fungsi f(x) dan g(x) bisa
dideferensialkan pada interval terbuka I.

13. Dalil L’hopital
Jika : lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔 𝑥
hasilnya
𝑓(𝑎)
𝑔(𝑎)
=
0
0
maka lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔 𝑥
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′ 𝑥
Jika hasil deferensialnya tidak ada nilainya, maka aturan L’Hopital tidak bisa
digunakan.
Contoh :
lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
cos 𝑥
1
=
1
1
= 1
lim
𝑥→0
4𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
= lim
𝑥→0
4
𝑠𝑒𝑐2𝑥
=
4
𝑠𝑒𝑐20
=
4
1
= 4
lim
𝑥→3
2𝑥−6
sin(3𝑥−9)
= lim
𝑥→3
2
3𝑐𝑜𝑥(3𝑥−9)
=
2
3

14. Soal :
1. lim
x→0
−x2
1−c0sx
3. lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑥 𝑠𝑖𝑛3𝑥
2. lim
x→0
2𝑥−1
𝑥−1
4. lim
𝑥→5
𝑥 𝑥−5 5
𝑥 − 5